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24C.3 Volumen eines Kegelstumpfs mit Dreifachintegral und Zylinderkoordinaten


CC-BY-NC-SA 3.0

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eineGeschichte noch zu den Zylinderkoordinatenwas praktischesunserer Regentonne im Garten ist kaputt und muss neu gekauft werden und das Problem ist wegen Don Kaufmann nach Volumenund nicht nach linearen Abmessungenalsoso eine Regentonnegelingtso eine Regentonne ist bisschen übertriebenkonisch zulaufendich habe oben einen Umfang ich sage malgut zweiund ein Umfang gemessen U eins in natürlich gemessen oder zumindest geschätztoben habe ich Ihnen Umfang vonzwei hundert zweiunddreißigZentimeterngemessen und und inhaltlichen Umfang vonzwei hundert fünfZentimeterngemessen oder geschätztwas dazwischenund diese Länge hierund ich auch nur einfach bestimmen ich nenn sie ähm für Mantelliniendas sindachtzig Zentimeterdie Frage was ist das Volumender auffällige Weg ?? oder so meine schöne Übung zu Zylinderkoordinatender aufwändige Weg ist das mit Zylinderkoordinatenzu machenKomma zum kürzeren Weg an aber das ist der erste und offensichtliche Weg an dieser Stelle Zylinderkoordinatenwie bestimmen Sie diesesVolumen mit Zylinderprobieren Sie das?? aber alle waren sich einig man sich ein Koordinatensystemso dareindass sie hier untenin der Mitte der Grundfläche den Ursprung habenPunkt danke das ist die x-Achsein Mali jetzt die ZAchseBeistrich Frau im Wegehier ist die Zeitachsekommt herum ausdie y-Achsegeht's in die Tiefe des Raumes sozusagenso lege ichmein Koordinatensystemwird sich das Volumen habenteilweise schon erkannt das wird ein dreifach integral werden sinnvollerweisemuss ich noch über die Reihenfolgeder Integrale klar werdenwas geschickt wäreich noch immer zwischen welchen Grenzen ich arbeitewas wissen Sie relativ einfachsie habendrei Koordinatensie haben dieHöheoderlöst gut die Zeit vor derartigen ?? negativ seinsie haben die Z Koordinatesie habendie Radiuskoordinateund sie habendie Winkelkoordinatedas sind die Zylinderkoordinatenin welchen Grenzen laufen diese drei Zylinderkoordinatenvon welchen könnte das sehrschnell sagen?? mit dem Radius das ist nicht guter der Rades in Zylinderkoordinatenist ja diese Längejetzt will ich wissen welche Punkte sindin dieser Figur drinnen in diesem Objekt trennenund dann sehen sie die Grenzen des Rades hängt von der Höhe ab von der Z Koordinateaber das ist nicht gutdas macht es unmöglichgerade so komplizierte geschichtliche unten darf der Radius gehen von null bisentsprechend zu zwei hundert fünf Zentimeter Umfangund hier oben darf der Radius geht von null bisentsprechend zu zwei hundert zwei dreißig Zentimeter Umfang der Radius wird von dem Zettel abhängen das macht es nicht gemütlichwas heißt wann der Radiusin werde ich nicht als äußerst integral nehmen das wäre ungeschickthat es nämlichin Wein als integralengenau das ist der Grund für Zylinderkoordinatensie ist praktisch egalich nehme Fi nach außen die Fi nämlich nach außen von null bis zwei Pieinmal ganz rumwenn sie ein Punkt drinnen haben wirauf irgendeiner Höhe beimRadiusdann istder ganze Kreismitarbeiterbald dieser Punkt drinnen ist der ganze Kreis dabeiallerdings ?? Punkt draußen ist wissen Sie sofortallesmit dem Radius und der Höhe der Zeitkoordinateist draußenalso ein Punkt drinnen ist ?? draußen ist ?? überhaupt nicht von dem Winkler Vieh geht von null bis zwei Piin dem ich deshalb nach außenweil das schöne einfache Grenzen sind die von nichts anderem abhängigwas weiß man nochdie AZ würde ich auch als nächstes nehmen als das nächste integralmit Z Z geht von nullbis hier oben hin müsse man jetzt ausrechnen was ist die Höhe ?? wir müssen jetzt ?? Höhe bildenHaar dransoZ geht von null bis H fälligam einfachstenda muss man sich die Höhe ausrechnenschon letzten Donnerstag vorgeführt im Prinzip können Sie diese Integrale auch allevertauschendann müssen Sie nur ?? vorsichtig seine Grenzen ?? versuche jetzt die integral in einer solchen Reihenfolgehinzu schreiben dass die Grenzen möglichst einfach werdenkann es auch einfach ausrechnenalso die Z Koordinate von null bis H und ich muss natürlichdie Höhe ausrechnen ?? mit Pythagoras wird schon irgendwie noch nicht kennen Radiusprobenaus dem Umfang Generals und aus dem ?? ich kenne hier die Tuberkulosedamit die Höhedas für die BZ machenund dann bleibt jetztnajasehen wie viele ZS bleibt nur nochRadiuswas schreibe ich in das Innere integral reingenau das habe ich insoweit beigebracht mit den Einheiten wenn sich das sie angucken das an einer technisch nicht seine Bank ein Volumen rausRadius in Metern Z in Meterndie Winkeleinheitlos sieben Quadratmeterraus fliegen hier das kann kein Volumen werdenMeter mal Meter mal Winkel werden Quadratmeterkein Volumenschon von daher muss jetzt irgendwasals Faktor nach dazu was länger hatundauf ihr das sie sich erinnern der Korrekturfaktorprofessionell Jacobi Determinanteder Korrekturfaktorbei den Zylinderkoordinatenwar wieder er seinen Polarkoordinatenermahnte erdie ZDF ihnso stimmt es einheitstechnischalso das jetzt einfach nur schon damit die Zylinderkoordinatenstimmen vom Volumen her damit die Zylinder vollinhaltlich an Volumen ausrechnenwenn sie bei einem ganz kleinenRadiusin Sieber ein ganz Kleinradiusein StückcheninRZ Richtung gehen ein StückcheninRadius gehen und ein Stückchen rum umgehend so haben sieso eine Figur hierwird das einen großen Radius machenum dasselbe Stück in NZ geben dasselbe Stückchen in Radius Richtung gehen um denselben Winkel gehenhaben sie ein viel größeres Volumen ausgeschnittendas Volumen außenmuss größer werden als das Volumen in den das soein anschaulicher Grund warum sie jeden Radius brauchen ich hab seinen alten Liedes vorgeführtbesser erklären kann oder genauer erklären ?? sie brauchen den Radius zeichnen sie Unsinn schon einer technischalso das ist schon alleine wegen der Telefonatmit RTR DZ die Fidesmuss mir noch überlegen welche Funktion ich denn integrierenwelche Funktion wir den hier eigentlich integriertKomma wie würden Sie das in statistischen Koordinatenmachen wenn sie das selber ausrechnen würden kritisierten Koordinaten die Grenzen werden schrecklichX Y DZ welche Funktion würde den pathetischen Koordinatenhier hinschreibenum das Volumen auszurechnen?? dasselbe bei der Strecke eine Dimension weiter bei der Schnecke war der Gedanke ?? ich möchtedieseFläche hier ausrechnen was ich stattdessen ausrechnen ist nicht diese Flächesondern ich mache die Flächedes perspektivischzu einem Volumenmit der Höhe eins wenn sie dieses Volumen hier ausrechnenist das zahlenmäßig dasselbe wie die Flächediese Grundfläche mal die Höhe eins das ist derselbe dieses Volumen undFlächedas war das bei der Schnecke und dann kam ich drauf dass ich die Funktion eins integrierenbestimme dieses Volumenund dem die Funktion eins integriertdas es jetzt hier eine Dimension weiter getriebenhier integriere ich schon wieder die Funktion einsstellt ?? leicht alsähmDichte vorder sich vor sie haben irgend einen Klumpen??und dieser Klumpen hat eine Dichtedie von der Position abhängt hier sind bisschen Blei drinnen und da heißenbisschen Wasserstoff drin ersten Loch wie auch immerdie Dichte dieses Glaubens hängt von der Position ab dann wenn Sie folgendes Bild ?? scheint sich hier die Dichte reinmal dasso würden sie die Gesamtmasse des Glaubens berechnendichteKilogrammpro Volumenhier Malvolumen zum Schluss haben sie Kilogramm raus so würden sie das die Gesamtmasse dieses Klumpen zu berechnen und was ich jetzt mache sage ich sagedie Dichte die nimmt Gleis eins an dieses Ding hierist einfach Wasserzu sagen von A bis Z Wassergedichtist gleicheins Neuer bei Wasser ebeneinKilogramm pro Liter zum Beispieldannhaben Sie da auch nur ein Funktion sie rechnen quasi die Masse auseines Objekts im Raumdas eine Dichte von eins hat und damit haben sie das Volumen ausgerechnetKomma uns auf der Zunge zergehen zu lassenich sage ich gucke mir an einem Gegenstandmit der Dichte von eins?? für die Wasser vor die Dichte soll sein einenKilogrammpro Literwenn sie von diesem Ding die Gesamtmasseberechnenhier steht die dichteEier besteht einsist das genau das integral was ich da habe ich in ?? die Funktion einsund dasGesamt zu bestimmenund das ist dadurch die Funktion wieder rumstehen muss einsich rechne diese Funktion eins in diesen Koordinaten um in dieser Funktionimmer noch einsin Zylinderkopfsteht also sozusagen gar nichts Drinfaktoreinssieht dasVolumen raus derselbe Trick in der Mitte der Schnecke jetzt eben eine Dimension weiter getriebenes decken sich manche die Grenzefür den Radiuswas sind die Grenzen des Radessie es aber sein können ?? schnell um Rechnenhier oben kriegen war ein RadiusR zwei einfach das ?? gerne gemacht und zwei durch zwei Piund hier unten kriegen wir einen RadiusReinsU eins durch zwei Pi als angenommen sie habeneher eins und A zweidie Krise jetzt hier die Grenzen für das Innere integral rausbevor sie zum Radius gegen sich hat eine Sachesagen die anscheinend sehr verlockend ist aber nicht funktioniert was nicht funktioniert ist folgendes sie können nichtfolgendes machen das sie sagen ich nehme den Radius auf der Mitteden Umfang auf der Mitte und rechne dann diesen Zylinder hier aus von diesem Zylinderdas Volumendas sie sagen ?? herumfällt was weg kommt was zudas haut leider nicht hin was hier oben wegfällt ist mehr Volumen als das was da unten dazu Komma wenn sie das mit Dreiecken machen in der Ebenedann ist das okay dann können Sie hier oben was wegschneiden der Brandklappenim Raum haut das nicht hinim Raum haben sie hier oben mehr Volumen drin als sie da untenwegschneidender Traditionbisher größerals leider so nicht Anmerkung am Rande also so einfach geht's nichtjetzt zu demRadius hier noch malein bisschenwenn sie sich das so vorstellenhier ist X Koordinateda ist meine Zeitkoordinatein die Tiefe des Raumes zeigt das Yich gehe jetztzu einer bestimmtenVieh zu einem bestimmtenGesetzhier lebt mein Vieh in der ??erlebt mein Fiihr zu einem bestimmtenViehdann gehe ich einen in eine bestimmte Höhe Zfür ?? Motive seinerzeit Negativesso viel ?? und Zund jetzt will ich wissenwas ist denn mein Radiusso verläuft das dann jährlichen kleinen Radius da wichen großen Rades jährlichen ganz großen Artikel wissen wie weit ich rausgehendurch den Begriff ISM Halbebene bestimmtmöchte jetzt wissen wie weit sich auf dieser Halbebenerausgehenparallel zu Eclipse an ich hab schon die Höheaber etwas gewaltig rausgehensie fangen natürlich fürdie Tonne immer bei null anRadiusdie fangen bei null an und müssen gucken wie weit sie gehen von wo bis wo läuft der Radiusdas ist die Frageoben in der Tonneoben in der Tonne läuft der Radius von null bis er zweiRunden in der Tonne läuft der von null bis R einsund dazwischenläuft das Ding in den Jahrender Staat auf jeden Fall bei nullsie erst Erkenntnisderstartet bei nullund um das Meistersinger mal hinwiederumendetoben hier gibt es einen maximalenRadiusdieser maximale Radius hängt von den ZAP nicht von den vier aber hängt von den Set-upder maximaleRadius von dem setzZZ geht von null bis zur Höheund dermaximale Radiusgeht von der eins unten bis er zweiobenwenn die Höhe nur lässtgehen wir bis zum Radius R einswenn die Höhe H ist jeder Visual SR zwei hundert zwischenden Jahrenschwamm sie den hierhineherMax von Zwas ist das er Maxkonzeptdas ist das was hier oben als Grenze Punktkann man diese integral ausrechnenwir einigen uns also auf eher einsPlusHerz zwei minus R einsdurchH mal Zdas würde man sich überlegen mit AchsenabschnittR einsund Steigung R zwei minus R eins durch Hich überlege mir das lieber sobaue eine lineare Funktiondie hier den richtigen Wert hat und da den richtigen Wert hat ?? wenn sie Null einsetzen für Z können Sie R eins raus wenn sie Haar einsetzen für Z H durch H kürzlichR eins plus R zwei minus R eins ist gleich R zweitendas Ding muss da stehenund jetzt rechnet man das Volumen aus Pisa das ist ein sehr umständlicher Weginzwischen schon drei andere Wege glaubt eingesammelt von ihm ist anders gingedannauch das letzte offizielle wich mitZylinderkoordinatenweshalb der Ärgerfür diese Figur über das sich mit Zylinderkoordinatenan Stellen Sie sich vorsie hätten so einen Bottich mit etwas Bauchwickeln sie genauso ausrechnen sie können das integral hinschreiben und theoretisch lösenauch wenn es nicht ein bisschen Bauch hat und das wäre mit allen anderen Verfahren ich bisher gesehen habe nicht ganz so leicht?? Verfahren ist bei allgemeiner Weise sehr aufwendigauf allgemeiner warund eine schöne Übung zu Zylinderkoordinatensich erst mal dieses Volumen tatsächlich ausmal sehen wie der mordsmäßige Rechnung das Volumen ist das integral von null bis zwei Pidie Fidas integral von null bis HD Zich hab es jetzt ganz ausdrücklich mit den Klammern um klarzumachen was ich meineund das integralRTRvon null bis zu meinerkomischen Grenze hier eher eins pluszwei minus R einsdurch Zund dass es jetzt tatsächlich Schema Fan dieser Stelle muss West nicht mehr wissen was es mit Geometrie zu tun hat ?? es hilftweiß man was man tut aber eigentlich geht es je nach Schema F durchdas Innere integral das hat jetzt alleeherintegrierennach eher als Stammfunktionalso sinnvollerweise eher Quadrat halbedass es meine Stammfunktion für das Innere integral wird in den Grenzen von null bisR eins plus R zwei minus R eins durch Hmal setztdie Grenzen hängt von Set-updie inneren Grenzen dürfenvon einer äußeren Variable abhängen das es okay anderswo mein kleines Problem bleibt im Zimmer ja bestehendes Krankseinso das kann jetzt ausreichendfür eher Quadratsetzt sich den Kram einalso ein halbmal R einsplus zwei minus einsH malZQuadratdas hier oben eingesetzt ein halb maleher Quadratminus null eingesetztenAtoll einfach nur null?? wurde die Sie setzen hier nicht R eins R zwei ein Gesetz in diesem Monster Ausdruck ein für eherun sie setzen null einfür eherdas war dasinnerste integral jetzt kommt das nächste integral dieses hierich brauche jetzt eine Stammfunktionbei Integration nach setzwas leidlich ab und das kommt raus was sei die Nacht Set-up soll sagen was leider Set-up und dieses Ding kommt raus eine halbebla ins Quadratdann sagen wir ein halb la hoch dreiR eins plus R zweiminus R eins durch H mal Z hoch dreies wäre mein erster Versuch kleines Quadrat kritisieren?? probiere blau drei und sie sehen wenn sie das jetzt Probe ableiten und sich indie drei kommt als Faktor nach vorneich gut das muss ich weg machen hiervon muss ein Sechstel stehend ein halb ein SechstelProbe ableiten konnte drei als Fakten auffordern entsteht ein halb wiederdie drei bereits verringert entsteht eine zwei auch gutso weit so gut aber um das Jahr zu leiten und die Kettensägemuss sich nur aus nach Leipzig muss nach innen ableiten die innere Ableitung ist er zwei minus R eins sich Haardemosauch weg deshalb hier mal H durch R zwei minus R einsjetzt stimmt es das ist eine Stammfunktion dazuund die geht es in den Grenzen von null bis Hwie soll's jetzt aber sagen selbstvon null bis Azu leicht durcheinander mit innen drin was er von ?? ist fürchterlich und die SZ von null bis Adas kann ich ausrechnenich setze Heinfür Zein Sechstel malwas passiert wenn sie hier Haarfür Z einsetzen das wissen wir schongenau wenn sie ihr Haar einsetzen haben gegen H kürzlichR eins plus R zwei minus R eins ist seit er zwei übrig so war das Ding ja gerade gebautwenn ich Haareinsätzefür Z kommt er zwei raus hier steht er zweihoch dreiHaar einsetzenmal H durchR zwei minus R einsminus jetzt vierzig null ein für Z gesetzlich für Z null ein was wird mit der Klammer wenn sie für Z null einsetzengenaue also Reise Wasser gebaut wenn sie Null einsetzenbei der eins übrig als ich hier ein Sechstelder eins hoch dreimal der selbe Faktor ihr Haar durch R zweiminus R einssollte die zusammenfassendevorgeschichtlichedie bei mir zusammenfassen sollen also ein Sechsteldes ein Wechsel auch rausnehmen ein Sechstel mal eher zwei hoch dreiminus R einshoch dreimal H durch R zweieinsist etwas übersichtlicherSR zwei hoch drei dahin das R eins hoch drei dahinden ausgeklammertund es ein Sechstel ausgeklammertund gestern ersetzt integraldie Vieh von null bis zwei Pimal somuss das jetzt noch integrierenvon null bis zwei Pihiervon?? das wirkliche ?? wirklich ganz brutal wird eine Stammfunktionin diese Stamm Funktionalfiableiten soll das herauskommendann nehme ich das in den Grenzen von nullbis zwei Pidas ganz streng nach Schema F machen was schreiben Sie hier hin bis nach Fi abgeleitetdas hier wirdgenau der Karneval stehtprima Rotweindiesen Krempel der steht mal Fi einfach das wird ganz billige Stammfunktiondieses Dingmal Fiwenn sie das nach vier Pleitenbleibt das den Geschehnissennicht von viernetterweisemit dass ausgerechnetsieden roten Ausdruck mal zwei Pi minus den roten Ausdruck ?? null ist einfach der rote Ausdruck mal zwei Pi was da rauskommt das ist das Volumenals das Volumen ist gleichdieser rote Ausdruck mal zwei Pi zwei Pi durch sechsMal Erz zwei hoch dreiminus R eins hoch dreimal H durcher zwei minus R einsman könnte sie das frei zum bisschen die beiden hier könnte man noch zusammenfassenmachen das nochzusammenzufassenR einshoch drei R zwei hoch drei und so weiter das sieht ja so aus als ob man da was machen könnte kann man versuchen Klammer zu machenundnatürlich ein Drittel zwei gegen sechsdie Drittel davon aber der ?? und deralles machenkleine ?? ?? Polynomdivision ständig dieses hier vor X hoch dreiminus A hoch dreischreib es ausdrücklich X und A der Medizin etwasgewöhnlicher vorX hoch drei minus A hoch drei geteilt durch X minus eins dieselbe Situation?? umbenannter zwei Dnicht XR eins nämlich Azwanzig Polynomdivisiondas können SiediePolynomdivisionX hoch dreidurch X ich guck mir die führenden Therme an in X X hoch drei durch X X Quadratjetzt zurück multiplizierenX Quadrat MAGIX-minusA das gibt X hoch dreiminusAnalyticsQuadratso viel habe ich jetzt erledigt mit dem X Quadrat habe ich so viel erledigt das sich ab X hoch drei minus sechsunddreißigWegminus minus einmaliges Quadrat plus Amex vertrat also minus A hoch drei das muss ich jetzt noch erledigenhier die höchsten Therme durch X macht A mal Xplus A mal X zurück multiplizierenA mal X Quartalsminus A QuadratsmeileX minus A Quadrat mal X muss abgezogen werden Punktmuss jetztaber ?? Quadratmeter Summary zweiundsiebzigWeg minus ein hoch dreiminus minus A Quadrat X Glossar Quadrat Xund weiter geht's A Quadrat X durch X dann habe ich plus A Quadratzurück multiplizierenA Quadrat XminusA hoch dreimuss abgezogen werdenund es kommt nun raus sind sie weg das war's also nicht so drei minus achtunddreißigkleines A ist das hieroder ob sie das X nennen oder R eins R zwei und so weiter nennen das Systemalso ist das hier gleichdie Dritteljetzt kommt er zwei QuadratplusR einsR zweiR eins R zweiplus R eins Quadratmal die Höhedas wäre das Resultatwerden die Formel für R eins und CR zweihabe ich oben schon angeschriebendie Formel für die Höhe bräuchten gerade nochdie Formel für die Höhe die hanseatischen Ausgänge glaube ich die Höhehier ist Haarda ist ähmwie lang ist diese Strecke darumja die Differenz der Radien hier nehmen Sie den äußeren Rates geht zurück bis zum inneren Ratio wartete die Differenz der Radien R zwei minus R einsdas heißt ähmEnde ist also nach PythagorasWurzel A Quadrat pluser zwei minus R einsQuadrat damit kriegen wir hierdie Länge der Mantellinie rauswie viel Kubikzentimeterwerden das hier sein das alles zusammenstöpselnwie sagen drei hundert und drei tausendfünfzig Zentimeterjener dönerpaarandere Stellen als null null egaldas heißt wie viel Litergenau macht alsoungefähr drei hundert Liter zu kommen jetzt in den Laden gehen und nur neue Regentonne kaufenoffensichtlich ist das nichts was man jetzt in der Praxis so rechnen würde anderthalb Stundenum dieses Volumen ausrechnendas würde niemand zu machenwie gesagtwenn die Tonne nicht so hübschkugelförmig wäresondernausgebeutetwäre oder ein Gebäude wäredann ist das wahrscheinlich geartetes machen müssenich sachlich halber noch mal dies alles auch geben könntedieeinfachste Lösung ist ein Kegelstumpfin der Formelsammlungdie Formel für einen Kegelstumpfwas ist das Volumen vomKegelstumpfdas Volumen vom Kegel ist einfach das Volumen vom Kegel ist ein Drittelvon dem Volumen eines Zylindersmit der gleichen Grundfläche und der gleichen Höhe ein Drittel davon ist das Volumen vom Kegel sind in großen Kegel minus in kleinen gegeneinander das Volumen vom Kegel stumpf und fertig das sollte fünf Minuten dauern das wäre der kürzeste Wegder zweit kürzeste Weg wäre ein Rotation Körper zu denkendas immer entlang derx-Achsegedenken an RotationKörperdieFettachse und hier geht's in die Tiefeein Rotation Körper ich fange an mit der Grundflächeich Ende mit der Oberfläche sowasdann haben sie nur noch ein integral zu machenentlang von Siegs ein einziges integral nämlich diese Flächezu integrieren die Querschnittsflächezu integrierendas wäreauch noch deutlich kürzerund hier können Sie tatsächlich sowas schon einbauendassdas Fass vielleicht bisschen ausgebeutet istähmallerletzte Geschichte war das eine Stelle noch durcheinander gegangen istwarum plötzlich ein Volumen integralwarum kein flächenintegralwenn ich über eine Fläche integrieren Punkt welche mal über eine Fläche integrieredanke ich ?? immersolche fixalso wenn sie sowashabenso ein Volumen haben dann können Sie über diese Fläche integrierenwas sie dann eigentlich machen ist dass sie solche Streichhölzer auf summierensie zerlegen das Volumen in Streichhölzerhier lauter Streichhölzerund addieren dann das Volumender Streichhölzerauf vier haben sie ein integral über eine Fläche integral über die Grundflächewas er jetzt aber hattenist ja fiessind dass es kein Volumen von Streichholzesist übertrieben gemalt aber das kann Volumen von Streichhölzernwas ich hier gemacht habe istzerlegen dasinneuerStückchen Würfelzuckersie nehmenZigtausend Stückchen Würfelzucker ?? und spannende Fragen ?? Stücke Würfelzuckerpassen gelingt ?? anwie viel Sinn im Stückchen Würfelzucker und füllen damit die Regentonnendann haben Sie ein dreifach Integralsie summieren in drei Dimensionen auch hier summieren sie zwei Dimensionen auf über diese GrundflächeStreichhölzerüber diese Grundflächehier summieren sie in drei Dimensionen auf ein dreifach integral beides gibt ein Volumen