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04.06 Zeilenrang, Spaltenrang, unter-, überbestimmt


CC-BY-NC-SA 3.0

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was – heißt das zusammengefasst – Existenz und Eindeutigkeit – zusammengenommen – ?? – ich hab ein Gleichungssystem – mit – Skript – ähm Gleichungen – ähm Gleichungen – und – ähm unbekannte – das heißt eine – Koeffizientenmatrix – vom Format im – Kreuz ähm – und die unbekannte – hat – der Unbekannte weltweit in Einträge – und was auf der anderen Seite steht die in Homogenität – hat – ähm – Einträge – das ist das Format was ich habe – damit anfangen abzutun – Dimensionen sehen Sie hierbei dem Defekt der ?? wurden schon Dimensionen gezählt bei dem – Bild – nördliche beim Rang – wurden Dimensionen gezählt – ich fange an Dimension zu zählen und lernen darüber darüber was über die – Lesbarkeit – von Gleichungssystemen – und zwar kann ich folgendes ablesen – die – Zahl der Spalten – Zahl der – Spalten mit anderen Worten – nicht anders als – ähm in meiner Bezeichnung Weise hier – die Zahl der Spalten ist das womit ich in die Matrix reingehen – und ich weiß jetzt was verloren geht ✂ ?? ich gehe mit N Dimensionen – rein in die Matrix – wie viele Dimensionen – gehen dann im Ergebnis verloren – mit N Dimensionen – gehe ich rein – was nachher nicht mehr auftaucht ist alles was zu Null wird – der Kern geht verloren – die Vektoren die ich hier einsetzen kann – und die dann zu Null werden die Gen im Ergebnis verloren – ich habe nachher nicht mehr – N Dimensionen – über was ich über habe ist ähm minus den Defekt – die Dimension des Kerns – die Gen futsch die werden alle zum Nullvektor – das es wie viel ich habe am Anfang – was da rauskommt – muss sein – was über ✂ bleibt – die großes T Dimension des ?? dessen was über bleibt – der Rang sag wie viel rauskommt die Dimension des Bildes – maximal – ähm – das schlimmste Schlimmste das bestmögliche – ist das hier der komplette RM rauskommt – vielleicht aber nicht – der Rang sagt mir wie viele Dimensionen das Bild hat das hier ist der Rang – der Matrix – wie viel Dimension reingehen – ähm – wie viel ich im Defekt verlieren sich ab – ?? erfasst die Bilanz – und übrig bleibt der krank zwangsläufig – Dimensionen – wieder rauskommen aus der Matrix – und ich weiß auf jeden Fall dass dieser Rang kleiner gleich der Zahl der Zahlen sein muss – wenn das wirklich eine vier mal irgendwas Matrix ist kann nicht ein fünf dimensionales Gebilde ?? sechste Missionarsgebilde – rauskommt ?? höchstens ein vier dimensionales – Bild gebührt also der Rang ist auf jeden Fall kleiner gleich der Zahl – der Zahl der Zeilen – äh – die in diesem Spiel im ?? ist – das verknüpft – diese Größen – die Zahl der Spalten minus den Defekt ist der Rang – das heißt – wenn sie mit zweimal zwei Matrix haben – sofort sein ?? zwei Spalten – wenn ich jetzt den Defekt kenne das hatten wir eben defekt war eins – müssen sofort der Rat muss auch ein sein – Prozesses reicht von Defekt und Rang einen der beiden zu kennen – könnte den anderen sofort bestimmen – könnte als auch um Formel sagen der Rang plus der Defekt – gibt die Zahl der Spalten – wie für Dimension mithilfe Dimension staatlich das ist der Rang – rauskommen – plus den Defekt verloren gehen – und nebenbei sieht man der Rang muss kleiner gleich der Zahl der Zeilen sein – bei was auch immer aus der Matrix rauskommt hier zum Beispiel eine Teilmenge des ein Teilmenge des R vier sein – ähm – eine Geschichte – noch ergänzen – in der – Schule führt man den Rang gerne ein – als – Spalten – Rang ich zähle wie viele Spalten – ich zusammen nehmen kann ohne dass sie sich durch einander ausdrücken – lassen – die Zahl die maximale Zahl Dinger unabhängiger Spalten fürchterliches Wort wie viele Spalten kann ich finden – sich nicht durcheinander ausdrücken lassen – wie viele Spalten spannen im Endeffekt das auf – was rauskommt – wird man gerne schulisch den Rang ein – und nennt ihn dann Spaltenrang – an – anderer Begriff ist der Zeilen Rang ich gucke mir die Zeilenvektoren – an und frage mich wie viele Zeilen kann ich zusammen sammeln – so das diese Menge sich nicht – die Elemente dieser Menge sich nicht durcheinander ausdrücken lassen wie viele – linearunabhängige – Zeilen finde ich maximal – in dieser Matrix – sich dann zeigen Rang und dann stellt man erstaunt fest und das ist dasselbe Spalten rang ist leicht Zeilen an – Herrn – ich finde sinnvoller so anzufangen sagen der Rank Mist wie viel aus der Matrix rauskommt – jetzt Komma obendrein noch überlegen dass das was mit den Zeilen zu tun hat das auch in den Zeilen erzählen kann nicht meinen Spalten sind – dazu ?? verfolgen Sun wann ist ein Vektor im Kern – wann ist ein Weg zur Umkehr – ich hatte sie aber ganz so Schicht gern ohne dass er der Name der Matrix den steht – als wüst einig auch lineare Abbildung sein – das man so – waren – wann ist ein Vektor im Kern dann – wenn er zu Null Komma – gucken uns das an was heißt das – ich habe meine Matrix – immer – hier steht mein X – im Kern heißt es kommt null raus – wobei dieser Vektor hier jetzt so viele Einträge hat wie die Matrixspalten – hat und dieser Vektor so viele Einträge wie die Matrixzeilen – die beiden hier müssen zwei zwar nicht gleich groß sein – was heißt das eigentlich das dieser Vektor im Kern ist es zu Null gemacht wird um sie an die sie diese ✂ null rauskriegen – sie nehmen die erste Zeile – mal – diese Spalte das gibt die null der oben mit anderen Worten – die dieses X – was im Kern liegen soll – dieses X muss senkrecht auf dem ersten Zeilenvektor stehen – ich bilde ja für diese null da oben das Skalarprodukt – aus der ersten Zeile – mit dieser Spalte – das heißt dieser Vektor hier wenn er den kernigen soll muss senkrecht auf der ersten Zeile sein – wie kommt null raus aus dem Skalarprodukt – für die zweite Zeile – den sie auch ?? muss ja auch senkrecht auf der zweiten Zeile stehen für die null für die dritte Zeile und so weiter und so fort – also habe ich gelernt – im Kern stehen alle Vektoren – im Kern sind alle Vektoren – die senkrecht auf allen Zeilen stehen – schon im Text – also – der Kern ist nichts anderes als die Menge der Vektoren – die senkrecht auf allen Zeilen der Matrix stehen – senkrecht – auf allen Zeilen – der Matrix in ?? sagen jeder Vektor aus dem Kern – muss senkrecht auf allen Zeilen stehen nicht auf eine auf allen Zeilen stehen – wenn dieser Vektor haben – senkrecht auf einzelne Matrix ist er muss im Kern sein weil all diese Skalarprodukt – null sind – die senkrecht auf Lebenszeit – stehen – und damit kann ich – die Dimension – des Kerns auf andere Weise zählen – das ist der Trick um dann vom – ?? posthum zum Zeilen ranzukommen – ich gucke mir an welche Vektoren kann ich den aus den – Zeilen bilden – Menge der Vektoren die sich aus den Zeilen bilden lassen – der Zeilenraum – von ?? mit den Spalten war – das wird das Bild – dann – die Menge der Vektoren die sich aus den Zeilen bilden lassen – ?? aus den Zeilen der Matrix – bilden lassen – und davon bestimme ich mal die Dimension – für die Nummer – neunzehn – die Menge aller Vektoren die sich aus den Zeilen der Matrix bilden lassen ✂ wie viele Dimensionen – hat diese Menge – wenn ich so eine Matrix habe drei Zeilen vier Spalten – als das in die Zeilen – drei Zeilenspalten – im besten Fall wenn alles gut geht und ich sammle diese – Spalten zusammen – hätte ich den kompletten – R vier – diese Vektoren sind ja immer – mit vier Einträgen wenn alles gut geht Liebesbrief auf der ersten Spalte blieben sie Wartezeit bei der plus plus plus dann zusammen im besten Fall – den R vier – haben – aber hier sieht man – alles was im Kern steht – wird mir verloren gehen wenn ich ein Vektor habe der im Kern ist – weiß ich – das parallel zu diesem Vektor ?? und nichts mehr passiert – der Kern sind alle Vektoren die senkrecht auf allen Zeilen stehen sobald im Kern ein einzelner Vektor drin ist natürlich sofort ein Vektor drin sondern alle vielfachen sofort sobald – ein Vektor im Kern ist nicht der Nullvektor ist fehlt mir hier unten eine Dimension – die Vektoren hier unten können dann nur noch senkrecht – dazu laufen – jede Dimension im Kern – nicht unten fehlen maximal habe ich unten – die Zahl der Spalten – aber ich verliere jede Dimension aus dem Kern – ?? diese Menge unten senkrecht laufen muss – zu dem Kern – und das bringt dann folgendes das heißt die Dimension davon ähnliches Argument für eben – Dimension – hiervon ist die maximal mögliche – die Zahl der – Spalten – ist das – bei mir jetzt gerade dies ähm – maximal mögliche Zahl der Spalten ähm – minus – die Zahl der Dimensionen die ich im Kern verliere der schon einen Namendefekt – guckt man nach und stellt fest – ?? den Kenner schon – Teil der Spalten minus Defekt immer schon ist der Rang schlicht und ergreifend – und damit habe ich – sie schulmäßige Prinzip von – Spalten rang gleich Zeilen – wie viele Zeilen brauche ich – um alles zu bilden was ich mit den Zeilen bilden lässt das sagt mir diese Dimension – und das ist nicht anders als wieder der Rang – sieht das im Lehrbuch nachschlagen – finden Sie das unter folgender – im folgenden Text – ?? die maximal – die maximale – Zahl – linear unabhängiger – Spalten – linear unabhängig – heißt ich kann die nicht auseinander bilden – mit – Modifikation – und Addition – in ihrer unabhängigen – Spalten – und drückte sich in eine Zeile – selbst Ausrufezeichen – halten – das hatten wir ?? bezeichnet als den – Rang – der Matrix und es stellt sich heraus oder das ist ja – außerdem – auch die maximale – Zahl – an linear – unabhängigen – Zeilen die ich finden kann – Zeilen – machen – oft – die wesentlichen – Geschichten – im ganzen Spiel ist denke ich dieses hier – Zahl der Spalten – minus Defekt ist gleich Rang und Idee zu haben was er Defekt misst und was der Rank Mist – und den Rang kriegt man eben auf zwei Arten – gucken – wie viele Spalten können Sie maximal finden die sich nicht durcheinander ausdrücken lassen oder sie gucken wie viele Zeilen können Sie maximal finden – die sich – nicht durcheinander ausdrücken lassen – das heißt übrigens nebenbei dass der Rank – in jedem Fall – höchstens die Zahl der Zeilen ist doch höchstens die Zahl der Spalten ist – können – wenn sie eine monstermäßige – Matrix dieser Form haben zweimal irgendwas – höchstens ein Rang von zwei haben klar – weil die Dimension des Ergebnisses höchstens weiß aber auch in diesem Fall – eine monstermäßig wo Matrix mit zwei – alten – in dem Fall – höchstens ein Rang von zwei – ?? hieraus eben sieht – hier finden Sie höchstens zwei linear unabhängige Spalten – so kleine Tabelle zur Zusammenfassung – für das mit Existenzen Lösung aussieht – drei Situationen – und ich gucke mir jeweils anwies um die Existenz – und um die eindeutig – Gay Guide steht einem – Deutlichkeit – wobei Eindeutigkeit – immer zu verstehen ist Eindeutigkeit – wenn überhaupt lösbar – Batterien – an – drei Fälle die üblichen drei Fälle – der einfachste – Fall ist ich habe so viele Gleichungen wie unbekannte – und damit eine quadratische Matrix – so viele Gleichungen – wie – unbekannte – das ist nicht der einfachste sondern auch der übliche Fall – dann über den Fall – ähm kleiner als – in – zwei ähm – nicht mehr gewiss benannt habe – ähm war die Zahl der Zeilen – das heißt das ist – die Zahl der Gleichungen – ähm ist die Zahl der Gleichungen – es gibt weniger – Gleichungen als Unbekannte – weniger – gehen ähm – als Unbekannte – kurz gesagt – ich verlange zu wenig von den unbekannten – ich bestimme – zu wenig von den unbekannten – es gibt zu wenig Bestimmungen zu wenig Gleichungen das heißt unter bestimmt – ein unterbestimmtes – Gleichungssystem – sie an das Jodmuster gleich über bestimmt heißen – wenn ich zu viele Gleichungen habe zu viele Bestimmungen – viele Gesetze – zu viele Gleichungen für zu wenig Unbekannte – ähm – größer als – ähm – mehr Gleichungen – mehr Gleichungen – als Unbekannte – so seltsam – dass er sich dann über bestimmt – wenn wir – wovon ich mal an – weniger Gleichungen als Unbekannte – haben – sie haben eine Matrix mal ?? – Benutzesmerkmal – als Schmierzettel – das ich hab mal – ähm – ich habe eine Matrix – die hat – ein paar – Zeilen – aber ganz viele Spalten – und ich frage mich ob aus dieser Matrix – alles rauskommen – kann was ich mir vorstellen kann – nehme soundsoviel mal die erste Spalte sonst immer die zweites und dritte und so weiter und sofort – das wird im allgemeinen hinhauen typischerweise – typischerweise – werde ich eine Lösung finden – es kann schief gehen wenn die Matrix fies gebautes – typischerweise – werde ich eine Lösung finden – stets mit der Eindeutigkeit – sie haben – so eine Matrix – und die Frage ist – ist die Lösung wenn ich eine gefunden habe ist die Lösung dann eindeutig oder nicht wie stets mit dem Kern und den Defekt – dieser Situation – ?? – Bilanz zwischen Rang und Kern angenommen ?? ?? Matrix – drei Gleichungen – fünf – Unbekannte – der Rank – ist – höchstens – drei – kommen höchstens drei Dimensionen raus – es euch den Zusammenhang – zwischen Rang und Kernkern – sind die die verloren gehen – ich gehe mit fünf Dimensionen – rein – was weiß jetzt über Rang und Kern – defekt und Rank müssen zusammen fünf ergeben – G mit fünf Dimensionen rein – diejenigen – die nicht im Defekt standen – in den Kernlanden – diejenigen von den fünfzig im Kernlanden – landen im Bild tragen zum Rang bei krank plus defekt – die Dimension des Bildes durch die Dimension – des Kerns Rank plus Defekt – muss fünf sein wenn ich weiß das der Rank kleiner gleich drei ist folgt daraus – dass der Defekt – größer gleich – zwei sein muss weil die Summe fünf sein muss – das heißt der Defekt ist keinesfalls – null keine Chance – diese Situation haben ist er Defekt – keinesfalls – null – und er Defekt keinesfalls null ist heißt das – nie – gibt es Eindeutigkeit – nie weil der Defekt – zwangsläufig – größer Null sein muss und nicht gleich null sein kann – wenn ich so viele Gleichungen habe wie unbekannte – eine quadratische – Matrix – sie nehmen – drei Vektoren – nebeneinander würfeln die drei Vektoren fragen sich was ganz mit drei Vektoren – bauen die im Raum – gewürfelt sind natürlich konnte typischerweise – alle bauen wenn sie Pech haben gegen diese drei Vektoren einer Ebene – für die Stecknadel im Heuhaufen typischerweise – wenn ich drei Vektoren wirft den Raum kann ich mit diesen drei Vektoren alle anderen bauen – Existenz – typisch gegeben – wenn ich so viele Gleichungen wie unbekannte habe – hier beim Defekt – wenden – Komma solange drei Matrix auf – wenn ich tatsächlich diese typische Situation – habe – das in diesem Fall drei Dimensionen rauskommen – der Rank – gleich drei ist folgt automatisch wegen Rank plus Defekt – gleich drei – automatisch setzte Defekt – null ist – defekt null heißt Eindeutigkeit – also habe ich hier typischerweise – Eindeutigkeit – und das sogar – genau dann wenn wenn der Rank – voll ist wenn alles rauskommt musste Defekt null sein und hab Eindeutigkeit – und das ist das typische – das beste typischerweise – untersetzte hier ist – das über bestimmte – nun – ich habe – mich manchmal auf ein Gleichungssystem – das halt so aussieht – drei Unbekannte – und – fünf Gleichungen – verlangen bis in viel von meinen unbekannten – und frage mich kann ich nun – Existenz – kann ich nun alles raus kriegen aus dieser Matrix geht das für alle was finden Sie – was ist das Problem dabei – weiter fünf mal drei Matrix – kann ich mir zum Beispiel angucken – wie denn die Vektoren entstehen – aus dieser Matrix und sowie mal die erste Spaltsperson – sowie meine zweite sonst meine dritte Spalte das was aus dieser Matrix rauskommen kann – alles was aus dieser Matrix rauskommt ist aus drei Vektoren gebildet – das kann niemals fünf dimensional sein das kann höchstens dreidimensional – sein der Rank – hier – ist maximal – drei dieser Situation – aber niemals – fünf – und das heißt – es können niemals alle – Inhomogenitäten – rauskommen – Existenz – niemals – für – alle – die es können nicht alle Vektoren auf der rechten Seite rauskommen – einige vielleicht – besondere Nullvektor Beistrich immer rauskommen nur einsetzen – ?? alle – ?? und ist – das der Rang – zwangsläufig – mit – zählen der Rank ist zwangsläufig – die Zahl der – Walzenzeit – hat Balken beschränkter Drang ist zwangsläufig – kleiner gleich – in – und ähm ist nach Voraussetzung – ?? strikt kleiner als – ähm – das heißt – der Rank kann niemals ähm sein was rauskommt aus der Matrix kann niemals die volle Dimension – dieses aber hier auf der Seite der Eindeutigkeit – wie groß ist der Kern diese Vektoren werden zu Null gemacht wenn sie so eine Matrix haben – seit ich ihn dreimal fünf – wenn sie so eine Matrix haben – und gucken was zu Null gemacht wird – der Kern waren alle Vektoren die senkrecht auf allen Zeilen stehen – alles was intern so senkrecht auf dem auf dem auf dem auf dem auf dem steht das heißt je mehr Gleichungen sie haben – bis zu mehr Anforderungen – stellen Sie an den Kern desto kleiner wird der kerntypischen – Fall wird der Kern nur der Nullvektor sein – den Äckern nur der Nullvektor ist herrlich begabt es ist eindeutig – kann schief gehen aber typischerweise – ein – das ist das was man – sofort – aus dem Ärmel schütteln kann wenn man einfach die Zahl – der Gleichungen – und die Zahl der Unbekannten miteinander vergleicht – sie wissen sofort was sie erwarten können was ist das es Spannweite steht niemals – im unter bestimmten Fall niemals eindeutig wenn überhaupt eine Lösung existiert – niemals eindeutig – an – und das hier ist auch eine klare Ansage – im über bestimmten Fall – sind sie auf keinen Fall für alles auf der rechten Seite – eine Lösung – das ist – ihr schon ich ihr schon das ist für die Stecknadel im Heuhaufen wenn sie die – wenn sie eine über bestimmt bislang ?? ist ein System lösen wollen – haben sie sehr viel Glück – haben sich der Ball im Heuhaufen von wenn das hinhaut