[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

22A.3 lokale Maxima, Minima einer Funktion zweier Veränderlicher; Hesse-Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

lokal – extremer von Funktion zweier veränderlicher – Beispiel – mal eine Funktion – folgender Art – minus – X Quadrat – plus sechs – X Y – Los acht – X minus Y Quadrat – minus – Y minus vierzehn – offensichtlich eine sehr praxisrelevante – Funktion – an – die Frage – um diesen Formalismus einmal durch zu spielen Fingerübung mäßig die Frage – hat – diese Funktion als Fläche – bis ins unendliche gemalt – X Y bis ins unendliche – die komplette – Ebene – ist diese Funktion als Flächen ähm hat die irgendwo einen Berg – ein lokales Maximum – hat irgendwo ein Tal – zu malen ein lokales Minimum das ist die Frage wenn ja wo – lokale Maxima minimal für eine Funktion zweier veränderlicher ✂ als ersteinmal was will ich denn nun endlich machen warum leite ich ab es – dann – wenn ich sein Werk wurde ein Teil suche – eines der Trick – das Weizenberg oder Teil der Gradient – unten einmal – der Gradienten irgendwohin zeigen kann es geht ja nicht aufwärts – in eine Richtung besonders steil Aufwärtseinrichtung – besonders steil abwärts wenn sie oben auf dem Berg drauf sind oder wenn sie unten enthalten sind – muss der Gradient der Nullvektor sein – und die Tangentialebene – ist horizontal – der Gedanke steckt dahinter ich gucke erst mal nach Stellen – an denen der Gradient der Nullvektor ist das heißt an den beiden partiellen Ableitungen – null sind verschwindend erfrischende – Mathematik – das ist keine sichere Geschichte – es muss so sein an lokalen – Maxima und lokalen Minimal Busses keine sichere Geschichte ?? – könnt ihr eben insbesondere – auch ein Sattel sein nur in dieser Form aber es könnte auch sein das es in der Einrichtung aufgeht – und in der anderen Richtung untergeht – und sie auch Tangentialebene – die horizontal dadurch – einen – aber es ist notwendig – wie so schön heißt in der Mathematik – damit ich hier ein lokales Minimum lokales Maximum haben kann ist notwendig – dass der Patient an der Stelle – der Nullvektor – ist – also bestimme ich erst mal die ersten – Ableitungen – nach X nach Y – und gucke an welchen Stellen die beide gleichzeitig null werden – wenn das nirgendwo passiert – Schlüsselfunktion – vor die die ganze Zeit am wachsen ist in der Gradienten irgendwo null wird – dann muss ich nicht nach Ungarn maximal minimal weitersuchen dann weiß ich keine Chance ?? – am – okay partielle Ableitung nach X – also von der Schreibweise – her dieses Wunde die ich sonst mal selber ordentlich mal – dieses runde D – F nach TX – so geschrieben zu sein ?? partielle Ableitung – nichts mit F Strich – es gibt alternative Möglichkeit dass man das X als Index dran selbst – das finde ich jetzt aber zu professionell – an mit dem Fantasy bei der Schreibweise bleiben – partielle Ableitung von F nach X – und was wird das werden – wir vorne minus zwei X da kommt plus sechs Y – hier kommt plus acht – wenn ich nach X Ableitung – Y die andere Variable ist heißt das ich betrachte Y als Constanze ihr steht für mich die Konstante der steten Konstante das Besondere an der Seite wird alles null – Feierabend – mit der partiellen Ableitung nach X – die partielle Ableitung nach Y – ins Vorderrad ist für mich jetzt die Konstante ?? schon ab sechs – X haben wir da – dass es für mich ?? Konstante minus zwei Y minus – sechzehn – notwendig für lokales Minimum oder lokales Maximum ist das beides – an derselben Stelle – null ist – ohne das geht's nicht wenn ich keine X Y finde – das das beides null wird – als sie sofort – geschenkt – es in lustigerweise – alles aufmerksam gemacht beides geraden Gleichungen – ?? ich suche ein zu den Schnittpunkt zweier geraden eigentlich – am – der wird hoffentlich existieren – typischerweise sollten existieren zwei geraden im zweidimensionalen – sollte – Punkt aber wenn ich alles schiefgeht – finde den mal raus und dann gucken sie weiter ✂ wie das angucken – könnte zu Fuß lösen – X auflösenden einen oben einsetzen zum Beispiel – oder sie sehen alias – System das können wir eigentlich ?? im Schlaf Leerzeichen System – ähm – versteht er minus zwei X plus sechs Y ist gleich minus acht – der oben und unten stets sechs X minus zwei Y ist gleich sechzehn – ?? oben – Komma minus eins damit bei Minuszeichen sechsten zwei X – minus sechs Y ist gleich – achtzig Meter aus – blicken Sie dieses gleichen System noch vor einfachen – ich den überall durch zwei ✂ auch freundlicher – X minus drei Y ist gleich vier – drei X – minus – Y ist gleich – acht – Kelvin – ein billiges Verfahren – um den Jahre gleichen Systemen zu lösen – an dieser Stelle wird deutlich einfacher ✂ denke ich aufzulösen – sie sind X ist gleich – vier plus drei Y – oder wenn man sehr ganz auf die heftige Art mit Kramer – X ist gleich – ein Determinante durch noch ein Determinante – und steht eins minus drei drei eins eins – eins – und oben steht ein vier acht – minus drei minus eins – ist gleich – viermal minus eins sind minus vier minus – acht mal minus drei sind – bloß – einmal vierundzwanzig – einmal minus eins – minus – einmal minus drei – bis neun – und dann haben wir zwanzig – minus vier durch – acht – wird durch vier ?? sind wir fünf – halbe ?? – und für unser Y ✂ haben wir – eins drei – vier acht – drei – acht und bleibt dasselbe – in acht – ist also – acht minus – zwölf – drei mal vier durch acht – minus – vier durch achtzehn – minus ein halb ✂ was – ich also bisher weiß ist – es gibt eine und nur eine Stelle – mit horizontaler – Tangentialebene – X gleich fünf halbe Y durch minus ein halb – wenn es irgendwo ein lokales Maximum oder lokales Minimum gibt dann nur da und nirgendwo anders – muss die Frage okay was ist denn nun – ist er lokales Minimum ist es ein lokales Maximum oder ist es ein Sattel oder ist es – Sattel – oder ist es – ein – umgekehrt – ?? ein Buch aufrecht – ?? was ist denn das am einfachsten zu entscheiden – wie bei Funktion einer veränderlichen mit der zweiten Ableitung – ich gucke mir die zweiten – Ableitungen an die Hand diese komische Schreibweise – die zweite Ableitung einer Funktion – nach – X so geschrieben – D zwei – F nach D X quadratshistorische – Geschichte – kann nichts für – Streit alle Verantwortung ab an der Stelle – ähm also das was ich eben nach X abgeleitet habe noch mal nach X ableiten – gleich Null irritieren lassen das galt ja nur an der einen Stelle an der ich jetzt auf ein Minimumsmaximum – zu finden – in den anderen Stellen geht es ja nicht nebendran – das nach X ableiten minus zwei – der fliegt raus der fliegt raus die doppelte Ableitung nach X ist minus zwei – die doppelte Ableitung – nach Y – soll seine zweifache dass es offizielle Begriff – ?? verarbeiten Y D nach Y Weg innerhalb seines minus zwei tausend sechs – zwei ?? – sind für Y – dann aber noch die gemischte Ableitung – bei der es ja netterweise – nicht auf die Reihenfolge ankommt – ?? üblichen Funktion diese waren Ebensee – nicht auf die Reihenfolge ankommt – sie nehmen sich was die Ableitung nach Y war leiten nach X ab – sechs – null null – oder sie nehmen sich was Ableitungen X war leitender Y ab null – sechs null selbst Ergebnis – weg sein – das gibt die sogenannte Hesse Matrix – die alle zusammen schreiben – doppelte Ableitung nach X – zwei – X – die gemischte Ableitung – die gemischte Ableitung – Zweifachableitung – nach Y – analog dann für Funktion dreier veränderlicher ?? wird alles fürchterlich aufzuschreiben zu rechnen – dies tingeln sich die Hesse Matrix und das hat die Rolle der zweiten Ableitung – bei den Fusion einer veränderlicher – habe ich eben – ungeschickterweise – vier Arten wie ich die zweite Ableitung bilden kann – ?? nach X zu ?? nach Y – einmal nach X am ?? Y und einmal in der anderen Reihenfolge – was üblicherweise dasselbe Ergebnis gibt – die alle zusammen geschrieben wie die Hesse Matrix – am – das hier ist ein Spezialfall – was die Hesse Matrix angeht was würden Sie eigentlich in der Hesse Matrix bei anderen Funktionen noch erwarten ✂ ein – Zufall hier diese Ableitung – doppelt nach X ist leicht Ableitung doppelt nach Y das ist Zufall – das hier auf der Nebendiagonalen – dieselben Werte steht das es kein Zufall dass es üblich Komma dass sie auf der Hauptdiagonalen – sendete stehen das ist Zufall – was wird im allgemeinen auch noch – erwarten was anders wird als hier – komplizierte bereits ihren ✂ Weg das hier Konstanten stehen – wenn ich nämlich hier – Oma – wenn ich hier zum Beispiel nicht zu drei gehabt hätte ?? – wird in der zweiten Ableitung nach X ein X überlebt haben und ständig posiert mir ein Sinus drinnen – dann ?? in jeder Ableitung wie oft sie arbeiten irgendwas mit Sinus und Kosinus können – an – ihr hatte jetzt nur Potenzen bis zur zweiten Potenz – SAP dazu einfach deshalb die Nähe lauter Konstante Zahlen im allgemeinen werden diese Zahlen nicht konstant sein sondern von X und Y abhängen – wie – jetzt dann eigentlich weiter Pekings im allgemeinen irgendwas was mit X und Y – zusammenhängt Beistrich irgendwo noch – nicht sechs sondern entweder dreimal – Sinus von X plus E hoch Y – was müssten sie dann eigentlich jetzt noch tun an dieser Stelle ✂ setzen wir X und Y rein – aus dieser Rechnung unsere eine Stelle an der wir wissen wollen wie sich die Funktion den verhält – ?? die würden Sie oder als Jesus es so einstellen ?? zwanzig Stellen sein sie stellen ein wenig wissen will sich die Funktion verhält – die würde ich dann hier einsetzen das ist natürlich immer eine einzige konkrete Matrix rauskriege – hier war ich faul – alte Klausuraufgabe – Beistrich zu viel zu rechnen haben wir aber das – Glück das schon ?? Konstante Matrix rauskommt ich muss nicht diese eine Stelle einsetzen – so das möchte ich mit dieser Matrix entscheiden – was für eine Sorte – horizontaler – Tangentialebene – denn das ist ich weiß der Patient – ist der Nullvektor – lange Zeitebene ist horizontal – Sonne diese Matrix sagen – wie denn meine Funktion – sich an diese Tangentialebene – dran schmeckt's ob sie von unten kommen von oben oder sowohl als auch – wie entscheide ich das ✂ selber mal in Zusammenhang davon – diese Matrix ist immer eine symmetrische Matrix weil hier auf der neben diagonal Zwangs auf dieselben Zahlen stehen – ähm – solche symmetrischen Matrizen haben immer zwei – Eigenwerte – es sei den zufällig beiden Einwänden gleichzeitig – ein Vielfaches von der Einheitsmatrix – das ganz langweilig – typischerweise haben sie zwei verschiedene Eigenwert und jeweils eine eigene Richtung dazu Komma dass es die eine – Einrichtung zu dem einen Eigenwert und das ist hier Einrichtung zu dem – andern Eigenwert – so die Einrichtung zu dem andern Eigenwert von dieser Matrix – von dieser Matrix Eigenwert Eigenvektoren – stimmen – wenn sie typischerweise – zwei verschiedene – Eigenwert kriegen – an – und die sagen mir bestimmte Richtungen im Raum nämlich die Richtungen in den – stärksten rauf oder runter geht's lustigerweise werden die Eigenwerte so liegen – wenn es in dieser grünen Richtung – einen – positiven – Eigenwert gibt dann heißt das – meine Funktion wird ungefähr so da durchlaufen – durch diese Richtung nach oben gekrümmt – und wenn es zum Beispiel – in die rote Richtung einen negativen Eigenwert gibt – weiß ich die Funktion wird – brechen wir so – würden wir die Funktion – dann nach unten Weg laufen – die Eigenwerte sagen – wie staatlich – nach oben oder nach unten Weglauf im ?? von der Tangentialebene – weg – positive Eigenwert nach oben – je positiver desto schneller nach oben – negative Eigenwert nach unten – so was muss jetzt für die Eigenwerte gelten – damit ich in jedem Fall nach oben Weg gehe – Asus für die Eigenwerte gelten damit ich in jedem Fall nach oben begehrt lokales Minimum habe ✂ Vorzeichen angucken wenn beide ein positives Vorzeichen haben anders als Text der Boote hier anders als ?? gemalt habe – Komma wechselt Punkt beide haben ein positives Vorzeichen – dann schmiegt sich meine Funktion von oben – herab wohlig an die Tangentialebene – an ihr lokales Minimum – ein gemaltes Zimmer auf das man ganz schematisch wenn die Eigenwerte – beide positiv sind – weiß ich zwangsläufig – ich habe ein lokales Minimum – das ist im – eindimensionalen – Funktion einer veränderlichen diese Situation – die erste Ableitung ist null – und die zweite Ableitung ist positiv – dann können Sie sicher sein ist ein lokales Minimum hier geht's um diese beiden Eigenwerte – muss bisschen mehr – Richtungen betrachten wenn sie diese beiden Richtungen aufwärtsgeht dann muss es auch in einer Richtung aufwärtsgehen – verteilt sich mit dazwischen – diese Eigenwert sind die schlimmsten Richtungen sozusagen – wenn beide Eigenwerte negativ sind – jetzt in jede Richtung nach unten weg ich habe ein lokales Maximum – und wenn einen Eigenwert positives – und ein eigenwertnegatives – was habe ich dann ✂ das – Sattelpunkt – in Einrichtung – runter in die andere Richtung – drauf – wird das – nicht gelungen aber eben häufig genug Komma – ähm wird das ein Sattel dann werden – das heißt interessiert mich gar nicht – wenn der – wenn ein Eigenwert null ist und ich weiß nichts über den anderen – was weiß ich dann minimal maximal mäßig ✂ gar nichts dass es in der Tat das ungeschickte – sobald eine der Eigenwerte null ist wenn beide null sind sowieso wissen sie auch nichts – dann kann es alles mögliche sein kann sein das dass ich die – Funktionsfläche – da so dicht dran schlängelt an die Krankheit eben nicht das die zweiten Ableitung alle null sind aber trotzdem ein lokales Minimum oder Maximum ist und es kann natürlich auch sein – sie sich so dran schlängelt zum Beispiel – Sonnenhufform – das in einigen konstant ist jetzt nach hinten weiter so – wäre auch kein lokales Minimum wenn die Werte – neben ?? sind dieselben – also dann kann man sich entscheiden – zwei positive – Eigenwert Lucas minor zwei negative beide negativ lokales Maximum – gemischt auf jeden Fall ein Sattel Punkt wenn eine null dabei ist verloren – wenn ich entscheiden – analog zu dem was bei Funktion einer Variablen hatten – so das MS ganz auf die Schnelle noch hinkriegen – es gibt einen Trick – oder zwei Tricks – die Determinante – ist das Produkt der Eigenwerte – wenn sie in die Einrichtung – alle Vektoren versuchen zu vielfachen – ?? in die andere Richtung alle Vektoren versuchen zu Vielfache was passiert mit der Fläche – mal soundso – mal soundso verfiel – die Determinante – ist das Produkt – der Eigenwerte das heißt hier oben – plus plus minus minus ist die Determinante – auf jeden Fall größer als null – ist die Determinante – kleiner als null plus mal minus – und hier unten ist die Determinante gleich null – das heißt wenn die Determinante größer ist als Null Beistrich – es muss ein lokales – Minimum oder lokales Maximum sein was anderes kann nicht passieren – in den sonst ?? die den negativen der tradierten Sache Punkt oder sie ist nur unter einem ein Eigenwert muss null ?? wie Determinante gerade ausrechnen – ging es weiterhin bei minus zwei sind vier – und davon jede sechsten dreißig abgezogen – in welchem Fall sind wir also ✂ etwas muss ?? weiter rechnen wir haben auf jeden Fall eine negative Determinante – genauen Wert – offenbar gar nichts ist Negatives ist ein Sattel Punkt damit hat diese Funktion – nirgendwo ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum – hätte nur diese Einstellung – geben können – und wir stellen fest auch da nicht es ist ein Sattelpunkt – ähm – in diesem Fall vivendi Determinante – größer als – null gewesen wäre ?? – dann gibt's noch den Trick – persönlich dieser links oben ein Punkt wenn die Zahl links oben positives – Zins in dem Fall wenn die Zahl ins oben negativ ist es in dem Fall das Verzeichnis ist ?? vor