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16D.1 Fourier-Reihe als Zerlegung in Basisvektoren


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieGeschichte mit der Fourierreiheund der Fourier TransformationGanze ist relativeinfach zu verstehen denke ich wenn man sich klarmachtdas Funktionenim mathematischen Sinne Vektorensinddas freundliche Zimmer mit Ihnendurch exerzierenlinksdie Idee von Vektoren als Feileund rechts die IdeevonFunktionen die auch Vektoren sein könnenoder sich wie Vektoren verhalten zumindestmathematisch betrachtet man Funktionenauchals Vektorenhier einmalgeometrische Vektoren schreibt das malPfeile sozusagenund hier einmal Funktionenals Vektorenwird es umgehenVektoren in andere Vektoren zu zerlegenund dann sieht man das in der Gegenüberstellungdass das was die Foyerreihemacht jetzt die Foyerreihedie komplexe Brennereidas Themaistelementar geometrisch zu verstehen Sie müssen nur von links nach rechts übertragen dann wissen Sie was sie mit Funktionen zu tun haben wir fangen mit den geometrischen Vektoren an?? soll der topfolgendersein Mann sollzerlegeneinen Vektoreneins zwei dreiin folgende drei Vektorennämlicheinst durch Wurzel drei eins durch Wurzel drei eins durch Wurzel dreieins durch Wurzel zweiminus eins durch Wurzel zweinullunddritten im Bunde der Witwen bisschen ekliger eins durch Wurzel sechs eins durch Wurzel sechsund minus zwei durch WurzelsechszerlegenPunkt am Ende zerlegen meine ich diesen Weg das Schreiben als ?? zu viermal den ersten da unten Ausrufezeichen meine zweiten dauernden Person zu Firma den dritten dauerndenwie kann man das hinkriegender zwei drei als Summe von vielfachen als in der Kombinationvon dendreien der unten zu schreibendiese drei Vektoren Jamba besondere Eigenschaften besser diese Zerlegung besonders einfach ist aber das muss noch mal angucken sie berichtet von allen dreien mal die Länge wie lang ist erwie lang ist der wie lang ist derRechen sie von allen mal die Längeso sehr gemerkt ?? alle die Länge einsfür zwei für den letzten vor der Restgeht dann analog für den letzten bayerischen schwierigstenPythagoras im Raumdie große Wurzel her was es unter der Wurzel der erst ?? Quadrat eins durch WurzelsechsQuadrat plusDennis ins Quadrat ist dasselbe also einswurde sechs hundert mal zweiNS konnte genausolos und jetzt kommt der dritte hier minus zwei durch Wurzel sechs ins Quadratdenken Sie dran dass sie die Klammern machen müssen wenn sie einst durch Wurzel sechs Quadratsschreibenwird nur die eins verliertsie war die ganzeGeschichte ihr Quadrieren Klammer auf einzig wurde sechstens Quadratim Sammel einzig kurze sechs die Renaissance durch sechsentstehen der zwei Sechstelwenn sie Quadrierenviersechsteim zwei Quartieren musste sechs verdient vier sechs zwei sechs groß vier sechste sechs sechste eins und aus die Wurzel auch eins also auch in Netzennach zwei Minuten Rechnung kommt eins raus sie haben alle die Länge einswenn sie scharf hingucken sehen sie dass die alle senkrecht aufeinander stehen jedersteht senkrecht auf jedem anderenähmWinkelbestimmungmit Skalarprodukt zum Beispiel wenn sie die ersten beiden nehmen das Skalarproduktaus den ersten beideneinst durch Wurzel drei eins durch Wurzel drei eins durch Wurzel dreimalbeiplus eins durch Wurzel zwei minus eins durchWurzel zwei null das ausrechnenEinzigwurzel drei mal Einzigwurzelzwei plus eins durch Wurzel dreimal minus achtzig Wurzel zweites null gibt sich Weg ist nullwenn sie für alle anderen Kombinationenauchmir ein Ziffer sechs als sie vor zu sexy mit verschiedenen Vorzeichen das Skalarproduktaus den beiden hinten wird nur sein und vorn und hinten ist gerade kunstvoll so konstruiertals ich vor zwanzigsteszweiter zwei ?? und die sie de facto zwei und das auch nur zu machen der erste Mann letztens auchversüßen drei Vektoren die alle die Länge eins habenund jeder steht senkrecht auf allen beiden anderengibt den malnamentlichnennen die FirmaeinsfestPunkt jetzt wissen wir der die Länge einsals mit Hutdie einzige zweiE drei nicht immerund was wir wissen ist das dieLängevom vektordikasagich malGas ein zwei drei das längere ?? eins istund was wir auch noch wissen ist das SkalarproduktEKmal die List gleich null wenn K ungleichL istdas wissen wirdas könnte man auch kürzer schreibensehenwie könnte man das jetzt kürzer schreiben?? die Länge eines Weckers und das Skalarproduktokaywenn ich ein Vektor mit sich selbst modifizieren?? das offensichtlich was mit der Länge auch zu tun es ist nicht die Längedas Quadrat der Länge das merken Sie wenn Sie das vielfachen nehmen ihr vornein das Doppelte vom Vektor das Doppelte vom Vektor mal das Doppelte vom Vektorbenannt ist ?? das vierfachekann ich die Länge gewesen sein Länge verdoppelt sich nur es war der Länge das vervierfacht sichsehr damit Pythagoras ?? das ja ausreichender vornedie Exponenten multiplizierenes ist also X Quadratplus die zum Komponenten modifizierenzum Quadrat plus EZ Komponenten modifizieren Z Quadratdie Summe der Quadrate nicht die Wurzel der Summe der Quadrateals ein Weg Komma sich selbst ist seine Länge ins Quadratist kann ich hier hinschreiben das sie heißt eigentlich dass der Vektor EK mal sich selbstals Quadrat ist einsQuadrat auch weglassenbei der einsund daszusammenfassenich kann sagen EK mal EL ist null wenn die beiden verschieden sind die Kartelle dies kann seine Kammer ?? einswenn es dieselben sindman schreibtEK mal EL ist gleichDeltaKLdas Konica Delta was soll das heißenDelta KL soll eins seinwenn K und L dasselbe sind also Deltadrei dreien das ist einszum Beispiel und der Dackel soll Null seinMann wenn die verschieden sind die beiden lernten uns drei zwei zum Beispiel Delta drei zwei soll Null seinPunkt das normale hinterDelta KL ist definiert Konica Delta ist definiert als einswenn K gleich istund ist definiert als null wenn K ungleich L ist das ?? kurz Schreibweisedamit aber jetzt kurz ausgedrückt diese drei Vektoren haben alle die Länge einsmal sich selbstgibt einsQuadratundstehen alle senkrecht aufeinanderjeder senkrecht aufeinander soll ich sagen E eins Mali zwei ?? zwei gibt Delta ein zweitesnull so Komma dass kurz schreibenwenn sich eine Orthonormalbasisund führte sie war nichtso fürchterlich Griechisch machendas insbesondere Vektoren alle mit der Länge eins und sie stehen senkrecht aufeinanderwie zerlegen sie jetzt ein Vektor in Vektorendie alle hübsch senkrecht aufeinander stehenhaben ihren Vektorzerlegen wollen und sie haben jetztdrei Vektorendie alledie Länge eins habenundhübsch senkrecht aufeinander stehen eins eins eins sozusagenwie kann man das möglichst einfach ausrechnenkein geometrisches Argumentschaffe ?? Ansatz indiese drei Vektoren länger eins jeder senkrecht auf dem anderen dieser Vektoren sind definitiv eine Basis des R dreiunswer kein Platz mehr sozusagenschreibt man Ansatz inder Vektor eins zwei dreiwird sein eine Konstantemalden Vektor E einsich sage mal A einsich sage mal C einsC einsmal den Vektor E einsplus eine Konstantemal den Vektor E zwei eine Zahl soll ich sagen plus eine Zahl C dreimal den Weg zur E drei so wenn ich die ?? zerlegen können mein ursprünglich Vektorkönnen Sie jetzt sie eins sind zwei C dreiraus finden das wäre die Zerlegungwie viel von E eins ist in ein zwei drei drin wie viel von den zwei String wie von ?? dreist in das überstandensie einst in zwei ?? sind eigentlich diese drei Vektoren zusammenwie finden Sie in der Gleichungfür C eins zum Beispieldann noch ?? Nebenbemerkungwas kann ich denn nun mit Vektorgleichungentun wenn ich so ?? Gleichung habeeinen Vektor eins zwei drei ist gleichsowiesoplus sowieso plus sowieso mit irgendwelchen Vektor feinwenn sie Sohn VektorgleichunghabenSie könntenauf beiden Seiteneinen bestimmten Weg zu addierenlinks und rechts da muss die Gleichung immer noch geltenein Vektor subtrahierensie könnten Skalarproduktbilden die linke Seiteplatziertdie linke Seite mit dem Vektor vier fünf sechs skalar modifizierendie rechte Seite mit dem Vektor vier fünf sechs Skala modifizierenmuss es immer noch gelten die Gleichungsie könntenVektorproduktebildenauch dann muss die Gleichung immer noch geltensie könntenBeträgebilden links und rechtsbinder Vektorlinksgleich den Vektorrechtssystemsnatürlich auch die Mängel vom Vektor links gleich die Dinge vom ??all solche Geschichten können Sie machen immer noch müsste die gleichen geltenund hier machen mal ganz was banaleswie Bild links und Rechte Skalarprodukt mit dem Vektor E einsdas machen Sie malauf beiden Seiten E einsE eins sich aber daraus folgtdaraus folgt wenn sie beides mit D eins modifizierenE eins mal und so weiter ist gleich E einsmalund so weiterwas bedeutet das was lernen Sie daraus beide Seiten mit dem Vektor E eins modifiziert im Skalarproduktdas Muster gelten mir diese Gleichung gilt ein Vektor ist der Weg muss sie gleich unter unten auch geltenund was folgt daraus Punkt sich analso wenn wir dasmachen lernen wir auf der linken Seite steht E einsmal eins zwei drei Voltauf der rechten Seite das total spannendE einsmal Klammer aufsie als sie Einfluss die zwei zwei Pluszeichen zwei Klammer zudas gleiche ausmultiplizierenes gibt also C einsmal die einstmalsE einsplus C einsnicht die zweite C zwei sie zweimalE einsmalzwei Skalarproduktplus CdreiD eins mal dreiwie ein zweitletzten ihr Wasser aus modifiziertE eins mal diese Summejetzt wissen wir aber schondas ist eins E eins Mali eins einsE eins bei zweites null das Licht rausE eins war ich weiß nur das ich rausalso weiß ich das E eins mal ein zwei drei ist sie einsichtigedirekt C einsC einsist das Skalarproduktaus E einsmal den Weg für ein zwei drei können mit einer ausrechnen was war E einsE eins war alles Einzigwurzel dreiZiffer zweimal ein seitig kostet einmal zwei bis achtzig Wurzel dreimal drei sindsechs durchWurzel drei das ist C einsich kriegemit einer sehr simplen Rechnung raus was der Anteil von E einsan diesem Vektor ist und natürlich genauso für C zwei und C dreiFragezeichenich glaube das geradeals sie modifizierenden ?? zu zerlegen den Vektorskalarmit dem entsprechenden Basisvektorund kriegen sofort den Anteil rausbei jener eins steht und der Rest alles zu null wirddas ist der Trick bei diesenBasisvektorendie alle senkrechtauf einander stehenund alle die Länge eins haben zu einer Anführungszeichen untenNormalbasisoffizielle Begriff ist diese Anteile sind total simpel auszurechnensie modifiziereneinfach den Weg zerlegt werden soll mit dem Vektoraus der Basis dem entsprechenden?? haben den Anteildass es Geometriebis dahinnur deshalb tatsächlich hier ein Faktor der Vorauswahlsechs durch Wurzel dreivor dem ein Faktor den ein Fakt und handeln eins zwei drei geschrieben alssechs durch Wurzel dreimal den Fluss unserer Firma den Bussen sindimmer dieBasiseinig der Job von diesen C eins C zwei C drei geometrischich habe meinen Weg zureins zwei dreizweieinInternistirgendwodieserBasisvektorzu dieser Basisvektorhier E einsKomma dass es im Raum liegen magdas Skalarprodukt des Hans-Jochen liest aus der Physik mitgenommen hatte was mit Projektionstunsie gucken sich anwenn Siediesen schwarzen Vektor hier projizierensenkrecht projizieren auf diese Richtungnatürliches räumlich totalungeschickt zu zeichnenden Meerslänge eins für sowaskeine Ahnung wenn sie den senkrecht projizierenauf diesem Vektor dann ist das Skalarproduktja was seichter Skalarproduktund diese Projektion hängen die beiden zusammen die Länge dieser Projektion der Skalarproduktin der Physikdie Arbeitwie in KraftrichtungKomma Kraft oder Kraft in Blickrichtung mal Weghier haben sie das Rot an markierte die Projektiondie Länge der Projektionenistwasvon dem schwarzenVektor ein zwei drei ?? sowohl was von schwarzen Vektor sozusagen in Richtung E eins zeigtsowas wieKraft in Wegrichtungwasund dieLänge von denen hiermal die Länge von E einsso diese Länge mal dieser Länge die Länge der Projektionhat die Länge von E einsdas ist das Skalarprodukt der Wein als zwei drei Skalarproduktmit E einsder Witz ist aber die Länge von E eins ist einsdes ?? ist das Skalarproduktschlicht und ergreifenddiese länger die Länge der Projektionbei E eins die Länge ein ?? das bestimmt man eigentlich diese C eins bestimmen die Länge der Projektionmit Vorzeichenunten landen würdeer dann negatives Vorzeichendas wäre eigentlich die geometrische Anschauung dahinterdas als Fußnote des Jesus gleich bei den Funktionennicht so wirklich viel Geld die geometrische Anschauung aberdas soll sich für die Physik noch mal angucken Kraft in Blickrichtung wegen KraftrichtungSkalarproduktwie man sich den zu weitda käme das vor Punktalsowenn ich Vektoren habe die alle die Länge eins haben und alle senkrecht auf jeden anderen stehenist es total einfachjeden beliebigen Vektor in diese Vektoren zu zerlegen ?? Bilder einfach Skalarproduktund dann kann ich diese Anteilewenn das andere Vektoren verstanden haben geometrisch Vektor verstanden habe ist der Witzgenau dasselbe machen wir jetzt mit Funktionenund haben erst die Foyerreihe und später erweitert man irgendwanndie kontinuierliche Fourier Transformationmeine Funktionenauch in gewisser Weise Vektoren ich nehme malfolgende FunktionF von TillHeizperiodeeins zeitlich eineFunktionwiederholtsich also nach der Zeit einsund ich muss irgendwie meine Funktionendefinierenich sage folgendes F von Tsoll seineinsfürT zwischen nullundkleiner gleichsozwischen null und ein Dritteldas ?? MailfunktionEinsseinund sie soll Null seinfür ein Drittelkleiner gleichT kleinereinsdiese Funktion möchte ich jetzt zerlegeneine Funktion einer Fusion zerlegen ein Vielfaches mal eine Funktion wie was man einer von zu dazu plädiert Bussen vielfach eine weitere Funktionsmitnahmehat aber vielleicht mal gerade vorab wie sie diese Funktion eigentlich ausist die Platten hier ist die Zeitnull eins zweidreiminus eins wie sie diese Funktion eigentlich aus wenn sie die Plattenunter den immer weiterFusion aus also sie ist eins zwischen null einschließlichein Drittel ausschließlichzwischennulleinschließlichrund ein Drittel ausschließlichist sie einsbraucht man ein Schreiben an die Achseist wohl zwischen ein Drittel einschließlichund eins ausschließlichein Drittel einschließlichund eins ausschließlichund dann sollte die Periode eins haben das heißt sie wiederholt sich nach der Zeit einsoffensichtlich geht also weiter obenein Drittel ein untenzwei Drittel lang oben ein langunten zwei Drittel lang und so weiterauf der linken Seite natürlich auchsie wiederholt sich alle Richtungenin beide Richtungendessen aus sie spiegeln vorsichtig schließlich Spiegelmuss immergleich aussieht wie ein Muster das man unendlich oft wiederholtsie auszeigte sie vielleicht in der Mathematik nicht unbedingtdas so bis auf neues Teleskop aussehen würdein der Wirklichkeit hat man natürlich nicht solche Übergängeoder seiner mal in der makroskopischenWirklichkeithat man nicht solche harten Übergänge und harten Übergängesonderndann immer irgendwelcheglatten Verläufe aus dem Ostteleskop wird seine seinerzeit wirklich verbunden zu sehen sein?? Mathematiksind es jetzt so harte Übergängeund Verbindungsstrichzwischen so sehr diese Funktion auswie möchte ich jetzt zerlegen in anderer Funktion nicht kann Funktionenauf andere Funktionen addieren ich kann Funktion bezahlen und beziehen Funktionsvektorendas ?? zu viel schon mal gesagt?? versagen so lassen sich alle Sektoren verstehenweil in der MathematikVektor heißt was ich mit Zahlen modifizieren kann und was sich auf andere solchegleichartige Vektoren addieren kann mit üblichen Rechenregeldas gilt für die Funktion sie können Funktionen addieren Sie System plus die Quadratsfunktionaddiert sie können Funktionen mit Zahlen modifizieren zwei vierzig Mal Sinus die es gelten die üblichen Rechengesetze Funktionen verhalten sich Vektoren in der Mathematik sind Funktionsvektorensie bilden Vektorräumewelche Funktion man nimmthier guck ich mir die Funktion mit der Periode eins an ?? undNudel dasselbe Programm durch was hier für die geometrischen Vektorenaus Platzgründensie immer wieder wegPunkt es ist also irgend eine mehr oder minder interessante Funktionspannender sind die Basisvektorendie Basisfunktionenin die man sie dann zerlegtmöglichst elegante Funktionenmöchte die zerlegen zerlegen diese Funktion F sollte nicht eher von T schreiben die Funktion Fan Funktion F hier eher von T ist ein Wert ausrechnensoll auch keine Kommadafür steht Ihnen Ben steht ?? Komma stehenden Anführer stehtKomma ?? Kommadiese Funktion Fmöchte ich zerlegenBasisfunktionenund zwar habe ich jetzt nicht nur drei sondern unendlich vieleund in zwei Richtungen ähnlichE einsE zweiund so weiterin nullE minus einsund so weiter also von minus endlich kommendnach Osten endlich gehendunendlich vieleBasisfunktionenjetzt nicht Basis Punkt Vektorensind Basisvektorenin diesem Sinne auch erst mal Basisfunktionensind alles Funktionenund zwar das folgendedie Funktionendieman Beispiel in die Funktionmit dem Index dreizehnsoll Funktion sein muss ich sagen was macht die an der Stelle T Funktion an der Stelle T soll folgendes tunsoll ausrechnenwie hoch zweiPi Imal dreizehnTdas sollte Funktion ausrechnenoder allgemeindie Funktion äh mit dem Index K untensoll ausgerechnet Leo zwei Pi mal?? Karteund dieses Carist eine ganze Zahlminuszwei vierzig plus dreizehnminus sechzehn was auch immerdas sind jetzt meine BasisvektorenFunktionendie Rolle von Basisvektorenhaben sollen daskönnen wir vielleicht gerade noch mal nachrechnen das es wirklich es auch stimmtdas diese Funktion in diesem Sinne senkrecht aufeinander stehenist auch man ein Skalarproduktfür Funktiondes raffinierten Skalarprodukt ?? Funktion Klammer zuwerdenzum erinnern noch malbei Funktionenwenn ich zwei Funktionenskalar modifizierenschreibe ich nicht aus historischen Gründen kein Punkt sondern es hat sich Präsentationdas hier entwickelt und schreibt in spitzen Klammern bin Komma dazwischen meint aber dasselbe wie hierprofessionell sieht man tatsächlich manchmal dann auch hier bei den geometrischen Vektorensie spitzen Klammern für das Skalarproduktdas Skalarproduktzweier Funktionenund beide mit der Periodeeinswas soll das sinnvollerweiseseinbei den Vektorenrechne ichX modifizieren?? zu multiplizierenZ modifizierenund addierenwas können Sie bei Funktionentun was irgendwie so ähnlich ist ?? genau das macht man dann auchbei denVektoren auf der anderen Seite hier ich hatte vorher sogar dazwischenwird es gleich wieder weg da wenn's was rechnen wie A X mal B X plusA Ymal BYplus und so weiterdie entsprechenden komponententhermischerFunktionswerteich kann zum Beispiel was nehmen wir die Funktion an der Stelle ein halb die Funktion F an der Stelle ein hat meine Funktion eine G eine Stelle EinhaltungplusFunktion F an der Stelle dreiviertel mal die Funktion G an der Stelle dreivierteles wäre sowas analoges wie hier die zweite modifizieren nebst hundert und beziehen addierenund sehen Sie aber das ist eine Funktion bisschen ungeschickt sicher unendlich viele Funktionswerteich werde sowas PDFan der Stelle T Mike Lee an der Stelle Tjetzt habe ich unendlich viele Funktionswertenaja wenn man integral über eine Periodedes Witt wieder unsicher sowiesohierüber eine Periodedas machtdas ist das fastbesser ein Ergänzung das ist fast das übliche Skalarproduktfür Funktionensie nehmen die eine Funktionan derselben Stelle wie die andere Funktion im Produkt das sowas wie Alex mal BXbei sozusagen derselben Stelleschon mal BYbeide mit Psalmen und beide an derselben Stelle genommenwird addiere ich das nichtviel zu viele Funktionswertehiersonderlich bildet das integral des Integral fühlt sichan wie eine Summe ist es in gewisser Weise auch eine Summe unendlich kleiner Teile sozusagenhistorisch weitsichtig veranstaltet auch heute immer nochdas ist die Verallgemeinerungdavonfastdie Arbeit mit konvexen Zahlendas hier bei der keine komplexen Vektorenmit komplexen Zahlen arbeiteten an einer Stelle vorsichtig sein in Dietzenbach expandiertden ich vergessender erste Komplex kommentiertdas wäre das Skalarproduktfür Funktionenjetzt analoge Bilder zumSkalarproduktvon Vektorenvergessen Sie mal die Unterlagen des Prognose ?? ?? ein Beispiel an wenn ich die FunktionE dreizehnmodifizierenmit der Funktion E zweiundvierzigdas SkalarproduktzweierFunktionenSkalarprodukt zweier Vektoren geometrischenAtollÄrzte Skalarprodukt zweier Funktionensich klarzumachen was passiert denndas ist ausrechnennicht die Unterlagen gucken sondern selber nachdenken das rechnen sie jetzt mal aus sie die Gral eines Produkts und die erste ??was passiertden dreizehnten und den zwanzigstenBasisvektoreinsetzen??schon mal hinschreiben?? von null bis eins DCgerne mit dem DT hinten sieht doch hübsch ausdas der weißgeh von dieser einfache Teil die Funktionmit der Nummer zweiundvierzigdie Funktion mit der Nummer zweiundvierzigwas macht die Funktion mit der Nummer zwei wird sich mit einem Tee sehr Hint aus ihrer zwei Pi Klima zweiundvierzigmal das Tdass man die Funktion mit der Nummer zweiundvierzigI Punkt zweiCdie Fusion mit der Nummer dreizehn ?? aus I hoch zwei Pi mal dreizehn mal das Thema sich Einsätzewie hoch zweimaldreizehn mal das T aber die soll ich Komplex konzipierenund expandierenheißtdie durch Medizin zu ersetzen im Endeffektweiter steht ein Minus davorjetzt haben sie ihn hoch planen Radio Clubkönnen Sie zusammenfassendas ist eh hochin einen plus den anderenzwei Pi Tkann ich zusammenfassenPunkt so steht der zwei Pi T malKlammernzweiundvierzigminus dreizehnalsoneun zwanzigE hoch zweiPi mal neunundzwanzigCsoundsovielso wollen Faktoren weder vorne ist die anschauliche Vorstellung der Sauce Faktoren jeder hintendie kriegen die Summe an Faktoren insgesamterkannte sie ursprünglich mein Leerzeichen Gesetz und das geht ja netterweise auch für komplexe Zahlen Exponenten weiterintegrieren?? E hoch zwei fiel ihm ein neunundzwanzig die muss man sich nur mal überlegen was macht die ganze Stammfunktion lösen soll langweiligich integriere den I hoch zwei Pi mal neun zwanzig TExponenten steht hier mal eine reelle Zahl das heißt was sie da kriegen Realzeit Imaginärteilwas sie kriegen ist immer eine Zeile länger einsC läuft von null bis einsdann läuft der Exponent hier von nullzwei vier mal neun zwanzig diebiseinmalzwei Pi neun zwanzig Tdas Ergebnis macht neunundzwanzigUmdrehungenim Uhrzeigersinnum den Ursprung das macht diese Funktionwird sie gleich Nullfangen sie hier an Besuch null ergibt einsund dann dreht das Ding neun zwanzig Mal um den Ursprungund endetan der Stelle wiederGäste schon anschaulich da was es Integral sein muss ganz mit der Fusion hinschreibenaus Aufgabe einer Aktionist man schon klar was es sein muss sie bilden quasi den Schwerpunkt von diesen neun zwanzig und Zionismus null rauskommenkann ganz anders sein integral muss null werdendas heiße Skalarprodukt aus dem dreizehnten den sein vierzigstenBasisvektorderBassfunktionist nullwie das eben schon gesehen hat ?? bei den geometrischenE eins meine zwei Diwan senkrecht aufeinander Skalarprodukt es nur irgend denselben Effektwenn sienicht dreizehn mit ins Weinviertel publiziert werden sondern E dreizehnmit E dreizehn modifizierthätten das wird sich ändern auf der rechten Seiteja ständig hier die dreizehndie beiden würden sich auf ewiges Minuszeichenvierzehnte warum das ?? sechs konjugiert genial ist das Minuszeichengibt das aufund wir stellen Null im exponentenehrwürdiger?? von null bis eins ist eins ihrer ein anderes eingesetzt Preises käme eins raushaargenau das was ich haben willalso dieseFunktionenhaben die Eigenschaftdass das Skalarproduktjeder Funktion mit sich selbst eins ist unter Skalarprodukt jeder Funktion mit jeder anderen null isthaargenaues hier bei diesen Vektoren hatten die alle die Länge eins hatten und senkrecht aufeinander stehen genau die Situationin das ganze immer wieder weg umPlatz zu schaffenwas ?? rechnetElement danachdass diese Funktionenin Anführungszeichensenkrecht aufeinander stehenund in AnführungszeichenLänge eins habenwenn Sie mich fragen was heißt das Funktion senkrecht aufeinander stehen das Fusion die Länge eins haben das heißt einfach was das Skalarproduktsagt das Skalarprodukt der Funktionmit sich selbst ist das Quadrat der Länge der FunktionArgumente in einer Funktion sein sollte wie für die meisten ebenundsenkrecht auf einander stehen heiße Skalarprodukt ist nullden Effekt habe ich jetzt wenn sie jetzt eine BasisfunktionEK niemandunter Skalarprodukteiner mit einer anderen oder derselben Basis Funktion ELbilden kriegen sie raus delta K Lgenaudie beiden den Vektorenzuschaffen Punktdieselbe Eigenschaft beschreibt es jetzt etwas anders in spitzen Klammerneinige MiddletonSkalarprodukt gerne Punktdie nie ein Sternchen derWende ein Punktvielleicht auch die spitzen KlammernDirektoren haben dieselbe Eigenschaft dieser Funktionsvektorenso wollen haben dieselbe Eigenschaft und deshalb ist die Zerlegungjetztgenau so mein Ansatzistmeine Funktionhieristersehr wohl mal die Funktion E null plus C einsmal die Funktion E eins und so weiter bis jetzt positiv unendlicheund in die andere Richtung C eins mal in minus eins Plus und so weiter Besitz negativ unendliche das wäre mein Ansatzfür meine Funktionwenig hat jetzt so mein Funktioneningenieurmäßigwird man gerne schreiben F von T ist gleich und jeweils die ?? hängen aber mathematischaddiere ich Funktionen nicht Funktionswerteerstmalig werden Funktionen addiert Funktionen als Vektoren addiert schreibt es die nicht dazudasselbe Settings steht links haben sie einen Vektor als Summevon vielfachenvon Basisvektorenim mathematischen Sinne geht's hier um das selber ein Vektorfunktionals Summe von vielfachen von Basisvektorender Funktion sind einenaja unendlich lange SummeKörnchen Salzaber es fühlt sich sehr gut für eine Summedes könnte man dasselbe hierwie die hier mit den geometrischen Vektoren machen was passiert wenn das Skalarproduktdieser Funktionbildenmit zum BeispielIEEE dreizehnhundert Skalarprodukt mit je dreizehn dieser Funktiondann werden sie findenwas bleibt hier auf der rechten Seite über?? nur C dreizehn über das ist der Gedankeje dreizehn Mal I minus eins Skalarproduktist null E dreizehn Mal in null Skalarprodukt ist null mal eins und zweites null E dreizehn irgendwohin kommt die dreizehn auch E dreizehn Mal die dreizehnteseins und davor steht die Konstante C dreizehn das Überlebenzog ich meine Koeffizientenaus ihrenZahlen vor FunktionKomma gleich noch mal ausrechnenaber das istabsurderweisedas ist die Polizei ?? übersetzt Beistrichich möchtemeine Funktionzerlegenähm diese hübschenBasisfunktionendie einfach mehr oder minder häufig den Ursprung umkreisen sozusagen in der konvexen Zahlenebeneman als Funktionirgendwas mit den großen wissen schon was ausgestattetWeilerund ich stelle festdass das total billig geht dieser Anteil auszurechnen?? ich Bildern Integral gesteht ?? integralSkalarproduktvon Funktionen beim integral über eine Periodeund den ersten Komplex konzipierendas es allesC dreizehn ist dann der Foyerkoeffizientender komplexe Foyerkoeffizientenmit der Nummer dreizehnFoyerkoeffizientkomplexerdemnächst noch mal ideellen ABDax ist ein Verein gutwie sie Entder sag wie viel ich von der jeweiligen Basisfunktionennehmenwas hier passierteine Funktion wird beschrieben als diese Summe das ist die Foyersyntheseeine Funktion geschrieben alsSumme von diesen Basisfunktionenmit Zahlen davor Koeffizienten der Formmeines Systemen sindTheseund das Berechnen der Fourierkoeffizientenist die Fourieranalysebeider Foyeranalysesage ich wie viel denn drinnen ist von der jeweiligen Basisfunktionenbei der Fouriersynthesebildet eine Funktion aus den Basisfunktionendas ist alles das ist die Foyerreifendie Synthesewie oben ist die Foyerreihesummieren John endlich wieder auf?? zu schreiben das es die Fujidreiaufderrechten Seite bildet das zerlegen hast für diese These vor die Reiheist was auf der Seite steht diese unendlich lange Summevon ?? Analyse heißt die Foyerkoeffizientenaus welchen Zahlen stehenwie sie das ?? Vektoren verstanden habenschreiben Sie dasselbe mitFunktionensind fertigjedes Configuredeltaist immer dasselbewie hier also wenn der Präsident stellt ?? dreizehn zwoundvierzigkommt nur raus inzwischen deltadreizehndreizehn kommt eins raus das istuniversell definiertSystemKlammer aufzur Bedeutung vierzehn null scheint der wichtigste Koeffizient zu sein?? Limited zehn nulläh null die Funktion ?? dazu gehört die Hochzeit die null Seele Konstante einzig noch nullC null sagt Fassung Gleichspannungsanteilwas ist ein Gleichspannung drinnen relativ einfach zu verstehen?? erweiterte ich meine sie dreizehn aus Daten der C eins ausgerechnetsie rechnen jetzt wirklich weil sie dreizehn für diese Funktion ausüber diesenWeg mit demSkalarproduktanalogzu den geometrischen Vektoren eben was ist sie dreizehn irgendein integralnatürlich jetzt für die Funktionunsere ursprüngliche Funktion von der oben eingesetzten ersichtlichen ZahlenwertRegelwenn Sie dieseFoyer Reiter einsetzen will Beistrich nur wird sie dreizehn raus das es langweiligwirklich die Funktion die konkrete Funktion von oben mal einsetzen in das integralwobei ich das sage Foyer Eiersagen soll professionellwird man diese Summe natürlich schreiben mit dem SummenzeichenCKE Kvon zehnklein K gleich minus unendlich bis plus unendlich zu Silvester professionell ausSaison nichtablenken an der Stelleglaube ich es irgendwie minus eins verloren gegangene NEC minus einsdieZeltplätzedreizehn aus mit der konkreten Funktion von obenals einsetzen RezeptE dreizehndas war die Funktion gebildetE hoch zweiPi mal dreizehnT den vordersten Komplex korrigieren das ein Minuszeichenund eine Funktionvon Tund das ganze integriert über eine Periode von ?? zum Beispiel oder vonein halb bis anderthalb oder von dreizehn bis vierzehn Hauptsache war eine Periode integriert und immer dasselbe Ausweises wiederholtes Hans-Jürgen Merker die Funktion bisschen ungeschickt dieser stückweisegebautdiesmal so mal sokann sich daraus eine Funktiondie mal soll es mal einsetztwie können Sie dieses integral vereinfachensie gerade additiv sind wenn sie eine Funktion integrierenüber eineStrecke von A bis B dann sie doch integrieren also seine eine Strecke von A bis C regelt die Funktion noch erst mal von A bis B integrieren erstes integral und dann von B bis C integrieren das zusammen addieren es integral ist qualitativwas den Bereich angeht also das ist das integral von null bis ein Drittelderselbe Krempel plus das integral von ein drittel bis eins derselbe Krempelsowas wissen sie jetzt ?? sich das anguckenso genauvon hier ein drittel bis eins da steht ja drin in gerolamal nullich integriere die null und wenn ich die nur in Telekom nicht allzu viel raus das integral hinten ist null statt das integral vorne stehendieses integral von null bis ein Drittelihrer hoch minuszweiI dreizehnTwahrscheinliche FirmenfunktionNord Ashanti eins für die Funktion denn zwischen null und ein Drittel ist die Funktiongleich einsweglassen ?? eins mal eins besser weglassenjetzt bräuchte ichda eine Stammfunktioneine Stammfunktionin den Grenzen nämlich die von null bis ein Drittel was wäre eine Stammfunktionsind die Einzellerfür sich hier eine Stammfunktion für ihre ?? minus zwei mal dreizehn Tdas Leben ?? ?? was einfacheswas leiten Sie ab und sie kriegen die hoch dreiC was leiten Sie nach C abund kriegen die hoch dreizehndas bitte erst überlegen welche Funktion abgeleitet wirdwohl nicht den Rhythmus und nicht die Wurzel es wird wohl auch wieder wahr sein wie hoch drei Tund sehen Sie Mist das haut nicht hin wenn sie ihre Hochzeit sie ableiten kriegen sie noch die innere Ableitung mal drei also ein Dritteldie hoch dreider willst du das wären Stammfunktion oder eine ein Drittel ihrer drei D Plusbei zwanzig oder was auch immer Konstante noch dazu?? Bereich eine Stammfunktion ein drittel innovativestunwas bauen Sie hier jetzt analog?? la Vista stetsdie minus zwei Pi I dreizehn Tdurch was Exponent steht ohne dass die innere Ableitung minus zwei Pi mal dreizehnwenn sie jetztableiten?? ändere nach CE Hochblabladas Ausarbeitung stehenauch rechts und Ableitungminus zwei die dreizehnExponenten hat die ableiten bundesweit die dreizehn ist sie nach ?? kürzlich mit dem nach untenstimmtalso genau wiederdas Trickdaemonerstellen einmal in petto haben musste billig zudem eine Stammfunktionneue Ansätzeersetzen sie eine circa Kramer setzen das ein Drittel ein alsoihr hoch minus zwei Pi diemal bereits zehnDritteldurchMinuszeichendreizehn und abziehenwenn sie null einsetzen entsteht einfach jedoch nur einsdurch minus zweimaldiezehnähm Männerin hinten ein schöner hoch stehen würde ein halb ein Viertel oder sonst was dann könnte man der Ehe hoch noch ausreichend über den Winkelden sie an Euler Realteil ImaginärteilI Hochtief IZahl der Länge einsmit dem Winkel Fiwenn hier inglatter Bruchstundekönnte man wahrscheinlich noch genau sagen was das ist aber dreizehn Drittelsie sich so lustigobwohldrittel Winkel doch vermehrt dreißig Grad dreißig Grad und sechzig Grad ?? Komma doch noch was machen Kommunalwahlenzwei Minuten Zeit investieren Kommagucken Sie mal gerade ob sie die hier irgendwieretten können und lassen etwas schöner war Zahlenwert wird unterschätzt Beistrich veranstaltetmalaufgemachtalsRealzeitImaginärteilE hoch I malder Winkel ist jetzt minuszwoPimal dreizehnDritteleine komplexe Zahl der Länge einsbeim Winkelfidieser Winkel wie können Sie den Winkel vereinfachenviel und schreiben so die nehmen hier vier Umdrehungen Weghaben sie?? guckenvier Umdrehungen also ?? vier Umdrehungen mit dem Uhrzeigersinn so herum nehmen sie wegminus zwei Pi mal vier das wären vier Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn die nehmen sie Weg vier sind zwölf Drittelin Zwölftel Wettwegdas heißt ein Drittel bleibt übrig sie können unbeschadethier rechnen die hoch minus zwei Pimal ein Drittel?? vier Umdrehungenmit dem Uhrzeigersinn darum rausnehmendas ich jetzt doch ein wenig?? freuenzwei PiDrittel was für ?? Winkel wird das Werk zweite Drittel und dann kann ich mit Euler anfangen Kosinusformalen Winkeldes Minuszeichenminus niemalsmuss von meinem Siegelwas ist der Winkel den ich in den Kursen sind Sinus Einsätzegenau hundert zwanzig Grad sieht das eine dritteganze Umdrehung unter zwanzig Grad ein Drittel von drei hundert sechzig Gradso ?? und großes N Sinus von hundert zwanzig Grad dasmüsste ja gerade noch funktionierenschon zwei Minuten drüber sindder ?? Sinustausend hundert sechzig Gradtausend hundert achtzig Gradhundert zwanzig Gradwomöglich nach beim Sinus dabei hundert zwanzig Grad logisch wonachfünfundachtzig bis runter zu hundert zwanzig sechzig gratis und hundert zwanzig Grad und sechzig Grad ich nicht danach so nicht hier vorne bei sechzig Grad nach das ist asymmetrischals ich ihr den siebenundsechzigGradder Kosinusder Kosinusdrei hundert sechzig Grad hundert achtzig Grad?? hundert zwanzig Gradguck ich also hier nach der Kosinusvon neunzig Grad bis dreißig Grad rauf zu hundert zwanzig Grad oder desmit umgekehrten Vorzeichendreißig Grad runtervon neunzig Grad vorgemerkt dreißig Grad und das um minus Kosinus von sechzig Gradmuss dasselbe werde ich welche nicht den aus?? rechnenden ausund die beidenGrazien nehmenein gleichseitigesDreieck alles mit sechzig Gradder Kosinus von sechzig Gradistdiean Kathete durch die Hypothenuseund sie sehen das es die halbe Strecke durch die ganze Strecke der Kosinus von sechzig Grad oder das minus ist ein halbder Sinus muss wegen Pythagorasseien Wurzeldreihalbe Mark ?? gucken die Summe der Quadrate muss eins ergebenein viertel plusdreiviertel der Hauptthemenbekommt also haben mit anderen Wortendieser dreizehnte Folie kodifiziert wird seinvorn steht jetzt minus ein halb minus Klimawurzeldrei halbegroßer Bruchstrichunten steht minus zwei Pi mal dreizehn minus eins Durchmesser immer dreizehn Internetseite die konkreten Zahlenangebensich zu ?? hingeschriebendreizehn was sie dreizehn ist egal sind auf den Pharma kündigte sie dreizehn ausrechnengenausokann man alle anderen ausrechnenund das heißtich weiß der zum Schluss tatsächlich wie meine Funktionaus diesenBasisfunktionenzusammengesetztwirdkann die Anteile von den Bassfunktionausrechnenwas man da jetzt noch nicht weiß ist ?? das hoffentlich reicht Sonntag eine Funktion fehltdie Vollständigkeitandere Geschichte ?? von alten Liedes angesprochen ?? es ist wirklich vollständiges reichtum jede handelsübliche Funktion zu viel