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22C.3 lokale Minima und Maxima noch einer Funktion zweier Veränderlicher


CC-BY-NC-SA 3.0

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diese – Funktion ja eine Funktion mal wieder von zwei veränderlichen – X und Y und sie soll sein – X Quadrat – plus zwei X Y – plus sechs X – plus Y hoch drei – groß Y Quadrat – minus drei ?? Y – Frage ist hat die Irgendwo – ein lokales – Maximum – ein lokales Minimum – beschreibt also – irgendwo – lokales – Maximum – oder lokales Minimum ✂ rechnerischen – Wassers die zweiten Ableitungen aus damit würde ich warten ich muss erst mal wissen – ob das überhaupt lohnt die zweiten Ableitungen auszurechnen wenn sie herausfinden – es gibt nirgends wo eine Stelle – eher – mit einer horizontalen Tangente ins nirgendwo eine ?? ?? eben wenn es irgendwo so eine Stelle gibt – dann habe ich sowieso kein lokales Maximum ?? lokales Minimum – gleich aufgeben – ?? ?? zweiten Ableitungen ausrechnen – als erster nur die ersten Ableitungen – die partielle Ableitung – von F nach X mit diesem schönen – kyrillischen klein D – im alten – klein W – nach X ableiten – Y als Konstante betrachten X Quadrat wird zu zwei X zwei Y – wird zu zwei Y – sechs X wird zu sechs und lehnten das Werk alles weg Beistrich – dann betrachte – ?? – erstens – zwei reduziert mich die partielle Ableitung Y – der schlichtweg das ist zwei – X Wehrpflicht weg das ist bei Y Quadrat – das ist zwar Y – und das ist minus drei – damit ich eine horizontale Tangentialebene – haben muss beides – null sein – ich schreib das mal so an – X null – Y null sowas suche – suche eine Stelle X und Y – null – für die beiden Null sind Beistrich – sind Schreiner sehr ungeschickt das so zu schreiben – kann – ich wirklich X und Y haben schreibt es das ?? als getrennte Gleichungen – in – das Zimmer allgemein richtig was der Gradient – was ich jetzt haben will – ist X null – Y null – folgender Art – sodass beides null – zwei X null plus zwei Y null plus sechs ist gleich null – und zwei – X null plus drei Y Quadrat plus zwei Y null – minus drei ist gleich null beide sollen unsere Ergänzung sei – an dieser Stelle X und Y null soll es eine horizontale – Zahl – gibt's grundsätzlich gibt's dann auch ?? kann nach kein Maxima minimal zu suchen – diese beiden Gleichungen trugen sie sich scharf ?? – und überlegen sich wie man da denn jetzt intelligent angehen könnte – Punkt immer ganz scharf in Berlin an den beiden Gleichungen auffällt – weil die für den Auftrag es ist irrational Quadrat sein muss ?? – diese beiden Gleichungen – was hält ihn daran auf wie können Sie daraus was über X und Y null ?? lernen ✂ die beiden sie sie voneinander ab potentielle Witz des hier X rausfliegt und das Y null rausfliegt ✂ eins Gleichung zwei zu Kassierer – Komma besten zwei minus eins – ?? ihre zwei minus eins – das Ministers – Kraus – drei Y null Quadrat – bleiben treibst – Quadrat – das Minus das Licht raus minus drei – minus sechs dreizehn Quadratmeters – neun ist gleich null das ist die Differenz der beiden – mit anderen Worten – würde diese eine – äh mit anderen Worten das Land jetzt alle Y null ist gleich plusminus – Wurzelbereich – haben zwei Möglichkeiten – für Y nur – besonders Quadrat frei sein Y null – muss frei sein – es Komma weiter rechnen – wenn Y null gleich – Wurzel – drei als erste Falten Y null ?? plus Wurzelpreis ausführlich – dann ist X null – ?? oben gucken – X null ist gleich – vier durch zwei teilen – X null gleich – minus drei minus Y null – also – minus drei – minus – ?? Plus sein Minuswurzel – drei ✂ das also ein Punkt ein möglicher Punkt und wir haben noch andere mögliche Punkt ich habe erstens – zweitens – einen anderen möglichen Punkt – Y null ist gleich minus – Wurzel drei – daraus folgt also X ist gleich – X nur soll ich sagen ?? ist gleich und so weiter minus drei Plus – Wurzel drei – zwei mögliche Punkte – mal so als Idee – was ich jetzt in meinem Hinterkopf entwickelt ich habe hier X – Y – habe ich das Ergebnis Z – schon weiter oben – an – was ich jetzt weiß ich habe zwei – Punkte einmal Y – Plus Wurzel drei – an sowas – Y null – Plus Wurzel drei und X ist minus drei Minuswurzel – drei ?? sicher hinten irgendwo – an sowas – da habe ich – ein Punkt – und hier – bei Y ist gleich minus Wurzel drei vorne – und X null ist gleich minus drei Plus Wurzel beides immer noch negativ – sowas – darf ich anderen Punkt Index gibt eben zwei Punkte in X Y eben und ich weiß von meiner Funktion – als grafische Herausforderung – ich weiß von meiner Funktion Beistrich ob sie positiv oder negativ dar aber ich weiß auf jeden Fall diese – Fläche der Funktion hat da an diesen beiden Stellen eine – horizontale – Ebene – Beistrich der runden das müssen Sie jetzt über diverse Funktionswert ist jedenfalls hier und da an diesen Stellen – ist die Danksagung horizontal – nur da kann überhaupt ein lokales Maximum oder lokales Minimum liegen – sonst nirgendwo – immer weiter gucken ich da wirklich sowas – mit der Hesse Matrix – gucken sich die zwei Ableitungen – an – ?? – Herrheim – die Hessematrix – an dieser Stelle also – minus – drei minus Wurzel drei für X – und – Wurzel drei für Y – was ist die Hesse Matrix an dieser Stelle beschreiben lassen zweiten Ableitung dahin – die – andere – Obst – es ?? doch den zweiten Ableitungen – dieser ?? schon was ausgedehnt habe ich noch nicht – die zweite Ableitung der Funktion partiell nach X – dieses Ding noch mal nach X ableiten macht zwei – zweite Ableitung meiner Funktionen – gemischt nach X und – Y – den ihr zum Beispiel Robson ableiten macht auch zwei – oder die ?? und nach X ableiten – ?? auch zwei – ?? die Funktion hier nicht pathologisch ist muss er selber rauskommen – Komma noch die – Ableitung – Y – doppelt partielle Robson ableiten zweimal – um – den hier noch mal Robson ableiten der schlichtweg – das wird sechs Y – das wird zwei – der schlichtweg – der Hesse Matrix steht also – links oben eine zwei – rechts oben links unten eine zwei – zwei zwei zwei – rechts unten steht sechs Y plus zwei – sechsmal – Wurzel drei – plus zwei Susi die Hesse Matrix aus – Könner sofort in einen ?? hinschreiben – muss es also hier bei dem anderen die Hesse Matrix an der Stelle – minus – drei Plus Wurzel drei das war das X Wurzel drei – eine Sicherung nur das Vorzeichen – zwei zwei – zwei – ändert sich das Vorzeichen – von Y null da steht minus – sechs Wurzel drei am – Punkt immer weiter – nach Schema F eigentlich in diesen beiden Fällen nach Schema F sowie das besondere – Plus Wurzel drei tausend ✂ der untere Fall ist der einfachere – wenn Sie davon jetzt die – Determinante – bilden das Magister symbolisch zur Determinante – der Hessematrix – an dieser Stelle – minus Wurzel drei – kriegen sie zweimal – den hier unten minus zwei mal zwei – zwei mal zwei der hinten – zweimal zwei da hebt sich weg – ich fliegen minus zwei mal sechs drei – als etwas was kleiner ist als null – das heißt ich muss einen positiven und einen negativen Eigenwert haben – die Determinante – der Eigenwerte – in die negativ ist – ?? etwas Positives mit was negativem multipliziert es ist die einzige Chance – und das ist – zwangsläufig – also ein Sattelpunkt – an dieser Stelle die Einrichtung geht's rauf das System mit dem positiven Eigenwert – und in die eine Richtung geht runter dass sie mit den negativen ?? – Doppelpunkt heißt garantiert – kein lokales Extremum – in eine Richtung geht rauf in die andere geht runter – das war der einfachere Fall hier oben jetzt davon die Determinante – Determinante – dieser Hesse Matrix – zwei mal zwei minus hundert dreißig wieder weg ist bleibt zweimal sechsmal Wurzel drei zweimal sechsmal Wurzel drei und das ist größer als null – zwei Eigenwerte – die können jetzt meine positiv sein Produkt der beiden positiven Eigenwert in den größeren nur die können aber bei den negativ sein Punkt vieles bei minus wäre auch größer als null – wenn beide positiv sind habe ich ein lokales – Minimum es geht in alle Richtungen rauf – wenn beide negativ sind habe ich ein lokales Maximum – es geht in alle Richtungen runter – dass es schwierig Negativmaximum – positiv Minimum vorsieht – und ?? gibt es bei zweimal zwei über den Trick wenn die Determinante positiv ist – links oben steht eine positive Zahl – sind beide Eigenwerte positiv – ?? Komma vorgerechnet – ziemlich billiger Trick aber nur für zwei mal zwei Vorsicht – ich hab das mal so und links oben – links oben größer null – daraus folgt beide Eigenwerte positiv beide Einwände positiv heißt – überraschenderweise – ein lokales – Minimum – an dieser Stelle – so sieht das aus wie Gasse zwei Kandidaten – zwei Stellen mit horizontaler – Tangentialebene – eine erweist sich als Sattelpunkt – und die andere erweist sich als – lokales Minimum