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14A.1 kubische Wurzel mit Schmiegeparabel nähern, Taylor-Polynom


CC-BY-NC-SA 3.0

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ohMann ins Thema rein zu kommen gucken wir uns folgendes an mich interessiertder Wert der dritten Wurzel aus der Zeit elfunddas möchte ich jetzt nähernmithilfe einer quadratischenSpiegelparadieWurzelfunktiondritte WurzelsoverlaufenY Gleichzeichen Wurzel von Xund ich möchte jetzt an einer passenden Stelle an diese Wurzelfunktioneineschmierige Parabel anlegen das heißt eine Parabel die hier die richtige Tangente hat dieser Stelledie auch die richtige Krümmung hat sosowaswie auch die richtige Krümmung hat und dann möchte ich diese schwierige Parabel benutzenum den Wert abzulesenandas müsste eigentlich zumindest rezeptmäßigmithilfe des ?? gegangen sein ein Tellerpolynomzweiten Gradesfür die dritteWurzelund damit meine dritte Wurzel von elfzu Fuß ausrechnennäherungsweisedieFormel für die schwierige Parabelwar offensichtlichhabe die quadratische schwierige Parabeldas Tellerpolynomzweiten GradeseinenY von XX soll sein an welcher Stelle ich jetzt diese Parabel hier ausrechnen die unter meiner Wurzelfunktionnichtdaran schmiegtdass Entwickler sich durchlaufenwas soll das seines auf der richtigen Höhe seinArten der Funktionswerthier von meiner Originalfunktionan einer an der Stützstelle X nulldann soll sie durch diese StützstelleX nullin der richtigen Richtung Durchlauf mit der richtigen Steigung durchlaufen das für mich so Beistrich von X nullmal X minusX nulles ist nämlich nicht anders als die Tangenten gerade was hier steht an meine ursprüngliche Funktionwenn sie Xgleich X null einsetzen?? diese Funktion hier an der Stelle X klein X nur das sich draußendie richtige Höheund das ist die Steigung des Hinrichs ableitender Pflicht raus Beistrich von X nulldas hier ist die Tangenten gerade an die Stellean der StelleX nullund jetzt kommt für dieKrümmung einfach netterweise noch dazu zweite Ableitungan der Stelle X null mal X minus X nullquadratshalberdass das allgemeine Tellerpolynomzweiter Ordnung die quadratischeschmierige Parabelich gebe vor den Wert die erste und die zweite Ableitung meiner Originalfunktionan die geschmiegt werden soll an der Stelle X nullund schreibe jetzt eine Parabel abhängig von X hin Konstantemir das ist teils ?? Konstante nicht mäßig soll das gibt konstantem Alex null und Hashtag was mit X nur Quadrat drin steckt Komma was mit X drinoffenbar konstant verziertdass das wirklich hinhaut Komma sich jetzt auch wieder leicht überlegen wie bei derTangenten gerade für X setzen sie ?? heiligste null einen sind sie hinten bleibt nichts überder September überlebte richtige Höhewenn ich die Ableitungsbilderhier die Ableitung bildet zwei kommt nach vorne X minus X nur die Ableitung hiervon wird null werden an der Stelle klein X nur die Ableitung hiervon Feldwegder Wartung davon Feldweghiervon gibt die Ableitung des richtigen Ausdruckes ?? die zweite Ableitung bildender Feldwegder Feld Wegfallmal Xhiervon die zweite Ableitungzwei nach vorne mit der zwei Kürze noch mal ableiten das sind mit eins werdenmeine zweite Ableitungkönnen durch ableitenfeststellen dass das hierdas einzige Polynom zweiten Grades ist was in wichtigen Werte richtige Ableitung durch die zweite Ableitung an der Stelle X null hat das es das versichertschmierige Parabelbezeichnetkatt Gesetzman kann natürlich ganz allgemein hinschreiben oder das muss eine Parabel seinAmalX Quadrat groß B mal X plus C um diese ABC bestimmendas Essen bisschen aufwendigwird man im allgemeinen nicht machenwobei das durch umformen kann sobald sie hier die Zahlen haben für FF strich Beistrichkönnen Sie ABC ausrechnetund wird lieber so machender Weg istviel einfacherals jetzt allgemeines Polynomzu schreiben und versuchen sie konstant zu bestimmenich muss noch sagender Korrektheit halber das muss nicht immer streng genommen eine Parabel seinwann ist das keine Parabeldass wir das ganz blöde genau wenn ihr die zweite Ableitung null istGeschichte das Quadrat raus und sie haben nur noch mir geradeeinen?? muss man streng sagen eigentlich ist nicht immer reparabelwenn ich Pech habe ist diese anfangs ein schwierige Parabel nur eine geradekein Polynom zweiten Grades ?? Polynom ersten Reiz bei Zuordnungspolynomwürden Grades für die nur die Konstante steht und auch die erste Ableitung wegfällt ??dass wir ein bisschen übertrieben genaudas wird in der Praxis nicht unterscheiden aber Vorsicht an der Stelle die schwierige Parabelkann auch plötzlich zu einer Funktion entarten die eben keine Parabel mehr istsollte sie eine schmierige Parabel nennenso und jetzt darf ich hier nur noch dieAbleitungenbestimmen und den Funktionswert bestimmenmit meiner Funktion F von X ist einfach die dritte Wurzelaus Xund X nullsondern ein Wert sein für den ich die dritte Wurzelvernünftig ausrechnen kann ich möchte eigentlich die dritte Wurzel auf elf haben als X elf nach EinsetzenX null sollin der Nähe seinwas nehme ichachtsinnvollerweisedavon die dritte Wurzel ohne Taschenrechneräh die nächste ?? überlegen zwei hoch drei sind acht die nächste drei hoch drei sind siebenundzwanzigsieben zwanzig mit ein bisschen weit wegder unbestechlicheweiter weg sie sind das Komma mal genauer an die große Fehler istmit acht hoffentlichist der Fehler nicht ganz so dramatischmit den Angaben sollten sie jetzteher von X null Beistrich von X null ?? Beistrich von Excel ausrechnen können und hier wirklich die Gleichung einerParabel kriegenwobei wie gesagt ich würde nicht auflösen ich würde hier die Zahlen stehen lassennicht das auflösen nach soundsoviel X Quadrate sonst für die Explosion zu vielmeine Kinder nicht mehr so viel kann ?? direkt sehen was die Rollen der einzelnen Therme sind das mal ausAbleitungenBeistrich von X wird sein das ist X hoch ein DrittelX noch ein Drittel ein Drittel kommt nach vornemit den Exponenten vermindert sich um eins ein Drittel eins weniger sind minus zwei Drittel im Exponentendannund zweite Ableitungdie minus zwei Drittel kommen noch als Faktor nach vorne nahm ich insgesamt minus zwei neuntelund den ?? zum eins vermindern minus zwei Drittel eins weniger sie minus fünf Drittel X minusfünf Drittelund das lustige ist das mich jetzt davon die Werte nur an der Stelle acht interessierenich benutzeden Funktionswertachtet unter benutze den Funktionswertdie Steigung und die zweite Ableitung an der Stelle achtum eine Vorhersagezu machenwurden an der Stelle elf liegen füralle die Sachen kann ich jetzt eine Stelle acht wunderbar ausrechnen bei der Sonne sauberere Wurzel hatund kann jetztgrob anvisierenwas denn an der Stelle elf rauskommen müsste diese Angaben ihrerHöhesteigung?? zweite Ableitungfür die Krümmung benutze ich um eine Parabel durch zu legenund dann auf der Parabel vorher zusagen was denn der wird eine Stelle elf derSchätzungmithilfe der schmierige Parabelhier setz ich es also den Wert acht einlassen die Funktionund ihre ersten beiden Ableitungenan der Stelle achtFunktionan der Stelle acht dritte Wurzel aus acht Sklavenzweidie erste Ableitungan der Stelle achtBeistrich von achtein Drittelacht hoch minus zwei Drittelden Exponenten nämlich auseinander ist ein Drittelachthochminus ein drittelhochzweiPotenz einer Potenz die Bahn Exponenten modifizierensichwas ist acht hoch minus ein drittelhat es mir sich vergessen acht hoch ein Drittelwird über das achtzehn zwei minusim Exponenten geht es um das ist ein halbals amtliche ein drittel mal ein halb ins Quadratein drittel maleinViertel sind ein zwölftelund die zweite Ableitungan der Stelle achtacht heutewarminuszwei neuntelmal acht hoch minusDrittelselbe Trick ist minus zwei neuntelachthoch minusein drittelPunktfünfoder acht hoch ein Drittel hoch minus fünfoder acht Wochen Drittel hoch fünf hundert ?? Klammer auf minus einwie sehr sie das auseinandernehmenwollen?? minus ein Drittel war ein halbnur eben ist also minus zwei neuntel mal ein halbfünfzweiein halb O fünf ?? können Sie hier kürzenja sie kürzen diese zwei gegen eine der fünf Zweige steht ein halb allein hat man ein Halbmeilen hat man haltsie kürzen die zwei gegen eine dieser fünf zwei in den Wegund aus dem fünfaus der fünf im Exponenten wird dann nur noch vierähmmacht also minuseins durch neun malzwei hoch vierFirmen-und vier sechzehnals es wirklich ungemütlicher Ausdruck das ?? zu stehen und gucken was passierteskalierte insgesamt hinschreiben was das wirdamschmierige ParabelanX null gleichachtin Vder Funktionswertist zweimalhier stehtzweidie erste Ableitungerste Ableitungwar ein zwölftelsteht ein zwölftelund am Ende steht minuseins durch neun mal sechzehnjährige ist minus eins durch neun malebenso ?? Kurve auf Komma als diekubische Parabel dagibtdas es die komische Wurzelfunktionwird und dann habe ich soeben gerateneQuadrateparabelso runter gemalthabenwenn sie diese Zahlen sehenwas es hier prinzipiell an der Park einer quadratischen Parabel nicht richtig gewesen meiner Zeichnung von ebenso zu sagenwie das Bild hier aus sieht einen groben Unterschied zu dem wie's wirklich aussehen müsstealsodiese Krümmung hierzweite Ableitung ?? ganz weg seine zweite Ableitung ist er nicht allzu groß im Betrageinst durch neun mal sechzehnalsokleiner noch als einst durch zehn mal zehn kleiner als ein hundert ?? Betrag null Komma null einsdas ist nicht sehr vielParabel wirdviellangsamerhier laufen sowas vielleichtin der Artan der Stelle acht steigt jenes bisschen ein zwölftel nicht gerade Stück spürbarähmaber die Krümmung ist extrem klein?? weiterhin herausragende?? den sie schon das ist Ernährung allerdingszu blickend ist ich will ja nach rechts von acht bis elfmal sehenBeistrich was der richtige Wert wärespäter gibt's ein Hauch nachoffizielle Atemfehlerdie man bei der Schätzung schätzen kann?? den Fehler schätzen kannviele schätzen schätzen kann ähmalsodie Schätzung die dritte Wurzel aus elfist alsoungefähr?? hier zwei Klosterskommt ein zwölftelmalelf minus acht??zwei plus ein zwölftelmal elf minus achtist Serie elf ist die Stelle an der ich den Wert haben wirauf meiner schwierige Parabelachten Sie Stelle an der ich ?? null an der ich das ganze aufgebaut haben?? noch minus eins und Nummer sechzehn malacht Quadrat halbeminus eins durch neun mal sechzehn mal elf minus acht Quadrathalbe?? kann man irgendwas rettendas wird werdenzweiKlosterssind drei zwölftelhier ein Viertel der Skater nochminusund hier steht dann einentausender Weg drei Quadratzwischen drei Quadrat neun kürzlich weg ein zwei ?? dreißigste steht einFS achten drei Quadrat hielt sich mit den neuen Weg sechzehn weisen zweiunddreißigzwei plus ein viertel minus ein zwei ?? dreißigsteein vierter Krieg noch so gerade hin inDezimalzahlenzwei Komma zwei fünf ein zwei dreißigste in Dezimalzahlenmit drei erweitern wenn sie mit drei erweitern steht der drei durchfast hundertähm dieses wird in der Größenordnung von null Komma null drei sein minus null Komma null drei ?? schätzen ja sowiesodas wird in der Größe von drei Hundertstel seinalso erwarte ich wasbei zwei Komma zweizwei ?? standdritte Wurzelaus elf??elfin VersPunkt dreizwei Komma zwei zwei ??und das ohne Taschenrechnergenauer brauche glaube ?? wird über soft elf seltendieRolle von X und X nullTilde ich habe meine Funktiondie ich an der Stelledas was immer Wurzelfunktionschöner sind eine Wurzelfunktionich an der Stelle X null gut kenneich kenne den Funktionswertich kenne die Ableitung ist in die zweite Ableitungum eine Vorhersageist es für die Stelle elfkennen Sie eine Stelle achtich möchte Vorhersagenfür die Stelle elfmithilfe der Daten nicht erkennen mit der schmierige Parabel XL ist also elf und Ixus acht in der Artich kenne meine Funktion an der Stützstellesomit danach ?? offiziell angewendet man hatirgendwelcheFunktionenwie endlich zu inkompetentenMechanismen beschreiben oder vielleicht Lösungen von Devon Zargleichungennähern ?? ich kenne diese Funktionenin der Umgebung des Arbeitspunktder Maschinewas sie sich da verhalten und möchte dann vorhersagen wie sich das ganze Feld wenn ich nicht mehr auf dem Arbeits Punkt SitzediesesX null ist quasi der Arbeitspunktden ich gut kenneund das X ist das was ich Vorhersagenvon dem sie wertschätzen