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19D.1 Differentialgleichung per Laplace-Transformation und per Ansatz lösen


CC-BY-NC-SA 3.0

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DifferenzialgleichungenMittler blasen und klassischnehmen mal eine relativ einfache Differenzialgleichungenmeine Funktion Y nach der Zeit abgeleitetwas man ?? Y nach der Zeit abgeleitetPlus dreimal die Funktion Y soll sein Sinusvon vier Cund als Anfangswert hätte ich gerne das Y zur Zeit null fünf sein solldas System auf zwei Arteneinmalwieder bisher hatten klassischzu sagenich hab mal ?? Lösung wie bisherPunkt eins wohnt Punkt zwei persönlich reichen mir die paar Zentimeter nichtwenn sie bisher mehr Platz vor?? Informationwas jetzt gehtalso beide Seitenatlas transformierenund dann gucken was lila blass transformierte von der Lösung klein Ypsilon sein sollals erster mit dem bisherigen an was für besonderen Differenzialgleichungenist das wie würde man vorgehen und so weiter und so weiterist es ?? gehterst mal die Lösung wie bisherdoch eher langzwei Schritte denn das ist eine lineareinhomogeneDifferenzialgleichungennebenbei erste Ordnung versandte Koeffizientendie Lust in zwei SchrittenLeerschritt zuerstam meisten haben damit angefangen eine spezielle Lösung diese Versager ?? zu suchenwie sie da stehtman das auch als ersten Schrittbucheeine spezielle?? ?? ausführlichhier einespezielle Lösung nicht die ?? sondern eine spezielle Lösung irgend eine spezielle Lösungvon meinerOriginal Differenzialgleichungender inhomogeneDifferenzialgleichungenAnsatzprobiere ich es soll Silos von vier C rauskommendann werden Sie hier nicht mit Wurzelteeund Tee hoch sein wird sich probierenund ihm hoch T sondern sie werden ein Gemisch aus Sinus und Kosinus probieren offensichtlichmein Ansatz ist alsomeineLösungsfunktionistirgendwas?? Sinus natürlich von viervon dreizehntederselben Frequenzfunktioniertund irgendwas mal den Kosinuszusammendenkt jeder die notwendige Schwingung überlagertsehr ähnlich hier aber mit einer einzigen Frequenz der Frequenzoder Busse durch dazwischen überlagertenichein Vielfaches von einem Vektor nehme und dazu addiere ein Vielfaches von einem anderen Vektordas sei mit Wetter selber abstrakterdas Essen war ein was wir dann also passieren das hier oben einsetzen die Ableitungdavon wird seinviermaleinmal der Genussvonich schreib jetzt die Argumente nicht dahinter von vier Din erst abgeleitete zweiten abgeleitetminus vier mal B mal den Sinusvon vier Tandas Wetter vornePlus dreimaldieser steht also drei paarmalden Jesusplus drei ehemaligenKosinusSeitesoll seinder Sinusvon vier T für alle Zeitendes marmornenKoeffizienten Vergleich wenn das für alle Zeiten derselbe sein soll als ?? auf der linken Seite steht nur einmal der Sinusund nur mal der Kosinuskann nicht ständig den Sinus rauskommen also wer nichtnur an einer ?? Sinusdrei Aminus vier B drei A minus vier minus eins sein dass links nur einmal der Sinus stehtist auf keiner der Kosinus stehen im Endeffekt alsovier A plus drei B null werden?? auf tausend Arten lösenzu Wiederholung für die Schwimmkammerverfahrenmachendie Schreiben die KoeffizientenDeterminante in den Männer also drei minus vier vier dreivier vier dreiumschreibensie hin für das A zuerst unbekanntePerson steht aber die erste Spalte durch eins null sechs eins null minus vier dreisowas wird es werden einmal drei minus mal minus vier Umstieg drei durch undsteht drei mal drei minusvier mal minus vieralso neunminusminus sechzehn neunundfünfzigsechsundzwanzigdreiundzwanzigstelinear seinPunkt wie wird sein Sevennaaber oben dann die zweite Spalte durch Einzel ersetztbis also dreimal null minus vier mal eins umminus vier und derselben ?? minus vier vom zwanzigstedamit habe icheine spezielle Lösungnämlichdrei vom zwanzigste Sinus vier T plus minus vier vom zwanzigste Kosinusvierten das ist eine Funktiondie diese Differenzialgleichungenlösen sich die Funktion die ich suche ich suche nämlich eine die eine Stelle nur gleichjetzt hier nichtzweite Schritt?? ich suchedie allgemeineLösungder homogen gemachtenDifferenzialgleichungengucken sich das ja Anfragen sich okay was ist die in Homogenitätder stetigen Homogenitätdas nämlich kein Faktor Y und hübscher Punkt dabei?? das nehmen wir Weg Y Punkt plus drei Y gleich null ist die homogen gemachte Differenzialgleichungenalsnull zurAnsatzBilliarde Differenzialgleichungenversandte Koeffizientenansatzauf jeden Fall ExponentialfunktionY von T ist gleich E Hochlandermal Tdann Faktor vorzuschreiben und sich nichtMessias einsetzenfinden Sie hier vorne wird es langsam MaleosanderheutedreimalEoklammer Waldsee gleich null?? MIT wird nicht nur die Teile beider Seiten durch ihre anderweitigeStadt null stehen also wissen Sielandesweit minus dreies ist die allgemeine Lösung Leerzeichen geschrieben eine stellenweise folgende sie die allgemeine Lösung seinirgend ein Vielfachesvon ihm hoch minus drei mal T wird die allgemeine Lösung seinkönnte ?? sie noch drunterschreiben??so damit haben wir jetztdie allgemeine Lösungmeiner ursprünglichen DifferenzialgleichungenPunkt Sternchen das war ursprünglich Differenzialgleichungengewährt sein ?? die Summealsodrei fünfundzwanzigsteSinus vier CfünfundzwanzigsteSinusvier Cminus vier fünfundzwanzigsteKosinusvier Tund jetzt noch den dazu addiertein beliebiges Vielfaches von ihm hoch minus drei Tfünfzehnplus ein beliebiges Vielfaches von ihm hoch minus dreizehn das ist meine allgemeine Lösungjetzt will ich aber gar nicht die allgemeine Lösungich suche eine Lösungdie an der Stelle null gleich fünf bis ich suche eine spezielle Lösung aber nicht die spezielle Lösung aus dem ersten Schritt das wird Zufallich suche eine die eine Stelle nur den Wert fünf hatBuchen schreibe ich mal spezielleLösungPunkt Sternchenmit Y von null gleich fünfalso möchte ichfünfist Y von null ist ??drei vom zwanzigste Sinus von null bis null minus vier fünfundzwanzig ?? Kosinusvon null Kosinus eins also minus vier fünfundzwanzigstegroß C malige Wochen wollen sie mal eins plus zehn und damit weiß ich jetzt das CSCS alsofünfplus vier fünfundzwanzigstekönnte man noch malschreibenwas ist denn jetzt unsere Lösung die wir suchen tatsächlichY von T istdrei fünfundzwanzigsteMai Sinus von vier T minus vier fünfundzwanzigKosinusvon vier T Verteiler sicher nicht bloß deshalb meine Konstante?? plus vier fünfundneunzigstealsogemischt zahltfünf vier fünfundzwanzigsteals gemischte Zahlihrer hoch minus dreizehndas die Funktion ich also gesucht habe eine Lösung der Differenzialgleichungendieich null Einsätze gleich fünf istdas ?? unser klassischer Weg undjetzt kommt'sdieselbe Differenzialgleichungenselber Anfangsbedingungenmit Club lasder Gedanke isteine von ihr natürlich Integrale geschrieben eine Nein sie schreiben kein Integraleder Gedanke ist das man sich das anguckt undlinke Seite rechte Seite Lapplands transformiertwas wird durch die Leertaste Summation aus Y Punkt werden was für das Y werden was für das drei Y werden das Wettrüsten Sinus werdenunter der Maßgabe dass wir mit dem Wert fünf Staaten an der Stelle nur sie bilden ganz schlicht links und rechts lila blass Konfirmation nach Rezeptmöglichst ohne irgendwelche integralen zu schreibendas muss seine immer noch gültig seinund damit will ssie plus plustransformierte von dem Ydas anguckenalles Leertaste konsumieren muss immer noch eine Gleichung gebenund dann weiterbesser mal die Differenzialgleichungenwas war sie YPunktplusdrei Yist gleich Sinusvon vier T für alle Zeiten und zwar Mittags mit dem Staat wird Y null soll fünf seinZiel Ablasstransformationdie LebensjahrFunktionen von Tee Beistrich normales integral hinlila Blasstransformationnimmt Funktionenvon TzuY von Optionen von Tee und Machtpunktionvon est raussetzen eine Funktion von T eins in das integral kriegen eine Funktion von es rausin seinemehr oder minder magische Umwandlung sozusagennicht so leicht verstehen wie die Fourier Transformationaber eine magische Umwandlung bei derAbleitungenzu Produkten werden das war der Trick dabeidass meine beiden Seiten der Differenzialgleichungenin dieser Funktion gleich der Funktion ist eines auf Leertaste ?? Summation der linken FunktionsweiseLeertaste ?? Klammer zu der rechten Funktionmit beiden Seiten dasselbe antun einer Gleichung muss das gleiche bleibenuns ganz geil gleichen gewesen seinwenn der auf beide Seiten lila Blasstransformationan?? ist es am einfachsten ist ?? mit dem SinusPunkt in der Tabelle nach okay was wird aus den Sinusaus dem Sinus Armidsagt Wikipedia wird ADS Quadrat USA Quadratwirdvierdurch das Quadratplusvier Quadratdas ist ssie plus plus transformierte vom Sinus herrlichen alten Videos mal vorgeführtauf derlinken Seite steht eine Summedas schöne an der Lapplands Transformationintegralblabla Y von T ist aber dass die Summenzu ?? kompatibleszu sagen wenn sie deine Summe einsetzenzerlegte das integral in eine Summewenn sich hierein Vielfaches dreimal zu Einsetzen ist einfach vom Integrales ist eine Jahre Transformationssummenund vielfach überlebenwenn ichbei der linken Seite die Leertaste von Summationsbilderüberlebt die Summe und über die da dieses vielfachZeitkonstanteVielfache soll sein Lebenbasierte Kriegeist lila blass Konfirmationfür Y Punkt muss gleich anund die Leertaste zu mir für dreimal Ydas ist dreimal lila blass konsumierte für Ydrei mal großes Ypsilonvon Elsundder eigentliche Witz ist die Leertaste ?? mit von Y Punktvorgerechnet das ist es mallila blass konsumierte von Yminus dem Startwert und der Startwert ist fünffünfjetzt habe ich das solcher ?? transformiertich weiß alsoes mal wieder blass konsumierte meiner Lösung minus fünfplus drei?? transformiert istvier durches Quadrat Plusreferataus der Differenzialgleichungenist eine Gleichunggewordenin der keine Ableitung mehr stehendie Ableitung ist das ist eigentlich der Witz bei der Lapplands Transformationmit den Lapplands transformiert ist die Ableitung bekräftigt es mal Y von?? ganz normale Gleichung zu lösenda man sie mal weiter ??ich schon mein was jetzt passieren wirdim Bildbereich wie so schön heißt also nachdem man den Erblasser Klammer zu angewendet hatals abhängig von estwas passiert im Bildbereichsie haben auf der linkenSeite stehendie Lapplands transformierteder Lösungmal es plus dreidreiund dann kommt noch die minus fünfundachtzigauf der linken Seiteund auf der rechten Seite steht vom ehemaligen Sinusvier durch es Quadrat plusvier Quadrates hierfünf und es ?? auseinanderhaltenkönnen die fünf Briefe überLeerzeichen?? durch S plus dreiich kenne damitlila blass transformiertemeiner Lösungbeiden Seiten durch drei teilenvorne teilen sie durch S Pluszeichen S Quadratsquadraterstmal S Punkt dreiundfünf teilen sie durch dasdreies ist keine gute Ideeund sicher keine gute Idee beiden zusammenzufassenwir haben schon Teil der Aufgabe erledigtgehen sehen die schon etwas das in der Tabelle nachschlagenkönnen wiederwas jetzt kommt ist der Job wie letzte Woche ich hab die Lapplands Fonds gegeben und möchte meine Originalfunktionbestimmenzu einfach ist das?? noch mal was steinig passiert ich nehme meine Differenzialgleichungenkonsumieren beide Seiten?? Transformationmuss immer noch mit Gleichung seinich löse auch nach der Lapplands transformiert ?? das kann ich nun bald eine ?? geleitet wirdfinde diese Gleichungwieder zurück dass es lila blass konsumierte meiner Lösung muss aber zurück zu klein Ypsilonvon Tim hinteren Teil gar nicht in der Tabelle nachschlagenkönnen und sofort in ?? eingeben Beistrich hat die für zahlreichen Wochen ?? eingehen?? in kleinen Schritten machen würdenbelegt sie den ersten Teil in Partialbrüchezerlegendarauf eine Partialbruchzerlegungund dann können wir die Partialbrüchein der Tabelle nachschlagenund sie sehen das es schon fertigbitte nicht ausmultiplizierendas ist doch schon alles fertig sie sehen es gibt einfache PolstellePolstelle erster Ordnung Beistrich minus drei?? wird nicht nurder Umwelt nicht nur eine einfache Vorstellung ist gleichminus drei das heißt der Ansatz wäre eine KonstantedurchS plus dreifür den partial Bruch für diese einfache Polstelleund hier haben sie?? Polstelle bei es gleichperminusvier I und eine war es gleich plus vier Ifür das aber quadratisch lassen Patrick Beyer man kann es Quadratsstraßenmuss dann aber in den Zähler sowas schreiben wie B plus C mal istes Quadrat plus vier Quadratdas wäre der Anlass für meine VerzerrungPunkt und ist bestimmt mein ABCmehr oder minder klugwenn ich SA wieder auf meine entweder in der Art bestimmeBaudelaire sorgte dabei das machendes A regelt jawie starkmeine Funktionan der Stelle es gleich minus drei explodiertwenn A gleich zwei Security sozusagen doppelt so stark wie wenn A gleich eins istKomma was passiert in der Umgebung der Stelle es gleich minus dreiwesentliche oben ja angucken Leertaste ?? explodierthier der Wehrmacht die ExplosionBeistrich minus dreiund der Restmuss ich zu dem Arzt zusammenfügenin der Umgebung der Stelle es gleich minus drei was wird mit dem Rest der steht vierdurchneunplus sechzehn vier fünfundzwanzigstesteht dawenn es ungefähr minus drei Sternsiege in der Explosionund die vorne steht vierundzwanzigsteA mussvier Komma zwanzigste seinohne dass wir jetzt nennenswert irgendwas gerechnet habenmit B und Cbisher heiklerMauern offiziellen Weg der offizielle Weg wäre das wieder auf einen Bruchstrich zu bringen also unten im NAS Plus drei mal es Quadrat aus vier Quadratoben steht ein A erweitern mit demzweiten nenne es Quadrat plus vier Quadrat plus PR weiter mit dem ersten ?? plus CSweiter mit dem ersten Nennerins Plus dreiwas ich jetzt lerne ist das das was hier Bogen stehtimmer vier seinfür alle es erst für die Werte von es bei denen der ?? nicht null ist aberzum Schluss für alle Werte von es sinnvollerweisemuss jeder selber bestehen wie dain den Nenner identisch?? jetzt Werte für es einsetzen?? ausprobierenoder man könnte Koeffizientenvergleichmachen zum Beispieles Quadratsstaffzum Schluss keines Quadrat übrig bleiben ?? steht vier und nicht vier plus dreizehn es Quadrat der steht nur vier ist Afghanistannatürlich bleiben also muss A man es QuadratplusC mal es Quadratgleich Null werdenArme des Quadrat groß C meines Fahrrades gleich null Cmuss das Negative von A sein Transfer dass es Quadrat nicht wegalso C minus vier fünfundzwanzigsteist doch schonich hab auch kein Hessrennenversteht mich vier hundert zweiundvierzig Skann es trennen gucke ich an EstherZweifelsfallsind sie hier beiBmal esdas ?? SRundC mal esmal dreialso dieser hier B mal es der Macht eines und zehn man es mal drei machtdie müssen sich weggebenB plus dreimal C muss Null seindamit ich kein Essen übrig behalteBeistrich Martin B plus dreimal C ist gleich nulldamit weiß ich was B istich weiß nämlich des Sees minus vier vierundzwanzigstedreimal C ist minus zwölf fünfundzwanzigstealso muss B seinplus zwölffünfundzwanzigstedas ?? zugegebenermaßeneine sehr kurze Form der Partialbruchzerlegungsiehe erste Semester wie man das in voller Schönheit machteine ?? diesen ersten Bruch umschreibenich weiß das die Lapplands transformiertemeiner Lösungsfunktionistja der grün eingereichte Teil alsoAdurch S plus drei vier fünfundzwanzigstevier fünfundzwanzigste?? eins durch S plus dreiKlosB war zwölf fünfundzwanzigsteSiewarPunkt minusvier fünfundzwanzigstees durches Quadrat plus vier Quadratdas war was aus der Partialbruchzerlegungrausgekommen ist unddie natürlich verschlampt mirfünf durch S plus drei kommt noch dazuplus fünf durch S plus dreidas werde das ganze mit meiner Lösung zurjetzigen Lösungsfunktion selbst habenein Vielfachesvon eins durch erstes drei ein Vielfachesvorn und jetzt einziges Plus drei ist im Originaleinst durch S plus A die Tabelle sagt im Original ist das EO Minus einmal T also Demominus drei Mal Tplusrechnerischkonnte sehr bekannt malmein Schreiben das wird also werdenfünfmal Ehe hoch minus drei Mal denden hier finde ich in der Tabelle in dem ich erst mal danach gucke eine Konstantedurch es Quadrat plus vier Quadratin der Tabelle finden Sie sowas wieArt durch es Quadrat plus A Quadratdas ist nämlich der Sinusvon Aceim Original gewesen das hier wird der Sinus von AT?? sind wiederum nicht vierbisschen ungeschickte müssen also zerlegen das hier ist vier maldrei von zwanzigstedrei fünfundzwanzigstehundert LiterBier durch es Quadrat plus vier und das wird im Original gewesen seinSinus von Firma TBeistrich DentalDentalsowas wie es durch es Quadrat plus vier Quadrat das es im OriginalKosinusals Sieg über den KosinusKosinus von vierMal Tunddavor steht dann minus vier vom zwanzigste minus vier fünfundzwanzigstedas müsste dasselbe sein Lebenfünf vier fünfundzwanzigstegemischte Zahl vierundzwanzigstemAlice drei Tplus dreiundzwanzigsteSinus minusetwas deutlicher das minus minus vierundzwanzigsteKosinuskönnen?? vierundzwanzigKosinus dreiundzwanzigsteSinus fünf vierundzwanzigsteStudium minus zweiteist das RWEeigentlich das lernensie michgerade dieses Rezept sie nehmen dieDifferenzialgleichungverpasst ?? formierendie Finteneine Gleichung für die Lapplands transformierteihrer Lösungsfunktionund dann transformieren sie wieder zurückPunkt also mir Partialbruchzerlegungzu machenund dann die Einzelteilenachzuschlagenvielleichthier gerade noch malzurück zur Differenzialgleichungenwas könnte denn jetzt ein Ärgernis passierenkönnte das hierschief gehen an kriege ich Stressals wenn es nicht in Jahres zum Beispiel wenn sie soll DifferentialgleichungY Punkt Buchstabe YpsilonQuadratist gleich Sinus von vier Twarum machen stressige Leertaste Informationengenau das Problem ist zum Quadrat Jahwe will ich jetzt den verflixt noch eins lila blass konsumierte von Y Quadratdas vorstellte eines integralen ?? müssen endlich ihre ?? ist die Y Quadrat von PTTwie kann ich das jetzt zurückführen auf die Lapplands transformiertevonY alleinedurch gibt es irgendwie eine kluge Idee aber erst mal eher unklar wie das gehen solltealso meist nicht länger als den man danoch bisschen im Regenich weiß nicht wie ich jetzt hiermit Ablass Translation vorgehen soll was soll Zitatanfangsomit von Y Quadrat seindreimaldas geht plus das geht auchdie Leertaste Summationsfristdas Plus und Sansibarmacht keinenaber nicht genial ist Beistrich wo eine Stunde Y mal Y Punkt ?? kann man irgendwasgeregelt kriegen??auch wenn sie nicht ihre ?? zusammen Y Punkt Server Feierabendich weiß was ?? Kaufmannsund aufmachen wird ?? das ist eine Stress immer haben könnteKomma weil in den Jahren bleibenwas ist in der sowas stünde die Y Punkt KloßKomma hier maldrei MalT QuadratYist gleich Sinus viertedas wäre ja in den Jahren Differentialgleichunginwiefernhier die Lapplands Affirmation auch Stress machender Ärger ist genau schon wieder okay berichten davon jetzt eh QuadratsellipsenLapplands transformiertewas sie nicht tun könne schreibt auch nicht hin was sie nicht tun können ist lila blass konsumierte von T Quadrat bilden unmittelbar blass konsumierten von Y zu multiplizierendenkt an Integrale wenn Sie ein Produkt integrierendas ist nicht das Produktbis in die Gas von F mal das integral von Gdas wird glücklicherweise nicht hinhautwir können sie auch nicht die einzelnen Erblasser summierten bilden und dann modifizierenwir nicht hinhaut ?? oder die Quadrat stehen lassen die Quadratsmeile Leertaste mit von Y diese auch nicht ich habe zu bilden das integralwie hoch minus ST T Quadrat mal Y von DT darf im Endeffekt kein TV übrig bleiben darf man es übrig bleibenman könnte sich in diesem Hausgenehmen partielle Integration bisschen bastelnvöllig normal vorman könne sich bisschen raus liegen aber im allgemeinenist dann schon wieder Feierabend spätestens wenn hier nicht die Quadrat steht sondern wenn ihr sowas steht wieund was weiß ich äh Sinus von T Quadrat davordann ist Feierabend müssen sie nicht mit Claras Konfirmation hier vernünftigbestimmen können zurückführen können auf die von Yalso vorsichtig mit Faktorenmanagernan der Zahl der vorstehendenist die Welt in OrdnungAblass Translation liebt konstante Zahl eines integralenNeo gilt es die dreimalY von DDTdann können Sie die Zahl drei vors integral wollenabends zahlreicheinteressante Zahl ist in der irgendwas steht wieSinus von T Quadrat oder sowas?? entscheidend wenn sie das sich aus dem integral rausholenVorsicht alsoden ja Differenzialgleichungenmit konstanten Koeffizientendas es was die Lapplands Affirmation wie bei allen anderenpositiv und vor