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Skalierung von Ertrag und Kosten von Windkraftanlagen, Grenzen des Square-Cube Law


CC-BY-NC-SA 3.0

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Skalierung – von Ertrag und Kosten einer Windkraftanlage – fangen mal mit der naiven Lösung an ?? auf Deutsch ?? ich dafür keinen Namen – englischer Klassiker namens – Werk Jubilar – das Quadrat – ?? Potenzgesetz – wenn Sie so wollen – was passiert mit dem Ertrag was passiert mit den Kosten einer Windkraftanlage – man eskaliert – zweimal so groß bauen oder halb so groß war man nicht ohne ?? Klammer zu groß bauen als bisher oder zehn Prozent größer waren als bisher – was wir dann mit dem Ertrag und den Kosten – passieren – mit dem Ertrag das hat mehr mit Betz – vorher schon – was passieren wird den Kosten kann man sich überlegen – was passieren wird wenn man die Anlage eskaliert – was mache ich mit dem Durchmesser des Motors – im den zehn Prozent drauf – zwanzig Prozent auf zehn Prozent runter was passiert dann mit Ertragkosten – was würden Sie erwarten – für den Ertrag – wenn sie den Durchmesser ändern ?? ✂ war gerade eben noch mal der Ertrag sollte also was sein ?? proportional – zum Durchmesser ins Quadratsertrag – sollte von der Fläche abhängen proportional – ?? ich hatte Sinnlichkeit verwickelt Komma zur Diskussion reiner Sageertrag – ist arm mal – Durchmesser ins Quadrat – dieses dies sollte Durchmesser sein – und dieses arbeiten – irgendwas werden von soundsoviel – Kilowattstunden – oder Ertrag in Europa wie auch immer – von soundsoviel Kilowattstunden – pro Quadratmeter – Weitkosten ?? Zimmer Komma Euro pro – Quadratmeter – soundsoviel Euro pro Quadratmeter wird Rationalitätskonstante – mal den Durchmesser – ins Quadrat – oder mal die Rotorfläche bieten einen Konstante – oder meinen Radius ins Quadrat Hauptsache hier steht eine Länge ins Quadrat – das wäre was man für den Ertrag annimmt und damit man auch nicht wieder machen können – wir wissen – die Leistung im Wind ist ein halb mal dichte Beistrich mal – Windgeschwindigkeit – hoch drei dass sie die Fläche drin – Komma diskutiere das entsetzlich immer so sein wird aber – erst ?? Lippen sagen – eine Konstante das ist eine Konstante namens A sei nichtig Beistrich eine Konstante namens A ist es gefährlich lieber Micha damit das sich wie Fläche aussieht Komma eine Konstante für den Ertrag – den sie an den – Leistungsbeiwert – von Bez das war auch so eine komische Konstante aber einfallslos über seine Jagdeinheiten – Widerstandsbeiwert – und – Auftriebsbeiwert – uns der Leistungsbeiwert – findet sie hatten keine Einheiten die man einheizen muss diese – Konstante jetzt die hat Einheiten – als dass sie Euro pro Quadratmeter – um zu sagen was ist denn der Ertrag – sogar den Vertrag ausrechnen was würden Sie für die Kosten erwarten – das wäre ein naives Modell für die Kosten – einer Windkraftanlage ✂ ich hätte nicht sofort die englische Bezeichnung hinschreiben soll als man erwartet dass die Kosten – in der dritten Potenzschreibens – quer zu – der tragenden zwei Prozent der – Kosten der dritten Potenz – in was hoch drei erwartet ?? soll's dann die Anschaffungskosten – man jetzt nicht die laufenden Kosten – meine die Anschaffungskosten – mit irgendeiner Konstante ich hab mir CK – das wäre jetzt also eine Konstante die – soundsoviel Euro – pro Kubikmeter – wäre – ein als technisch – wenn sich vor man konkret eine – Oberhaus für das Fundament – dieser Beton braucht man für den Turm – wie viel Material – braucht man für die Rotorblätter das eskalierte alles die Masse des Ganzen skandierte alles mit dem Durchmesser hoch drei – alle Längen – mal ein Faktor den – also – mit jeder Länge meine Faktor zwei nehmen – dann geht das Volumen mal in Faktor acht die Masse meinen Faktor acht – höchst wahrscheinlich auch die Kosten – bei den Faktor acht das würde man erwarten – das würde bedeuten es gibt so einen Punkt – es gibt einen Punkt – ab dem sich die Anlage nicht mehr lohnt – sein ist mein Durchmesser – Komma – dann hätte ich eine quadratische – Kurve für den Ertrag – sowas – trag – und für die Kosten eine kubische Kurve – sowas dann für die Kosten – das würde man erwarten – ?? und das heißt – ab hier wird's unwirtschaftlich – ab dem Schnittpunkt – jetzt unwirtschaftlich – das würde man aus diesem Modell heraus erwarten – irgend ein Punkt – sie können es nicht – vermeiden ?? irgend ein Punkt werden die Kosten größer werden als ertragreiche Kosten stärker Steinkosten – gehen wie die hoch drei – kubische Parabel die kurdische Parabel wird irgendwann gewinnen irgendwann werden die Kosten den Ertrag überschreiten – jetzt wird man sicherlich noch überlegen wo der eine das Optimum – habe ich den größten Gewinn – hierzu werde ich das Optimum haben – wenn das wirklich so wäre es der Jubilar wenn das wirklich so wäre gewiss kein Grund sehr große Anlagen zu bauen sie würden Optimaldurchmesser – bleiben da wo sie die maximale Differenz zwischen Kosten und Ertrag haben – es kommt natürlich noch die jährlichen Kosten dazu – aber im Prinzip – ein naives Modell aber das reicht nebenbei keine schlechte Idee – mal rechnen wo wäre der eigentlich ?? – wäre der optimale Durchmesser – zwischen Optimierungsaufgabe – für diesen optimalen Durchmesser in diesem Modell – wie groß würde ich meine Anlage bauen damit die Differenz zwischen Ertrag und Kosten – Maximalwert – sowas am Werte Gewinn wäre also Ertrag minus Kosten CEE – mal die Quadrat minus CK – mal die hoch drei – ist offensichtlich ein lokales Maximum des Gewinns – zwischen null – und dem – Schnittpunkt hier ich suche ein lokales Maximum – ich will also das null ist gleich – die Ableitung des Gewinns – das sieht es ungeschickt aus DD – ich schreibe mal Gewinnsstrichgewinnsstrich – von den ?? beschreibt das war damit sich das er sich aus mit DD – das wäre also – zweimal – die Ertragskonstante – mal die minus drei mal die Kostenkonstante – mal die Quadrat – es gibt eine Lösung die gleich Null – offensichtlich haben wir eine Anlage mit Durchmesser nur das wird wohl nicht das Optimum gewesen sein – das Optimum muss ein positiver Wert sein die andere Möglichkeit – wäre wenn ich hier die Ausklammerung – wäre das – ?? Familie zwei CD – ist gleich – drei – C KDE – drei C K – D – besagen D ist gleich zwei drittel CE durch C – K – könnte man am einfachsten – im – Verhältnis – zu dem Schnittpunkt – haben – den Schnittpunkt – sich Antworten hier – am Schnittpunkt ist der Gewinn gleich null C eben mal die Quadrat minus zig Ahmadi hoch drei ist gleich null – besagen Schnittpunkt ist sie eh gleich CK mal de hier ist also die gleich CE durch – CK dass es am Schnittpunkt – der Durchmesser – wenn sie keinen Gewinn mehr haben – und wir haben gerade festgestellt zwei Drittel davon – als optimale Punkt leg auf zwei Drittel der Strecke – erkennt jetzt den Zusammenhang besser wie das Sein ist nicht nur um das erste Semester zu wiederholen sondern weil – bei Betz – ziemlich ähnliches Vorkommnis – an ganz anderer Stelle in ganz anderem Zusammenhang hat auch Gewinn zu tun aber ansonsten total anders – eine ziemlich ähnliche Rechnung – aber an ganz anderer Stelle – bei bitterliches und das optimale Verhältnis der Windgeschwindigkeit – in der Anlage zur Geschwindigkeit vor der Anlage – eine verdächtig ähnliche Rechnung mit einem – Winkel auszutreten mäßigen Ergebnissen – hier ein ganz anderer Zusammenhang – als Außenoptimierung – Aufgabe es sich bei zwei Dritteln der Strecke bis zum – Schnitt Punkt da läge das Optimum das würde passieren – wenn man tatsächlich diesen Zusammenhang hätte – der Ertrag proportional zum Quadrat des Durchmessers und die Kosten Anschaffungskosten – proportional – zur dritten Potenz – des Durchmessers – Ange – die Windenergieforscher – die sind sehr fleißig daran Daten zusammenzutragen – über Anlagen – was leisten – gebaute Anlagen die teuer waren sie wirklich gut rauszukriegen ist – und das entsetzlich aufzubürden – sich die wahre Welt anzugucken aber jetzt keine physikalischen Experimente – zu machen sondern zu gucken wie teuer war denn irgendwas groß war irgendwas ausgebaut worden ist ?? eine der Sachen rauskommt ist folgender Zusammenhang – gegeben die Rotorfläche – dass es sozusagen mein X – was ist dann dieses Verhältnis von Anschaffungskosten – zur Rotorfläche – mit Modell gab für die Anschaffungskosten – ist Komma gucken ob dieses Modell den auch in der Wirklichkeit zustimmt ob es die Wirklichkeit ordentlich beschreibt – Leute gehen raus sammeln solche Daten ein – von gebauten Anlagen assistieren oder Fläche passen deren Anschaffungskosten – Komma dass Platten – gerne auf einem doppelt logarithmischen Diagramm – zwei fünf – vier drei vier fünf – sechs sieben acht neun – vier – neun – kennen sie aus der Physik sicherlich Doppelpunkt rhythmisches Papier – das ?? dann gerne so platziert auch – in einem doppelt rhythmischen Diagramm – eins zwei – fünf Zehn – eins zwei drei vier – fünf sechs sieben acht neun – eins zwei – drei vier fünf sechs sieben acht neun – in so ein Diagramm wird man das typischerweise – Platten – Komma Potenzgesetz – erwartet sind wir gleich ?? und das raffiniertes – Tensordiagramm – zu nehmen man erwartet darin nämlich eine gerade – gar nicht Potenz ist man erwartet gerade das macht es einfacher – welche gerade wenn wir den jetzt erwarten in so einem doppelt logarithmischen Diagrammplatten – also auf der einen Achse die Rotorfläche – warten dass die eine Achse ist die Bruttofläche – und die andere Achse soll sein – die Anschaffungskosten – im Verhältnis zu oder Fläche also Euro pro – Quadratmeter – was erwarten Sie in diesem Diagramm zu sehen wenn das Werk in Nord gilt – was erwarten Sie hier jetzt – zu sehen – sie Platten – die Daten existierende Anlagen – keine geraden Sondernplatten – die Daten existierende Anlagen – es gibt irgend eine Punktwolke – wie wir diese Punktwolke aussehen – schon gesagt man erhofft eine gerade – wie sollte diese gerade dann aus in diesem Diagramm – ausgehend vom Werk Jubilar ✂ als wir reden von tausenden ein Quadratmetern – hundert Meter Durchmesser – damit meine Fläche von – fünfzig Meter im Radius Quadrat – Komma die zwei tausend fünf hundert mal die – tausend Quadratmetern – aus ihr – müssen sowas in der Achse stehenden zehn tausend – Quadratmeter – doppelt logarithmisch heißt wahrscheinlich dann ja den nächsten großen – Beistrich links davon ✂ aus Quadratmeter – unter der also hundert Quadratmeter – das ?? zwischen – tausend zwei tausend drei Doppelpunkt fünf tausend ?? werden – immer dichter – Anschaffungskosten – durch oder Fläche das es so bisschen unhandlich Musik etwas dazu sagen – so wäre zumindest schon mal die Skalierung hier auf der horizontalen Achse – und ich wüsste jetzt gerne wenn ich meine Anlagenplatte – wird das typischerweise – hoffentlich wird es eine gerade werden – können Sie es mit dem Werk Jubilar irgendwie – eine Hypothese aufstellen was für ?? Kurve sieht das etwas für die gerade sie das sehen – was für dich mal angucken ✂ ich hätte alles zurückgeführt auf den – Durchmesser – aber nicht den Durchmesser verzehnfachen – dann verwundert fragt sich die Rotorfläche – den Faktor hundert in der Rotorfläche – das heißt Durchmesser mal zehn – Prisma ohne großartige Formen – Punkt es gibt verschiedene Komma dass Formen probiert – eine von hundert Quadratmeter – gehen wir auf zehn tausend Quadratmeter – in der Rotorfläche dann habe ich den Durchmesser verzehnfacht – so was bedeutet das – für die Anschaffungskosten – mit Durchmesser verzehnfacht – habe – klar die Anschaffungskosten – müssten demzufolge – mal tausend genommen werden – die Rotorfläche – deshalb gerade – die rote Fläche wird mal – hundert genommen – Quadrat vom Durchmesser die Ruderfläche mal hundert das heißt das Verhältnis Anschaffungskosten – durch oder Fläche wird mal zehn genommen – wenn sie also – von ganz links nach ganz rechts gehen – Faktor zehn Durchmesserfaktor – hundert in der Rotorfläche – gehen sie – Faktor zehn nach oben eine Dekade nach oben zwei Dekaden nach rechts eine Dekade nach oben – ich erwarte – so eine Kurve zwei Dekaden nach rechts wie schreibe ich das mal dran zwei nach rechts eins nach oben zwei Dekaden – und hier eine Dekade – oder Fläche das ist ja proportional – zu den Quadrat – was hier steht – es proportional – zu dem hoch – drei durch die Quadrat – wenn das Werk Jubilar – gilt – also proportional zu D – auf der einen Achse die Quadrat auf der einen Achse daisybildenden – Logarithmus – alles eine Stufe tiefer – zwei – auf der horizontalen Achse – die hoch eins einer auf der vertikalen Achse zwei Dekaden nach rechts eine Dekade nach oben – das würde man erwarten eine leicht steigende gerade – wenn das Bergdorf – fehlt – wenn jemand – durch die Republik wandert und Daten von Windkraftanlagen – einsammelt – Anschaffungskosten – oder Fläche – will ich das erwarten so eine Wolke – mit einer Steigung von einer Dekade auf zwei Dekaden – haben die Leute das gemacht irgendwie saßen Hobby von den Forschern – in der Windenergie – genauso wasserselig zu machen ?? sie machen das und kriegen folgendes rauskriegen eine Folge die nicht so – ziemlich gestreut – aber es sieht nicht so fürchterlich nach Steigung aus – und hier auf der – vertikalen Achse sind wir da ungefähr bei vier hundert – grob – sehr viel plus minus – eine breite Wolke vier hundert Euro pro Quadratmeter – sieht – nicht so fürchterlich nach Steigung aus dem großen Bereich scheint es wieder zu steigen je nachdem aber – eine große Strecke sieht es relativ konstant aus breit gestreut und relativ konstant vier hundert Euro pro Quadratmeter – was will uns das eigentlich sagen was bedeutet das eigentlich was ist schief gelaufen beim Skatswerk Jubilar – was wir Möglichkeitsraums – nicht stimmt ✂ zum Beispiel ?? seiner Saison hat Mengenrabatt kriegen – auf jeden Fall sollten die Anschaffungskosten – nicht in der dritten Potenz steigen – die Rotorfläche – geht in der zweiten Potenz des Durchmessers – aber wenn es hier über den breiten Daumen konstant bleiben soll heißt das dass die Anschaffungskosten – nicht in der dritten Potenz gehen können – anders als man es erwarten würde die Anschaffungskosten – die er mit der zweiten Potenz das ich das wieder Weg kürzt um mit der zweiten Potenz und mit der zweiten Potenz – nur dann können Sie was ganz langsam sollt ihr noch hinschreiben reale Daten – Mengenrabatt könnte ein Effekt sein – in andere Effekt könnte auch sein dass die Anlagen neuer werden die kleineren Anlagen das sind die alten Anlagen – die größeren Anlagen das sind die neueren Anlagen des kann einfach sein ist die Produktion effizienter wird über die Zeit – dass ich das niederschlägt – und es gibt auch einige Sachen die definitiv ständig mit der dritten Potenz gehen – der Generatorgenerator – hat ja was mit dem Ertrag zu tun – sie wollen einen Generator passend haben – das Getriebe passend haben – zu dem Ertrag den sie haben in Megawattstunden – oder was auch immer – das heißt der Generator des über die werden auch mit die Quadrat skalieren nicht mit dem Preis kann es gibt diverse – Effekte die offensichtlich bei den Kosten nicht mit der dritten Potenz des Durchmessers skalieren und es sieht so aus als ob die gewinnen – also real sieht es eher danach aus – dass die Anschaffungskosten – hier proportional – zum Quadrat – vom Durchmesser sind – das Komma noch ein zweiter treiben also diese Art von Diagramm wird gerne eingesammelt in der realen Welt – zweiter gucken – wir uns diesen Zusammenhang angucken – auf der einen Achse nämlich die Nennleistung – aus und dann Achse nämlich die Nennleistung – und auf der vertikalen – Achse nämlich die Anschaffungskosten – pro Nennleistung – also Euro pro – Kilowatt – das findet alles so nette Einheiten aus Sicht der Mathematik Euro pro Kilowatt kommt so selten vor Ende wanderte mittig Anschaffungskosten – pro Nennleistung – durch die Nennleistung – und auch das wieder in so doppelt logarithmischen Diagramm – eins zwei fünf zehn – zwanzig fünfzig hundert – und hier noch drei vier – fünf sechs sieben acht neun – zwei drei vier – neun – ?? dasselbe zwei fünf – zehn – zwanzig fünfzig hundert – eins zwei – drei vier fünf – sechs sieben acht neun – zehn – zwanzig – dreißig – vierzig fünfzig sechzig siebzig achtzig neunzig hundert Jahren was ich hier malen wenn ein Doppelpunkt rhythmisches Diagramm mal wieder auf der einen Achse die Nennleistung – nun – und auf der anderen Achse die Anschaffungskosten – geteilt durch die Nennleistung – Euro pro Kilowatt – die – übliche Nennleistung – etwas mehr als ein Megawatt – mal ein Megawatt hin sind wir dabei zehn Megawatt die nächste Dekade – darüber bei hundert Kilowatt ein Dekade darunter – was erwarten Sie im Zusammenhang – mit tatsächlich jemand in die Welt spaziert und guckt Komma müsse dieser Zusammenhang sein mit realen Anlagen – wie müsste die Datenwolke aussehen – Zimmer zwei Möglichkeiten – das Werk Jubilar – und Wasser gerade festgestellt hatten dass die Anschaffungskosten – vielleicht doch eher proportional – zur – Fläche sind proportional zum Quadrat vom Durchmesser sind – was kriegen Sie an Zusammenhängen – was würde man jetzt erwarten in diesem Diagramm – jeweils zwei Möglichkeiten ✂ so wenn ich den Durchmesser verzehnfachen – komme ich von zehn Kilowatt auf zehn Megawatt – Durchmesser mal sehen das heißt die Fläche mal hundert – die Nennleistung – proportional – zur Fläche bedanken den Satz Komma sagen – aber das würde man es mal annehmen dass in den nassen Professional zur Fläche – also besonders im Vertrag von Durchmesserdurchmesser – mal sehen das heißt die Nennleistung geht Faktor hundert drauf – wenn – der Durchmesser um Faktor zehn aufgeht – werden die Anschaffungskosten – nach dem Werk Jubilar um den Faktor tausend draufgehen – ?? Professional zum Volumen Personal zur Masse – und die Nennleistung Parade geht Faktor hundert drauf – das heißt dieser Bruch geht – um den Faktor tausend durch hundert um den Faktor zehn auf – ich gehe zwei Dekaden nach rechts – und eine Dekade nach oben – zwei Dekaden nach rechts ein Dekade nach oben dasselbe Ergebnis wie eben einem anderen Diagramm – das wäre – die Theorie des Werk Jubilar – jetzt kann man sich aber auch noch angucken – was passiert – wenn man sagt – na das haut er nicht so wirklich hinan scheint das Werk dort was wäre wenn die Anschaffungskosten – proportional – zum Quadrat des Durchmessers werden nicht zur dritten Potenz – sondern nur proportional zum Quadrat des Durchmessers wären – wäre mein nächster hier – Anschaffungskosten – proportional zum – Quadrat des Durchmessers – was kriegen sie dann für einen theoretischen Zusammenhang – in diesem Diagramm ✂ so – also – dasselbe wie oben sozusagen die Anschaffungskosten – sind dann eben nur noch mal – hundert – die Nennleistung bleibt man hundert – Ziffer schlossen sie nur noch mal hundert und dann habe hier – eine Seite hundert durch hundert als das für dich erwarten – wir die Anschaffungskosten – proportional zum Quadrat – vom Durchmesser sind für dich erwarten dass diese Datenwolke – horizontal – ist nicht steigend und nicht fallend – das todesmutig die realen Daten an Punkt die fallen – ganz leicht so sind die realen Daten aus leicht fallend – Komma sie zu stark faltig dass sie gemalt habe – über den ganz weiten Raum ist das – über eine Dekade – stellt es eine achte Dekade ungefähr – als eine Steigung – sozusagen von minus – ein achtel – leicht fallend – absurderweise – ?? würden – selbst mit den korrigierten Anschaffungskosten – hier proportional zum Quadrat des Durchmessers sind würden wir eine horizontale – erwarten ein tausend ?? zusammen erwarten ?? man sich alle Daten – und festes Feld – ist also noch besser – die Wirklichkeit ist deutlich besser als das Zwerg Jubilar und dieser Zusammenhang ist sogar noch mal ein Stückchen besser – haben sie nie Idee – warum das so sein könnte Anschaffungskosten – pro Nennleistung – nehmen lassen sollte ?? also gemessene Hausnummer geben – ein Megawatt so in der Größenordnung – die Hausnummer wäre – tausend – Euro – pro Kilowatt – sagen – eine Anlage mit einer Nennleistung von einem Megawatt – erwarten Sie Kosten von einer Million – und dann sogar noch leicht fallend wie konnte das passieren – dass das sogar dann noch fällt – die Anschaffungskosten – geteilt durch die Nennleistung – dass das Verhältnis dann sogar noch besser wird – darüber hinaus ✂ so also ein wesentlicher Grund dafür ist es die großen Anlagen auch höher sind winzige höhere Nennleistung haben nimmst ja auch den Wind aus höheren Schichten dann schlechtes Windprofil zu David in höheren Schichten ist ja schneller – das könnte man jetzt ganz einfach mit diesem Potenzgesetz – ich mit dem britischen Professor mit dem Potenzgesetz – Buch ein siebtel ungefähr – und das in der dritten Potenzen haben sie drei siebtel – im Exponenten – klassischer eine sehr nette Erklärung dafür das wenn ich die grüne Kurve haben sondern ein fallenden Zusammenhang – der Exponent bei dem Potenzgesetz – hoch ein siebtel in der dritten Potenz hoch drei siebtel – möchte wird in höheren Schichten