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06A.1 Lineares Gleichungssystem, Gaußsches Eliminationsverfahren, Cramer-Regel, inverse Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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an – einem Gleichungssystem – mal die – drei großen Arten – durchexerzieren – immer gleichen Systeme lösen kann und zwar dieses Gleichungssystem – drei X plus zwei Y ist gleich A – und vier X – plus Y ist gleich B – A und B – irgendwelche festen Zahlen das mit Absicht es mal – als Variablen dastehen – suchte X und Y in Abhängigkeit von A und B – gleichen System mit zwei gleich – zwei Unbekannten an den Jahres reichen Systeme stetig X Quadrat und Zinssätze – X mal X – und X mal Y – ähm – die drei – Lösungsverfahren – muss mal angucken wollen das erste ich mal frei nach Schnauze – dieses bisher gemacht haben – man löst irgendwo nach aufgesetzt – irgendwie – raffiniert ein – zweitens – ?? das Gaußsche – Eliminationsverfahren – Verbindungmark – aus – und drittens – Kramer – kann ich ?? machen mit Kramer zwei Gleichungen zweiten Band bekannte Gang mit Kramer machen wenn es bei gleichem zwei bekannte wären – etliche Probleme Kramer müsse Zug ausgehen – ?? Gauß ist für zwei Gleichungen zwei Unbekannte müssen über kandidiert aber so Komma dass man mal sehen auf die Schnelle ?? kann ich sehen ob das wahr bis hinhaut mit dem krausen Verfahren – mal sehen ?? fange von vorne an die lösen sie das dieses bisher gelöst haben einer Schnauze und – wie würde die Professionellart – Aussehen einer mit grausen aber mit Kramer ✂ erst einen gravierenden Fehler beseitigen – Anführungszeichen zu – vorne sie natürlich anders aus – schon zu viel auf Englisch – haben – frei nach Schnauze – das schreit danach das ich die zweite Gleichung nach Y auflöse – das wird mir doch geradezu auf dem Silbertablett – serviert – nicht – viermal – so – lernen – ich nehme die zweite Gleichung dann heißt das ja nichts anderes als das Y – ist gleich – B minus vier X – und wenn ich das jetzt oben Einsätze – in – das Sternchen – seinesgleichen – Bienen fixiert – und Sternchen – setzt sich in die Gleichung eins ein – dann finde ich drei X plus zwei mal – Y – also B minus vier X – ist – A – nun – das es insgesamt – drei X – plus zwei mal – minus vier X drei X minus acht X – also minus fünf X steter links plus zwei B – macht – insgesamt – minus fünf X ist gleich – A minus zwei B – und ich bin bei X ist gleich – alles durch fünf Teilen das Vorzeichen umkehren also zwei B minus A durch – fünf ✂ ?? scheint Konsens zu sein und Y Kredit einfach in dem ich Tageseinsätze – also was muss Y sein das Volk aus der gleichen Sternchen hier zur muss also sein B minus vier Mal das – vierter – Volvo Schrägstrich Y ist gleich – Y soll sein – wie minus – vier mal X – also vier mal zwei ?? groß A durch – fünf – wie – viel Base werden das – ein B – minus – acht – immer zwei fünftel ein B minus acht fünftel B – ein B minus acht fünftel acht fünf sind ein drei fünftel statt minus drei fünftel – minus drei fünftel – B – und FLA haben wir minus vier – mal minus ?? plus vier fünftel – plus vier fünftel ✂ A – Gauß kommen alle etwas – ins nicht alle ?? einiges überlegen also der Trick bei der Auswahl ?? sie benutzen die oberste Gleichung kommen alle gleich und darunter – die erste – unbekannte loszuwerden – und wenn sie noch mehr Gleichungen haben und nutzen Sie die zweite Gleichung – um die zweite unbekannte in allen Gleichungen da loswerden soweit das man zum Schluss – eine Matrix hat die eine obere Dreiecksmatrix – ist unterhalb der Diagonalen dürfen und wollen stets diese dadurch banal das einzige was sie mit Gauß machen ist die Felix Beck zu benutzen die erste Gleichung – um in der zweiten durch passende Addition die vier X weg zu kriegen und dann lösen sie von unten nach oben ✂ auf – das mal – also man darf beim Gauß nicht vergessen das man wirklich die komplette Gleichung mal soundso viel nehmen muss – ähm – also wie gesagt ich habe dieses Gleichungssystem – zu mit mit großen – Matrizen schreiben ?? also mit großen Matrizen schreiben Matrix mal Vektor – gibt – Ergebnisvektor – hier auf der Seite – und das Ziel ist die Gleichungen so zu umzuformen – das hier ganz viele Nullen entstehen unterhalb der Diagonalen – hätte ich gerne lauter Nullen – am ?? – bei dieser – bei dem gleichen System hier ist das banal – das hier bin ich zu Null machen die vier X willig zu Null machen indem ich die erste Gleichung passend drauf addiere – aus drei X sollen vier X werden – das heißt in in die erste Gleichung mal vier drittele werden aus den drei X – vier X und ich möchte es abziehen – das soll dabei rauskommen erste Gleichung mal minus vier Drittel auf die letzte addieren – und das heißt natürlich nicht nur die drei X mal minus für Dritte sondern auch die zwei Y mal minus verdrücken und das arme minus zwei Drittel die erste gleichen Berg stehen drei X plus zwei Y ist gleich A – so – diese vier X – mit den muss ich mir nicht auseinandersetzen – die Feinde automatisch weg vier X – minus – vier Drittel mal Dreiecks fällt weg da mein X mehr – Y steht da unten noch – und zwei Y oben jetzt nicht vergessen zwei Y mal minus für Dritte sind minus acht – Drittel Y die auch natürlich immer noch minus acht – Drittel – Y – unsteten – B und von der oberen Gleichung – die ich ja mal so viel da drauf addiere von der oberen gleichen kriege ich minus vier Drittel A minus vier – ab – das Komma zusammenfassen – hier unten steht jetzt also – minus fünf Drittel Y – damit ist der erste Schritt von den ganzen Eliminationsverfahren – erledigt – ich habe eine obere Dreiecksmatrix – sie durch ein total billige – besteht nämlich drinnen drei zwei – null minus fünf Drittel – so bin ich es hier diese obere Dreiecksmatrix – jetzt fang ich an von unten aufzulösen – das ist der zweite Schritt – ?? mit der untersten Gleichung anders ist die einfachste und löse von unten nach oben auf ?? sind das Y sein muss Y muss also sein – minus drei fünftel mal das was auf der – rechten Seite steht Y – also habe ich gelernt – ich hab es mal folge ferner – wir wissen das es Äquivalentcodes – das jetzige diskutieren muss Y ist also – minus drei fünftel mal das auf der – rechten Seite – minus ?? fünfte Mal weder kann man nicht dran retten – aber Minus mal Minus – gibt Plus für das A drei gegen drei kürzlich vier fünftel – Arbeit übrig bleiben plus vier fünftel – A Planschbecken – minus drei fünftel B plus vier fünftel A – wunderbar – bis dahin alles noch in Ordnung Punkt – ich habe die untere Gleichung gelöst – und jetzt streng nach Rezept – von Herrn Gauß gehe ich zu den ersten gleichen darüber – Arm und löse die nach der nächsten Variablen auf – ich habe also – einen – million drei X plus zwei mal den hier – minus drei – fünftel B plus vier – fünftel – A ist gleich A – gemacht – nehme Y aus der untersten Gleichung und setzt es in die da drüber ein was die erste Gleichung ist – zweimal – so – das Komma noch – auflösen – konnte nur noch X vor als unbekannte der Rest – ist bekannt – das hier heißt nichts anderes als – drei X ist gleich – A – minus zwei mal drei – fünftel – B plus – vier – fünftel – A Monster ausdrucken – hoffe das wird jetzt recht übersichtlich – und emsig durch drei teilen – beide Seiten also hier A Drittel – minus Verstand dar – minus drei fünftel B – so als die zweimal irgendwas auf die andere Seite rüber bringen und das ganze durch drei teilen und – jetzt die Trümmer zusammen kehren wie viel A haben wir – ein drittel A habe ich – das hat nichts mit Ar zu tun und dann kommt hier noch – minus zwei drittel mal vier fünftel A ein drittel A und minus zwei drittel – mal vier – fünftel – sehr lustig – ähm – Komma denn da sind acht fünfzehntel – ein Drittel minus acht fünfzehntel – bring ich auf Hauptnenner fünfzehn – und dann habe ich hier – fünf – fünfzehntel – für ein Drittel – minus acht – ist minus drei fünfzehntel – Wasser kürzen können – minus – ein – fünftel – vorher – X X X – minus ein fünftel A sich glauben ja minus ein fünftel A – minus ein fünftel A – und analog für B – sollte man das doch nicht ganz so kurz rechnen – zu spät analog für Beta kommt kein Leder kommt klein B wir haben minus zwei drittel mal minus – drei fünftel – Punkt und nicht mich – zu bringen sondern modifizieren minus zwei drittel mal minus drei fünftel die drei kürzlich gegen die drei minus gegen minus siebzig Weges beim zwei fünftel – plus zwei fünftel B – hatten wir eben – zwei fünftel werde stets auch – glücklich wenn das richtige rauskommt also das war Hauses Eliminationsverfahren – in – winzigster Form mit zwei gleichen zwei Unbekannten – das rustikale Verfahren ist dass sie das auch mit – Gleichungssystem – machen können bei der ?? bei der ?? die Zahl der gleich ?? nicht gleich der Zahl der Unbekannten – ist – mit über bestimmten oder unter bestimmten Gleichungssystem – an – die nehmen einfach immer die oberen Gleichungen die sie haben und versuchen unter der Diagonalen – null zu kriegen – und wenn die Null nicht bis ganz nach hinten gehen – ?? ehrenamtliche unten paar Variablen zu viel die frei einstellen kann – und umgekehrt wenn ich hier – mehr Gleichungen habe zu wenig unbekannte dann gehen die nur bis ganz nach hinten und ich sie zum Schluss ob ich Widerspruch habe nur gleich eins – oder plus weiß nur gleich nur – wenn ich soweit bin mit dieser Ober Dreiecksmatrix von unten an und löse dann von unten nach oben wieder auf das ist der zweite Schritt groß – zu verfallen – und – gerade durchgeführt haben ist es natürlich ziemlich blödsinnig – mit das ?? Schema F durchführe – hier das Gauß Eliminationsverfahren – habe ich viel zu viel Rechenarbeit – wie sollte ich wenn ich überhaupt mache zu ✂ Fuß wie solche das Karsch Eliminationsverfahren – anwenden – als fauler Mensch werde ich die untere Gleichung benutzen – um das zwei Y in der oberen loszuwerden die untere mal zwei von der oberen abziehen ist ja viel einfacher – das heißt was ich eigentlich mache ist folgendes – ich nehme mir – dieses Gleichungssystem – das Gleichungssystem – ist da so steht – und bastle – um – und sage eigentlich ist das dasselbe wie Y – plus vier X – ist gleich – B und unten steht zwei Y – Los – drei X ist gleich A – vertauschen die beiden Gleichungen – die oberste nach unten die Untersee nach oben und ich vertauschte meine beiden Variablen – einfach nur in der Reihenfolge der Summe – und jetzt mache ich das Gauß Eliminationsverfahren – nach Schema F und sage okay was mache ich mit Y – Punkt damit John das zwei Y weg geht also die erste Zeile mal die erste Gleichung mal minus zwei – auf die zweite drauf – ist viel einfacher – also – bevor mein Schema F dann geht vielleicht erst mal gucken ob man die Gleichung in eine andere Reihenfolge bringen kann oder die Unbekannten – in eine andere Reihenfolge bringen kann – das macht man so Komma dass voll automatisiert am Computer machten sie tausend gleichen tausend Unbekannte haben – dann ist es sinnvoll – hier – die Variable mit dem größten Faktor nach vorne zu kriegen dann hat man die größte numerische Stabilität selbst im Einzelrechner machen lässt – dieses noch geschickt die die Gleichungen und die Variablen um zu sortieren wenn es zu Fuß machen – trafen sie sich selbst wenn sie nicht erst die Gleichungen und die Variablen und sortieren die unbekannten Partien ✂ zu Gauß – vielleicht erst mal das Rezept und dann erzähle ich wo's herkommt weil ich sehe Komma dass einige Leute versuchen – die Herleitung zu benutzen das dauert dann viel zu lang deshalb einmal hat – er es mit der kurze Weg zuerst das Rezept – mit Kramer – Kramer kann ich anwenden weil es zwei Gleichungen und zwei unbekannte sind – genauso viele Gleichungen wie unbekannte – und weil hier die Koeffizienten – Determinante – nicht null ist drei mal eins minus vier mal Beistrich nur deshalb kann ich kam anwenden ?? sowie vorsichtiger sein als bei dem Gauß – der ?? – ist sehr viel flexibler – der Kammer ist – sehr engstirnig der will nur so viele Gleichungen wie unbekannte – und auch nur dann wenn – die Koeffizienten Determinante nicht null ist – an – also was wäre – das Rezept – Begründung folgt später das Rezept ist X ist gleich – die Teil zwei Determinanten – durcheinander – unten steht – leicht zu merken – die Koeffizienten Determinante denn wenn die null ist geht's ja nicht ganz durch null teilen – und stetig offiziellen Determinante drei zwei vier eins – und oben steht – die Determinante die sie kriegen wenn sie da die erste Spalte für das X die erste Spalte durch das Ergebnis AB ersetzen AB – zwei eins das wird für X sein und fünfzehn kriegen sie analog – und steht wieder die – Koeffizienten Determinante – drei zwei vier eins – oben ersetzen Sie die zweite – Spalte – durch das Ergebnis AB – vorne bleibt drei vier stehen – Zepter aus – Punkt jetzt muss man dumm ausrechnen – Determinante – zwei mal zwei Determinante Hauptdiagonale – Produkt minus neben Diagonalprodukt – einmal eins minus B mal zwei – A minus zwei B steht da oben – und steht drei Mal eins minus – vier mal zwei – drei minus – acht sind minus fünf – hier steht dasselbe auch minus fünf – oben steht dreimal – B minus vier mal A Hauptdiagonale – Nebendiagonalen – einmal B minus vier mal einmal Misfirma – A – das macht zusammen – nun minus – A – fünftel – plus minus minus plus zwei fünftel B – gerade für X – X X X X X – minus A fünftel – plus zwei fünftel B – gehabt – und hier steht – ?? ?? mit Aachen – minus – durch minus siebzig Weg vier fünftel A vier fünftel H – minus – drei fünftel B – drei – fünftel – fünftel – ansehen minus – vier fünftel – minus drei fünftel – eben – Y – vier fünftel minus drei fünftel zwischen – zustimmen – so das er das Rezept ✂ wird sicherlich noch mal warum – kommt das eigentlich her – Punkt der Gedanke ist folgender ich schreibe – mal diese – Determinante hin AB zwei eins – A – B zwei eins – wenn – X Y – meine – meine Gleichungen hier löst dann heißt das – das X mal der Weg zur drei vier plus Y mal Direktor zwei eins ist der Vektor AB – X mal erweckte drei vier plus wip Sommergewitter – zwei eins ist AB – das benutz ich jetzt – diese Determinante ist also AB – ist X mal der Vektor – drei vier – plus Y – mal der Vektor – zwei eins – und hinten steht weiterhin – zwei eins das hier soll jetzt alles in der ersten Spalte stehen in der Determinante – als zusammengetragenen – AB ist genau das das sagt meine Gleichung ?? ich suche X und Y – so das hier AB rauskommt das es nur Manning aus gleichen System benutzt – diese Determinante ✂ kann ich aber vereinfachen – wie – richtig die zweite Spalte mal minus Y auf die erste – die Determinante ändert sich ja nicht wenn ich ein Vielfaches einer Spalte auf eine andere Spalte unbemerkt eine andere Spalte addiere ich nehme – das Y fache – oder minus Y Fachleute sagen ?? das minus siebzehn fache der zweiten Spalte auf die erste und sehe – das jetzt nicht raus – muss das gleiche sein als wenn ich hier habe X mal drei vier – und hinten bleibt die zwei eins stehen – damit ist das Y aus dem Spiel ✂ und wie kann ich das jetzt noch vereinfachen – genommen sind Faktor in einer Spalte haben könnten raus ziehen aus der Determinante das ist also X mal die Determinante drei vier – zwei eins – vorgemerkt – wenn sie denselben Faktor in mehreren – Spalten haben müssen sich mehrmals raus ziehen dass wir jetzt X Quadrat mal so zu sein Faktor in einer einzigen Spalte den darf ich dann der Vorziehen – und das ist genau die grammatische Regel X ist gleich – diese Determinante – hatte das Ergebnis in der ersten Spalte steht – durch – die Koeffizienten Determinante – das klappt sobald die Koeffizienten Determinante nicht nur deswegen hier null steht ein kleines Problem und kriegt es nicht aufgelöst – kann ?? überlegen was heißt das eigentlich wenn hier auch null steht heißt das X ist beliebig wenn ihr nicht null steht und da steht null heißt das es gibt kein solches X selbst das könnte man auf Tröster – aber am einfachsten auflösen kann ich das wenn hier keine null steht ?? für Sendetermine nicht null ist anteilig dadurch und finde X ist gleich – sieben gesehen haben analog für besonders die Begründung – das macht natürlich kein Mensch zu Fuß nach – und ist ein System aufzulösen – man weiß zum Schluss wies geht eine quadratische Gleichung sie können die PQ Formel auswendig – genauso kann man das dann irgendwas – irgendwann Auswendigadvisor – ohne tatsächlich dieser – mit dem ?? hinzuschreiben sollte man dieses einfach ab was man jetzt miteinander – verwüsten muss – was ist das Kammerverfahren ✂ Kramerwege – ersten Ergebnissen hier Komma eine Sache noch sehr elegant machen nämlich dass – die inverse Matrix zu berechnen was ist die inverse Matrix – war – Matrix – von meiner Koeffizientenmatrix – die war drei zwei vier eins drei zwei – vier eins – und zwar – drei zwei – vier eins schreibe ich ihn mal X Y ist gleich AHB das war mein – Original Gleichungssystem – und ich weiß jetzt – das gilt genau dann – ?? – ich kann ja auflösen – wenn X Y – gleich – was ist schreiben Sie mal aufgelöst – X Y hin – und was heißt das eigentlich für die inverse Matrix dieser Matrix – lassen sich ?? und mir eintragen wie kann ich nach X Y auflösen ✂ und dann inverse Matrix bestimmt – sie sehen jetzt wozu das gut war das ich da zwei Variablen AB hingesetzt habe keine festen Zahl dreizehn zweiundvierzig sondern Variablen – werden – jetzt kann ich nämlich sehen wie diese inverse Matrix zustande gekommen ist hier kann ich AB hinschreiben – guck ich mir einfach anders oder ausgerechnet haben – X ist gleich – minus ein fünftel A plus zwei fünftel B – minus ein fünftel A plus zwei fünftel B – X ist gleich minus ein fünftel A plus zwei fünftel B – die das so in die Matrix reinschreiben – minus entwirft man A plus zwei fünftel B – gibt X analog macht das für Y – vier fünftel minus drei fünftel – Bobs vier fünftel – minus drei fünftel – das heißt diese Matrix rechnet genau andersrum mein Originalmatrix – verwandelt X Y in AB – und diese Matrix verwandelt AB – in X Y das ist die inverse Matrix – fixiert – ist – Punkt über die Original drei zwei vier eins – drei zwei vier eins hoch minus eins so schreibt man das dann ja – die Matrix die Wirkwiederkehr – wird einer Zahl – eher – nicht vergessen das heißt mich einfach überall die Kehrwerte zu bilden ?? fiese Geschichte – sie bei der nächsten Aufgabe noch mal – inwiefern das ?? Nummer fieser ist – eine Matrix die wirkt wie der Kehrwert – das ist die inverse Matrix und die habe eben die ganze Zeit ausgerechnet – an wenn ich hier mit – konkreten Zahlen gerechnet hätte wenn sie hier – X ist gleich bla Sonderdruck in in konkreten Zahlen gehabt hätten sie sich ablesen können wie die inverse Matrix funktioniert – Komma Z ablesen ✂ genauso – wenn sie Probe rechnen wollen – Komma setze ich mal Probe – ähm minus ein fünftel – vier fünftel – zwei fünftel – plus drei fünftel – diese Matrix – mal die Originalmatrix – drei zwei vier eins – brauch – Leerzeichen ich minus ein fünftel mal drei – sind minus drei fünftel plus – zwei fünfmal vier minus drei fünftel plus acht fünftel – sind fünf fünftel sind eins – solche unten – nehme ich die zweite Zeile mal die erste Spalte sicher immer Zeile Linksspalte – rechts – erste – Spalte – zweite Zeile zweite Zeile erste Spalte vier fünftel mal drei sind zwölf fünftel – minus – drei mal vier fünftel minus zwei fünftel sind null sich das gehört ?? – erste Zeile zweite Spalte – erste Zeile – zweite Spalte – minus ein fünftel mal zwei – plus zwei fünftel mal eins siebzig weggehört – zweite Zeile zweite Spalte – vier fünfte Mai zwei sind – acht fünftel – minus drei fünftel mal eins – minus drei fünftel acht minus drei – fünftel – fünf fünftel – eins – in der Tat so Martin – am – mittels einer solchen Wartezeit haben – Finger durch dasselbe raus das gehört sich so für die inverse Matrix – fusioniert – also tatsächlich das ist die inverse Matrix das wäre jetzt ein sehr aufwendiger Weg die inverse Matrix zu berechnen – gleich kommt ein – deutlich kürzere Arbeit dreimal drei