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Ableitung als Bestandteil der linearen Näherung

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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die – dritte Vorstellung die man hat von der Ableitung – aus man – fängt typischerweise – an mit der Idee der Tagentensteigung – die Ableitung – macht eine Funktion in Blau zu einer anderen der Grünen – in dem sie die Tagentensteigung bestimmt an jeder Stelle komme ich nach bei der blauen Kurve was ist die Tagentensteigung – hier sind knapp eins Taxi – negativ ist sie nur ?? und trage das als Wert ein für die Ableitung – Wert der Ableitung null – nächste Gedanke – nächste Vorstellung war Änderungsrate – wie ändert sich eine Größe – mit der Zeit oder mit dem Orts – Stundenkilometer – Kilometer pro Stunde sollte man sagen ?? eine Geschwindigkeit das wäre so eine Änderungsrate – wie ändert sich die – Position – nicht von der Zeit wie schnell ändert sie sich wie viel Meter pro Sekunde Kilometer pro Stunde habe ich die Geschwindigkeit – war auch – die Ableitung dann die Beschleuniger die zweite Ableitung – und zwar der Position nach der Zeit – der Ansatz – das Konzept was eigentlich das ist was am weitesten reicht die lineare Näherung – ?? erstmals ohne Kurven an einem Beispiel ich gucke mir einen Würfel an – unseren Würfel sein mit einer Kantenlänge von zehn Zentimetern – und zehn Zentimeter – Mann wissen Sie – das Volumen – soll ?? das mal zum selben das Volumen so – das Volumen – ist ein Liter zehn Zentimeter hoch drei – das ist das Volumen – schon AV von zehn Zentimeter – ist gleich – zehn Zentimeter – hoch drei – V von der Kantenlänge vielleicht zu – zehn Zentimeter hoch drei – eingeteilt – was passiert jetzt wenn ich die Kantenlänge ein Stückchen – länger mache ich gehe von zehn Zentimeter – auf zehn Komma zwei Zentimeter – ein bisschen länger – sollte ?? zum Drama sein – sind Leerzeichen kaum zu sehen hier zehn Komma zwei Zentimeter – und vierzehn Komma zwei Zentimeter – länger gut das Volumen – von diesem etwas größeren Würfel – Choppervolumen – von zehn Komma zwei Zentimeter ist dann natürlich zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei – das könnte man jetzt ausrechnen – müssen bisschen – eklig – Beistrich ?? sofort aber zu Fuß verlassen bisschen eklig – aber man könnte versuchen es zu schätzen in linearer Näherung zu schätzen versuche zu schätzen – die zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei – das muss doch erst mal sein – siebzehn Zentimeter hoch drei – vermutlich zehn Komma null und das machen das es hier – bis auf die Stelle ?? Komma genaues – zehn Komma null Zentimeter hoch drei – plus ein bisschen – und dieses ein bisschen versuche ich als lineare Näherung hinzu schreiben – das muss doch alles was dazu kommt mehr oder minder proportional – zu der Abweichung sein – Abweichen hier ist null Komma zwei – hier muss was dazu kommen irgend einen – fester Faktor mal null Komma zwei – Zentimeter – das für dich hoffen – so eine Näherungsformel – als die ganz naive Nähe hochwertige – hinten wegzulassen und sagen zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei na das ist im Endeffekt zehn Zentimeter hoch drei an die Teile – warten nicht für die null Komma zwei ?? Übersetzungen bisschen genauer haben wollen – könnte eine lineare Näherung probieren das hier wäre – eine lineare Annäherung – eigentlich ist das gar nicht gleich hier – müsste dann noch zu schreiben – plus – ich hab mit Anführungszeichen wenig – lässt sich – mathematisch korrekte hinschreiben oder suchen gerade mal nicht an – dieses wäre der Gedanke meiner linearen Ehrung der ursprüngliche Wert – des kommt ein linearer Ausdruck denken Sie an lineare Funktionen – Y ist gleich – ähm X – groß B – so geschrieben ähm ?? X groß B – eine gerade ich näherem eine Funktion durch eine gerade – was passiert in meiner Funktion wenn ich null Komma zwei Zentimeter drauf lege – in der Seitenlänge was passiert mit dem Volumen – irgendein Zusammenhang sein – ?? vorstellen hier sind wir bei zehn Komma null Zentimeter – und kriegen zehn Komma null Zentimeter hoch drei raus als Ergebnis was passiert wenn ich zu zehn Komma zwei – Zentimeter gehe hier ein bisschen weiter gehe – ich Näheres mithilfe einer geraden – das heißt lineare Näherung eine Funktion mithilfe einer geraden nähern – so müsste das Aussehen – statt vierzehn Komma null Zentimeter und ich gehe null Komma zwei zur Seite – irgendwas – Steigung Komma null Komma zwei und was hier steht dieses irgendwas – das ist natürlich – Tagentensteigung – Klammer zu eben auch – gesehen – da komplett sich die Tagentensteigung – vor – Will sagen Ableitung – die Ableitung an der Stelle – zehn Komma null – anstelle – achtziger Sommer an der Stelle an der Stelle – zehn Komma null Zentimeter – da kommt ?? kommt die Ableitung wieder vorsieht in den Jahren Ehrung bildlich – mithilfe der Ableitung – was ist der ursprüngliche Wert plus Ableitung mal nicht zur Seite – warum ist das da die Ableitung sich das an – ich gehe um – null Komma zwei zur Seite – Beistrich wissen um wie viel ich auf der geraden nach oben gehe das Gericht mit der Ableitungsableitung – mal null Komma zwei – so schicke ich auf der geraden nach oben – das wäre eine andere Interpretation – und die beste Interpretation – eigentlich von der – Ableitung – hier kommt die Ableitung vor in der linearen Ehrung – könnte es jetzt für diesen Fall einmal überlegen für diese Funktion einmal überlegen okay was müsste denn ?? steht für die Zahl – nebenbei was gelernt über die Ableitung von X hoch drei nach X – also ich meine gerade mal neben Rechnung überlegen zwar welche Zahl dastehen muss ?? – zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei – wie können Sie das trickreich – ausrechnen – dass sie irgendwie was mit zehn Zentimeter hoch drei kriegen ✂ so wir versuchen das in Richtung binomisch ?? umzubauen – zehn Komma null Zentimeter – plus null Komma zwei Zentimeter – hoch drei – Punkt jetzt wurde Zürich aus dieser Faktor steht er dreimal hintereinander – der Faktor der Faktor der Faktor – Antinomie – war offiziell noch nicht dran aber sie können sagen was ist der erste Termin ich kriege wenn ich jetzt anfange ausmultiplizieren ✂ drei hundert zehn Komma null Zentimeter – hoch drei – das soll ich noch mal sagen – er sie steht überall – zehn Komma null Zentimeter plus null Komma zwei Zentimeter – zehn Komma null Zentimeter groß – Komma zwei Zentimeter zehn Komma null Zentimeter plus null Komma zwei Zentimeter – sind in den vordersten mal den vordersten mal in vordersten – kriegen sie zehn Komma null Zentimeter – hoch drei – was in dieser Form paar Tagen – die älteste Mailingsliste mal bedient dass das relativ egal ?? Komma zwei Zentimeter mal null Komma zwei Zentimeter mal null Komma zwei Zentimeter ist ziemlich winzig – der zweite Term – der zweite so manch ähnliche Kriege der ist noch relativ groß und darf ich jetzt was zu erkennen mit der linearen Ehrung – was ist der zweite so man den sie kriegen ✂ ?? der zweitgrößte Term denke ich also wenn ich rechnet zehn – Zentimeter mal zehn Zentimeter – ist recht vier mal zehn hatten war schon aus dem ?? mal null Komma zwei Zentimeter – das sozusagen Platz zwei auf der Größenskala – zehn mal zehn mal null Komma zwei – Kubikzentimeter – zehn Zentimeter – mal zehn Zentimeter was besagen zehn Zentimeter ins Quadrat mal null Komma zwei – ?? – Komma zwei – werden diese Variante gerade den gibt's aber in mehreren Varianten ich kann sagen null Komma zwei mal – zehn mal zehn so glücklich stehen – und ich kann sagen zehn – mal null Komma zwei mal sehen zu kriege ich den auch ?? spricht auf drei Arten – wenn ich ausmultiplizieren – zum Produkt mit drei Faktoren aus modifizieren wird es eben deutlich länger als wenn sie als wir zwei Faktoren aus und beziehen – hiervon kritisch drei – ?? anders sehen aus dem ersten – ersten Klammer nimmt die null Komma zwei mal zehn mal zehn nahm sie ein von der Sorte aus der zweiten Klammer nimm sie null Komma zwei sonst mal zehn mal zehn ?? zweiten von der Sorte aus der dritten Klammer nimmt nur Komma zwei – mal zehn mal zehn ?? sie dritten von der Sorte – sie angelegt sie hoch vier wäre stündliche viermal – plus ich hab mit Anführungszeichen – wenig – ?? ist der Rest – in Anführungszeichen – wenig bin ich da habe ✂ so oder entdecken Sie da steckt mindestens null Komma zwei Zentimeter ins Quadrat trennen sie müssen zwei Faktoren ?? Komma zwei Zentimeter nehmen – oder sogar drei Faktoren das wird doch – eher klein werden offensichtlich – in diesem Sinne das müssen ?? konkretisieren – in diesem Sinn ist das hinten wenig – jetzt können wir ablesen was die Ableitung sein muss welche Zahl muss da jetzt stehen in meiner linearen Näherung – zehn Komma zwei Kilometer hoch drei – ist gleich zehn Zentimeter hoch drei plus irgendwas mal null Komma zwei plus wenig was ist dieses eine klingelte hier – die Tagentensteigung – der Ableitung die groß ist diese Zahl ✂ das sehen sie jetzt – sowas müssen wir diesen roten Kringel – die dreimal zehn noch – einmal zehn Zentimeter ins Quadrat reinschreiben dann ist das dasselbe – zehn Komma zwei Zentimeter – hoch drei – ist zehn Zentimeter hoch drei – plus – oder Klänge oder rotes Quadrat mal null Komma zwei Zentimeter plus wenig – das hier muss die Ableitung gewesen sein – der Wert der Ableitung wenn ich zehn Zentimeter Einsätze – wahrscheinlich haben die meisten von ihnen schon sowas gesehen wenn sie X hoch drei ableiten nach X dann kriegen sie drei X Quadrat raus aha dreimal – X – Quadrat – Komma weiterzugeben ?? das viel eleganter hinkriegen kann aber da steht plötzlich die Ableitung – hier die Zahl wieder reingehört – ist – drei hundert – Quadratzentimeter – zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei ist – zehn Zentimeter hoch drei – plus – drei hundert – Quadratzentimeter – komische Zahlen echt tolle Quadratzentimeter – mal null Komma zwei Zentimeter plus – etwas vernachlässigbar – ist das schreib ich noch mal hin – also bei unserer linearen Ehrung jetzt – die zehn Komma zwei – Zentimeter hoch drei – sind zehn – Komma nur circa zehn Komma null Zentimeter hoch drei – plus – das Rot eine Grenze mal null Komma zwei Zentimeter plus etwas vernachlässigbar – das Rot eine klingelte das sind drei hundert Quadratzentimeter – mal null Komma zwei Zentimeter – plus ich haben Anführungszeichen oben – wenig – das wäre meine lineare Näherung – das heißt – wenn ich zehn Komma zwei Zentimeter in die dritte Potenz nehmen will – kann ich schlicht und ergreifend rechnen dass in tausend – Kubikzentimeter – plus – sechzig – Kubikzentimeter – und ein bisschen vertrauliches hier – gerundet – das ein bisschen ähm wegnehme sich das in tausend und sechzig Kubikzentimeter – sowas kann man nachher aus dem Bauch raus man weiß einfach was die Ableitung ist – X hoch drei ableiten ist einmal X Quadrat – steht da – und dann ganz aus dem Bauch heraus sagen okay dann komm sechzig – Kubikzentimeter – drauf – in dem Volumen gehen mit der Kantenlänge um null Komma zwei Zentimeter weiter – und das Volumen wird um sechzig Kubikzentimeter – größer – Punkt was kann man – aus dem Handgelenk ?? – mir geht es aber um die Idee der linearen Näherung hier das ist in den Jahren Ehrung die Gleichung einer geraden – wenn ich um null Komma zwei zur Seite gehe bekomme ich das wünschen null Komma eins zur Seite gestellt ?? null Komma eins – soweit über sie wissen was es zehn Komma eins – Zentimeter – hoch drei – null Komma eins – sind diese geraden Gleichung ein und kriegen das schon raus tausend dreißig – Kubikzentimeter – in den Jahren Ehrung – das geht natürlich nur wenn sicher kleine Störungen haben werden diese kubische – Potenzfunktion – gucken bisschen – weiter – ausgiebig wenn sie hier bis sonst wohin gehen zu negativen Zahlen gehen und so weiter der Richtlinie ?? zusammen – die Ernährung ist ich nehme die Tangenten gerade – und guck auf der Tangenten gerade nach versuchen nun ein Zeichen so ich hab die Tangenten gerade an der Stelle zehn Zentimeter – und ein Cookie auf der Tangenten gerade nach was werden wird da – nicht auf meine Originalfunktion – das ist die Tangenten – da steht eben die Ableitung ganz prominent drinnen – das ist die professionelle Idee – von Begriff Ableitung – hier – hier kommt die Ableitung vor an dieser Stelle die Steigung der Tangentensteine – versteckt – und damit habe es eigentlich schon die erste Ableitung ausgerechnet – zu ganz hinterrücks – ich hab die Funktionen – X hoch drei – wenn sie wollen Y ist gleich X hoch drei die dritte Potenzpillen – hier steht die Ableitung an der Stelle zehn das wohl allgemein dann dreimal – X Quadratmeter – nicht zehn gestanden hätte sondern zwei vierzig ?? Standard und so weiter – das muss die Ableitung seines ?? gerade – nebenbei gesehen – natürlich brecht man Ableitungen nicht auf diese Weise des Verfahrens nicht machen Ableitungsregeln mit in das Aachener Schema F geht man dann irgendwann in tus – das wäre die professionelle Idee – der Ableitung – vielleicht sollte ich das hier gerade noch mal etwas – anders Leerzeichen Gottes – etwas zu kurz gekommen – und stelle sich vor sie haben diese Kurve Y ist gleich X hoch drei – mehr mit nachgeguckt – bei zehn – Komma null Zentimetern – und wollten wissen was passiert wenn wir – zehn Komma null Zentimeter und wollten wissen was passiert ?? zehn Komma zwei Zentimeter einsetzen – gesagt okay – das ist das – was bei zehn Zentimetern rauskommt nämlich zehn Komma null Zentimeter – hoch drei – und dann gibt sie oben noch was drauf – ihr dieses Stückchen gibt's noch drauf – an was für unseren Ehrung für diese ✂ Stückchen Wasser oben noch drauf kommt – so hier diese gesamte – Höhe – dass er zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei – meine Kurve bildet hoch drei diese gesamte Höhe – des zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei – und LSA schon zerlegt was es zehn Komma zwei Zentimeter hoch drei – also – Essen die zehn Zentimeter – hoch drei und die oben ist der Rest also exakter – Weise wäre dieses – ?? der Farbenstückchen – ?? drei hundert Quadratzentimeter – mal null Komma zwei Zentimeter plus – Wasser noch zukommt – muss sozusagen – aber Einfachheit halber nehme ich – dieses hier also gerundet sind das drei hundert Quadratzentimeter – mal null Komma zwei Zentimeter – D der – Tangenten gerade wirklich mitnehmen ?? sind viel zu flache Tangenten gerade davon habe ich einheitlich auf der Achse wäre – sowas – das sollte die Tangenten gerade sein – ?? zufällig im Bild die Steigung eins sie müsse die Steigung drei hundert Quadratzentimeter – haben was auch das alles als eine Versteigerung – sie gehen von dem Punkt aus das ist die Tangenten gerade an X ist gleich zehn Komma null Zentimeter – Punkt sie gehen von dem Punkt aus und gucken ?? okay Komma jetzt um null Komma zwei – Zentimeter – zur Seite gehen – mir nur Komma zwei Zentimeter Gene nach rechts – was wird mit der Funktion passieren – ich bin faul ich gucke nicht auf der Funktion nach ich gucke auf der Tangenten gerade nach das ist offensichtlich kein allzu großer Fehler – das macht gar die Tangenten gerade aus das es genauso großer Fehlers sind das ist nicht die Tangenten gerade offensichtlich wird das – ein bedeutsamer Fehler nicht denken kann nämlich sehr viele so kann er nur sein kann – ist das Wappen Tangenten gerade dann muss das mal klarmachen ?? ich meine die gerade – diese wirklich tangential – so dran langgeht – ich meine nicht die gerade die durch diesen Punkt geht sondern ich meine wirklich die Tangenten gerade – wenn ich auf der Tangenten gerade ablesen würde dann würde ich genau drei hundert Quadratzentimeter – mal null Komma zwei für diese Strecke rauskriegen ist es aber nicht exakt – deshalb hier nur das Grunde Zeichen zur exakten Kurve ist es nicht das ?? das ist der Wert auf der Tangenten gerade – um mit der exakten Kurve ist es wahrscheinlich etwas daneben – geht aber umso besser – überproportional – besser lediglich eine zehn Zentimetern – und das hier – ist die Steigung der Tangenten gerade also die Ableitungssteigung – der Tangenten gerade – die ich Bilder bei – X dreizehn Zentimeter – das ist nichts anderes als die Ableitung einer Funktion an der Stelle X gleich zehn Zentimeter – Gehirn wirken sie mit Mühe ein äh also gerade wird immer noch gerade geschrieben – ?? – die Einheit das ?? gute Geschichte – die Steigung der Tangenten gerade – verrechnen wir – wie ändert sich das Volumen so zu vier – Zentimeter hoch drei – durch – wie viel Zentimeter gehe ich zur Seite hier in meinem Diagramm – so rechnen Sie die Steigung aus – gehen soundsoviel Zentimeter zur Seite das Volumen ändert sich umso sowie Kubikzentimeter – die Steigung ist das Verhältnis – hier sehen Sie woher die Quadratzentimeter – kommen Kubikzentimeter – durch Zentimeter sind Quadratzentimeter – deshalb hat die Steigung hier die Einheit Quadratzentimeter – was einem auf eine bessere völlig komisch vorkommt – sie können aber auch folgend Check machen es müssen ja Kubikzentimeter – rauskommen – Y konnte Kubikzentimeter – raus – Quadratzentimeter – mal Zentimeter sind wieder Kubikzentimeter – auch das muss funktionieren – Punkt – sie haben alle eben doch deutlich – besser mit deutlich wenig Einheiten recht machen Sie sich das zur Angewohnheit nehmen Sie die Einheiten mit jeder Quadratzentimetern – geht's noch – wenn dann irgendwann die Liter – und die Kubikmeter durcheinander gehen – dann wird's einfach völlig happig nehmen sie die Einheiten immer mit – Office komisch aussieht die Ableitung in – Quadratzentimeter – Punkt was heißt komisch – ?? Denken Sie an die Geschwindigkeitsgeschwindigkeit – eine Ableitung – Kilometer pro Stunde Meter pro Sekunde oder die Beschleunigung ist der Ableitung – was die Einheit der Beschleunigung ✂ oder Einheit der Beschleunigung Meter pro Quadratssekunde – was total komisch aussieht – aber eigentlich einleuchtend ist sich noch mal die Geschwindigkeit – an – wie viel Meter – pro Sekunde – das ist die Geschwindigkeit – Meter pro Sekunde – die Einheit der Geschwindigkeit – das war die Steigung hier soundsoviel Meter auf soundsoviel Sekunden – soundsoviel Meter auch schon so viel Sekunden die Durcheinandertages – die Beschleunigung – der geht um – Änderung der Geschwindigkeit – pro Zeit sieht sie Hammer eine Geschwindigkeitsänderung – und wie verändert sich die Geschwindigkeit in diesem Diagramm und wie verändert sich die Geschwindigkeit – etwas Manier – sofort hinein und befindet sich die Geschwindigkeit – durch – in welcher Zeit – das wir die Beschleunigung dann haben sie Meter durch Quadratssekunde – man gewöhnt sich irgendwann dran am Anfang ist das glaube ich total irritierend – vielleicht ist es leichter sich die Beschleunigung Meter pro Sekunde – pro Sekunde vorzustellen – wie ändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde – als Einheit Meter pro Sekunde – pro Sekunde – sind Meter pro Quadratssekunde – im ?? Quadratzentimeter – unter seiner Quadratssekunden – gehen – ich wundern über die Einheit – von der – Ableitung – ist es die Einheit – von Y durch die Einheit von X – kommen eben komische Sachen raus – diese – Erkenntnisse noch mal hinschreiben – wollen was ist eigentlich die lineare Näherung – zweiten Semester begegnen die uns noch mal bei den Täler rein – Geller Polynom – möchte ausrechnen – meine Funktion – ein einer etwas gestörten Stelle immer nur zehn Komma null Zentimeter und null Komma zwei Zentimeter drauf meine Funktion – an einer etwas gestörten Stelle – das Randthema gerade in was gehört jetzt hier auf die rechte Seite wenn sie das abstrakt fassen was wir gerade gemacht haben Ableitung – mit X mit H was schreiben Sie hier auf die rechte Seite ✂ so mein Modell war – die Funktion ist die dritte Potenz – verteilt das noch mal hin was war mein Modell – sehen Komma zwei Zentimeter – hoch drei – das Weinmann Modell – die Funktion ist die Funktion die dritte Potenz bildet – X ist zehn Komma null Zentimeter Haar – ist ?? Komma zwei Zentimeter verbuchte das aus zehn Komma null Zentimeter plus null Komma zwei Zentimeter – das warme Modell – das will ich es allgemein – was wir ihn gemacht haben das offensichtlich allgemein – gemacht werden können – was kriegen wir wie kriegen die zehn Komma null Zentimeter – hoch drei – plus dann kriegen wir die Ableitung war das die drei hundert Quadratzentimeter – mal die null Komma zwei plus geschaffener Marieneinführungszeichen – wenig in das offizielle Symbol dafür – das was wir ähm hatten – die Funktion an einer gestörten Stelle was ist das das ist die Funktion an der Originalstelle – steht die Funktion ist die Funktion die dritte Potenz bildete unten – an der Originalstelle – schick – oder müsse schon das jeweilige Ableitung – zwar die Ableitung an der Stelle X gleich zehn Zentimeter – die Tangentensteigung – an der Stelle zehn Zentimeter also steht hier elf Strich von X – Tagentensteigung – an dieser Stelle X – zehn Zentimeter – mal null Komma zwei Sonderhaar – das ist die Formel für lineare Näherung der Geräte normalerweise nicht das Gleichheitszeichen – ?? plus – Wasser noch übrig bleibt – Cousin einmal an was übrig bleibt schreibt man als klein O von Haarset – es gibt ein offizielles Symbol dafür ?? viel zu sehr drauf rumreiten – Maker noch offizielle ?? mit dem Rest rechnen – lernen – Beistrich das war gerade dieses wenig – das ?? mich folgende Eigenschaft – dieses klein O von Hard folgende Eigenschaft – wenn sie das durch Haarteilen – dann geht das gegen null wenn H gegen null geht – ?? hoffentlich ist das nicht ganz übertrieben mal sehen wenn H gegen null geht – heute nichts begrenzt werden ausführlichen Schreiben – das wäre die Definition – hier von diesem Rest – können Sie eigentlich ?? es mal – in die Schublade stecken ignorieren wir hinten wird ein Rest addiert der sehr klein wird man keines mathematisch korrekt machen was heißt dass dieser Rest klein wird – mit selbst wenn sie den durch Haarteilen – Komma zwei selbst wenn sie den Richard teilen wir das ganze immer noch klein – wenn Haar klein wird wenn H gegen null geht soll ich sagen das ist die Bedeutung von dem Hof von Ha hat es immer ganz schnell wieder weg – denn nicht zu viel darüber nach mir geht es um die Konzepte – später Komma ?? Komma genauer macht – damit ?? die Formel für die lineare Näherung – Komma kann – du das auch in der Mathematik umgekehrt vorgehen und sagen – die Ableitung – das ist die Zahl wieder stehen muss – oder ein schlimmeres Objekt was dastehen musste man in mehreren Dimensionen geht mit ungestümer Sachen – was dastehen muss das nicht die Ableitung – das ist – der übliche mathematische Begriff dann der Ableitung – Komma dass alle mal gerade kennzeichnend – so aber von mir aus die Funktion – X Webseite total schlüssig gerade mal wieder – ich möchte wissen was macht die Funktionen – nicht eine Stelle X bin sondern wenn ich an der Stelle X plus haben – zu Namen F etwas dichter dran schreibt so für die Funktion – was ist das Ergebnis welche Höhe habe ich hier – von X ist ja diese Höhe – ist diese Höhe von X plus heißt die Höhe – spucken sie nach OP die großes N ?? von X plus Haar – hier unten haben sie eher von X – und hier oben – haben sie ungefähr – elf Strich von X mal H – mitten im Lauf der Tangenten gerade gucken – dann haben Sie da exakt das Repertoire sogar auf der Tangenten gerade – haben sie der exakt – zwölf ?? Komma sein Beistrich mal Haar – auf der Tangenten gerade gehen sie um Haar zur Seite hier ist Haar – dann gehen sie außerdem wird gerade Steigung mal Haar nach oben – und sagen dann okay wenn ich auf der Tangenten gerade nachgucken würde nicht auf der richtigen Funktion sonderte Tangenten gerade inhaltlich eher von X plus Beistrich von X man H – was ist die lineare Näherung also eine soll ich sagen was die lineare Näherung dieses hier ist die lineare Ernährung – und – möchte sie mit dem Plus O von H hinschreiben – ist es exakt – und gleichmäßig gelogen habe ich was natürlich nicht was dieses klein U von H ist – weiteres – Kleinhirn – das ist die tiefe Idee dann hinter der Ableitung – und das verwenden wir jetzt um uns Gedanken zu machen – wie man den – Ableitungen – auf die Schnelle bilden kann ohne – sich da lange – mit irgendwelchen Hilfsrechnungen ?? mir von Wasser – solchen Rechnungen hier auseinanderzusetzen – macht kein Mensch das nochmals auf die Schnelle – in dem man diesen Trick hier bis in den Regeln liest