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25.04 Oberfläche von Rotationskörpern


CC-BY-NC-SA 3.0

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mit – ähnlichen Tricks kriegt man die Oberfläche – von Rotationskörpern – dieselbe Situation – zwölfter ein zwanzig – Situation – der Radius in Abhängigkeit – von X ist gegeben – und – ich rotieren – das wie auf einer Töpferscheibe – der Radius in Abhängigkeit von X gegeben – von einer Stelle A bis zu einer Stelle B – übersehen dass ich hier was hinkriege was nach Rauchzeichen – technisch funktioniert – dreht Komma stehen hiermit gedreht – wird gedreht – so – und die Frage ist nun – wie viel Briefmarken brauchen sie – um diese Vase zu bekleben – oder – wie viel Farbe brauchen sie um den Kühlturm einzustreichen – und so weiter und so fort wie groß ist es ihren Fischeskrallen – ähm – wie groß wird diese Oberfläche – ähm Vorsicht das ist noch nicht alles was unter der Oberfläche machen könnte mich interessiert jetzt nur der Teil der Oberfläche der wirklich – von der Kurie aufgespannt wird ?? ich hab nicht diesen Deckel dabei deshalb billig dessen Kreisscheibe – alleine und diesen Deckel dahinten habe ich auch nicht dabei – diesen langweilig also dies die Oberfläche ohne die beiden Deckel – genannte Mantelfläche – ein Deckel dabei – die Deckel sind ja – einfach und leicht möchte man die auch Garn ich habe deine Güte umdenken – ähm dann haben Sie natürlich unerkannt Deckel drauf sie streichen nur den – Außenteilen – als die Mantelfläche und das heißt keine Deckel dabei – nur – der Trick ist nun ähnlich wie bei der Bogenlänge – wenn ich das hier wieder in Stückchen schneiden nach – Physiker oder Ingenieursart – Oberfläche in Stückchen geschnitten nicht Komma dieses hier sehr – gut aus dieses Stücken guck ich mir mal an – und nun möchte ich wissen – wie groß denn – diese Fläche hier ist – sie die natürliche Brunnen – also einmal rum die Kopie groß – ist diese Fläche – das kann man so veranstalten – das man das einmal auf schneidet und auf Gold – was wird passieren wenn sie hier schneiden – also sowieso hier an diesen Kanten schneiden – dann haben Sie – das ?? in Einzelschritten vor – sie schneiden an den schwarzen kann hier – dann kommt dabei das schlecht ankommt – ?? was raus – sowas – kommt dabei raus wenn sie einen schwarzen Kanten schneiden – was passiert wenn sie das jetzt – aufschneiden – so aufschneiden – Komma mit der Schere dran – an dieser Stelle aufschneiden – wenn sie das aufschneiden – und aufrollen – in die Ebene bringen – ?? – gibt es ein Stück – eines Kreisrings – sowas wird das ?? wird nicht nur von mir platzieren weil es der Seiten Woche gerade im Wege – also ich mache das mit den ganzen – gut aus so – super dass man etwas – ?? abschneiden – ?? abschneiden – so wird das Außenseite jetzt viel zu groß gezeichnet – ?? Maßstab so wird das Außenwände das – durchschneiden – und in die Ebene platt drücken – kommt sie so ein – Gebilde stellt sich weit umgekehrt vor wenn sie das – auf Papier malen ausschneiden – und dann diese Seite mit – und die Seite zusammenkleben – haben sie Sohn abgeschieden südlichen – jetzt will ich die Flächen Aufsummen – ?? ?? Beistrich wenn sie noch immer der Inhalt ich möchte eigentlich die Mantelfläche nicht die Oberfläche streng genommen sondern die Mantelfläche berechnen – möchte das für jeden Streifen auf Zoom insbesondere mit jetzt wissen wie groß sind diese Mantelfläche – ist – diese Fläche – wenn ich nachher meine Streifen schmaler und schmaler wählen – wie groß wird diese Fläche werden – angenommen ich hab hier gar – Umfang – und ich habe hier – diese Länge gegeben – diese Länge gegeben wie groß für diese Fläche dann sein – die mal Daumen – das es vielleicht doch noch zu heftig gemalt – wenn ich ✂ in viel kleineren – Stückchen geschnitten hätte dann sähe es ja – so aus – Haar – wirklich – so sähe das aus – wie würden Sie – diese Fläche berechnen – nach – Dietmar Hindemithsatz – zeigt so – würden sie diese Fläche berechnen – denn – diese Abstand hier immer kleiner wird ist das praktisch ein Rechteck – es wird in ✂ den Jahren Ernährung ein Rechteck – das heißt ich rechne für die Fläche einfach aus – diese Kante mal den Umfang – das Stückchen – das muss sein – wie nenn ich das jetzt hier mal – nicht die mal ha – ha – ha und dieser Umfang – mal die Höhe – in linearer Näherung – wenn diese Höhe – gegen null geht – denen – Umfang kann ich schon angeben – ?? – ich sitze hier an der Stelle X – wie groß ist dann der Umfang – an der Stelle X an Radius – R von X das hier wird ein Kreis – mit einem Radius R von X das hier ist der Umfang dieses Kreises – jährlich weiter in diesen Kreis männlichen aufschneiden – ist die schwarze Strecke – dessen Umfang also dass es zwei Pi mal eher von X – so weit habe das in Ordnung das Problem ist jetzt diese Hörhaar – ist ein bisschen eklig – über – die mal hin – diese Länge hier – dies noch ein bisschen ungeschickt – müsste – sich jetzt eigentlich vorsichtig – an eine Situation von eben erinnern – ein Stückchen – Weg längs der Kurve gemessen es hat neben Komma bei der Kurvenlänge – Komma das war um Längen ?? Bogenlänge – ähm – hier kann das vor – ein Stückchen – Weg – längs der Kurve gemessen – und dessen Länge ist – die Weitsicht zur Seite gehe horizontal – zur Seite gehe mal die Wurzel aus eins das Quadrat der Ableitung – so ein Stückchen hier entlang der Kurve dessen Länge ist in den Jahren Ernährung – weitgehend – horizontal zur Seite mal Wurzel eins Plus Quadrateableitung – genau das kommt hier auch – dieses Haar – ist in den Jahren Ernährung – eins Plus – die Ableitung von Ärger bis er Strich – von X die Ableitung von eher ins Quadrat – mal – Mathematiker schmerzt das jetzt schreibe jetzt älter X tatsächlich – ich hab es mal ganz dreist die X ingenieurmäßig – und – physikermäßig – so lang wird es in den Jahren Ernährung sein – wie weit ich zur Seite gehe wird in ein Streifen – und letzter noch Pythagoras dazu – um den Umweg zu haben so was auch das erste da die Höhe – habe ich jetzt damit auch – das hier ist – Wurzel eins Plus den Radius abgeleitet – Quadrat – TX – dieser – physikalischen – Schreibweise – damit habe ich jetzt für jeden Streifen – seine Fläche diese rote Fläche für den Streifen und so weiter und sofort die will ich alle auf summieren – jeweils die – Randlänge mal – die die – Breite des Streifens wenn ich ihn abgewickelt habe das hier Aufsummen – und dann bin ich fertig – also habe ich das die Mantelfläche folgendes ist – das integral von A bis B – über zwei Pi mal den Radius – mal den her Wurzel – eins Plus die Ableitung vom Radius – Quadrat – TX – die zwei Pi wird man natürlich raus ziehen – und dann habe die Formel – für die Mantelfläche die übliche von A bis B zwei Pi meines integral von A bis B – war – mir wird die Wurzel freundlich – besser gefallen ist und nehme die Wurzel meiner Vornewurzel – eins Plus er Strich von X – Quadrat – R von X – TX – das ist die Formel für die – Mantelfläche – Komma zum Vergleich – eben bei der haben bei dem Volumen – Roman beim Volumen war das was – das Quadrat meiner Funktion integrieren – noch mit Pi sanieren – die Fusion gibt den Abstand an von der x-Achse – und es ist nicht das Quadrat meiner Funktion integrieren – sondern – ihr Sohn Geschwindigkeitsverhältnis – bilden mal meine Funktion – wie sie da ist – integrieren – und auch das Kammer wieder anders auffassen – anschaulich auffassen eben beim Volumen gab es den Trick das ich sagen ?? eigentlich ist das die Fläche unter der Kurve mal den Weg des Schwerpunkts – jetzt gibt den analogen Trick – guckt sich nicht die Fläche unter der Kurve an sondern man guckt sich die Kurve selbst an – und den Schwerpunkt – der Kurve – wie beim Volumen geht es um die Fläche unter der Kurve und die den Schwerpunkt der Fläche unter der Kurve und jetzt guck ich mir den Schwerpunkt – der Kurve an und die Länge der Kurve und durch das analoge Rausmantelfläche – auf diese Art – als erster guck ich mir an – was – der – was der Schwerpunkt – der – Uhr will's – nicht der Fläche sondern die Kurve sie biegen – die Kurve aus Draht sozusagen – ?? war Z eben ich gucke wieder – Platz drauf – war die Funktion R von A – bis B – wie gesagt ich schneide jetzt nicht diese Fläche unten aus Pappe aus – sondern ich nehme mir ?? Stück Draht – und biege den entlang der Kurve – und frage dann – wo der Schwerpunkt dieses Stückchen Draht ist – irgendeiner Höhe wird der Schwerpunkt sein – Rahmen – diene nicht klein R quer – meine private Bezeichnung – vielleicht so auf der Höhe – das soll die Höhe des Schwerpunkts – der Kurve sein – nur – den Richtmann – wieder mit Trick siebzehn wie eben den Schwerpunkt – von der Fläche – ihr den Schwerpunkt von der Kurve – ist etwas ekliger klar – weil da die ?? noch die Kurvenlänge rein kommt die auch eben schon eklig aus aber es ist nicht so viel eklig der – Arm – stellt sich die Kurve zusammengesetzt – aus kleinen Polygonstückchen – also nicht wunderschön gebogen sondern immer so aus kleinen geraden Stückchen zusammengesetzt – dann kann ich jetzt wieder anfangen die Schwerpunkte – von jeden dieser kleinen Stückchen zu berechnen – und das passen zu überlagern – Punkt – das wird auch wieder Integral werden – wenn sie so ein kleines Stückchen hier haben – preußische Fragen wurde Schwerpunktkonsum – Kleinstückchen hier ist natürlich in der Mitte – Schärfung von jedem ist in der Mitte – an der Stelle X – Abstand R von X – diese Stückchen winzig bereit auch nur gewählt unendlich – klein – an und ich kleine breite das heißt die variieren auch nicht deutlich von links nach rechts die Höhe des Schwerpunkts von seinem Stückchen ist er von X – das ist kein Drama – das größere Drama ist jetzt sicher zu überlegen welchen Anteil denn dieses Stückchen an der Gesamtlänge – hat – stellen Sie sich diese Situation vor nichts macht mal – an – meinen Gemahl stellen sich Sonokurve – vor – und jetzt unterteilen Sie die – ?? Rechenkästchen – im dritte Teil Sie die entlang der Rechenkästchen das Stückchen das Stückchen – das Stückchen – und dann plötzlich – dieses Stückchen – und dieses Stück immer ein Rechenkästchen bereits – Stückchen – TX – ein Rechenkästchen so zu seiner These dass dieses Stückchen hier – deutlich länger sind – als diese Stückchen das muss ich berücksichtigen – diese Stückchen – ramm haben einen deutlich höheren Einfluss auf den Schwerpunkt – mehr Masse – bei den länger sind – als dieses Stückchen kann nicht einfach – diese Höhe und diese Hörmitteln und eines gut ich muss von dieser Höhe mehr nehmen weil die größere Masse hat was ist das Verhältnis – der Länge dieses Stückchen zu das zu dem Stücke wirklich das Verhältnis der Längen ✂ schon wieder der Simone Pythagoras – das Verhältnis hier muss mit daraus zu tun haben ?? hier ist die Steigung groß – dass die Steigung null größer die Steigung genauso ?? negativer die Steigung desto größer wird das Verhältnis – das dasselbe – wie des Geschwindigkeitsverhältnis – bei der – Grabungslänge – eben eins Plus die Ableitung ins Quadrat – und daraus die Wurzel das ist das Verhältnis der – Längen und damit das Verhältnis dermaßen – diese Länge zu dieser Länge – das muss ich also noch korrigieren – als Faktor drin haben als korrigierenden Faktor drin haben – und wenn man das jetzt vergleicht – auch noch nicht ganz fertig einer fehlt noch Punkt das ist die Länge des jeweiligen Teilstücks – dieses hier – ist die Länge des jeweiligen Teilstücks – ist ?? dies aber anteilig haben die Länge dieses Teilstücks im Verhältnis zur gesamten – Bogenlänge der Kurve L die gesamte Bogen der Kurve – so misslich das Schreiben – diese Länge – eines Teilstücks – das Verhältnis mal TX – durch die gesamte Bogenlänge – so Hammers anders ist die Höhe des Schwerpunkts der Kurve – ihn – hier mal wegwischen – und dann gucken ?? mal die Formel an dies eben für die Mantelfläche gab – für die Mantelfläche die Formel war zwei Pi mal – die komische Wurzelmadenradius – integrieren – und hier sehen Sie die Höhe des Schwerpunkts – ist – auch sowas wie Radius mal die komische Wurzel integrieren – das Gemüt zusammen – schmeißen – und kriegen die Mantelfläche – ist also folgendes – zurück was stand da – zwei Pi mal Integralwurzel – mal – im Jahr zwei Pi mal integral – von Wurzel eins Plus – ableiten – wie sehr – Radius – TX das war die Mantelfläche wie sie gerade rauskam – und vergleicht das damit – zwei Pi mal dieses Integralwurzel – mal eher – gegrilltes integral putze mal er in dem ich die Höhe des Schwerpunkts – malel nehme – was hier steht – ist die Höhe des Schwerpunkts malel – Sie das hiermit ähm und beziehen Elweg – sowas macht das also die Mantelfläche – ist – die Strecke die der Schwerpunkt der Kurve zurück legt – mal die Länge der Kurve – das ist dann das analoge Resultats – zu dem von eben – zwanzig – in der Situation von eben – Rohr – der Situation möchte ich die – Mantelfläche – wissen wie groß ist diese Fläche – und was sie ausrechnen können schlicht und ergreifend – ist diese Länge – die Seitennaht sozusagen – sie legen ihr Maßband entlang der Seitennaht – sie bestimmen – den Schwerpunkt – der Kurve – der Schwerpunkt der Kurve kann übrigens auch neben der Kurve liegen das natürlich völlig ungeschickt – bei der war gerade ein – ähm – könnte sein dass der da liegt der Schwerpunkt der Kurve – Punkt ergo stellt sich vor das wäre ihre Kurve – wird der Schwerpunkt in der Mitte liegen das kann passieren dass der Schwerpunkt einer Kurve ?? es wird üblicherweise – passieren dass der Schwerpunkt einer Kurve nicht auf der Kurve liegt – sondern daneben – egal ?? egal wo der Schwerpunkt liegt sagen wir – das sei der Schwerpunkt – der Kurve nicht der Fläche darunter – kann sich angucken welchen Weg – der Schwerpunkt zurücklegt – dass es zwei Pi – er mit ihr Beistrich – nach meiner – Schreibweise – und die Mantelfläche – die Mantelfläche ist dann schlicht und ergreifend das Produkt der beiden – fähig in – welches welche Länge hat diese Kurve L mal – welchen Weg liegt – der Schwerpunkt der Kurve zurück – dass es für die Mantelfläche Nummer zu Änderung die die die Regel für die – für das Volumen Bayer – analog – das Volumen des Rotation Körpers ist – die Querschnittsfläche – einig müssen dann die halbe Querschnittsfläche – die halbe Querschnittsfläche – mal den Weg der Schwerpunkt der Fläche – und für – die Mantelfläche – kriegen Sie die Länge dieser Seitennaht – mal die den Weg des Schwerpunkts – von dieser Kurve – kann man in ganz vielen Fällen ohne integral ausrechnen – diese Integrale sind – Fürchterlichwurzel – aus als das ähm was ins Quadrat denn fürchterlich integral ist man froh Komma diesen – nicht anfassen