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22B.1 lokale Minima, Maxima bei zwei Veränderlichen; Beispiel


CC-BY-NC-SA 3.0

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diese – Funktion zweier veränderlicher – ?? – soll sein Lied so – hier – minus – zwei X Quadrat – Y – Quadrat – drei – Exemplaren – beliebige reelle Zahlen – und die Frage ist sie stets damit lokalen – extrem – Malis Rezepte sezieren – sie ob das funktioniert – Komma was ?? Chance ✂ für lokales Extremum was muss ich haben – ?? für lokales Maximum also einen Hügel – in meiner Funktion – das so ein Hügel in meiner Funktion – ?? drauf lassen sich dafür haben und genauso für das Tal – eine horizontale – tangential – ähnliche oben die Tangentialebene – dranlege musste horizontal – sein – wenn sie nicht horizontal wäre – sie so wäre Tangentialebenen – göttlicher – ameisenmäßig – zur Seite gehen und den größeren oder kleineren Wert das ?? offensichtlich nicht passieren – natürlich kann nur ganz Extremum – die – Polizei muss horizontal – bei den normalen Funktionen – üblichen Funktionen – eher sowas – wie Tangenten gerade muss horizontal – sein – ?? extrem – als Minimum – dreißig ?? gerade die horizontal sein muss – hier bei zwei veränderlichen Musik ?? Tangentialebene – seine horizontales – Gesang der Gradient – null – Lokal geht es wieder auf noch runter in keine Richtung der Patient ist nur alle partiellen Ableitungen sind nur das ist notwendig – auch also den Patienten – Komma zur Schreibweise – das runde – alte kämpferische kleine D E F – D – WF nachdenkt partiellen Ableitungen Punkt was soll – so – so sähe das aus – bitte nicht strich Beistrich ist nicht klar war wonach es abgeleitet wird – auch wenn die das so schreiben Winzer gar nicht was sie aus den – typisch auch von diesen hübschen sind nicht nur von X Abbitte – an der Stelle nicht die beiden Funktion einer veränderlichen – Arbeit funktioniert veränderlichen Gedankenstrich – einfach ich weiß nicht wonach abgeleitet wird – ?? ich gebe zum Beispiel – ausführlich Anwohner abgeleitet – wird – einen – besonderen Funktion einer veränderlich – die – Funktion einer veränderlichen Interesse auch schon die irgendwas nach die ?? – ist jetzt das runde D – zu sagen partielle Ableitung alle anderen Variablen – kann – so – so das hingekriegt macht also vier X – drei minus – zwei nach vorn – und seine Konstante – wecken – die partielle Ableitung – Y – X als Konzern betrachten – auch weg – es bleiben zwei – sind nicht auch zwei – Sohn das muss – gleich null sein – damit ich eine horizontale Tangentialebene – habe – wenn Details lebendig horizontales – kann ich kein Organ extrem habe diese beiden müssen Null sein – überlegen wie was passiert offensichtliche unten ist klar – wenn der Null sein sollte muss ?? gleich null sein das es geschenkt – wenn ihr ungleich Null sein soll – bisschen mehr nachdenken – Punkt – wir stehen – hier X mal X Quadrat – ?? – vier ausklammern – X ausklammern – ist klein X verraten ein – Bündnis umformen – und dann sieht man okay damit das null wird X gleich null – oder – sehen kann und null klein X ist gleich eins – ist gleich eins – X ist gleich – minus eins – das heißt – drei Punkte an denen die – Tangentialebene – horizontal – nur da kann es überhaupt lokal extrem – schon mal in – Zwischenergebnis – nur – an den folgenden drei Punkten – groß war sechstes – null eins minus eins nur an diesen drei Punkten – null – null – eins – X – Y gleich null und minus eins für X Y gleich null – nur an diesen drei Punkten ist die Zahl horizontal – nur da könnte – ein lokales Maximum an Organismen – das jetzt alles was sie mit den ersten Ableitung hingegen kann drei Kandidaten – Nummer zum Vergleich hatte früher hatten bei Funktion einer veränderlichen – Salihovic wo ist Ableitung – null – hätte so viel Kandidaten und da mache ich weiter – hier jetzt drei Kandidaten – drei Paare X Y – und seine horizontales – an diesen Koordinaten – auf der Landkarte – können lokale Maxima – alle mit – einem – kleinen Zimmer noch weiter Priestermangels – alle gekommen aber dann eben weiter liegen da denn jetzt wirklich lokale Maxima Minimalsinnes ✂ noch mal die Analogie zur Funktion einer veränderlichen – da kuck ich mir an – Musik ?? sei gerade horizontal – und dann ?? ich genauer hin mit der zweiten Ableitung typischerweise – kommt die Funktion von unten und geht nach unten kommt sie von oben nach oben oder – gemalt habe – aber sowas die Funktion kommt von oben und geht nach unten – zweite Ableitung an und hoffe dass die zweite Ableitung reicht und das entscheiden – typischerweise reicht – nicht immer Beistrich – bis weiter Beistrich die natürlich wissen raffinierte – zweite Ableitung zu bilden – die erste Ableitung nach X X ableiten – ?? leiten die ersten Y – auch für den Artikel Punkt es gibt vier – zweite Ableitung – alle Kombinationen – durch – netterweise – zwei davon gleich – aus was interessiert ?? ich möchte wissen was ist Ableitung – nach links – von ?? das man so von der partiellen Ableitung – nach X – zu klar nehme die partielle Ableitung X und die leidlich noch mal ab – ?? partielle Ableitung X von – Elixier – viel zu drei minus X – X – drei minus vier X dieses gegen – die partielle Ableitung nach X – die noch mal partielle X ableiten gibt also – bei Komma vorne zwölf X Quadrat – minus vier – kurz Schreibweise – dafür – in dieser Form die zweite Ableitung – nach – X – partiell – gewöhnt sich dran es hat sich historisch entwickelt ich kann nichts dafür – ähm – mit Funktionen einer veränderlichen – das ja auch hatten wir sowas gibt's Beistrich wenn Funktion einer veränderlichen – oder eben – D zwei – F nach die X – Quadrat – dasselbe – mit Funktionen einer veränderlichen – dann ebenso aus – zweite partielle Ableitung nach X – das kommt raus – das lange zweite durch exerzieren – wir können insbesondere – zweite Ableitung – nach – Y – bilden – ?? und das ganze Symbol als relativ einfaches ?? macht eben auch das ?? – bei – die partielle Ableitung – Y – noch mal ableiten das – macht einfach zwei – oder gibt sie gemischte Ableitung ?? ich nehme die partielle Ableitung nach X – und leite sie noch mal nach Y mit – einem ähnlich haarsträubend – aus ?? wieder D zwei – doppelt abgeleitet – was passiert wenn ich das Ding was – X abgeleitet worden – ableiten sie sehen netterweise null – wenn ich nach seiner Pleite – ist X als konstant zu betrachten dass es konstantes konstantes mit null – und – bei allen gutartigen Funktionen – muss das so sein das es umgekehrt – wenn sie die ab Y X ableiten auf dasselbe – dieses X ableiten – auch wieder nur das ist bei einer gutartigen Funktion der Fall was anders werden sie – in der Praxis auch nicht sehen dass man ihn schon garantieren – als in der Praxis kommt er nicht auf die Reihenfolge – Ableitung an ob sie erst nach wechselnden rülpsen erster fünfzehntem ?? X ableiten zweimal – ist die Kammer kann Funktionen – diese Funktion konstruieren bei denen es nicht egal ist aber – die Wirklichkeit – ist nicht so wie's – jetzt haben alle zweiten Ableitungen – daraus bildet man die – Hesse Matrix – an den drei Punkten die – unsere Kandidaten war der erste Punkt war null null glaube ich null null ?? erste Punkt – ich war die zweiten Ableitungen – alle in eine Matrix – Absätze null null drei zweite Ableitung nach X wird – minus vier – die zweite Ableitung nach Y – ist ständig zwei muss sie nicht einsetzen – und diese gemischten Ableitungen – ständig Null in unserem Fall – auch sehr schön – so sieht das aus – und jetzt geht's mir um die – Eigenwerte – dieser Matrix – im eindimensionalen – ?? – im eindimensionalen – ?? einer Funktion einer veränderlichen – ?? – Punkt das ist die zweite Ableitung – wäre zum Beispiel negativ die zweite Ableitung – bis weiter ist eine Zahl – in eindimensionalen – und ich guck mir sie positiv wie negativ das war einfach – ist es jetzt vier Zahlen als Matrix es geht um die Eigenwerte – diese Matrix hier sagt mir – mit ihren eigenen Werten – waren die meine Funktion sich an die Tangentialebene – einschließlich Weise Tangentialebene – ist horizontal – und diese Matrix sagt mir ob meine Funktion sich so Parabel – Paraboid – für mich ein Schnitt von oben – in der Thematik zwei positive Eigenwerte ich in der Richtung brausend in der Richtung raus wird ständig größer – oder – ob meine Funktion sich von hinten – an schmiegt – an die Tangentialebene – der Mathematik zwei negative Eigenwerte – wenn ich raus geh aus meinem zentral Punkt wird meine Funktion – kleiner – negativer Eigenwert – es könnte sein dass diese Matrix – Eigenwert null hat das für sie ungeschicktes ganz anders sein werden sie Matrix ein Eigenwert hatte positiv ist ein negativ – all das ist sehr ungeschickt und manchmal auch – in – dieser Situation zum Beispiel – zum Dachfirst – hätte diese Matrix ein Eigenwert ist null und einen Test negativ – das ist problematisch – weil ist der Dachfirst jetzt etwas so gekrümmt – verloren – ist dieser Dachfirst – etwas so gekonnt tanzen lokales Maximum – schwierig in einer der Eigenwerte null ist – dagegen einer der Eigenwerte Positives – und einer negativ ist eines positives – geht in Richtung auf eine negativ – andere drunter – dann habe ich zumindest die klare Entscheidung das ein Sattelpunkt – weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum – an Rede kurzer Sinn interessiert sich für die Eigenwerte von dieser Matrix – Wasser – die Eigenwerte dieser Matrix – diese Matrix eher selten wirklich ✂ richtig Punkt – sie können sofort sehen welche Einwendungen – sie hat wenn sie die mit eins null modifiziert – sie minus vier mal eins null aus – null minus vier Mal eins minus vierzehn Eigenwert Einzel an ein Vektor dazu – ist ein wertungsfrei – ist natürlich auch – ein Eigenwert – bei dieser Matrix – bin ich zusehends – weiß auch ein Eigenwert – der andere eingeatmet – haben Klammer zu ?? Matrix – mit den Einsätzen – raus – null zwei zwei mal null eins – das war einfach ein Eigenwert des Windes hier ein einen versus zwei – es ist also definitiv ein Sattelpunkt – könne man jetzt direkt ablesen – mithilfe des Rezept dafür sehe das etwas aufwendiger aus aber das Rezept funktioniert netterweise auf einer nicht Null stehen im allgemeinen Fall – schöne Rezepte man feststellen kann ob eine zweimal zwei Matrix eine symmetrische zweimal zwei Partition – Punkt selbst – wenn sie mit zweimal zwei Matrix – Eigenwert – beide positiv sind beide negativ sind oder nicht und was die Vorzeichen über Zins Minusregister – folgende das ist das Rezept ?? bildet die Determinante – minus vier null zwei hatte ich ihn schon gezeigt die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte – in Determinante ist hier – minus – acht – Produkt auf der Haupt Hauptdiagonale minus acht minus null – acht Determinante – das ist das Produkt der Eigenwert auch in der nicht null null steht – ist die Determinante Produkte Eigenwert in das Produkt der Eigenwerte minus achtes zwei Eigenwert der Glücksspielsachen – weiß ich die haben nicht dasselbe Vorzeichen – muss einen positiven haben – einen negativen – das heißt – Doppelpunkt sofort ohne irgendwas – sich vorgestellt zu haben wenn die Determinante negativ ist – für diesen Fall zweimal zwei – Preislisten – Punkt – garantiert kann lokales Minimum garantiert ein lokales Maximum – so die Hesse Matrix – beim nächsten – ?? was war das eins – null – eins – null – X Gleis eins gibt mir links oben – zwölftens Firma acht der ersten gleich – richtig ist also acht – null – null zwei – ?? auch wieder sofort die Eigenwerte ablesen weil die Matrix zu dumm ist – acht und zwei zwei positive Eigenwerte – wenn ich aus der Zentralstelle – rausgehen jedes nach oben ?? X Richtung – schneller nach oben als Ergänzungrichtung – aber es geht nach oben das heißt lokales Minimum – zwei positive Eigenwerte – garantiert ein lokales Minimum – oder – wenn man das mit dem Rezept ausführlichen Schreiben die Determinante – acht null – null zwei ist – sechzehn – garantiert – größer als null damit – es müssen zwei Eigenwerte gewesen sein die entweder beide positiv waren oder beide negativ ?? – kann keine Null sein beide waren positiv ?? weiter negativ – zwei negative Zahlen – ist auch positiv – ?? ?? zweiten Schritt machen – ?? zwei Matrix habe – nicht lustigerweise – dann einfach hier oben Punkt der ist positiv – und das wird das Vorzeichen – beider eigen werde dann sein – Hintern eigentlich immer vor – zweimal zwei Matrix geht das ich möchte eigentlich wissen sind meine beiden Eigenwerte hier positiv sind sie negativ ?? müssen Vorzeichen – Komma hier sich mit der Determinante – beide sind positiv – oder beide negativ – nicht gemischt – positiv negativ keiner ist null – dann kann ich lustigerweise einfach – den links oben angucken und ich weiß ?? sind positiv – Komma Nachrichten – Beistrich – beide sind positiv also – also ist das ein lokales – Minimum – und wenn sie minus eins eingesetzt hätten – darum auch – Plus acht – dasselbe zwei Lokale minimal – und dazwischen liegt – ein Sattelpunkt – gute Frage wie kann er zwischen diesen beiden lokalen Mini war ein – Sattelpunkt sein ✂ wir haben ja – auf – ?? als – Landkarte vielleicht zur erhabenen – Sattelpunkt ihren Ursprung darauf und Sattel – und wir haben hier ein Minimum und da ein Minimum – ist gleich eins ist gleich null ist gleich minus eins – null – Java ?? lokales Minimum – hier Hammer lokales Minimum – wie kann das sein ?? musikegal – sein da muss digital sein – und hier einen Sattel – besonders mit Höhenlinien als Zeichen – wie das im Prinzip sein Beistrich bis es mir überlegen ob diese Fusion wirklich so läuft aber als – Idee – das wirklich so sein – hier bin ich tief unten – mehr – eben nicht mehr ganz so tief in mir wirklich die geographischen – Farben hinzunehmen – hier bin ich allmählich auf – Grashöhe – wie ist das möglich dass da jetzt ein Sattel dazwischen – muss das weitergehen mit den Höhenlinien – Punkt das ist der Gedanke – nach außen ✂ höher werden hier muss es noch höher sein – im System bergauf gehen zu einem Firmenwagen – wird dann noch weiter den Berg – ?? – diese Situation – Zahlzahl – und Tickets den Berg rauf – jetzt nicht ganz so tief – dass diese Zahl ?? das tiefste Tal und den Gänsefüßchen auf – da wieder runter aber sind eigentlich immer noch den ganz großen Zahl – zeichnerische Herausforderung – an das Aussehen – im Prinzip – die Funktion ?? sicherlich – fürchterlich anders aussehen aber dass diese geometrische Situation passieren kann – ?? auf – das ungefähr erkennbar hier bin ich im Tal einiges runter ins Taltickets – runter ins Tal – geben oben auf dem Berg da bin ich oben auf dem Berg – in der Mitte geht's nicht ganz so tief ins Tal – Leerzeichen Verbindung zwischen den beiden Taktik aufgeht – muss rauf gehen und dann komm ich wieder das anderthalb ?? – ist der Sattelpunkt – Beistrich – es geht wirklich – ich weiß ?? die Funktionen so aussieht ?? sich überlegen aber es geht ✂ genau an den Eigenwerten eine Eigenvektoren – können sowas ablesen lassen und die – armen – Eigenvektoren ✂ können sowas ablesen ?? gute Idee bei null null – diese minus vier Eigenwert minus vier ist für den Eigenvektor zum Beispiel eins null ?? X Richtung – minus vier X Richtung X Richtung abwärts – gestalten – und Y Richtung geht aufwärts – in beide Richtungen steigt – am ?? Punkt null null in X Richtung geht abwärts – dass der steife Abstieg in Richtung Y Richtung ist aufwärts genau wie sie gemalt habe ?? das ist ja die – x-Achse und die y-Achse nicht – so quer dazu – X Richtung unter – Y Richtung auch – bei den anderen natürlich in alle Richtungen rauf und sie können sogar jetzt noch ein Zeichen – blitzschnell – aufgeht – in X Richtung geht am schnellsten raufen – Richtung geht am langsamsten auf – das stimmt also nicht dass sie gemalt haben ?? X Richtung muss jeder steilste Anstieg sei das Ziel richtig – wohl auch in X Richtung – viel steiler und Y Richtung muss viel entspannter sein – wenn ich diese Eigenwert auch nachbilden will mit X Richtung habe ich hier ja – viermal so schnell wollen ?? – könnte man alles noch ablesen