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25B.2 Rotationskörper; Volumen bei Drehung um x- und um y-Achse

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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das – Volumen eines billigen Rotation – Körpers – und zwar – Hinweis lassen Sie mal die Formelsammlung zu das Skriptdings – lieber selber nach – ähm – folgende – Funktion – Y gleich – Quadrat – diese Funktion um die x-Achse drehen – die Frage ist was ergibt das dann für ein Volumen – welches Volumen steckt darin – das Volumen eines Rotation Körpers – versuchen – ?? wirklich selbst – hinzukriegen – ?? – stellen sich vor was passiert wenn sie ihr ganz winzige und immer größere Bierdeckel übereinanderlegen – wie kann ich das Volumen dieser einzelnen Bierdeckel addieren – was zum Schluss als offizielle Form herauskommen – irgendein integral natürlich – die X – also ich ?? Aussagen von X gleich null bis X gleich eins – der Teil der Kurve interessiert mich – gleich null bis ist gleich eins den Drehen um die x-Achse – wie viel Kubikmeter sozusagen – wie viel Volumeneinheiten – stecken da drin – Lärm ✂ recht wenn sie sagen beleuchtete Taxi DZ Axel Dix hier – raus oder rein – ?? nach dem es gerne haben wir rechts links endlich – also – im Großen und Ganzen in drei D sähe das dann so aus ich habe X und Y quer dazu Zeit – und dann diese Figur – von dieser Art – sieht das dann aus insgesamt – die Frage ist wie viel Volumen steckt in dieser – Figur trennen wenn ich die Figur mal um neunzig Grad drehe – mir sowas dann also keine Pyramide sondern – Konzept verlieren – stimmt – andersrum sein Kelchsis – wenn sich andersrum um neunzig Grad drehen ist es quasi ein Kälte – genau so wird ein Kelch – zu neunzig Grad – so umdrehen – davon hätte ich gern das Volumen ✂ bringt wirklich mal an die Bierdeckel – was ist das Volumen jedes einzelnen Bierdeckelzier – sozusagen – in der Salamischeibe – das integral sollte dann auch summieren ✂ ?? also quasi eine Summe – über unendlich feine – Bierdeckel – Beistrich – um sich so einen Bierdeckel angucken was ist das Volumen – eines solchen Bierdeckel Stress ist dessen Dicke – die X – versteht man dann Jahr – als Physikerin Physiker Ingenieurin Ingenieur versteht man das als unendlich kleines Stück was man in nächster Seite geht das hier ist die Dicke von dem Ding – die Summe ihrer auf – die Fläche mal die dicke – Fläche mal die Dicke gibt das Volumen und die Fläche hier – einfach die Kreisfläche – Pi mal R Quadrat – mal – ?? jetzt eher ?? Ausrufezeichen maximaler Quadrat so – in den richtigen Grenzen ?? Komma wirklich so das so hin dass wir die Formelsammlung – Formel aussieht – Punkt so – so dann aber die Formelsammlung Formen der Formelsammlung Beistrich die nach vorne nehmen – im integral sieht das komisch aus – Konstante dürfen sie nach vorne – dass die Formelsammlung Formel für die – für das Volumen – eines Rotationskörpers – bei Drehung um die x-Achse – billig – mit Unterfunktion wird das werden Pi mal integriert von null bis eins ?? versus ein bisschen vorsichtig sein – der Radius – ist der Mann Y – Mann Y sechs Quadratswochen – das Quadrat – vom Radius – also X Quadratsquadrat – X hoch vier – TX – die billigste Stammfunktion wäre X auf fünf fünftel – in den Grenzen von null bis eins und dann habe ich also von fünfte Minister laufen Marty – die fünfte – wird das Volumen von diesem Objekt sein – außer ziemlich komisches Objekt ?? man hat – in zwei Zeilen dastehen was das von Volumen hat – am – Whitemara zum bisschen echte Mathematik das jeweils einfach Formel einsetzen die zweite Zeile die erste Zeile ist echte Mathematik – noch ein bisschen weiter zu – wenn sich das so überlegt haben wie können Sie – jetzt Anszen – Edith Check machen was – gucken Sie sich hier an um Idee zu finden ob das überhaupt – wahr sein kann ob es Chance hat wahr zu sein was gucken sie sich ja bei der Formel ✂ Naumeter hochtreiben – das automatisch werden die Längeneinheit hoch drei hier steht die Längeneinheit – ins Quadratmeter – Quadrat – um es hier physikalisch – nimmt so anschaulich – dass die X ein unendlich kleines Infinitisi – mal kleines – Stückchen wissen halt – was man zur Seite geht – durch auch Meter – hier stehen Kubikmeter – werden auf summiert wunderschönes Komkubikmeter – rauslassen – grüßen bisschen inoffiziell die Begründung – die andere Begründung während wenn sie in integral bilden sowas wie – der von X die X irgendwelche Grenzen – sich das angucken das soll er die Fläche unter der Funktion sein – die Einheit von dem was rauskommt – muss sein – die Einheit auf der x-Achse mal die Einheit auf der y-Achse – in siehe Meter – über Sekunden integrieren kriegen Sie Meter mal Sekunde raus ein bisschen komisch gab ähm – die Einheiten nur spezielle tatsächliche Kriege zum Schluss die Einheit von F mal die Einheit von X – die Einheit von X hier mal die Einheit von elf – dass wir die eine das integral sein genau wie sie dann auch auskommt – wäre ein aller aller erst das Handy die check ich gucke ob das einheitsmäßig hinkommt – und dann werde ich natürlich auch machen würde Beispiele einsetzen was das böse Beispiel was sie einsetzen können ✂ ?? genau das allerbeste Beispiel ist null einzusetzen einem – Rotation Körper der die ganze Zeit den Radius Null hat – dann hat er auch das – Volumen null Glück gehabt – ähm – wäre schlimm wenn das nicht ginge und als nächstes der natürlichen Konstanten Radius einsetzen ich gucke mir ein Zylinder an – manchmal sind Bilder hier – nun – endlich vor Jahren Zylinder rein gemalt – Dokumentzylinder – an Sie wissen den Zylinder geht Grundfläche mal Höhe – ähm vergleichen das Miteinander – wird offensichtlich auch ?? kann – man bis dahin gekommen ist mit seinen Zähne die Texte dann glaubt man es auch allmählich – nur gleich weiß immer noch anfallenden ?? bei der Mantelfläche wo das hinhauen würde bis dahin und es trotzdem falsch sein könnte – aber in der Tat diese Formel – bringt es dann – ?? und jetzt gucken uns das außen anderen Position an den Rechner noch das Volumen eines anderen Rotation – Körpers nämlich was passiert wenn dieselbe Kurve nehme – auch wieder von null bis eins – und ich dreh sie so – um die y-Achse – auch bitte nicht in die Formelsammlung ?? die Formelsammlung kennt alle diese Formen sind aber langweilig – Komma die – dreißig Sekunden selbst hinschreiben kann spannend ist die so kann man die so dreißig und selbst in Schreiben – ?? ausgelernt – übers integral also was ist das Volumen von diesem – Körper sie sind das es jetzt als ein paar Monolith – in Register Leertaste – gefüllte Tasse äußerst an den Inhalt einer gefüllten Tasse Kaffee in der Tasse hier – von X gleich null bis X gleich eins – immer um die ?? – um die – y-Achse – drehen was passiert wenn ich das Ding um die y-Achse – Dreher – überlegen sich die Formel – für die y-Achse – gegeben ist diese Funktion hier – normal hin – Formelkönig – dann – hier eine Funktion – Y ist gleich F von X – kennen die Funktion schon X Quadrat aber – allgemein – X – Y jetzt suche ich – das Volumen des hier entsteht – wie können Sie das in – Salamischeiben – oder Bierdeckel – zerlegen – dieses Volume Rotation um die y-Achse – ein integral – aber auch – am schönsten wir integral über die X – die einfachste Lösung – oder die gradlinigste Lösung wäre zu sagen – vergessen dass das Ertrags und das x-Achse sie vertauschen die Rollen von X und Y und integrieren über – Y an dieser Stelle – das natürliche passen und – umkehren – ähm das wäre eine Möglichkeit aber es geht auch direkt weiter mit einem integral – über sich – ?? – wie das allgemein aussieht von A bis B auf der x-Achse von A bis B – wie – so ein Stückchen hier – mit sachlicher Philosophie genau – so sieht das aus – da die Bierdeckel auf summiert – ?? ✂ also ebenso müssen weiter rein gucken ich habe ihr solche Scheiben – die sich an die Funktion an Schmieden – und – die Frage ist wie hoch ist denn jetzt so eine Scheibe – ich gehe hier – ein Stückchen – wahrlich sinnlich mal zwei hier ich gehe hier ein Stückchen die X zur Seite – denke ich ein Stückchen der Y nach oben – es möchte ich aber hier hinten die X haben das ganz normal integral zu schreiben – und Y wäre einfache – ähm – sind die Umrechnung von TX auf der Y – als Höhedicke – soll ich sagen ?? Dicke dieser Scheibe braucht es die Y – an – die Fläche das an alle schon gesehen Fläche ist leicht – der Radius ist nämlich X – also ist die Fläche – Pi mal – X Quadrat das es leicht – aber – Y deutlich eigentliche steht überweisen die gerade X – hier bräuchte ich jetzt irgendwie noch eine Art wichtiges Anschreiben kann – mit TX – und dann ist das integral – komplett ✂ so die Ableitung – sagt uns also was wenn die Ableitung eins ist ist die Y genauso groß wie die X – die Ableitung null ist – ist Y – null – Kurve flach – und so weiter und so weiter das Verhältnis von diesen beiden ist doch die Ableitung – also ist – die Y gleich F strich – die Ableitung – an dieser Stelle X mal die X – dann ?? das hier – die Ableitung null ist – ist Y Platz wenn die Ableitung eins ist – ist die Y genau dasselbe wie die X wenn die Ableitung zwei ist – ist Y – doppelt so groß wie der Ex und so weiter – bekommt die Ableitung – oder jetzt ganz ingenieurmäßig – sowie das eben bei der Substitution – hatten – sich vor F Beistrich von X das ist ja eigentlich der Y nach D X – Y nach TX mal die X – lieber Substitution – kürzen – wird die Y – mit der richtigen Portion Mathematik geht das sogar tatsächlich das Mittel der Schule normalerweise nicht unterrichtet – Herrn – non Standard Analysis – das geht tatsächlich aber – sieht für – die gestandene Mathematikerin – und Mathematiker auf den ersten Blick ganz fürchterlich aus aber es funktioniert – netterweise auch nachweisbar – das es was hier – passiert also ich kriege – die Ableitung – von dieser Funktion dazu – das wäre die Formelsammlung – Formel – für – das Volumen bei Drehung um die y-Achse – und dieses Tine Beistrich jetzt wieder nach vorne – zu – uns aus – ?? können auch einmal wieder an die Einheiten schicken Quadratmeter – Meter – mindestens die Einheiten passen schon mal nicht wenn ihr meterhoch drei Stunden X hoch drei bis Nord – meterhoch dreimal Meter keine gute Idee gewesen Sekunden stünden müssen auch kann alles nicht sein also eines mäßig passt das schon mal – der ganz einfache – Sandy die check – wäre eigentlich folgender – dessen Edith Check von eben der aller erste nach den ✂ Einheiten was kann ich hier noch ausprobieren – immer Monsters – dümmsten Körper angeguckt was passiert wenn der Radius Null ist dann jedoch das Volumen null sein wenn ich ihn und strich entlang der x-Achse – habe – nichts mit Volumen – ist es etwas anders was ist hier der dümmste – Körper ✂ den ich mir angucken kann – so genau wenn Y konstant ist – wenn ich hier eine Funktion nehme die Konstante – ist so eine Funktion – und die um die Y Achse drehen sich Scheibe rausbleibendem – Loch in der Mitarbeiter die Scheibe werden – und kein Volumen haben – was passiert hier wenn Y ✂ wenn diese Funktion – konstant ist was passiert in meiner Formel – Beistrich dann wird die Ableitung null – Konstante Funktion ableiten die Ableitung wird nun und das Volumen wird nur das – macht mich doch glücklich an der Stelle – die Formel scheint was wichtiges zu tun bei einer Funktion ?? nicht ganz so simpel ist – muss ich mal komplett neu sein sie muss aber nur konstant seinen Weg in das richtige raus das es kein Nachweis dass diese Formel stimmt – aber – schon ein gutes Zeichen – das eine Chance hat – so untersetzt ?? tatsächlich mal – ganz blöd – das sie normal ein – in – meine Funktion sollte ja sein Y gleich X Quadrat von null bis ein ?? und ich sollte auch dazu sagen muss es eben gesehen habe diese beiden Körper hier – die füllen ja nicht ein Würfel oder sowas die berühren sich in dieser einen Linie – und ansonsten ist davor und dahinter ziemlich viel Luft – ähm dass es nicht bis zweidimensional – aussieht nicht so zweidimensional – mal möchte man glauben dass sich zu irgendwas ergänzen Nein Nein in keinster Weise – der eine geht hier so rum weg und der andere geht so rum weg und davor und dahinter ist ganz ganz viel freier Raum – es gibt keinen Würfel wenn sie die beiden zusammen packen leider nicht – ähm okay setzen ✂ dass sie normal ein – und gucken ob das hinhaut – was kommt raus – so bei uns war die Funktionen – einfach X Quadrat – die Grenzen von null bis eins also X Quadratsmeile – jetzt ableiten zwei X – TX – sicherheitshalber noch mal – das integral – eines Produkts ist nicht das Produkt der integral sie haben nicht das integral FG ist gleich – integral F integral G – das haut nicht hin das ist eine neue Regel die haben aber nicht – beim Fall eines mäßig ?? das nicht – hatte ich – letzte Woche irgendwann vorgeführt – also die beiden sich zusammenfassen – macht also integral von null bis eins zwei X hoch drei – D X – zwei kann ich nach vorne hole ich Woche Stammfunktion für X hoch drei nämlich so Vierviertel – als einfachste Stammfunktion – von null bis eins – die vergessen sehr schön die vergessen die ganze Zeit da Komma die davor dar Komma wieder Vorsorge – wieder vor – und dann haben wir – das ist zwei Pi mal – eins vier – die halbe – ?? – das es – war eben an einigen Stellen glaube ich irritierend – dass ich es mal ganz dreist gesagt habe dieses TX ist ja eigentlich – ein unendlich kleiner Schritt in X Richtung der zu gierig auf unendlich viele dieser unendlich kleinen Schritte – diese anschauliche Deutung des Integralstoßes – mal entstanden – ?? – und hier – sehen Sie südlich wieder ganz knallhart um und sage aha hier steht eine Funktion drinnen im integral – ich suche eine Stammfunktion – und fertig damit jetzt plötzlich für diese formale Geschichte drauf – dass ich da etwas Sagekringel – TX dahinter – ich suche eine Stammfunktion der Funktion wieder drin steht – das Motiv atomar klarmachen wie die beiden Zusammenhänge – nicht unter einer Funktion die Fläche bestimme ist das dümmste was ich tun kann um die Fläche zu bestimmen – die Fläche – ebenfalls – in Streifen zu schneiden was gerade auch gesehen haben – und was du mir ich dann auf um die Fläche zu kriegen – ich so mir auf die Höhe des Streifens – mal die Breite des Streifens – von A bis B – da kam eigentlich mal das integral her – die Höhe des Streifens – F von X mal die Breite des Streifens – TX – und davon alle auf summieren von A bis W – oder das ganz normal integral funktioniert – eigentlich auch so – man hat dann nur – immer abstrakter gemacht – und – fasst es dann jetzt einfach auf als – in der komisches Symbol die Funktion integriert werden soll und den Stick noch ein komisches Symbol oder kam es wirklich mal her – die Fläche darunter in Streifen zu zählen – und dass die X steht für die Breite eines solchen Streifens – integral mit Riemann Summen habe ich nie ausführlich vorgeführt weiß – der Praxis sie mich unsinnig ist ?? mitten integral nicht so ausrechnen – ?? Linie richtet sich wieder diese anschauliche Deutung – und zwitschern plötzlich um – ?? oder Stammfunktionsflächenstammfunktion – weiter muss man ein bisschen – besagen im flüssigen Umgang so flüssiges Verhältnis zu entwickeln – als einmal anschaulich nehmen kann und einmal wieder formal nehmen kann ✂ diese Formel hier sind in der Praxis seltener als an die Formelsammlung glauben machen will – an das spannende besser ich das erzähle der Spannende ist – das man – hier leicht verstehen kann was den integral – wirklich denn so macht wofür kann ich ein integral Anwender sein Anwendungsbeispiel – fürs integral – aber nun im wahren Leben – ständig Rotationsvolumina – ausrechnet das wage ich zu bezweifeln aber wenn sie das hier hinschreiben können – ohne Formelsammlung – an sie was tiefes übers integral verstanden und auch passives über die Ableitung verstanden ihr beim nächsten – wenn das hinschreiben können – dass es mir wichtiger als das diese Formel auswendig können dann sowieso geschenkt wenn sie verstanden haben