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14.3.2 Taylor-Reihe, Potenzreihen, Teleskopsumme, Teil 2


CC-BY-NC-SA 3.0

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das heißt diese Täler rein für – EE und Sinus und Kosinus – für die Ex Mensafunktion – und Sinus und Kosinus – die Teller rein – und richtig gutartig – die kennen wir auch schon – passiert nichts Schlimmes – könnte man jetzt hoffen dass es immer funktionierte sich das wie jede Funktion machen kann – jede Funktion in so etwas entwickeln kann – zwischen hast an einer Stelle X null – in eine Reihe entwickeln eine Potenzreihe entwickeln kann eine – unendlich lange Summe freie – Gesamtsumme von Potenzen tritt eine Potenzreihe – bedeuten dass das funktioniert – leider nicht – es geht nicht immer – und nicht immer ganz – nun – das – wichtigste Beispiel ist folgendes – die Funktion – F von X ist gleich eins durch eins minus X – das ist eine immer noch sehr billig an die Potenzreihe kommt – und gleichzeitig sieht das was schief geht – im Bay sehen Sie diese Funktion ist er sowieso ziemlich übel X das eins ist – die dereinst durch null – dass es keine – personelle Funktion anders als bei Sinus und großes Z – sah Funktion ?? machen solche Sorgen nicht ?? diese Funktion – ärgert unser Schoner Schrägstrich eins – in Sicherheit ist gleich eins Einsätze steht der einst durch null – sieben großes R ?? einsetzen was ich will bei Leerzeichen zu – hungern was – und an was mit den Ableitungen – passiert – an – X gleich null entwickeln – gucke mir den Funktionswert und die Ableitungen dieser Funktion an der Stelle ist gleich null an – und baue damit die – Kellereien – an – meine Funktion selbst – normal hingeschrieben – es – ?? – ich schreib mal so eins minus X hoch minus eins sind es glaube ich einfacher – die erste Ableitung – die minus eins kommt nach vorne äußere Ableitung die minus eins kommt nach vorne – um eins verbringen – minus zwei – des ?? die innere Ableitung – mal minus eins – als minus X in der Ableitung bilden mit meinen Seins – noch mal eine Potenzfusion – ableiten in Rente noch eine Funktion mit Kettenregel – äußere Ableitung – irgendwas hoch minus eins mit minus – minus eins mal irgendwas hoch minus zwei gesehene Ableitung des irgendwas noch ableiten – ins Einzelfall – die sozial zusammenfassen – eins minus eins es ist also eins minus X hoch minus zwei – das passt doch ganz nett – an was die zweite Ableitung werden wir – hier kommt jetzt die minus zwei nach vorne – eins minus X hoch – minus – drei – soundsoviel – hoch minus zwei ableiten – minus zwei nach vorne – wieder minus drei äußere Ableitung mal in der Ableitung – bei den – ?? innerlich also zweimal – eins minus X – hoch – minus drei – jetzt kann man das Muster erkennen – nächsten kommt die – drei noch zusätzlich nach vorne – also minus drei mal zwei – mal eins minus X hoch zweiter minus vier – in Ableitung meines eins – versteht dann also – dreimal zwei – mal eins minus X – vier – im allgemeinen – wird also da stehen die Ente Ableitung – meiner Funktion – dieser Funktion hier einzig eins minus X wird sein – Sinn das ist wohl offensichtlich – in Fakultäten – kommt jedes Mal der Exponent der Mainz größeren Ordens wieder nach vorne vorne steht ein Fakultätsassistent – Fakultät – eins minus X hoch – minus ähm – minus eins eins weiter aus der drei wirtepresseminus – ?? aus der drei minus vier – minus drei minus eins macht er die minus vier das wäre die allgemeine Formel für diese Funktion – damit kann ich die Funktionswerte – hinschreiben – Punkt wenn jetzt noch ein – bisschen – Ecke manövriert – ?? Art – nicht ausfüllen ?? – ich mache noch nicht bald mit den Funktionswerten – an X gleich null das interessiert mich ja – wie groß sind diese Werte an X gleich null – ?? – X gleich Null einsetzen okay also minus eins das ist eins das immerhin ein Schlüsselloch minus zwei ist auch eins – zwei mal eins minus minus drei bis zwei dreimal zwei mal eins minus nur minus vier ist – sechs und im allgemeinen Fall in Fakultäten ?? eins minus null – eins ?? irgendwas ist in Fakultät das ist mir also – bei dieser Funktion ist das so das der Funktionswert – Bindestrich null eins sondern die Ableitung einfach in den Fakultäten weiter – an der Stelle null – eins Fakultät die zweite Ableitung nicht null zwei Fakultät die dritte Ableitung des drei Fakultät – damit kann ich die Potenzreihe hinschreiben – die ich erhoffe – die Tälerreihe – Komma also Teller reibe dann folgendes – wenn das funktioniert dann sollte so aussehen – sollte sein der Funktionswert – an dieser Stelle plus – die erste Ableitung – an dieser Stelle – mal – X – plus die zweite Ableitung – mal X Quadrat halbe – plus die – dritte Ableitung – sechs – mal X hoch drei durch drei Fakultät sechste Plus und so weiter – im allgemeinen – in Fakultät – Malik so ähm – durch in Fakultät – plus – bis ins unendliche – Sinnes ist mir das kürzlich ja alles – steht einfach – eins plus X plus X Quadrat – plus X hoch drei – plus – Plus X ON – plus – besitzen ?? das bleibt über – als Potenzreihe für eins durch eins minus X – das heißt diese Funktion – ist zwar so bisschen unhandlich man auf Anhieb draufguckt – einzig eins minus X aber sie sehen was da als Kellerei rauskommt – ist ganz banal – sie summieren alle Potenzen auf bei der Exponentialfunktion – bindenden – Elektronen sah Funktion stand er noch die Fakultäten das bisschen – schief in der Gegend – bei dieser Funktion ständig ?? die Fakultäten dabei alle – Potenzen von X auf summiert – das sollte eins durch eins minus X werden wenn alles funktioniert – alles – wann funktioniert denn – nicht immer – kann schon nicht immer funktionieren sowas – dann sehen wir Sicherheit einsetzen muss irgendwas schief gehen – steht einzig null – haben – es gibt einen anderen Weg zu dieser – Reihe hier man kann noch anders da anlangen – und weiß dann – ob es wirklich funktioniert der andere Weg dahin – nicht mit Ableitungen – der andere Weg anderer Weg Punkt – andere regnen sich Teleskopsumme – aber – ich probiere mal folgendes – rückwärts ich nehme mal für die Nummer – Nummer dreizehn – für die dreizehn nämlich mal eins Plus X plus X Quadrat plus X hoch drei – drei plus X vier plus und so weiter plus – endlich ein zwo groß N – im Mai dieses – Mal eins minus X nimmt es als mathematisches Experiment leicht Klammer zu sinnvoll ist – das rechtlich mal aus – das gibt – eins – X mal eins X Quadrat mal eins also eins Plus X – plus X Quadrat plus X hoch drei – plus X auf vier – plus und so weiter plus X hoch denn – alles mal eins – und jetzt alles mal minus X – einmal minus X ist minus X – X mal minus X ist minus X Quadrat – X Quadrat mal minus X ist minus X hoch drei – X ?? dreimal minus sechs bis minus X Sofia – und so weiter und so weiter – der allerletzte minus X hoch N plus eins ein mehr X ?? N ein minus X – minus X hoch endlos eins der vorletzte – den teilnehmenden vorletzten – minus X – und das Teleskop daran ist jetzt das sich das zusammen schieben lässt wie – das Fernrohr wie das Teleskop was man ausziehen kann und zusammen schieben kann diese Summe hier schiebt sich zusammen – eins minus X plus X – das schlichtweg – minus X Quadrat groß X vertreibt schlichtweg das richtig das schlichtweg das schlichtweg Das heißt Teleskopsumme – wenn sie in jedem zum anderen ein Term haben der sich mit einem ?? des nächsten Zimmern gleich wieder Weg lebt – ?? ineinander schieben kann die Summe – und es bleibt das handliche Format – eins minus X hoch – N – plus eins – was man damit gelernt hat wie gesagt das es immer etwas mathematisches – Experiment – was man damit gelernt hat ist – wie man eins minus X schreiben kann – nämlich nun – für den Text vierzehn – also – Beistrich dass diese Summe Kompetenzen – bis N nicht alle eben hatten wir unendlich viele Potenzen – wenn ich die Potenzen bis N auf summieren – und so weiter plus X hoch N – dass das sein muss – eins minus – eins minus X hoch – eins durch eins minus – X – wenn klar – X ungleich eins ist – damit dem Teil kann – das Problem – das habe ich damit lernen sie alle Potenzen auf summieren – bis zur Enten von den Leuten bis zu Händen – Hans einzig eins minus die nächste Potenz durch eins minus X – zu – der Leitner modifiziert einfach beide Seiten mit eins minus X dann sind Sie auf der linken Seite – bleibt das übrig was da oben – auf der rechten Seite steht – mit dem Hilfsmittel kann ich nun sagen – was denn diese Potenzreihe – macht – Potenz heißt nämlich – das besitzen endlich ?? getrieben – ich gehe nicht bis – X hoch tausend – X X auf eine Million nicht jedes X hoch wenn sie wollen und endlich – und frage mich warum wird das den Grenzwert funktionieren – was passiert wenn ich hier jetzt ähm gegen unendlich – haben – was passiert – wenn – was passiert – wenn – dieses ähm gegen unendlich geht – entsteht auf der linken Seite – meiner – Telereihe für einzig eins minus X – eine Potenzreihe – Leerschritt gerne wissen ob die Potenzreihe eine Schonzeit – kann es auf der rechten Seite ablesen – was passiert mit der rechten Seite NN gegen ✂ unendlich Punkt – was passiert mit der rechten Seite – also mich interessiert es das es anders als letztes Semester mich interessiert – ein festes X möchte wissen ob diese Potenzreihe – für ein festes X an vernünftigen Wert ergibt – endet gegen unendlich – entledigen und ?? zu X fest – dass ich vergessen X ist eine feste Zahl entgegen und möchte hier – unendlich viele aufs und frage mich ob für dieses Fest X dann auf der linken Seite – aus dieser Potenzreihe – hin was ordentliches rauskommt – für jedes endliche groß N – ist das gleich was ?? linken Seite steht und dass das auf der rechten Seite steht ich frage mich also okay was passiert mit der rechten Seite – NN gegen unendlich geht der spannende Ausguss der hier oben – entgegen endlich geht X fest was wird mit den passieren – und das Tanzen angucken – haben – X hoch endlos eins – der geht – gegen unendlich – wenn X – größer ist als eins wenn hier stets zwei ?? eins zwei zwei zwei hoch drei zwei ?? vier – das wird nett exponentiell explodieren – unendlich geht wenn ich den eins Komma null null eins – eins und zwei ?? wird auch gegen unendlich gehen – das wird's – konstant eins sein – wenn X gleich eins ist bilden Potenzen von eins – das ist nichts spannendes – waren – es wird dagegen abklingen – gegen Null gehen – wenn – X ich muss anders schreiben – wenn X eine Zahl zwischen null und – eins ist wenn sie haben – nach eins wenn sie hier zum Beispiel Potenzen ein halb bilden – ein halb ein viertel – R eins durch zwei ?? drei achtel ein sechzehntel – ein zweiunddreißigste – gesschönen Netz gegen Null – für alle Zahlen X zwischen null und eins geht das nett gegen Null über einzelne explodieren – zwischen null und eins Liters gegen null – arm – wähnen – X RN – X – gleich null ist – bleibt es natürlich – null – auch kein Problem – die negativen mit berücksichtigen – des ganzen bisschen – unhandlicher – ?? – wenn sie eine negative – Zahl die – kleiner ist als eins – negative Zahl die kleine Stadt minus eins – sowas minus zwei potenzieren minus zwei hoch drei minus zwei ?? vier minus war fünf – regelmäßig wechselnde Vorzeichen – aber insgesamt – exponentiell Wachstum – das heißt dieses hier geht zumindest im Betrag – gegen endlich bin X größer ist als eins oder wenn X kleiner ist als minus eins – wenn X – als Wellen X gleich minus eins exakt gleich minus eins ist – minus eins hoch zwei hoch drei – sie wechselnd plus minus eins das heißt das bei dem Betrag gleich eins – in – wenn ich Zahlen – habe die negativ sind aber zwischen minus – eins und null sowas wie minus ein halb in den Kirchenpotenzen – wechselndes Vorzeichen ständig – aber der Betrag geht gegen Null Betrag geht auf jeden Fall auch nur gegen null – wenn – diese Zahl X wird zwischen – minus eins – und eins ist ?? durch den Vergleich mit der schlagenden Seite ist gleich null ist dies auch gegen ?? ist sogar die ganze Zeit nur – so verhält sich dieser entscheidende Ausdruck da – NN gegen unendlich geht dieser Ausdruck hier – macht mir sorgen – wenn X größer als eins ist aber kleiner als minus eins ist endlich mit der um die Ohren und endlich mir genauso – auch – die potenzreiche – und die Ohren sind ja für endliche N gleich – als ?? Grenzwert – Simproblem – mit – der Potenzreihe – wenn X gleich eins ist – Null durch – au null raus – das ist auch nicht gut – ist dafür sowieso X das einzig eingesetzt werden – ?? – der spannende Fall ist hier unten wenn X zwischen minus eins und eins ist mit dieser Ausdruck hier immer klein immer kleiner werden im unendlichen wird dieser Ausdruck weg sein – und es steht da was rauskommen sollte die Funktion nicht haben wollte einst durch eins minus X – nur dann funktioniert das mit X zwischen minus eins und eins ist – deine Sicht der männlichen weg – bewegt sich einst durch eins minus X aus – das kann man also war das ganze Festhalten – für die Nummer fünfzehn – also diese Potenzreihe – eins Plus X plus X Quadrat plus – such ähm – bis ins unendliche Aufsummen – an – ist gleich wie gewünscht eins durch eins minus X wenn – dick unterstrichen – wenn – dieses X zwischen – minus eins – und eins liegt – und ansonsten habe ich ein Problem – das man zum ersten Mal schon – das solche Potenzreihen – nicht ganz – pflegeleicht sind – man hat etwas zum ausrechnen – einfacher Formen zum Einsetzen auch zum ableiten sowas ableiten null plus eins plus zwei X in Mali zu minus eins – nun – aber es gibt's in der Region Pflege so ein kleines Problem an Schein – was Sie hier sehen – diese Potenzreihe – funktioniert auf einem bestimmten Intervall – aber außerhalb von Intervallen – die Stilistik um die Uhr – in dem Intervall liefert sie sogar die Originalfunktion – zurück – soweit okay – aber außer von dem Intervall – klappt das nicht so gut – an das gucken wir uns – den Tag ?? muss nächste Woche an ähm – fanden das wirklich hinhaut wann kann ich diese Summe hier die ordentliche Summe die Reihe tatsächlich bilden und wann ist die gleichnamige Originalfunktion – nächste Woche – Punkt was man sich noch angucken – Punkt ?? – war es zeigt – was man sich noch angucken kann ist nochmals zurück zu den – Täler Polynomen – nicht ins unendliche gehen sondern zuletzt in der ?? Polynom gehen – nach – hier zugucken – wie da der Fehler ist wie groß ist der Fehler wenn ich zum Beispiel bei der – Wurzelfunktion – bei der dritten Potenzial besser