[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

10A.2 logistische Differentialgleichung, Differentialgleichung mit trennbaren Variablen

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

Anklickbares Transkript:

ich – fange noch ?? mit der Differenzialgleichungen – die wir Vermächtniszellenwachstum – kennen – Zinseszins – und Ähnliches – Ableitung der gesuchten zu nach der Zeit – in diesem Fall – soll eine feste Konstante mal der Wert der gesuchten Funktion sei zu jedem Zeitpunkt – das ist – Zinseszinsex – mittels Wachstum beziehungsweise wenn diese Konstante hier negativ ist es mit ?? zerfallen – ähm – und das ganze mal bisschen wirklichkeitsgetreu – zu machen schreibe ich mal einen Term dazu – auf der rechten Seite ein Produkt und ich schreibe noch dazu eins minus – meine gesuchte Funktion der Wert meines Funktion zur Zeit die – ständig in der versteht sich – durch – eine Konstante im – was bewirkt das ✂ erste Beobachtung – wenn X sehr dicht an null ist ich hab wenig – Euro sicher wenig Hasen – was immer das ?? finanziell anwächst – sind dahin steht eins minus – praktisch Null durch eine Konstante – entsteht eins – naja schön dann steht da doch die ursprüngliche Differenzialgleichungen – für Sex finanzielle Wachstum – also wenn X ungefähr null ist nicht – wenig – habe passiert er nicht viel – was passiert wenn X wächst – was ist der Effekt dann von diesem Term ✂ genau dann wenn X allmählich diese Größenordnung von diesen ähm kommt – es fängt er an zu wachsen wenn X in die Größenordnung von diesem ähm kommt steht hier eins minus etwas knapper ein das sie hinten – wird – null Komma null null null irgendwann werden – die mit weg heißt das mein Zinssatz wird auf null reduzieren die Vorstände steht sowas wie mein Zinssatz – ist Krieg kann packst du mir das Wachstum wird abgeschnitten – ?? die Änderung – der Änderung meiner Funktion wird sein Sohn Sophie mal Sohn zu viel hin steht nur die Endungen Funktion wird null werden der friert ein auf einem bestimmten Niveau – das erwartet man – ein Wachstum mit Limit am Anfang – wird sequenziell groß – aber irgendwo – wenn X – das M erreicht – muss das ganze einfrieren – kann diese Größe ähm nicht überschreiten – denn genau wechsle ich am zehnten null dann habe ich kein Wachstum mehr das erwartet man – sehen eine billige Differenzialgleichung – die offensichtlich zu so einer Lösung führen muss – ?? anfangs mittels Wachstum und dann – läuft es in einem stationären Zustand – das Ding nennt sich – der Bildung halber die logistische Differenzialgleichung – über – Differenzialgleichungen – und – die versuchen Sie mal zu lösen ✂ wenn das X größer ist das als das ähm – dann Schäden durch das sich was Negatives und es passiert ganz schlimme Sachen haben das betrachtet man im allgemeinen nicht ?? betrachtet hier sowas wie ein Bevölkerungswachstum – anhatten ?? Hasen oder Barbakterien – an – und die wachsen dann gegen ein Limit verguckt sich im allgemeinen nicht an was passiert wenn X größer ist als das im Vergleich in der Lösung was passiert wenn X größer ist als ähm ?? muss anscheinend das gegenläufige passiert – aber – hinter das man jetzt als rein mathematische – Geschichte – wie lösen Sie diese Differenzialgleichungen ✂ dieses Ding sieht ja so harmlos aus Komma wenn sie das ausmultiplizieren – sehen widersteht X Quadrat – X mal X – X ist die gesuchte Funktion – wenn hier was mit Teequadrat – stünde – dann wäre das noch Lineal ist etwas mit X Quadrate gesucht Funktionsquadrat – das ist nicht Lineal ärgerlicherweise – weil es nicht den Jahres können sie auch nicht sagen ob es homogen in homogenes Urlaubskonstante – Koeffizienten hat es ergibt keinen Sinn – für nicht den Jahr hat mir nur ein einziges Verfahren ✂ nicht den ja ist im allgemeinen – eklig aber dieses Ding ist eine Differenzialgleichungen – getrennt waren Variablen glücklicherweise – aber trennbar Variablen – wobei die zweite Variante bisschen versteckt ist – hier die X ?? ✂ Idee Beistrich dass die drinnen – trennen sie X und T – und integrieren sie beide Seiten dann müsste es funktionieren – aber noch ganz dringend ansagen – hier – geht die Kurve nicht durch die null wenn sie mit null – Hasen anfangen – als auch die ganze Zeit null Hasen – haben das muss eben – eine kleine Menge sein aber nicht allzu viele – nicht durch den Ursprung gehen – so selten waren Variablen – ingenieurmäßig – schreibe ich hier die X nach DT auf die linke Seite – X nach DT ist gleich – Wasser Vorstand – K X eins Music ähm – kam ein sechs mal eins minus X durch ein – Gesetz will ich alle X auf einer Seite und alle – Tees auf der anderen Seite – ich teile durch die komplette rechte Seite Darmstädter links die X durch K mal X mal eins minus X durch ähm – die komplette rechte Seite teilen und ich multipliziere mit DT – so sieht das dann aus – mäßig möglicher Anführungszeichen – machen – einige dass er keine kein Quotient – sondern ein Grenzwert – aber sich vorstellt ?? ich warte eine Nanosekunde – und gucke was dann mit meinem – X passiert – eine solche schon sehr gute Nehrung hier steht die eine Nanosekunde – und hier ist das was mit dem X passiert man wieder so hinschreiben können zwangsläufig – was hinten was in der Mathematik genommen sie mir Kopfzerbrechen bereitete Beistrich dann auch tatsächlich mit dem die X und dem DT Einzelnen – so sieht das aus ?? die Variablen getrennt alle zehn – Jahre verborgen waren auf der einen Seite alle X auf der anderen Seite – und nun kann man links und rechts integrieren – ich weiß dass diese eine Nanosekunde – herauskommen – muss wenn ich gucken was mit dem X in der Annahmesekunde – passiert und ich durch diesen ganzen Simone und teile – damit es etwas schöner wird – für dich hier noch bisschen umformen – sie oben und unten – mit ähm Multiplizieren – den Bruch hiermit am erweitern steht der zum Schluss ähm durch K – mal TX – durch – X mal ein ähm – minus X so ist es etwas übersichtlicher – oben mal ähm der unten mal ähm dieses wird zum M Schrägstrich M wird zu X muss es übersichtlicher – das integrieren ✂ mit Partialbrüchen – sind zwei Polstellen – eine Beistrich null eine Beistrich ähm – mit Partialbruch – integrieren – ?? man Extraspalte – auch für die Partialbruchzerlegung – ich möchte eins durch X mal im minus X – zerlegen in Partialbrüche – ich sie zwei Polstelle eine Beistrich null eine bei – X ähm sind beides Vorstände erster Ordnung einfache Polstellen ganz offensichtlich – und dann sagt mir – das was Auslegungsverfahren – okay das muss gehen als irgend eine Konstante – durch X plus irgend eine andere oder kleine Konstante – äh durch im minus X ich kann diese beiden Polstellen auseinandernehmen – schwieriger Westwind hier mit X Quadrat wäre dann auch die gleich noch in der mit C durch X Quadrat und so weiter – am ich vielleicht etwas Isolation der Häuser ganz einfach – Fundstellen – erster Ordnung – das muss so zerlegt war sein und diese beiden hier kann man dann ✂ ganz banal integrieren bestimmen Sie A und B – dann könntest man alle integrieren – also die beiden auf einen Hauptnenner bringen hier – der ist natürlich derselbe Nenner den wir vorher hatten X mal – im minus X – arbeite ich mit – ähm minus X – und B arbeite ich mit X plus – X – das soll für alle X gelten – nun – Komma das sind also müssen die Zähler für alle X Gleichzeichen – eins ist gleich – H mal ähm – minus A mal X plus – B mal X für alle XL für alle X schreiben den präsentierten – ingenieurmäßig – unterwegs – Punkt das heißt hier auf der rechten Seite müssen sich die X weggeben – kann ich immer eins raus kommen daraus lerne ich armes B sein – oder schon mal gelernt ?? gleich B – vier aus dem Zimmer eins raus kommen – damit lerne ich – das muss beides einst durch – ähm sein armes einzig ähm seine Mitte eins rauskommt und am ?? Design – sich die beiden wirklich – so – damit bin ich bei der Partialbruchzerlegung – hier – hier steht also – ähm durch K – Malis Kom eine Partialbruchzerlegung – aber eins durchkämmen durch den – ersten Reihen folge zwei Gala streng durchwegs – einfache Sega Beamte gleich sind – durch X plus X und B eins durch ähm – durch ähm minus X – mal TX – so – das – diese Kürzel sind ähm einst durch im einzig im Glück gehabt das kürzlich wecken steht der eins durch K – Klammer auf – eins durch X – plus – eins durch ähm minus – SM hier oben – raus kürzen – jetzt möchte ich beide Seiten integrieren – die rechte Seite zu integrieren – ist banal – und dieses müsste jetzt funktionieren eben was nicht so leicht hier müssen Sie funktioniert mit den Partialbrüchen – einzig X Stammfunktion – einzig im minus X Stammfunktion – Komma Kleinkrieg – wo sie lange nachdenken und sie die Stammfunktion ist ich ziehe aus diesem Buch ein Faktor minus eins raus – schreibe hier – minus davor – und dafür unten minus M – plus X – nichts Böses passiert ?? ?? zurück – oben und unten mal minus eins – minus eins erweitern diesen Bruch – wieder vor ein minus – und unten beide Vorzeichen geändert steht unten X minus M das macht es etwas netter beim integrieren – davon sollten Sie jetzt – Stammfunktion angeben können von beiden seine Stammfunktion angeben Integrationskonstante – nicht vergessen – dann haben wir ein Wasser schon gelöst – ?? ich schreib mal die Integrale hin also weiß ich jetzt – mein Grad über X das ist ja sowas wie die Bevölkerungszahl – Shamir von X null – anfangs Bevölkerungszahl – bis zu – irgendeiner aktuellen Bevölkerungszahl – das integriert – eins durch K kann sofort nach vorne schreiben – neunzig X minus eins durch X minus ähm – TX – muss also sein jetzt integriert – und auf der anderen Seite steht die Zeit integriert – sein über die Zeit integriert DT integriert – von der Anfangszeit – dem Anfangswert X null und – bis zur – bis zum Entzeitpunkt – mit dem Verdikt Eisenach interessiert mich der Zusammenhang hier zwischen X eins – und T eins – wie kann ich wenn die eins gegeben habe X eins ausrechnen die Bevölkerungszahl – am Ende – an – so ist auch nur – eine Stammfunktion – schaffen zwar schon so weit hin – X null – X eins – Klammer zu hierfür – Stammfunktion hierfür – an ✂ das regionale – hin Punkt und dafür – recht – gut E-Plus eine Konstante die aber egal ist nicht das – bestimmte integral ausrechnen – oder sie ständig das vor was integriert ?? die Funktion eins – einmal DT – Funktion mit der Höhe Heinz – von T null bis T eins – welche frech ist darunter – der schön T eins minus vier null mal eins Beistrich ist unter Götter noch ganz anders – als auf der rechten Seite steht – null – ?? – und – auf der anderen Seite hier – eine Stammfunktion – zu eins durch X – muss ich erinnern – ?? Stammfunktion – zu X hoch drei – X ihr Viertel – keine – Stammfunktion – X ?? minus zwei – versuchen was mit X ?? minus eins – das einzige was schief geht es X zur minus eins eine Stammfunktion – zu X und minus eins ✂ das war nämlich – LN Betrag – gemeinschaftlich – immer zu rechnen – Nennbetrag von X – wobei der Betrag über Licht auf den Sofortweg lass ich solche ?? Bevölkerungszahlen – gehen – nun – nach ?? wird der Betrag egal sein weil ich nicht – minus – drei hundert Kaninchen haben werde ich das jetzt weiter steigert den Betrag stehen – Sohn des Beistrich hier – eine Stammfunktion – für eins durch X minus ähm minus – eine Stammfunktion – für einzig X kleines M ✂ Vorschläge – genau dies aber nur verschoben – Tampons und der verschobenen Funktion – ist die verschobene Stammfunktion – besteht also Logarithmus – von X minus ähm indem sie – nach links und rechts verschieben – diesem minus ähm – herschieben – er – was sieht er nicht großartige Schlimmes – es wird einfach nur hin und her geschoben – so das steht da – äußerte sich wir ?? wieder rechnen also der Job soll sein – wie hängt X eins – von T eins ab – das ist die Frage die Lösung der Differenzialgleichungen – X eins in Abhängigkeit von T eins ✂ erste Schritt ist jetzt ja nur dummes einsetzen – eins durch K – bietet sich X eins – ein Logarithmusbetrag – X eins – minus – Logarithmusbetrag – X eins minus ähm – minus – Pixel einsetzen – minus als Überbrückungsbetrag – X null – zwei minus minus minus ?? Klosterrhythmusbetrag – X morgens am Schluss – muss – Betrag X null – ähm – Klammer zu ist gleich – T eins – minus zehn null rechte Seite ist der überzeugend einfach – ich würde auch sofort hier – das K rüber bringen – ein steter – Geschwindigkeitsvorteil – gegenüber ihn – nicht ganz ?? – schade – mehr – und nicht ob ich mich genauso schnell wie sie – zu Fuß in schreibe das einzig K rüber bringen entsteht hier also der Logarithmus – von Betrag X eins – minus Logarithmus von – kleines N – minus den Rhythmus von – X – null und ?? orientieren – plus den Logarithmus von – ?? gestrichen – Betrag X null minus ähm ist gleich – K rübergebracht – kam mal – T eins – minus zehn null – das gibt eine interessante – Deutung dieser Variablen – Kaka – tauchten auf eine Weise in der Lösung auf nämlich als K mal die Zeit – was sagt uns das eigentlich – anschauungsmäßig – zu dieser Variablen kam – dieses K regelt alle schlicht ergreifend die Geschwindigkeit – wenn sie das K verdoppeln – ist das derselbe Effekt als wenn sie das K so lassen wie es war aber die Zeit verdoppeln – die Geschwindigkeit – verdoppelt sich in sie K verdoppeln dieses K ist nach Geschwindigkeit – was nicht ganz unplausibel ist vor was ja – so etwas wie der Zinssatz – es eine Art von Geschwindigkeit ist es behält diese Rolle – der Geschwindigkeit – das mache ich schon mal glücklich – dass das von anschauen ?? Topas – soll jetzt was mir die linke Seite zusammen – der Logarithmus eines Produkts – der Logarithmus eines Produkts – dafür bei der Logarithmus da ich möchte – als Kaufmann der Renaissance – keine Produkte ausrechnen sondern ich möchte Summen ausrechnen nicht bildeten Logarithmus von dem einen Plus den Rhythmus von dem anderen – dafür ist der Logarithmus erfunden worden – fassen sie damit – die linke Seite zusammen – mit einer dieser Stelle schon das für – fürs Leben – ähm separate Differenzialgleichungen – die Lösung in Anführungszeichen – zu schreiben das integral zu lösen ist meist der einfache Teil – dann tatsächlich aufzulösen – nach der abhängigen Variablen – ist im allgemeinen der eklige Teil des Simba hier gerade – wunderschön demonstriert lediglich das wird – es Integralis relativ billig – so – Logarithmus – und jetzt kommt ein Monsterterm im Logarithmus – hier steht Logarithmus X eins – Betrag – X eins – und das hinten wird – agiert also Produkt X eins – mal X null minus ähm – dritten voneinander abziehen – heißt – Teilen – im Logarithmus – ich teile also durch X eins – umgestiegen ?? ich teile durch X eins minus – ähm – und ich teile durch X null – müssen sich alle siebzehn Betragstriche – eine steht der Betrag von X eins mal Betrag von der Differenz und so weiter – die Praktika nicht raus ziehen aber nicht aus dem Rhythmus die müssen immer noch ?? drittens bleiben die Betragstriche – so da steht es der Logarithmus von diesem Betrag ist gleich ein Vielfaches der Zeitdifferenz – ich Bilder auf beiden Seiten der Kommentarfunktion – und habe dieser Betrag hiervon X eins mal – X null minus ähm durch – X eins minus ähm mal X null – dieser Betrag ist gleich äh hoch kam mal – T eins minus T null – es wird ganz allmählich – etwas übersichtlicher – an – ich möchte ja nach einer X eins auflösen – also wird jetzt alles was X null hat auf die andere Seite bringen – Stift haben so – alles was X nun hat bin ich auf die andere Seite dann steht hier – X eins – durch X eins – ähm – ist gleich X nur rüber bringen nach oben – exponiert am ?? bringen Punkt unten – mal ihr Buch – kam mal T eins – minus T null – so – unter dieser Stelle würde ich es allmählich mal die Betragstriche loswerden wollte man ersetzen Allgemeinheit – diskutieren – will – was passiert – Klammer auf – was passiert wenn ich eine – negative Bevölkerung habe – ?? sehr komisch ist aber ganz ?? ausprobieren – was passierte meine Bevölkerung – über dieser Grenze ähm ist – dann wenn ich das wissen wollen würde dann müsste ich jetzt vorsichtig sein mit den Betrag Strichpunkt – ich werde jetzt einfach mal weglassen und deshalb sage ich große Annahme – weggucken und so das an was auch praktisch relevant ist X – beide X liegen zwischen null und ähm – nahm – nun Ullstein als X eins Komma X zwei – klein A – ähm – das sind die Fälle die mich nach ?? interessieren – dann kann ich das hier – auflösen – der Betrag von X eins – ist also größer sein als nur der Betrag von X eins ist also X eins – was ist der Betrag von X eins minus ähm – Vorsicht ✂ Falle in minus X eins – X eins soll ja kleiner sein als ähm – ?? steht sowas wie fünf hundert minus tausend ?? müssen da unten umdrehen – ?? X eins – dasselbe passiert hier – X null durch ähm minus X null – mal eben hoch – kam mal – T eins – minus T null – an – es wird immer besser aber ich bin noch nicht hundert Prozent glücklich – ich wollte doch nach X eins auflösen – lösen sie es mal wirklich nach X eins auf ✂ das ist natürlich – X null eins – bleiben dabei lösen Sie dieses jetzt nach X eins auf setzen – so zum auflösen bring ich dieses ✂ ähm minus X eins – auf die – rechte Seite – haben – und weil ich faul bin in den ich das Thema was auf der rechten Seite stets zu einem Wiederholungszeichen – so da steht dann also – X eins – ist gleich – ähm minus X eins – mal mein Wiederholungszeichen – was sie rot eingerahmt ist – alles mal im minus X eins – das auseinandernehmen – steht also immer Wiederholungszeichen – minus – X eins mal Wiederholungszeichen – das Ziel einer X eins aufzulösen ich bin X eins ist also rüber – nach links – plus X als Wahlwiederholungszeichen – entsteht hier X eins – mal eins – Plus Wiederholungszeichen – ist gleich im Wiederholungszeichen – sieht man das – den hier – den hierüber bringen – X eins – Wiederholungszeichen – beide Seiten – addieren – als bei Einzelsysteme – und X eins Wiederholungszeichen – kommt nach links rüber – kann ich durch den teilen – X eins ist also gleich – ähm – mal – der steten Wiederholungszeichen – durch eins Plus Wiederholungszeichen – Punkt – er seine Tag die Einheiten stimmen – ähm – muss bevor schon ist maximal Zahl an Kaninchen – hier steht – was ein als loses bei dem Bruch – irgendwas durch irgendwas das muss einer so sein – den an der eins sowieso das schon diese einzelnen Dinge ?? einer so sein müssen das Notarztzeichen – scheint zu sein muss – ?? Kaninchen aus Kaninchen mal das das will ich – jetzt ?? muss noch überlegen ob das – Asymptote Verhalten richtig ist – was passiert mit diesem Wiederholungszeichen – Ausdruck dieser Ausdruck hier was passiert mit diesem Ausdruck – wenn wir lange warten – korrekt dieses Ding geht gegen unendlich ?? lange warten T eins – meine Endzeittext – über alle Grenzen T null sich fest Anfangszeiten – die eins sechs über alle Grenzen – K soll sinnvollerweise positiv sein ich möchte am Anfang – ?? Wachstum haben kann Zerfall – dann wächst dieses Ding über alle Grenzen gegen endlich – das Wiederholungszeichen – hier wächst gegen unendlich – das – geht – gegen unendlich und steht dasselbe – zweimal dasselbe geht gegen endlich das es sowas von der Sorte wie – irgendwas Komma mal Änderung – durch eins Plus ähm – was macht – dieser Bruch wenn N – gegen unendlich geht ✂ es um eine ganze Nichte wird eins werden – vor – tausend durch tausend eins eine Million – durch eine Million eins das wird eins werden dieses hier wird eins werden – wunderbar wenn ich lange warte wird meine Bevölkerungszahl – ähm werden – genau wie wir es uns schon überlegt haben – und man kann sie ?? überlegen dass dieser Bruch hier niemals eins wird der steht ja immer – etwas durch etwas mehr das wird niemals eins werden das ist immer unter einundzwanzig – kommen nicht über diese – äh Maximalzahl – ähm – bleiben immer unterhalb der maximal Zeit ähm – wobei – Fußnote nicht vergessen wobei ich ja – hier noch ganz schwer angenommen habe okay ich gucke mir auch nur solche Zahlen an ein lächerliches und ein Zirkelschluss eingebaut – werden – müssen ?? noch gucken was passiert denn wenn diese – Zahl – X tatsächlich gleich im ?? und größer als im Westen – will ich es aus Zeitgründen nicht tun – sehen was – passieren muss – ?? das ist die logistische die Versager