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24.5 Kurvenintegral


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieletzte Sorte Integralund das letzteoffizielle Thema für die Semesterkurvenintegraldas hat auch mit mehreren Dimensionen zu tun aber auf etwas andere Weise des guten Integralwird die ganze Zeit was erzählt wie ich übermehrdimensionaleGebiete integriereeine Funktion hängt von mehreren veränderlichen abIntegrationsgebietim mehrdimensionalenund integriere dann zweidimensionaloderdreidimensionaldas Boden integralhat eineindimensionalesIntegrationsgebietinsofern scheint es einfacher zu seinaber das eindimensionaleIntegrationsgebietwenn Sie wollen isteine Kurveund schlängelt sich durch den Raumdeshalb rufen Integralintegrationentlang einer Kurvealso nichteine Pfütze auf der Gibson eben oder mehr oder minder geformter Stein oder Luftballondreidimensionalsoll eine Kurve im zweidimensionalenoder im dreidimensionalendas kommtinsbesonderein der Physik dranwenn es um Arbeit gehtich bewege ein Teilchen entlang einem Wegund frage mich wie vielArbeitständig reinwie viel Energie wird freidas ist ein integral entlang der Kurve das kommt dann auch vorWerdensin der Elektrodynamikdrum gehtmit Spuren zum Beispielzu Arbeiten sie haben eine Spule dieser Artein Magnetfeld dadurchals angefangen muss erst hat das Magnetfeld mal so sehr mein Magnetfelddurch eine Spule durchArmen und die Frage ist welche Spannung wird in dieser Spule induziertdann geht das mit einemhohen integralum den Draht herummarschiere mit dem Pfad hier der Fahrt ist mein mein gebogener Drahtund das Gurken integral ist dann entlang von dem gebogenen Draht da kommt das auch normal vor Punktzwei Stellenvorallemich erzählst nur mit der mechanischenArbeitund zwarich bewege einen Masse Punktdurch einKraftfeldschwerefeldElektro Startschuss fälltirgendwasübt eine Kraft auf diesen Punkt aus und diese Kraft darf von den Koordinatenabhängen von mir ist das hier die Kraft so zahlreichdass sie die Kraft so bezeichnet ihr sound jetzt reichts von mir so an jedem Punkt des Raumszumindestan den Stellen durch die durchkommenist ein Kraftvektor definiertein Vektorfeldund mich interessiert jetzt wenn ichmeinenProbekörperhier von der einen Stelle zu einem Stelle bewege entlang von diesem Pfaddiesen Arbeiten verrichtet wordenist frei geworden dabeikamder Gedanke ist das jetzt auf zu sanierenin seiner Art Internat in einer Energiebilanzmöchteich ?? das jetzt mal ganzformal hin ich möchte über den Pfadintegrierennichtwie ebenüber ein zweitem Essen als Gebiet der Kreisscheibeoder nicht bei dreidimensionalGebiet diekugelgefüllteKugelmöchte entlang von diesem Pfad integrierenund aus physikalischer Anschauung heraus möchte ich folgendes integrieren Kraftvektormal Wegvektorsie wäre die Kraftdieser Stelle angreiftund dann stellt man sich als Physiker oder Ingenieur vor undenklichen kleines Stückchen weiterdass es mein DSein unendlich kleines Stückchen kriegen diemeisten Mathematiker grauer Haare aber stellt sich dann vor okay beginnen endlich ein Stückchen weiter und werden vielleichtdiese Kraftdann gehe ich nur ein Stückchen weiter und dann wird vielleichtdiese Kraftund ich gucke mir jeweils an welche Arbeit verrichtet worden ist positiv oder negativ welche Arbeit hier verrichtet worden ist von einem Stückchen zunächst ?? und wenn ich die alle auf summierenweiß ichwas die Gesamtarbeit wardas ist der Gedankeund das hier ist jadieArbeit die ihr anfälltKraft maldas Stück des Weges im Skalarproduktversteckt hinter dem Kurven integral die Frage ist nicht diese Kiste jetzt ausrechnenkann weil das ja eherabstrakte Angelegenheit ist was wie kann ich dieses Integralnetz aus Sensors hatten in der Schule nicht nach dem Motto ähmdas sieht nicht aus diesem handelsüblich integral?? X Quadrat malte X weiter hintenmit Vektor steht und hier steht was mit Skalarproduktder Trick ist einfachdas umzuwandelnsagen das definierenwir als folgendesfür die Nummer dreizehnbekommen und den Fahrplandieser Probekörperfährt mit irgendeinem Fahrplanauf dem FahrradT nullsie ein sehr soll zur Zeit T nullStaatenmit seinem Fahrplanund zur Zeit T einshinten endenWähler einen Fahrplan für diesen Probekörperund jetzt hört sich einfach ein was über den Fahrplan weißder geht nämlich von T nullbis T einsintegriert wird über die Zeitder ?? muss man sehen was man jedoch dazu dichtenmuss damit das hinhautanich brauche dieKraftan dem Ort an dem ich zur Zeit Tbinbis dahinzurzeit die drittes einmal zur Zeit Tbin ich an irgendeinem Ortmich interessiert die Kraftan diesen Ortan dem ich zur Zeit eben das UN Kraftfeld seine soll von dem Ort abhängenkönnen Sie auch gerne von der Zeit abhängen lassen und typischerweise jetzt nur von dem Ort abhängen und nicht von der Zeitals mein Kraftfeldan diesem Ort der Ort ist X von Tdie Position dich zur Zeit eh habedas Kraftfeldan diesem Ortund jetzt möchte ich wissenwas in den nächsten Millisekundehier an Arbeit anfällt vernichten Stückchenweiter gehenhier noch ergänzen damit das hinhauen kannKomma solange man sich die Einheiten gucken Punkt NewtonSekundeaber Newtonmeterhier muss verstehen wie Meter durch Sekunde dann bleiben Newtonmeter Meter ?? Sekundedie Geschwindigkeitoffensichtlich muss sie die Geschwindigkeitstehen schreib das mal so TX von T nach DT der Geschwindigkeitsvektorgenauer gesagtanBilla City wie der Amerikaner sagt nicht die Split sondern die Villa City der Geschwindigkeitsvektormuss hier steht der Kontinente Skalarproduktrein und die Welt ist in Ordnungdas ist einintegralklassischerArt es wird integriertüber eine ganz normaledumme VariableAnfangszeitbis Endzeitdas einzige unschön ist was integriert wird es wird ein SkalarproduktintegriertKomma so sei es das könnte theoretisch zumindest lösen müssen wie dies integral geht mitetwas Glück wenn sie hiervon stampfen zu können es lösen ansonstengeht es eben numerischdas soll dann das Kurven integral sei das integralentlang einemgegebenen Pfadübersetzt das in dem man den Pfadmit einem Fahrplan versieht das Wasser erstarrte dreizehn nullAhnung zehn Sekunden ?? endet bei vier StundenundKlammer auf seine Funktion ?? sagt okay zum Zeitpunkt drei Stunden fünf Minuten bin ich von folgendemRaum Punkt zum Zeitpunktäh zwanzig Sekunden bin ich anfange Raum Punktdas ist X von Tan der Stelle Beistrich dieses Kraftfeldhier mal Skalarproduktdas ist die Skalarprodukt im Endeffekt malGeschwindigkeitsvektorgibt das was ich habeingenieurmäßigkönnte sagen ?? ich doch kürzen und das ist genau das was da sowieso links gestanden hatinsofernsind die Ingenieure und die Physiker an der Stelle gar nicht überrascht dass das dann die Definition ist das ist doch offensichtlich dasselbe weil ich einfach in Anführungszeichen kürzen ?? mathematischesnatürlich etwasvorsichtigerzu nehmenandieses Ding gibt's noch einer besonderen Schreibweisedas habe ich im Skript aus buchstabiert wenn sie so einen Fahrrad habendas sind sie gernenachher bei irgendwelchenLeitern durch die Magnetfelderfließen wenn sie so einen Fahrt habenwir das integral dieses kurvenintegralgerne so geschriebenmit einem Kringel dadurch zusagen schlossen