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03B.8 Spiegelungsmatrix aus Spiegelungsachse berechnen


CC-BY-NC-SA 3.0

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schreibenSie mal eine etwas allgemeinereSpiegelungsmatrixhin ich möchte Spiegelan einer geraden an der geraden durch den Ursprungund den Punkt drei vierihr gehtgerade durchdurch den Punkt drei vier und durch den Ursprungan der geraden möchte ich wie sie die Matrix ausdas wird vielleicht etwasein bisschen rechenaufwendigergucken sich das mal anwas passiertmit einem allgemeinenPunktwenn Sie den an dieser Bahn spiegelnoder Komma dass noch trickreiche machen was müssten eigentlich nur wissen was passiert mit dem Standard Basisvektor Nix Richtungdas als Matrix??man den Trick einmal gesehen hat ist es glaube ichklar aber solange den Trick nicht einmal gesehen haben ist es absurd kompliziert man könnt ihr sie mit Sinus und Kosinusanfangen und die Krise kriegen der billige Trick ist folgender gucken sich diesen Punkt an drei vier der Punkt drei vier muss liegen bleiben das sagt ihm was über die Matrixich kenne die Matrix zwar nicht benennen man A B C Daber ich weiß das der Punkt drei vier weil der auf der Spiegelungssachseist liegen bleiben musseine Gleichungmit vier Unbekanntenund ?? diese zwei gleichen es gibt eine Gleichung für die Komponente eine Füchse kommen zwei Gleichungen mit vier Unbekanntendas sagte schon mächtig was über die Matrix wenn ich den Ortsvektor bei vier Einsätzesoll gefälligst Ortsvektor drei vier wieder rauskommenfunktioniert mir die MatrizenSpielmatrixmal Ortsvektoralten Ortsvektor gibt den neuen Ortsvektorbesuchen sich noch an anderen Punkt von dem sie schnell sagen könnenoder liegen wird nicht der Ursprung des Geschenks weil Matrix mal null null gibt immer null null ?? wenn ich nichts über die Matrixan und natürlich auch nicht Punkt hier auf der Achsedas internes Vielfache von drei viertel der nichts Neues suchen sich in anderen Punkt aus dem man noch was lernen kann einen anderen Punkt mit dem ich eine zweite Gleichung finden kanneine zweite Vektorgleichungfinden kann vier unbekannte Abi CD in der Matrix trennendas in zwei Gleichungen siebzehn und das eben noch mal zwei gleich und dann kann man ?? löseneinen anderen Punktund den sie billig sagen könnenwas rauskommen muss bei der Spiegelung an dieserAchsedes leicht wirklichen bisschen verborgen wenn man's noch nie gesehen hatte Trick ist ein punktzunehmenderquer liegtwenn sie den Spiegeln an der Achse jetzt neunzig Grad wenn sie den Spiegeln an der Achse wird derentsprechendfortgesetzt auf der anderen Seite liegenwenn sie mal einen vernünftigen Punkt stehen sie in ganzen Zahlen angeben könnender quasi senkrecht weg liegt von der Spiegelungssachseeines klar was das Ergebnis istminusdieser Ortsvektorgeben sie so ein Punkt mal analso sie konnten sich zum Beispiel?? Komma die meisten sehen dieses Dreieck hier anund dreht das Dreieck um neunzig Gradim Uhrzeigersinnals mathematisch negativPunktdann habe ich hier unten den Eckpunktquasi senkrecht weg geht hier vom Ursprungvon der Spiegelungsachseund dann kann ich jetzt vernünftigenPunkt ablesen hiervier nach rechts drei nach unten jeweils vier nach obendrein nach rechts ist es jetzt vier nach rechts drei nach untenvier nach rechts drei nach untendas Ergebnis musseinfachunmittelbargeradeausauf der anderen Seite liegen mal minus eins minus vierplus drei muss das Ergebnis seinalsovier nachlinks und drei nach oben sie sehen meine Zeichnung ist miserabelich hoffe es ist trotzdem einleuchtend hier gehe ich vier nach rechts drei nach untenwird senkrecht durch die Achse durchgehe ich dann hiervier nach links und drei nach obendieselbe Matrixhabe ich eben eigenwillige Schichten gesehenhabenich suche eine einzige Spiegelungsmatriximmer immer in ganzen Spiel hier eine einzige Matrix überalldieselbe Matrix und ich weiß diese Matrix macht den Ortsvektor zu sich selbstder bleibt liegen und ich weiß diese Matrix macht den Ortsvektor hier unten zu seinennegativenRisiken aus ein hundert achtzig Grad gedreht oder wird eben komplett durch das System gespiegelt das wir zu seinen negativen vier zu minus vier minus drei zu dreiuffdas kann man jetzt als Gleichungenhinschreibenich habe also jetztmacht das geschickter maßenhabe jetzt also drei A sodrei A plus vier B ist dreiund ich habezehnmal drei D mal vier drei Cplus vier D ist gleichvierundmit den hier habe ichvier mal A minus drei Mal begehenist gleich minus vierund hier habe ich vier zehn minus drei Dist gleichdreivier Gleichungen vier unbekannte das sollte hinhauendas immer nächste Wocheoder morgen schon sogartypischerweisehaut das hin weshalb nicht immerhin aber typischerweiseall das hin das ich genau ein A genau ein B genau ein Segen und die findetdiese Gleichungen sind sowieso sehr nettwas es eigentlichsehr entgegenkommendsehr zuvorkommendsehr bequem bei diesen Gleichungen hiersind Leichen immer nur mit zwei Bekannten der steht nicht drei A plusvier B minus sieben C plus achte D und noch netterdas finde sogar paarweise zusammen ich nehme diese beiden zusammendas sind alle in den A und B vorkommenund kann auch B bestimmen dann nehme ich die beiden anderen bestimmen C und D ist also eigentlich zwei Gleichungssystememit jeweils zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ist es viel einfacher als es sein könntemit vier Gleichungen mit vier Unbekanntennunmal A und B hier zusammenimmer Freistil dann die nächsten Wochen zeige ich Ihnen noch bei Sachenimmer sowas systematisch dran gehen kann aber zweimal zweiist er relativ billig das kann man so bisschen hemdsärmelig machenwie A minus dreiist gleichvier also lassen die beiden Gleichungen für A und Beher unhandlichnunschönes immer wenn ich eine von der anderen abziehen kann und was wegfällt sie sehen das Haus hier nicht hinum eine MultiplizierenKrummfaktorfür dritte dreiviertel ist auch nicht ?? ich mach mal folgendesich nehme die obere maldrei und die untere nehme ich mal vierdas veränderte Gleichungen ja nichtmal drei also neun A plus zwölfB ist gleichneunund die untere mal vier sechzehnAminus zwölf B ist gleich minus sechzehn jetzt sehen Sie warum ich die eine mal drei die andere viel genommen habeich wollte mich für dritte dreiviertel habe ich mit schlechten Gerüchener deshalb nämlich die eine mal drei und die andere mal vier je oben die vier mal drei gibt die zwölf aber dreimal vier Gitter unten die auch die zwölf und jetzt kannst die beidenvielleicht erfahrenstendie Summe dieser beiden Gleichungen einfach bilden dann habe ich hier fünfundzwanzigAGB fallen weg fünfundzwanzigA ist alsoWindows siebenwill sagenA ist minus siebenundzwanzigste?? Weiherfür die anderen ausrechnen Media ?? auch alle in der sie alle eben ausgerechnet lohnt sich nicht und so weiterunsinnig sie können rechnensich Singabi CD rausauf diese Weisetatsächlich gibt es nur eine Sorte Abi CDdas könne man sich jetzt im Gleichungssystemüberlegen aber es ist offensichtlichdass das nur auf eine Art gehen kanndass es eine Art beispiellos Matrizen kriegen kannund natürlich auch Rotation Matrizen ich ruh ich überlege mireinfacheOrtsvektorendich einsetzen kann bei denen das Ergebnis kennen und ?? Gleichung aufstellenund lösendanneinen anderen Ansatz Volleyball ?? an den ich gesehen hat den finde ich lustig das ist der Ansatzwenn Ihnengar nichts mehr einfällt dann geht das noch sie können folgendes tunsie können Staaten mit einer Drehungandem sie alleserst mal hinter den zur x-Achsedann spiegeln sie an der x-Achseund dann drehen sie wieder zurückdas wäre ganz heftige Lösung das Produkt dreier Matrizenwird funktionierenmit Monster rechnungsmäßigwerdenalso sozusagen ?? erstens zweitens drittensfür jede dieser Schritte Grinsematrixdie Drehung um einen Winkelmit formelsammlungsmäßignotfalls die Matrix die Spiegelung eine x-Achse gibt Geschenk als Matrix die Drehung um den Igel zurückgibt auch notfalls wieder vom sammlungsmäßigdie drei Matrizen modifizierenmeine Seite voll geschrieben hat aber definitiv eine Lösungandieser Weg hier wäre etwaseleganterwirklich ein bisschen davon gestohlen muss die anderen drei auch noch ausrechnen aber es wird relativ zügig funktionierenals Demokratie nochangeben sie haben die ausgerechnet?? nach längerem Rechnen kommt das raus das A ist minus siebenundzwanzigsteB und C sind gleich vierzehn Ziffer zwanzigste und Dist plus siebenundzwanzigsollte etwas dazu sagen was das jetzt philosophisch zu bedeuten hatdannman könnte jetzt nicht großartig überlegen wie die allgemeine Formel für die Spiegelungsmatrixaussiehtist nicht richtig dramatisch Komma notfalls auf Wikipedia nachschlagenaber warum habe ich Interesse gezeigtich wollte noch mal das sie Matrizen und Vektoren in Aktion sehen dieser Gedankeich habe eine Matrix die Multi ziemlich vom rechts mit einem Spaltenvektorund es kommt ein neuer Spaltenvektor rausdass sowas eine geometrische Summation beschreibt dieser GedankePunkt auf den Konzern dass sie sowas hinschreiben können ?? in irgendwelchenSituationennicht nur beim Spiegelung um diese Achse oder solche Geschichtendas ist der Kern des Ganzendie Formel für die Spiegelungsmatriximmer diese Sätze mit großes N Sinus hinschreiben könnte oder Ähnlicheskann ich auch nicht auswendig lohnt sich nichtam kann man nachschlagendas es nicht wichtigdie Matrizen funktionierengeometrischinsgesamtwas deren Sinn istdas es wichtig