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25A.2 Bogenlänge, Kettenlinie, Cosinus hyperbolicus, cosh


CC-BY-NC-SA 3.0

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bisherging das ja alles noch so glimpflich ab ohne integraldie alten Griechen hatten kein Integrale mussten erfinderisch seinamjetzt mal etwas schwierigeresdie Länge einer Kurve die sogenannte Bogenlängeam einfachsten das war die Länge einer Funktionskurvesollte noch mal erklären wo die herkommtLänge einer Funktionskurvewenn sie?? haben Sammel von X gleich A bis X gleich Bund Besuch ist die Längeals interne Bogenlänge arg längstBogenlänge dieser Kurve von X gleich A bis X gleich Bdann kann man sich vorstellendas man hierein Polygonein Vieleckdurch legten sie den Honig gut zu erkennendass man sich ein Vieleck durch Lichtin regelmäßigenAbständenunsdiese Längenentlangvon dem VieleckeAufsummenund dann sollte das die feiner dieses Feelingwirdje feiner diese Streifen werden desto genauer sollte das passen was ist der Gedanke??es werden dann unendlich kleine Sachen in Anführungszeichen untendie kleine Sachen zum Schluss Aufsummenund sich überlegen was man denn darauf summiertfür so einefür so ein Streifendiese längliche Summierung für so ein Streifen auf wenn ich sage ich dir ein Stückchen Behälter X zur Seitedenke ich ein Stückchen Delta Ynach obendann weiß ich wie lang das ist PythagorasDell der X Quadratgroß Delta Y Quadratundüber dielineare Näherung kann ich sagen was Delta Y ungefähr istgegen sie Delta Y mit den Jahren Näherung der Funktion rausmuss natürlich in der Tat die Ableitung haben Delta Ysolltein sehr guter Ernährung die Ableitung meiner Funktion mal Deltaeck seindie Ableitung einer Funktionan der Stelle X malTilde ist das heutige stellte Y seinein Stückchen zur Seite wie weit geht meine Funktion nach obenAbleitung mal gewaltig zur Seite gegangen bin und das kann ich jetztbenutzenPlatz gelassen hätte geschicktwenn ich Platz gelassen hätte und das benutzendann steht hier nämlichdas ist die Wurzel aus Delta X Quadratsklosund jetzt das Ding hier Quadrierenalso F Strich von XQuadratmeterXQuadratund jetzt kann ich der X ausklammerndann steht da das ist die Wurzel aus eins Plus die AbleitungQuadratmalBilder Xalso diese Stückchen hierdiese Sehne entlang meiner Kurvenicht genau so lang wie die Kurve aber ziemlichgenau so lang immer genauerähm diese Sehne hierhat die Länge Wurzel eins Plus Ableitung Quadrat mal Tilde X in guter Näherungdas heißtwas ich jetzt eigentlich auf summieren muss im integralist das hierkonsumierediese ganzen kleinen Stückchen auf von A bis Bund zwar Wurzel eins Plus die Ableitungins Quadratund es ist älter X wird dann bei den Physikern und Ingenieuren zu die Xdas wird nachher im integralstehenanschaulichmacht man das dann so dieses Delta X immer kleiner immer kleiner wird hier dieses in Anführungszeichenunendlich kleine Wegspioniereauf über alle Streifen nicht dazu habedas Stückchen und das Stückchen Unterstückchen Unterstückchen über alle Streifen zum Schluss habe ich die Länge dieser Kurvedie gesamte Länge wenn sie Maßband nehmenschneidermäßigeMaßbandeinen Maßband nehmen und entlang dieser Kurve nehmensosagt das Maßband nachherkeine Ahnung?? hundert acht neunzig Zentimetergenau das ist mit der Bogenlänge gemeintdas muss das Ergebnis sein Punkt damit kann ich dann schon länger ausrichten ich brauche die Ableitung einer Funktionsquadrateins dazu die Wurzelkönnen Sie sehen mal wieder eine Formeldie gar nicht so schwierig ist man sein Pythagoras verstanden hat kommt schon wieder Pythagoras vorder Britin Uhse in diesemDreiecksieht etwas ungewöhnlich aus der Pythagorasweil ichhier den ersten ausklammern kann dieses Delta X Quadratbei beiden drin das kann ich ausklammern?? eins Plus Beistrich von X ins Quadratdas muss man ein Beispiel an nämlich folgende KurveBeispielandiese Kurve Yist gleicheine Konstantemal den Kosinushyperbolicusvon X durch diese KonstanteTätigkeiteinfach vor der stetig zielende steht zwei ?? vierzig die ganze Zeitaber so habe ich dann noch bisschenSpielmöglichkeitanund sicherheitshalbergroßes hyperbolicusKomma zwar häufiger in der Vergangenheitder Kosinus hyperbolicusist die hoch Xplus E hochminus X Halbehat dir diese Formfast wie eine Parabelzeichnen hier fast wie eine Parabelaberauf lange Sicht viel steiler als eine Paradeund unten etwas flacher als eine Parabel kriegt man sowasUnixwird hierfür positive X stark explodieren jedoch minus X wird für negative Lichtstärke explodierenes sieht zwar aus wie eine Parabel?? bei genauer Betrachtung ist der links und rechts viel steiler als eine Parabel weil er eben nicht mit X Quadrat mit ihrer X gebenwenn sie null einsetzeneins plus eins Halbe hier sind auf der Höhe einsokay bestimmen Sie mal die Längen dieser Funktionskurvezwischen irgendwelchen Zahlen A und Bvon Abis B wie lang ist diese Kurveanstrengenso wie lang ist diese Kurveals auch als erstesmal die Ableitung von Y nach X was ist die Ableitung von C Markus hyperbolicus von X Cich brauche die AbleitungvomSee eine Konstante mal großes hyperbolicusvon X durch Cnach Xdavon steht Konstante die kann ich das stehen lassen C maljetzt kann ich mitKettenregel arbeiten die Ableitung vom großes hyperbolicuswissen was schon ist der Sinus hyperbolicuswird auch zu Fuß ausrechnen aberhoffentlich ändert sich noch einer der beiden großes hyperbolicusvieles hyperbolicusanders als bei Sinus und Kosinus teilt die Ableitung von Kosinus minus der Sinus großes hyperbolicussoweit ist das ?? Plusgroßes W wurde ?? Button ist plusSinus hyperbolicusdas wäre die äußere Ableitunggroßes hyperbolicus ableiten äußert Ableitungmalinnere Ableitungwas ist die Ableitunggenau in drinnen steht X durch C sieleiten ab und kriegen einst durch Cdann kürzlich das Ziel sodas es mein F Strichtastet sich etwa vorsichtig in dieser Formel für die Bogenlänge eindie ist alsovon A bis BWurzel eins Plus diese Kiste ins Quadratder Sinus hyperbolicusvon X durch Cins Quadratdie Xdas war die Bogenlängesie nehmen eins Plus die Ableitungins Quadrat unter der Wurzeleins Plus die Ableitung ins Quadratunsich weiß nicht ob sie sich nochan folgendes erinnernPunktwir haben das Sinus Quadratplus KosinusQuadratist gleich einsund was haben ?? bei Sinus hyperbolicusund großes hyperbolicusgenau bei den symbolischen was so rum der KosinushyperbolicusQuadrat minus der Sinus hyperbolicushyperbolicus Quadrat war einzelne mal nachgerechnetkann man sichnotfallsohne Vorzeichen nicht mehr weiß so veranschaulichender großes hyperbolicus sich ganz außen der Sinus hyperbolicus geht ja fast so wie der tangentialnachTangens hierdurch diedurch den Ursprungganz gelungendas hoffentlich nie ganz unplausibelden großes hyperbolicus Quadrierenund dann in Sinus hyperbolicusQuadrat abziehen?? was Negativesbeiden schmiegen sich überhaupt schön aneinandersubventioniertdas ist der Pythagorasin Anführungszeichenfür großes hyperbolicus und Sinus hyperbolicusdas ist lustig bei ihr steht eins Plus Sinus hyperbolicus Quadrateins flüssiges hyperbolicusQuadratist großes hyperbolicusQuadrat damit habe ich die Bogenlänge ist das integral von A bis B die WurzelausKosinus hyperbolicuseinevon X durch meine KonstanteQuadratTXnetterweiseist der großes hyperbolicusja ständigpositivdas heißt wenn ich die Wurzel aus dessen Quadrat sehr glücklich was rauskriegen mir da das Ding als solches raus hier drin steht also ganz zwischen der Reifen der Kosinus hyperbolicusich muss integrierenvon A bis BKosinus hyperbolicusX durchziehendieSoda arbeitet zwar selber weiter das ist ja ein klassisches integralwas wäre eine Stammfunktionwas kommt rausich versuche also eineStammfunktion zu ratenderKosinus hyperbolicuswas keine Stammfunktionsein wird schonirgendwas mit dem Sinus hyperbolicusseinprobieren wir mal X durchziehenob das sein kannwenn sie den Sinus hyperbolicusableiten??in Sinus hyperbolicus ableitenklingt in der Tat den großes hyperbolicusrauswegen der Sinus hyperbolicuspositive Steigung großes hyperbolicus positivsowohl groß positiv steigenund sich positivund kein Minus oder wasauch schon bei normalen Sinus nicht wie die normalen Sinus ableiteich den ganz normalen Kosinusdanndasist aber noch nicht ganz richtig denn wenn sie den ?? ableitenmit welcher Regel müssen Sie das ?? ableitenRegel ableiten wenn sie mit Kettenregel ableiten klingt noch mal eins durch Cdas Ungeschick mal einzig Ceres ist kein Problem das KinderheimeSchreiben einfach zehnmaldavorund habenden großen hyperbolicus der vorne wieder raus in den Grenzen von ASPalso finde ich die Länge LeerzeichenC mal der Sinus hyperbolicusvonB durch CminusC mal der Sinus hyperbolicusvonA durch Cdass es lustig weil das bedeutetdas die Länge dieser Kurvewas mit der Ableitung zu tun hatLängedieser Kurve hier hat was mit ihrer Ableitung zu tun das istsehr eigenwilligdavon Komma sich jetzt mal besonderen Fall anguckenKommanämlich wenn ich hier bei A gleich Null starteundbis B gehenden Fall an SpezialfallA gleich nulldiese KurveXund Ynicht mit dir anguckenwas ich nämlich jetzt lerneist folgendesphysikalischeAnschauungwenn ich mir vorstelle welchedas dass dieses irgendein Objekt ist das in der Gegend hängtweit erstmalig ein starres Objektausgeschnitten aus Kartonich überlege mir jetzt welche Gewichtskraftwird auf dieses Objekthabendie keine Gewichtskraft ausrechnennachdemwas ich bisher habedie Gewichtskraft sollte proportionalzur Länge seineine Konstante mal die Längevon dieser Kurvewenn ich das hier aus irgend einem künftigen Material ausschneideMaterial hat eine bestimmteäh Dichtepro Meterlang Jahr hundert Gramm pro Meterdann ist dieGesamtmassediese Dichtemal die Länge die Gewichtskraftist eine derKonstanten ?? Multiplizierengastiert irgend eine Konstante in die Mayday wird irgend eine Konstante seinmal die Längeund nimmt sie einstdie ConsultingfirmaC eins eine Konstante mal die Länge dass wir die Gewichtskraft seinesBetrag der Gewichtskraftunddas kann man sich noch ?? andere Sachen überlegendannwenn das Ding hier oben irgendwo aufgehängt ist in der Wandnicht mehr überlegenokay dann wird an dieser Stelle die besagte Gewichtskraftgenau dieselbeund es wird auch noch eine Kraft nach links wirkenund netterweiseist diese Kraft nach linksüber an jeder Stelle der Kurve dieselbedie muss auch hier unten wirkendie Kraft nach linksdurch die ganze Kurve durch denn es kommt nie was dazuist ein Stückchenan der Kurve anguckendann wird sie Stücke immer noch und Nutzung des Whitney ein Stückchen nach links gezogendeshalb muss diese Komponente der Kraft immer dieselbe seinund da bin ich also zum Schlussbei dieser Konstruktionhier habe ich eine KonstanteüberseheC zweiund hier habe ich C einsmal die Längeich weiß aber was die Länge istdie Länge istwenn ich A gleich null setzehyperbolicusist dann nur die Länge ist zehnmal der Sinus hyperbolicus von B durch CBist also C eins mal zehnmal den Sinus hyperbolicusvon B durch Cund nun kann man sich überlegen in welche Richtung diese Kraft den wirkt die dahier die hier anliegtso denkt mehr anwelche Richtung wirkt diese Kraftkann einfach dieses jetzt vergleichen mit derAbleitung ?? sich das angucken was finde Steigung wir habendie Steigung der Kraft sozusagenschräger Begriffhaben die Steigungder Kraftim Sinnewelche Neigung hat dieser Vektor hierdas wird seinwas die sechs Komponente ist in eine Konstante C zweiwas sind schon Komponente istdas durcheinander teilen diese ?? Komponente durch dieseX Komponente teilen wird irgendwas sein wie C einsdurch C mal C mal den Sinus hyperbolicusvon Bdurch Cund das ist netterweiseproportionalzur Ableitung proportionalzu F Strichdie zweite schreiben ist schonwenn ich meine Konstanten richtig einstelle ?? darf ich sogar dass das gleich der Ableitung wirdMinister gleich der Ableitung ist heißt das meine Kraft wird ständig tangential zu dieser Kurvedas gilt natürlich nicht nur für den Punkt da obendas gilt für alle anderen zwischendurch wenn ich mir diese ganze Kurve anguckenin jedem Punktist die Kraft die durch den Rest der Kurve verursacht wird Tangentialbrotin jedem Punkt ist diese Kraft tangential zur Originalkurveso wird die verlaufenund das heißt wenn ich diese Kurve malausgeschnittenhabe aus Kartonkann ich die auch in kleine Teile zerlegen ständig vor die wir aus Karton so ausgeschnitten die Kurvekönnen Sie jetzt auch in kleine Stücke zerlegendie sie locker mit irgendwelchen Fäden aneinanderhängenund dann wird die Kurve in dieser Form bleibenweil die Kräfteimmer nurtangential wirken die wird nicht gebogen diese Kurve weil die Kraft immer dann installiertmit anderen Worten das ist eine Kurve die von einem Seil angenommen werden kann von einer Kette angenommen werden kannkein starrer Körper seinsondern eine Kette wird genauso vereint das istdeshalbdie Kettenliniedieses Ding nennt sich Kettenliniedas ist der Kosinus hyperbolicusin dieser Form sind es aber verlierter großes hyperbolicus in dieser Form ist die Kettenliniewenn ichein Seilfrei hängen lasse oder eine Kette frei hängen lasseist das in sehr guter Näherung ein großes hyperbolicusist keine Parabelsieht erst mal aus wie eine Parabelaber man genauer hin Punkt es großes hyperbolicusdas natürlich auch ein Modell sieht keine Kette die wirklich perfekt zu hängtaber das ?? schon ein sehr gutes Modellandas sieht man am ehesten wenn man Kettensehr lang hängen lässtEtikette so hängen lassen will das nicht deutlich auf das tastengroßes hyperbolicuskein Sinus ist wenn sie die so hängen lassen?? in das es hier praktisch senkrecht wird und da wird es praktisch senkrechtin der Kettedas kann keine Parabel seinaber es ist lustigerweisein sehr guter Näherung ein großes hyperbolicusdas Anwendung für den großes hyperbolicusdich unterschlagen habe als ich was über diese beruflichen Funktionen erzählt habe