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22D.2 Beispiel für lokale Minima, Maxima einer Funktion zweier Veränderlicher


CC-BY-NC-SA 3.0

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eineFusion zweier veränderlicherF von X Y und die soll seinX Quadrat Y hoch dreiplus drei X QuadratY quadrataddiertplus viereine Funktion zweier veränderteFrage istdiese Funktionlokale minimallokale maximaldas könnt ihr mithilfe von Patienten und so weiterbeantwortenirgendwo Hügeloder Poolzu sagen ?? drei D Platten würdenMaximum einzelne maximalMehrzahlich wollte Y Quadrat Anschuldigungwir brauchen also erst bei den Gradientenzellenpartielle Ableitung nach links deszwei X YQuadratplus sechsXschlichtwegdie partielle AbleitungnachYist X Ferrara zwei Y zwei X oder YPluszeichen Ybeides muss Null sein Satz kann ich kein lokales Maximumsminimumhaben es mussauf einem Hügelmuss der Gradient null sein in Italienmuss der Gradient null sein also notwendigist folgendesdas beide null Cents zwei X Y Quadrat plus sechs X gleich null und zwei X oder Y plus zwei Y gleich null?? angemerkt alles Komma Faktorisierungder steht nämlichX mal zwei Y Quadratsechs gleich Nullund unten steht Y malzwei X voller plus zweigleichnull und weil wir da im reellen sind hier werden die Klammern niemals nullX Quadrat ist niemals negativdie Klammer oben wird nicht zur Quadrat Siemens Negativklammerunbedingt nur genau die Klamotten nicht nur das heißt die einzige Chance ist X gleich nullund Y gleich null nur dakann überhaupt ein lokales Maximumsminutenliegen nur am Ursprung kann als liegenvielleicht auch nichtaber allenfalls dort mal nur da der Gradient Nullvektor istes Komma die Hesse Matrix an um zu gucken wie sich die Funktion der Weg undim dreidimensionalen?? die zweite Ableitung berechnet jetzt rechnen wir die alle möglichen zweiten Ableitungen ausgebrochendie zweite Ableitung partiell nach Xdie erstenachkriegsnormalerals ableiten es gibt zwei Y Quadratplus sechswir brauchen die zweiteAbleitungYpartielldann haben wir hier zwei X Quadrat plus dreizweiplus zweigibt zwei Arten gemischt abzuleiteneinmal nachY und danach Xerklärt sollte selber auskommen bei dieser Funktion ?? hierzu die ausdieser Ynoch meiner X ableiten die nach Y noch mal nach X ableitenden haben sie hierhierX YhintenschlichtwegYall das interessiert mich hoch an der Stelle null nullich möchte wissen wie sich die Funktionan der Stelle null null von der langen ?? Ebene wegkrümmtdazu will ich das ja haben und das istsechs und zweiund nullalso weiß ichdenke bitte für eine Familie mit der Hesse Matrixjetzt Beistrich was die Hesse Matrix an der Stelle null null istan der Stelle null null?? die ist nämlichfolgendesdie zweiter Partner X sechsdie zweiterY wird zweiund die gemischten Ableitungen werden neu das ist die Hesse Matrix?? nullmichinteressierte sich die Funktion weg und ich weiß auf jeden Fall die Tangentialebeneist horizontalmich interessiert ob sich die Funktionhübschnach obenweg krümmtdann sind alle Eigenwerte von der Hesse Matrix positiv alle beiden Eigenwerte von Hesse Matrix diesem Fall positivoderkrümmt sich die Funktionhübsch nach unten weg ?? lokales Maximum dann sind alle Eigenwerte von der Hesse Matrixnegativin beiden Fällen muss die Determinante positiv sein von der Hesse Matrixplus mal plusminus mal minus die Determinante ist das Produkt der Eigenwerteüber diese Matrix komplett zerfälltmir dieser positive Eigenwert nahm den Bus diverse zwar negative Eigenwerte haben damit auch wieder positivüber diesen Sattel hättedie Einrichtunggeht runter in die andere Richtung geht raufso einen ihrdann hätten sie einen positiven einen negativen Eigenwert und die Determinante wäre negativaber hier??dadie DDR dispositiv etwa zwei minus null Komma nullDeterminante von diesem Dingist größer als nulldas heißtich habe definitiv kein Sattelbeide Eigenwerte sind positivoder beide Eigenwerte sind negatives ist ein lokales Maximumoder es ist ein lokales Minimumdas Schreiben lieber so sowas klarich weiß jetztlokales Maximumoder lokales Minimum es kann nichtsanderespassiere nichts fieses passierenund kann ich noch entscheiden was denn davonkönnen Sie das sehen was davon sind bei dieser Matrix wirklich banalals sie können sich in die obere Zahl angucken das wäre dann das Rezept guckt sich die Zahl oben links an ein zwei mal zwei Determinante muss positiv sein Punkt die Zahl oben links an die Zeiten sind sie sehr positiv okay dann aber lokalesMinimumbei der Eigenwerte müssen positiv sein ??die Funktion nach oben weg wärmer lokales Minimum vor sich mit der Logikoben die Funktion deckt beide Eigenwerte positivmuss ein lokales Minimum sein in dieses kleine?? Punkt sie sehen etliche die Eigenwert sechs und zwei sind die Eigenwerte das hätte man viel einfacher haben können wenn sie mit eins null modifizierenkriegen siesechs null rausall das sechs fache von eins nullsechs an Eigenwert zwei seiner eigenen bei der Eigenwert Positives geht in alle Richtungen rauf wir haben ein lokales Minimum