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K08 kubische Parabel, Zahl der Nullstellen


CC-BY-NC-SA 3.0

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??wird aufgefallen sein das ich hier nicht nach null Stellen gefragt habenull Stellen sind lediglich wegen X hoch dreidas würde ich ihr Wolfram Alpha überlassen aber wir können uns über die Nullstellenvon dem Polynom ?? oben gerade mal Gedanken machen X hoch drei plus drei plus eins nämlichdie Fragewie vieleNullstellenhatdieses Polynomes ist nicht so leicht zu sagen welche das sind aber sie könnenName der Bissüberlegung sagenwie viele das sindnatürlich auch wieder für Elixierganzheitlich zu machen??wirklich nicht nach den Werten von X damit das null wird die Fragewie viele solcher Werte es gibtwie verläuft diese Kurve das möchte ich wissenwie oft schneidet diese Kurvedie x-Achse?? nun dritten Grades hateine zwei oder drei null Stellenmuss mindestens eine haben weil es jaentweder von mir persönlichkommt nach plus unendlich gießenund dadurch die Achse muss oder umgekehrt von schlussendlich kommt nach minus ?? gehtund dadurch die Achse mussalso hat es einen bis dreinull Stellennicht nur des Reisenden ein bis drei null Stellenbei einmalähm in die Busch Parabel so nicht haben wir drei null Stellenwenn sie so Licht haben wir eine neue Stelle wenn sie sozwei null Stellenwas sich erstmals interessieren würde um eine Idee zu kriegen was da passiertist Punktwo der Berg und das darlegen wenn's die überhaupt gibt'sdie kubische Parabel kann genauso verlaufen dass es keinen Werken kein Teilgebiet das genau passieren??ich werde mir also die Ableitung anguckenund mal überprüfenob die Ableitung der null wird oder nichtwenn ich rauskriege dass die Ableitung null wird dann würde ich mirhier dieses lokale Maximum da das lokale Minimum anguckenwenn das lokale Maximumeine positive Zahl ist und das lokale Minimum eine negative Zahl ist dann bis sich Ahadas Ding muss dreimal durch die Achsefür das lokale Maximumeine positive Zahl des lokalen Minimum auch eine positive Zahl istfür null Stellen Sie danndann müssten sie sie hätten eine Nullstelledarunterinsofern ist es spannend hier sich die Lokalmacs nur minimal anzugucken wenn's die denn überhauptgibtmuss es rausfinden?? die gibt's gar nichtwerdenund damit ist das ganze noch einfacher als wir gucken uns mal an was die Ableitungdie X hoch drei plus drei plus eins was passiert wenn ich die ableite dann habe ichdreimal X Quadratfußdreiwenn ich mich nun frage okay kann das Ding eine horizontale Tangente habendann müsste hier Null rauskommenund sie sehen aber auchdas ist immer strikt größer als nullX Quadratreelle Zahl X istab null aufwärts dreimal ?? quadratisch Doppel aufwärts sie addieren drei das ganze ?? drei aufwärts ist kann nicht null werdenes gibt nirgendwoeine horizontale TangenteEnteund das heißt man hatkein Buckel drindas kanns nicht seinwas man haben muss ist diese Situationeine kubische Parabelohne lokales Minimum ohne lokales Maximumdies streng monoton steigend das heißt dass hier auch die Ableitung ist positivüber ein Intervall von minus unendlich bis plus unendlich ohne Lücken ist die Ableitungpositivviel mehr wissen wir alsodiese Funktion ist streng monoton steigendund eine streng monoton steigende Funktion nimmt jeden Wert nur einmal analsoeine einzige Nullstelle sind eine Nullstelle muss sie habenals kubische Parabelsie keinen Wert nur einmal annehmeneine einzige Nullstelleerstmals Beispiel das man was über null Stellen sagen kann ohne sie berechnet zu haben ?? bisher noch keinen Schimmer wo die Nullstelle nichtaber ich kann sagen es gibt nur eine und nicht zwei und nicht dreiambei dessen Einstellen nicht ganz so klar warKomma was umgedrehtesich hätte gerneumgekehrt eine komische Parabel ?? zwei null Stellen als Formelngeben sie eine Formel aneine Rechenvorschriftoffiziellgeben sie eine Formel an für eine kubische Parabel mit zwei Nullstellengenau zwei null Stellenalso nicht mit dreigenau zwei Nullstellendas mit den Nullstellen von Polynomenwenn Sie wissendass ein Polynomirgend eine Nullstelle hat über sieaber und nenne sie hier B und vielleicht da noch eine sehr ?? wenn sie wissen dass ein Polynom?? drei Nullstellen hat dann wissen Sie dass sie das schreiben könnenPolynom istdieses Polynom schreiben können alsX minus A mal X minus B mal X minus C malein anderes Polynomstellen kann man abspalten?? siebzehn null Stellen sogar mehrfach die sie keine mehrfache null Stellennie etwas anders aussehenBeistrich malwenn dasso aussehesieht aber aus wie einedoppelte Nullstellenur sowasBeistrich sogar der vierfacheNullstellezielenBeistrich eine vierfacheNullstelleglaubenGoogle ganzplatt angeht so dann wäre zwar zu vierfachen Nullstelledieses B ist vielleicht der dreifache Nullstelledreiall das könnte jetzt passierenBeistrich dassdas jetzt aber noch mal an amwas passiert ?? mehrfache null stellen Visite Kurvenverlaufaus bei mehrfachen null Stellenjede Nullstelle des Polynomkönnen Sie abspaltenso ein Faktorund hinten bleibt ein weiteres Polynom über das kann man weiter treibenbis dieses Polynom hinten keine Nullstellen mehr hatmit komplexen Zahlen heißt das netterweise sehen einfach nur Faktoreine feste Zahl übrig bleibt mit reellen Zahlen das nicht ganz so leicht Ariel zahlenein Polynomdas kein Nullstellen hat ganz aktuellen Zahlen auch aussehen wie zur zwoundvierzig bis dreiPlätzen zeige das noch weiter mit reellen ZahlensenderFeierabendso davon ausgehendsuche ich jetzt ein Polynom dritten Grades eine kubische Parabel ein Polynom dritten Grades mit genau zwei Nullstellendas heißt ja wohl das eine eine doppelte Nullstelle sein musszum Beispielandem sie eine doppelte Nullstelle beinullmal X minus einsvon mir aus sowas tatsächlich eine doppelte NullstelleNullstelleist gleich nullund hier habe ich eine einfache NullstellebeiX ist gleicheinsgerade noch mal anguckenwas wissen Sie per se über den Verlauf dieser Funktionkönnen Sie alles zusammentragenwie die Kurve sich durch dasKoordinatensystemschlängeltgenauso die ist nicht streng monoton steigend denn sie hat zwei Nullstelle einekomische Parabel mit zwei null Stellenin das kann nicht streng monoton steigend seinen besten Willen nicht der alte Wert muss ja noch ?? wieder angenommen werden ?? irgendwie muss ich zu der null zurückweshalb ich ihn mit einer streng monoton fallendenoder steigenden Funktionan was ich auf jeden Fall weiß der führende Kern hier ist X hoch dreisie ausmultiplizierenansi X hoch drei minus X Quadrate führen mit der Miss X hoch dreidas heißt hiermit Platzvier kommen von links unten und gehen nach rechts obenmusskommen und nach darum gehenich weiß beiX gleich Null habe ich eine doppelte Nullstelledas heißtentwedergehe ich soan die x-Achse bei ist gleich null oder ich geh so an die x-Achse Beistrich gleich null und eine Stelle ist gleich eins habe ich eine einfache Nullstelledas heißt eine Stelle eins gehe ich so durch die Achse oder so durch die Achseeinst ein Schreibenanund sie sehen welche Möglichkeit sie haben diese Punkte zu verbinden wenn sie aus dem negativ unendlichen Komma na das muss anscheinend dieParabel hier sein wie von unten kommtPunkt ich gehe wieder nach untendann muss ich hier von unten nach oben durch die eins durchund gehe daes plus unendlichedas muss der Verlauf seinund das muss natürlich nur ordentliche kubische Parabel seines meiner ?? kubische Parabel anso ist sie vielleicht schon etwas hübscher als eben sie muss jaPunktsymmetrie Scheinals kubische Parabelso wird sie aussehenamsollten hier vielleicht Komma da die Steigungangebenan der Stelle einshaben sie unter dem Mikroskophier eine geradewas ist die Steigung dieser gerade ohne dass die Ableitung ausrechnen was ist die Steigung dieser geradenalsdie Steigung an der Stelle einsohne die Ableitung ausrechnen dieses hierist genau der Therme den Nulldurchgangmachtund der die gerade da macht unter dem Mikroskopeine Gerade mit der Steigung einsdurch diese Stelle durchum sich ?? dran was übrig bleibt wenn sie eins einsetzen steht ihr vorne einsnicht in der Umgebung der Stelle eins bin habe ich etwa eins von dem X Quadratmal diesen null Durchgang mit fünfundvierzig GradSteigung eins das muss auch wieder Steigung Einssein an dieser Stelle will sagen ich hab die Kurvedeutlich zu steil gemachtdarüber legen was sie mit der Normalparabelpassiertwenn sieNull einsetzenfür Xsei der erste der hier der entscheidende wirdmit der Umgebung der Null bin macht mir der erste Term hier dieses Parabel förmige einen Schmiedenan die x-Achseund dieser Term hier ist wenn ich bei der null bin mehr oder minder minus eins das heißt die Kurve hiermit der ich mich an Spiegel ist in sehr guter Näherung minus X Quadrat schlicht und ergreifend einfach die Normalparabelnach unten geklapptohne irgendwelche schrägenmit ähnlichen Argumenten ging dann ja auch Partialbruchzerlegungohne rechnendie man sich einfach anguckt was diese verschiedenen HobbysBeistrich was diese verschiedenen Ausdrücke hier machen wenn X gleich zwei ist was passiertwenn siediesenin der ?? Weg streichen eine Stelle ist gleich zwei was passiert mit den andern das wird A werdenamwenn sie für B interessieren streichen Sie den Weg setzen drei ein?? gibt der Rest hier an der Stelle dreidas Bdas ist schwieriger weil das ist was übrig bleibtvon dieser Polstelle das ich meine so ganz leichteaber A und B könnte man direkt ablesen mit ähnlichen Tricks wie hierdieForm der Kurvean ihrenNull Durchgängenan den Achsenberührungenihren