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07A.2 Eigenwerte, Eigenvektoren symmetrischer Matrizen


CC-BY-NC-SA 3.0

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was – Eigenwerte angeht möchte ich mal dass sie folgendes untersuchen wie stets mit den Eigenwerten – einer symmetrischen – zwei mal zwei Matrix – aus einer Matrix der Form AHB – B – C – besteht damit Eigenwerten – das A kann beliebig sein wie hier – oben muss dasselbe sein wie das Bild unten Matrix symmetrisch sein soll und dass sie kann wieder beliebig sein – muss mal gucken was dann passiert mir sicher den möglichen – Formalismus durch ?? mit Eigenwert – wenn ich die Eigenwerte – suche – Vorsicht wenn ich die Eigenwertesuche – staatlich nicht mit dieser Gleichungsangaben – ist das hier hingeschrieben – ähm wenn ich mit einem – Eigenvektor – von rechts modifizieren – ?? ich Eigenwert – mal Eigenvektor raus – oder wenn sie das zusammenfassen – das Lamm darüber bringen am Minuslander – zehn Minuslander – kriegen sie – rechts den Nullvektor raus – ich will aber gar nicht mit dem Eigenvektor – hier anfangen mich interessiert das man nur die Eigenwerte – und der Trick war dann eben folgender – wenn meine Matrix – mal einen Vektor der nicht der Nullvektor sein darf ein Vektor Annette Daniels nicht in unser Wetter sein darf die Nullvektor gibt – heißt das gleiche System mit Erlösungsproblem – ein Vektor wird zu null – mein Kern ist nicht – nur der Nullvektor – denn sein ?? Systemproblem – hat genauso vergleichen die unbekannteren quadratischen Matrix weiß ich die Determinante ist nur was dann auch genau umgekehrt geht wenn ich weiß die Determinante hiervon ist nur muss es so ein Vektor geben – interessiert nicht das ?? sondern mich interessiert das die Determinante – von dieser Matrix da vorne null ist das ist die übliche Gleichung für die – Eigenwerte – damit kann man starten in zwei in drei Dimensionen – nicht in tausend Dimensionen aber – für den Gebrauch im Haushalt reicht das erst mal – mit der gleichen staatlich – am – meisten jetzt auch schon auseinandergenommen – sie brechen einfach aus was es jetzt ist Hauptdiagonale – Produkt minus im Diagonalprodukt – also haben ?? flammender – mal zehn – minus Lambda minus B Quadrat – das macht – Frau Weyerlander – Quadratsministern – der Bundesländer – ein Hammer minus – Amal Minuslanderministern – damals Seele sind das insgesamt minus habe sie – Mallander und dann gibt's noch einmal zehn plus zehn – also lösen wir folgende Gleichungslander – Quadrat – minus – A – groß C – mal flammender – Schluss war sie minus B Quadrat ?? gibt's auch noch ist gleich null – ?? geht's eigentlich Lander ist genau dann – ein Eigenwert dieser symmetrischen – Vorsicht – eine stellen Komma falls diese symmetrischen – Matrix ausdrücklich – gesagt eine symmetrische Matrix – am wenn diese gleichen dauernde quadratische Gleichung erfüllt – einen ✂ so ?? IQ Formellander – ist gleich – was vor dem Lander stets schwer minus – und teilweise das Minus fällt weg das macht A plus C halbe plusminus – jetzt den Quartieren – der Wurzelabfluss – C halbe – Quadrat – denjenigen abziehen minus AC – plus – B Quadrat alles – unter der Wurzel des Ganges unter der Wurzel zusammenfassen – sind aller ersten an – ihr steht – A plus C – in Klammern – ins Quadratsviertel – und was ist das A plus zehn Klammer zu vertrat Viertel ist ?? Quadrat plus zwei – A C groß C Quadratsviertel – ?? gefällt mir das besser – jetzt kann ich die ACS zusammenfassen – plus die Hälfte von AC zwei Drittel als sie minus AC – habe ich hier wenn die beiden zusammen fasse minus die Hälfte von AC als insgesamt unter der Wurzel – unter der Wurzel ?? Quadrat minus zwei AC – groß C Quadrat – Viertel und das B Quadrat bleibt dann auch – so – das hier kann ich jetzt weiter zusammenfassen – hier steht – A minus – C – Quadratsviertel – plus – B Quadrat – unter der Wurzel – was wissen Sie jetzt über diesen Ausdruck ✂ genau das war dass sie der Umformung hier steht ein Quadrat – und noch ein Quadrat dieses Ding hier was herauskommt – unter der Wurzel kann nicht negativ werden für aktuelle Zahlen A B und C – als Summe zweier Quadrate ist das es auf jeden Fall größer gleich null – das heißt ich kann immer die Wurzel ziehen – es gibt immer einen Eigenwert – man kann zu Fuß nachrechnen – dass so eine Matrix von – dieser Sorte – sah sie aus AHB – BC – eine Matrix von dieser Art hat immer mindestens ein Eigenwert – also jede symmetrische – rituelle Matrix hat immer mindestens ein Eigenwert ?? Matrizen gesehen die keine Eigenwerte hatten und welche Matrizenkonten – hatten keine Eigenwerte ✂ ?? Beistrich Drehungsmatrix – um – zwanzig Grad und neunzig Grad nicht um hundert achtzig gar nicht null Grad – die übliche Drehungsmatrix hat kein eigenes ?? von der wissen jetzt aber die hat immer mindestens einen Eigenwert – immer mindestens ein Eigenwert typischerweise – sogar zwei – schreibt nur EW für Eigenwert – wandert sie den einzig genau einen Eigenwert wenn sich den ausdrücklich unter der Wurzel angucken wann hat sie genau einen Eigenwert und nicht zwei – ?? ✂ sie haben genau dann eine Lösung dieser quadratischen Gleichung nur eine Lösung der quadratischen Gleichungen – unter der Wurzel null steht – dann sehen Sie Ober kann das passieren – B muss Null sein – ?? für das B Quadrat nicht nur des groß A gleich C sein – eine symmetrische Matrix – bei der B null ist – der B null ist und bei der A gleich C ist – ein Vielfaches der Einheitsmatrix – also wenn ich nicht zufällig ein Vielfaches der Einheitsmatrix – habe hat Sisdings sogar zwei verschiedene – Eigenwerte – die – eine symmetrische Matrix in zwei mal zwei ?? typischerweise – zwei verschiedene Eigenwerte – außer sie ist zufälligerweise – ein Vielfaches von der Einheitsmatrix – an das zeigt einem schon das symmetrische Matrizen – ansatzweise zeigt an dass das symmetrische Matrizen in eine besondere Bedeutung haben – wenn sie sich – dem – Trägheitstensor – vom – vorletzten mal genau angeguckt haben wenn sie auch feststellen ?? es auch symmetrische sind dreimal drei symmetrisch – auf der Diagonalen steht was will – aber diese Zahl da oben ist dieselbe wie die – diese Zahl hier oben ist dieselbe hier unten – und diese Zeit hier rechts ist dieselbe wieder die da unten das gilt für den Trägheitstensor – des lustigerweise auch symmetrisch viele physikalische Größen – die dann Matrizen werden sind symmetrische Matrizen – von denen weiß man – dass die sehr gut in in Eigenvektoren – fällig bei sämtlichen Einrichtungen zerlegt Beistrich insbesondere – ob sich vorgefertigte – zumindest erwähnt haben Komma zeigen wenn sie – Einrichtung haben zum einen Eigenwert – und sie haben andere Richtung zu einem anderen Eigenwert dann müssen die beiden senkrecht aufeinander stehen – bei den gestern – typischerweise – sind drei verschiedene Eigenwert und entstehen diese drei Richtungen – alle senkrecht aufeinander – das – kennen sie auch mit dann aus der Physik die – da Hauptachsen – vom – Trägheitstensor – wenn ich irgendein Objekt habe welches auch immer – hat das drei bevorzugte – Achsen die alle senkrecht aufeinander stehen diese Achsen dreht es sich ohne zu taumeln – am ?? das sind dann genau die Achsen entlang der – Eigenvektoren – sowas kommt dann plötzlich aus symmetrischen Matrizen raus dass man sie – mithilfe von – Eigenvektoren – personalisieren – kann heißt das danach hervor eine nur dass diese Eigenvektoren – zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht auf einander stehen – ähm ja das sie vorgeführt es gibt einen kurzen Weg das zu zeigen der's aber sehr – rechnerisch – man versteht nicht genau was da passiert eigentlich von der Rechnung werde der Arm – der Trick dahinter ist wenn ich zwei Eigenvektoren – habe und ich bilde folgendes – mit seinen symmetrischen Matrixarm – an dann kann ich diese Matrix von der einen Seite auf die andere – schieben das sie rechnen stattdessen – für symmetrische Matrix davon das Rechnen – schon einmal darüber nachdenken – dass das geht – am ?? – sieht aus wie in Rechentrick – geometrische so ganz leicht zu verstehen Komma dass dann weiter durchführt – einfach zu sehen das ?? – Eigenvektor zu verschiedenen Eigenwerten bei solchen Matrizen senkrecht davon unterstehen – das noch mal als historische Fußnote warum symmetrische Matrizen – dran sein können nach ?? nicht automatisch – so eine Zerlegung – in senkrechte Richtungen – dass es kein Zufall dass der Katzen so passiert – an – ihr zu Fuß ?? mal gesehen es gibt zumindest immer einen Eigenwert – anders als bei den üblichen Währungsmatrizen – oder typischerweise sogar zwei verschiedene Eigenwert – zeigt einem schon ansatzweise – das etwas Besonderes passiert