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07G.1 Fibonacci-Folge mittels Eigenvektoren

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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etwas ungewöhnliche – für Eigenwerte Eigenvektoren auf den ersten Blick etwas ungewöhnliche – nachher wird es von Differentialgleichungen – weiß man danach da – geht was das – hat und dass das so funktioniert – Eigenwerten Eigenvektoren explizit – machen eine Formel hinschreiben – erinnerung – mit 11 dann werden jetzt immer die zwei Elemente – vor – dem aktuellen Element addiert – 1 + 1 = 2 der – nächste wäre 3 rechnen nämlich 2 + 13 – der – nächste wäre fünf sie rechnen 3 + 2 = – 5 der – nächste wäre was ✂ das Motorsägen der nächste bh8 addieren 5 und 3 und dann kriegen sie 5 + 8 kriegen 13 und so weiter und – sieht erstmal so aus als – man jetzt nicht einfach eine Formel hinschreiben könnte mehr wie eins und 42 Gehen was ist Wert von 42 müssen – Sie alle vorher ausrechnen und in 42 zu kriegen hoffentlich – nicht gibt's – die Formel für den 42 und die kriegen wir es dass ich dich hin auf eine was überraschende – Art wie gesagt zunächst überraschende Tat mit Eigenwerten Eigenvektoren eine – explizite Formel mit der man dann sagen was ist das hundertste Elements – Gießerei was ist das millionste ohne die 99099 – Erfurt ausgerechnet – zu haben – gebe ich den mal Namen also FEV1 – soll – die eins sein F2 – D24 – und – so weiter – vorhin F&F – + – 1 & F 1 + 2 und so weiter und Fn – + 2 soll die Summe sein – + – FN – + 1 – mit 11 – an und – sag dann – Nachfolger – ist die Summe seiner beiden Vorgängern – da werde ich jetzt gerne eine explizite Formel – = – irgendwie – eine Formel in der 1 in vorkommt – ist gesucht mit – welcher Formel kann man das jetzt einfach ausrechnen auf einen Schlag wenn du – das – Vorkenntnisse sich angucken 58 – 3C das sieht komisch aus welche – Formel sollte das machen der erste Schritt ist sie FN – +1 – und FN haben – von den folgenden anhaben – sie den nächsten nämlich – Fn + 2 und noch mal 11 m + 1 mit einer Matrix hinschreiben – und sie – hier mal eine Matrix das wird jetzt die matrix mit dir und eine – Matrix die das kann sie – und den nächsten von – rechts an eine Matrix 3 x kriegen den – nächsten und den übernächsten raus welche Matrix schreiben sie dahin ✂ also 1110 – möchte – ich ist endlos 1 rausbekommen – wie bekomme ich das raus einmal – FM plus 1 plus 0 x FN – soll – die Summe stehen einmal Fn + 1 + 1 x – wunderbare – für – in eine Matrix und – jetzt kann man mit den ganzen Werkzeugkasten drauflos – Hämmern den man für Matrizen hat insbesondere mit Eigenwerten Eigenvektoren – der erste Schritt ist jetzt folgen – da was passiert wenn Sie diese Matrix 1.11.0 – Sie diese Matrix 3 mal hintereinander auf 11 anwenden ✂ es lieber in kleinen Schritten – mit dem Produkt an 110 – x 11.11 – sind die beiden ersten – 12 raus – hier – hinten steht it von unten nach oben 12 – ausrechnen – 1 x 1 + 1 x 1 82 1 x 1 + 1 x 0 = 1 aber – sie sehen ist hier ja auch direkt wenn sie 11 einsetzen – rutschen sie ein Raster sozusagen weiter – wird 21 – und vorne – muss natürlich gleich noch was hin die nächsten hier wenn Sie das mit 1110 – Mode beziehen was kriegen sie dann raus so ✂ also – die stehen ja direkt die g21 – rein jetzt – kriegen sie zwei und den nächsten drei – sein raus wie kann ich ausrechnen 1 x 2 + 1 x 17.3 – 1 x 2 + 1 x 0 gibt 2 – letzte hier – ich auf die – Seite insgesamt – jetzt sind sie noch mal diese Matrix was kriegen sie dann raus ✂ Soda – 53 – steht – rutschen 1253 – wurde Sie rechnen aus 1 x 3 + 1 x 2 sind 5 – x 3 + 3 – kann man jetzt aber auch anders – schreiben – das schon mitgenommen die – können Sie das jetzt kompakter schreiben so ✂ also die Matrix hoch 3 11 – 10 hoch 3 x 11 – dabei – habe ich jetzt ganz stillschweigend – die – angewendet – eben hatte ich eine solche Klammern – mal geklammert und wie ich jetzt Flamara ist dass – ich Matrizen – beziehe und noch mal Matrizen multiplizieren darf ich die Matrizenmultiplikation assoziativ – eine – Potenz draußen vorsichtig – mit dem Potenzen – ich sicherheitshalber noch mal Matrizen – potenzieren heißt sie so oft hintereinander zu schreiben und zu multiplizieren das heißt jetzt nicht dass ich jeden Eintrag potenzierte – sehen ohne das Haut jetzt nicht hin 1 hoch 31 hoch 31 hoch 30 hoch drei daß wir ja die gleiche Matrix – das ist wie finitiv nicht gemeint wenn sie schreiben Matrix hoch 3 ist – gemeint die matrix dreimal hintereinander hinzuschreiben und diese matrizenprodukte auszurechnen das – ist was anderes als wenn sie jeden Eintrag hoch 3 die sicher ganz plastisch deswegen – wieder als 110 kannst wohl nicht gewesen sein also so ist diese hoch 3 zu verstehen die – matrix als Ganzes – multiplizieren okay – das können wir gerade noch mal allgemein haben – das heißt also ich kriege Fn + 1 – Matrix – kommt da oben hin x 11 – was fragen sie da jetzt als Exponent – die – wievielte Potenz nehmen sie allgemein ✂ es allgemein für – engaged für n = 1 – 2 3 und so weiter muss – hier oben natürlich irgendwas mit entstehen nicht rein und ich 4n offensichtlich – fast wir können ja mal gerade gucken 53 da – steht die dritte Potenz – wenn – es in 2-3 ist brauche – ich die dritte Potenz wann – ist FN gleich 3 – = 3 N – = 4 dann brauche ich die dritte Potenz hier – muss also stehen n -1 – wenn – in gleich viel ist brauche ich die dritte Potenz – wir die ersten beiden haben wollen f2f 111 – sind ja F2 F1 F2 – F1 n = 1 sie bilden die nullte Potenz einer Matrix Potenz – einer Matrix ist was die ✂ Einheitsmatrix die – Einheitsmatrix x 11 genau sie kriegen die so – das ist jetzt der Trick hier – wir haben eine explizite Formel die ist natürlich nicht gerade lustig diese explizite Formel weil da steht die 1 - I Potenzen – einer Matrix das macht man jetzt noch hübsch und jetzt kommen Eigenwerte Eigenvektor wir haben explizite Formel ich – kann direkt – sagen dass – F – eine Million f eine Million und eins ist ich – bilde die 99099 – dieser – Matrix x – 11 – in – einem Rutsch ohne alle – anderen Elemente vorher ausgerechnet zu haben das – ist nur – noch nicht wirklich schönes mach dein noch nicht wirklich glücklich – gucken uns die Eigenwerte und Eigenvektoren – von – Matrix an und hoffen dass das dann einfacher wird – schon mitgenommen Warum wird die Potenz einfacher – was passiert mit Eigenwerten Eigenvektoren – 1 millionste Potenzpillen – was passiert mit Eigenwerten Eigenvektoren ✂ Sie also ein Eigenvektor von dieser Matrix kennen – diese Matrix 1110 – mal irgendeinen vector ist das Lander fache von den Vektor dann – werden Sie diese Matrix z.b. dreimal an – wird jeweils dieser Vektor ich – immer noch ein Eigenvektor in der da rauskommt mit Sanda modifizierte habe sie landhoch3 da also – wenn wir die Eigenwerte Eigenvektoren der original Matrix erkennen können wir sofort was sagen zu Eigenwerte Eigenvektoren – der Potenz lustigerweise – kommt denn hier ein – Potenz des eigenwertes rein deshalb – der Trick mit Eigenwerten Eigenvektoren bestimmen – sie gerade mal die Eigenwerte Eigenvektoren von dieser Matrix ✂ ich habe einen Eigenwert Lambda – einen Eigenvektor V der ja nicht der Nullvektor sein darf – Matrix nenne ich mal – sag mir das Paar mal V ist gleich Lambda mal v – Landau auf – die linke Seite A - – langsam mal die Einheitsmatrix mal – den – Eigenvektor ist der Nullvektor und – dann wissen Sie wo es gibt einen Vektor der nicht der Nullvektor ist Eigenvektoren – sollen Nullvektor – Eigenvektor – ist aber es wird zu Nullvektor das heißt unserer Matrix hier muss ein Lösungs Problem haben genau dann wenn unsere Matrix Erlösung Problem hat gibt – es für ein Vektor der zu Nullvektor wird das heißt die Determinante von dieser Matrix ist – null – das ist die Schuhe mäßige Gleichung und die Bösen Sie mit dieser Matrix ✂ schreiben Sie jetzt hin was ist die Determinante von A - Lampe Einheitsmatrix diese Matrix - – dann doch mal die Einheitsmatrix ist 1 minus Lambda 11 – - die – von A und dafür anziehen Zealand immer die Einheitsmatrix ab die bilden die Determinante – Schema F kannst du die ausrechnen das ist also 1 - Lambda x – - – Landau - – 1 – links oben mal den rechts unten - links – unten rechts oben – es – kommt ein bisschen auseinander – nehmen noch - 3 - Lampe ist Lambda Quadrat - – M3 – x – -1 – soll 0 sein – Gleichung Lander – ist also - – der Koeffizient von Landau / 2 also einhalb plus minus die – einhalb quadrieren macht ein Viertel – Q also +1 das sagt die in die pq Formel – da sind wir vermissen bisschen zusammenfassen bei einhalb plus minus hier – hinten in der Wurzel gültig 1 +4475 – Platte Anbieter – 5 durch Wurzel – IV Wurzel 5 halbe – anmerkung goldener – Schnitt – kommt der fuhr – sie hat was mit dem Goldenen Schnitt zu tun – sind zwei Eigenwerte – sind zwei verschiedene netterweise – das macht das Ganze einfach – es können nicht mehr als zwei verschiedene sein in zwei mal zwei es sind auch tatsächlich zwei verschiedene Eigenwerte man – wird – im wahren Leben diese Zwischenschritte nicht hinschreiben wann wird die – sind ersten Teil hier nicht hinschreiben den hatte ich nur noch mal zu – Erinnerung hingeschrieben – kommt man drauf wie kommt man auf diese Gleichung hier die charakteristische – Gleichung – wird man diese Gleichung dahin schreiben und wenn du das aus – dass ist wenn er 2 x 2 Matrix eine – quadratische Gleichung – dreimal drei Matrix eine kubische Gleichung und jetzt sprechen – schon dass wir vernünftig große Matrizen das gar keine gute Idee ist für – 100 mal 100 Matrix wenn Sie das bitte nicht so machen – wir kriegen eine fürchterliche Gleichung erstens – die Determinante aus 100 mal 100 Matrix ist auch nicht was man sinnvoll – mit – unseren Mitteln ausrechnen kann – das geht hier mal 2 x 23 x 34 x 4 mit handlichem Matrizen aber ansonsten bitte nicht – können die beiden – Eigenwerte es gibt auch wirklich zwei verschiedene Eigenwerte bestimmen Sie mal jeweils Eigenvektoren – dazu brauche noch die Eigenvektor und damit wir jetzt sagen können wie diese Matrix in der wir uns – informiert Potenz wirkt bestimmen Sie mal zu jedem von den Eigenwerten einen – Eigenvektor ✂ muss noch zu diesen Zwischenschritten was sagen das ist anscheinend doch ein bisschen schießen – Armin – Sander mal die Einheitsmatrix was soll das sein in diesem Fall K - langsam mal die – ich habe dafür so eine glorieuse 1 – das ist in diesem Fall die matrix a-1110 – Lambda mal was ist die Einheitsmatrix 1001 – sicherheitshalber diese – Matrix 1001 – lässt jeden Vektor unverändert wenn sie die e-mails 31023 – multiplizieren – bekommen sie einmal 13 + 0 x 23c und – Hunden – 0 x 13 + 1 x 23 23 – sie gucken sich an was passiert mit dem X Standard basisvektor 10 – GTX – Standard basisvektor was passiert mit dem Epson Standard basisvektor es wird öfter standardbasis Factor das ist die Einheitsmatrix – Sie mir drei sind natürlich so also – einzeln auf der Diagonalen sonst – Nullen das – ist die Einheitsmatrix eine – quadratische Matrix so – ausprobiert – das können jetzt zusammenfassen da steht die Matrix 1 – - dann da mal eins also links oben 1 - Lambda 1 - 1 – rechts – oben steht I - 39016 – unten steht 1 - 30 – eine – Eis rechts oben steht nur langsam mal 1 als Mann da – war diese Matrix hier ehrlich schon ganz dreist – einfach mal so hingeschrieben also mit etwas Übung schreibt man sofort diese Matrix ihr davon wir auf – der rechten Seite braucht mir die Determinante um – dann gleich Null setzen zu können und lösen zu können – kann man dann hört er mit der automatischen schreiben diese Matrix sie nehmen ihre original Matrix – und ziehen auf der Diagonalen Landau – 1110 – mein original Matrix 1110 – und auf der Diagonalen ziehe ich dann da ab wann da dam da reinsprechen natürlich wird größer wird brauche ich die Determinante davon hier brauche ich jetzt die Matrix selbst mit – etwas Übung schreiben Sie die Zwischenschritte gar nicht mehr hin – schreibt sofort die matrix - andermal die Einheitsmatrix hin mit anderen Worten Auftritt Diagonale Lampe abziehen was heißt das eigentlich nur – und – jetzt diese – Gleichung hier ist jetzt interessant – um Eigenvektoren – zu bestimmen diese – Matrix hier – von hier unten ein der beiden von Noten diese – Matrix mal den – gesuchten Eigenvektor soll – der Nullvektor sein das versuche ich es zu lösen – also Eigenvektoren – bestimmen – 1 - – von diesem Land ist also eine halbe plus minus Wurzel – 5 halbe sind durch plus raus picken oder minus raus picken Sie – links oben rechts oben steht eins links unten steht eins rechts unten steht - einer – von diesen beiden einhalb – plus minus Wurzel 5 – halbe – das – ist meine Matrix arminda – mal Einheitsmatrix der hier mal – den gesuchten Eigenvektor ich habe mal v XY – soll der Nullvektor sein – möchte ich löst und zwar mit einem Vektor hier der nicht der Nullvektor ist das ist langweilig – denn nur Vektor kann das auf jeden Fall ich suche einen Eigenvektor also nicht nur Vektor Johann – VX 1 Volks und Zahlen vor XY – für die – Nullvektor Ausgabe zu sehen bis jetzt alles in Ordnung gestehen ansonsten echte Zahl ist richtiges Gleichungssystem – ich könnte man jetzt auf verschiedene – Arten lösen – sie – haben jetzt habe – ich gesehen dass – diese Zahl mal VX + einmal von = 0 unten einmal Faxen - 14 – = 0 sie können auch geometrisch dran gehen – jemand den geometrischen Trick wie man sich – erbrechen Arbeit ersparen kann ✂ ein Weg wäre was ich bei ihm gesehen habe ein Weg wäre sie lösen das jetzt aus den Jahres Gleichungssystem – wäre dass sie sich die Geometrie Angucken – sich die untere Zeile angucken – diese Zeile – diese Spalte gibt diese Null – sehen Sie 1 – und – unten steht minus einhalb minus plus Wurzel – 5 halbe – minus plus minus wird minus plus 5 halbe dieser – Vektor mal den vector VX – y – = – 0 das ließen sie hab die – dunkelblaue Zeile mal die dunkelblaue Spalte ist diese Null verschließen – Sie ab – folgern Sie so ✂ stehen senkrecht zueinander – Eigenvektor – senkrecht auf der zweiten Zeile Matrix stehen damit nun raus kommt der Eigenvektor muss senkrecht auf der ersten Seite stehen damit – oben die Null rauskommt – untere Zahl ist einfacher Test ob ich die hingeschrieben XY – muss senkrecht auf 1 und so weiter stehen und – im zweidimensionalen sollten – sie inzwischen dass das Rezept können wenn sie wollen das – nebenbei wenn – sie wollen z.b. 3/4 – HD vector VX v-y – ist die senkrecht aufeinander stehen was wäre eine Art wisi VX volksland wählen können damit er senkrecht auf 3/4 steht ✂ dann werden sie jetzt z.b. 4 – - 3 oder 40 - 30 und irgendein Vielfaches – habe den 343 – nachricht 4 – nach oben diesen Vektor und ich suche einen Vektor senkrecht dazu – ich hier nach rechts und 3 nach unten gehen diesen Vektor offensichtlich – sind die senkrecht zueinander – nachricht 4 nach oben 460 – 3 nach unten sie haben dieses Dreieck einfach weiter bewegt oder sollte ich die Nachricht sollte Strike auf die Seite zeichnen es ist wirklicher dieses 3 Kettig einzeichnen sollen so 3 – nach unten 4 Nachricht an wen sie hat es ja ein Traum 90° weiter gekippt oder rein – rechnerisch 3 x 4 + – 4 x - 3 – wenn sie in zwei Dimensionen ein – Vektor senkrecht zu einem gegebenen brauchen Birgit eine Vektor – senkrecht zu einem gegebenen Wochen können sich die beiden Komponenten – austauschen – und ein Minuszeichen Eco vorschreiben – dreidimensionalen muss man bisschen mehr nachdenken aber in zweidimensionalen – geht das einfach so das – machen wir einfach wir suchen einen Vektor der senkrecht auf 1 – - 11:30 – Uhr Unfall besteht das – heißt vxy – habe das noch nicht mal ist ein Vielfaches ich habe es mein Buchstaben – ja ist ein Vielfaches von – und jetzt austauschen und ein Vorzeichen ändern – wäre hübsch wird – über das Vorzeichen von der unteren – Komponente ändern also austauschen – die eins nach unten und dann einhalb – plus minus Wurzel 5 halbe plus – minus Wurzel 5 – das – ist jetzt ein – Vektor der garantiert – auf der unteren Zeile steht jedes Vielfache davon wird senkrecht auf die untere Zeile stehen wir – werden gleich einfach das einfache davon nehmen wir das so schön glatt ist lustig – ist wenn Sie das haben kriegen – sie die oberen 0 – warum kriegen sie die oberen Null welchen – geometrisch und Grund bekommen – Sie die oberen oder geschenkt das heiß ist es sofort das – komplette Gleichungssystem gelöst ✂ das ist vielleicht – doch ein bisschen gewagt im Zweifelsfall können sie es nach rechnen dass die obere Gleichung auch erfüllt ist es dazu zu viele minus Zeichen – die geometrische Begründung wäre folgende wir wissen dass – dieses – Land ein Eigenwert ist wenn – sie sich plus oder minus raus picken dann wissen sie es gibt mindestens einen – Vektor vx15 – an der das erfüllt eine Richtung – der das erfüllt ist stellen – wir fest es – gibt nur noch eine Möglichkeit für diese Richtung Vektoren senkrecht zu diesem Vektor damit habe ich nur noch eine Möglichkeit für – eine Richtung – obere Gleichung kann jetzt nicht noch weiter einschränken dann hätte ich ja garkein Richtung Meer die obere gleich und kann nichts Neues bringen – reicht ein etwas aufwändig – Begründung – für etwas was man auch schnell hätte Nachrichten können – wenn ich das mit drei mal drei machen der – Eigenvektor – muss senkrecht auf allen Zeilen stehen ist es nicht ganz so leicht dann – müssen im Zweifelsfall mit Kreuzprodukt dran habe ich irgendwelche Videos in – den ich das noch vorgeführt habe was – auf jeden Fall zum Ziel führt aber länger dauert es zu lösen tatsächlich ein lineares Gleichungssystem dieses hier ganz normal als lineares Gleichungssystem auf was und dann finden – sie vx5 – Solon in – 3 x 3 dann auch noch WhatsApp – wir können jetzt Eigenvektoren – zu den – Eigenwerten – ich habe zwei Eigenwerte zwei verschiedene pingelig – zwei verschiedene – Eigenwerte – einhalb plus Wurzel – 5 halbe und einhalb minus Wurzel 5 halbe – Eigenvektoren – dazu z.b. – ja das hier das einfache Leben einhalb – plus 12 – 5 halbe – 1 oder einhalb minus Wurzel 5 halbe 1 wenn ich den anderen Eigenwert haben – ich die soundsovielte Potenz haben von meiner Matrix – Canon Eigenwerte Eigenvektoren jetzt – will ich die soundsovielte Potenz haben – n -1 Potenz angewendet – auf 11 – das find ich mal das Ziel – kriege ich das jetzt hin nur weiter so – was mich eigentlich interessiert – hat war – matrix – in – die n -1 Potenz – angewendet – auf 11 – und jetzt mit Eigenwerten Eigenvektoren – buchstabiert – können Sie nun tun ✂ für ein Schritt zu weit wir gehen einen Schritt zurück ich möchte das gleich mit 11 haben aber – ich mache es doch was einfacheres nach – dem Motto wenn – Sie nicht wissen wie sie ein Problem in der Mathematik lösen können versuchen Sie erst mal einfach das Problem zu lösen nämlich – dieses Problem – er nicht 11 Stunden sondern der Stunde einhalb – plus Wurzel 5 halbe 1 – als Vektor – willst denn sie dann über das Ergebnis ✂ ein Schritt weiter zurück wenn Sie hier nicht diem - I potenzierten sondern die Matrix selbst Matrix Eigenvektor – dieser Matrix – rechts 3 x – ich so schreiben dass ich mehr wissen Typ der aussieht bisschen schlanker hier so Matrix mal Vektor – Eigenvektor zu dieser Matrix dann kriegen sie Eigenwert – einhalb – plus minus Wurzel 5 halbe Eigenwert – mal Vektor aus – Vektor – Spalte Zahl – eine – Zeile eine Spalte und – Vektor – alles soweit Aussicht über – Zeilen 2 Spalten – Vektor zwei – Zahlen und – das ist eine nackte Zahl Matrix mal den Eigenvektor ist Eigenwert Zahl – mal – Vektor – die zweite Potenz der Matrix bilden sich die mag ich noch mal dran schreiben – auf der rechten Seite auch noch mal die Matrix Matrix mal Vektor ist aber diese Eigenwert mal den Vektor der ein Wert steht der Zufluss zum Quadrat wenn ihr das Quadrat der Matrix steht würde würde – jeder Eigenwert zum Quadrat stehen und so weiter wenn – hier hoch n -1 steht steht hier in -1 als Potenz – der – Zahl das – würde passieren wenn Sie diesen Weg zu nehmen – Potenz – dieser Matrix angewendet auf diesen Vektor ist der Eigenwerte – entsprechend – hoch n -1 mal den Vektor so – wird der Vektor vervierfacht und das geht natürlich auch mit – dem anderen – wenn Sie hier den anderen Eigenvektor nehmen damit die Minuszeichen dann kriegen sie hier den anderen Eigenwert – weiß ich jetzt über die Potenz einer Matrix ich – weiß was sie mit den Eigenvektoren – macht der original Matrix es – gibt Eigenwerte – in die so und so vielte Potenz – Frage – zu Beginn war ja – passiert mit der in -1 – Potenz – von 1110 – wenn ich die Anwendung auf 11 – das – war die Ausgangsfrage – sehen das ist jetzt nicht ganz so geschickt aber wir sind fast da wir wissen was die matrix in der Soße für die Potenz macht wenn ich die auf die Eigenvektoren anwende – möchte ich Dir auf diesem Weg zu anwenden ✂ sie noch mal sagen also das geht hier für die Eigenvektoren – die Zahl hier ist der Eigenwert einer – der beiden Eigenwerte – die gilt als der – Eigenvektor wird vervielfacht – von der Matrix und sie Matrix mehrfach hintereinander anwenden wird – der Vektor der Eigenvektor mehrfach – hintereinander für vielfach deshalb kriegen sie die Potenz das gilt für die Eigenvektoren – aber dann nicht mehr für jeden Vektor wenn dieser Vektor z.b. verdoppelt wird und dieser Weg du hier wird verdreifacht dann – können sie jetzt nicht sagen dass dieser – Weg durch hier vereinfacht – oder vervierfacht – wird der wird wahrscheinlich ganz schräg liegen insbesondere – geht ja nicht mehr allgemein dass ein Vielfaches des Vektors rauskommt muss – schon rechnen aber es ist nicht ganz so dramatisch wie können sie jetzt diesen Fall ja der – Vektor 11 – rechts an die Potenz Matrix multipliziert werden wir können Sie diesen Fall auf die Eigenvektoren zurückführen ✂ ja das ist ein bisschen wie rausholen eine ganz ganz grundlegende Idee – der linearen Algebra sie – zerlegen diesen Vektor in – die Eigenvektoren – sie – sagen okay wir probieren mal dass es die irgendeine Zahl sag mir mal paar irgendeine – Zahl mal den ersten Eigenvektor einhalb – halbe 1 – + eine andere Zahl mal – den zweiten – Eigenvektor – dem Wetter hatten einhalb minus Wurzel 5 halbe 1 – versuche zu zerlegen bei – der Basis für das ja schon so Eigenvektoren netterweise – eine Basis die sind nicht parallel zueinander ich – habe zwei Dimensionen mehr II bilden eine Basis ich – kann 11 zerlegen – in – mal den einen – +04 – Martin anderen Eigenvektor – geht das jetzt weiter wenn ich H&B – Hirt A&B kenne ich noch nicht wie – geht es jetzt weiter wenn ich auf dem Weg kenne kann ✂ man diese Summe aus ich – habe noch mal ausführlicher in 1110 – Hindi – Potenz und jetzt schreibe ich 11 – unbekannten Zahlen A und B hin bestimmt Vergleich noch mal – einhalb plus – Wurzel 5 halbe – 1 + – mal einhalb – minus – Wurzel 5 halbe – 1 – wäre das jetzt eingesetzt 11 CD den diese beiden Eigenvektoren – geht's weiter eine Matrix mal eine Summe – kann man sie aus die – matrix mal den ersten – hoch n -1 x Armor – den ersten Vektor plus – Wurzel 5 Folge 1 + – die matrix 110 – hoch n -1 x den zweiten und das war mal einhalb – minus Wurzel 5 halbe 1 – kann ich was machen ✂ ziehen die sind diese Zahl an nach vorne ziehen – die Zahl B nach vorne – da mal Matrix – und ist unzufrieden Potenz mal Eigenvektor das – müssen wir wir kriegen den Eigenwert in der Sonne zu vierten Potenz mal den Eigenvektor – einhalb – plus Wurzel 5 Halver – 1 und – der Eigenwert waren – wir eben da schon einhalb plus Wurzel 5 halbe – plus Wurzel 5 – halbe – das kommt für die erste und – für die zweite Zahl kriegen wir B mal jetzt der andere Eigenwert einhalb minus Wurzel 5 mal – den ein Eigenvektor hier einhalb minus – Wurzel 5 halbe – 1 – würde man das anwenden das – ist ein Grundprinzip in der linearen Algebra sie – suchen sich ein schönes Koordinatensystem – und – Rechnen alles auf das Koordinatensystem rum und – sagt er nicht Koordinaten System dann ist es eine Basis das – hier ist eine schöne Basis die beiden Eigenvektoren in Schwedt – die – funktionieren gut mit der Matrix wenn – ich einen anderen habe zerlege ich den – dann ist die ist das Ergebnis dann wenn – ihr nichts schief geht das Ergebnis auch entsprechend sende ich – ich kann jetzt die 1 - erste Potenz ausrechnen indem ich zahlen – die 1 - erste Potenz nehme und – zu bestimmen – Sie mal gerade A&B – was ist da was ist Baby können Sie 11 aus diesen beiden Eigenvektoren zusammensetzen ✂ das jemand als Gleichung – Wurzel 5 halbe a steht – hier + – minus Wurzel 5 halbe B – steht da soll 1 sein 1 – Gleichung – 1 raus nämlich aus amal – 1 + – 1 – x 1 mit zwei gleichen ist viel einfacher – ich suche also zwei Zahlen A und B die – dieses Ding Jahre Gleichungssysteme für dann weiß ich dass diese Zerlegung funktioniert hat mal – einhalb plus Wurzel 5 halbe – B mal einhalb minus Farbe soll 1 ergeben – 14 x 11 – ergeben zwei – Gleichungen zwei Unbekannte könnte – sich das hätte ich jetzt wieder geometrisch Gedanken machen wie man das ist – mal einen kurzen Weg gefunden ohne Geometrie ✂ kammerverfahren – ginge auch vielleicht – jetzt gerade nicht Autofahren – Gehen und natürlich auch aber das scheint alles zu aufwendig – sie schlagen vor doch die letzte Gleichung zu nehmen 1 – = 1 - B und das jetzt in Wehrheim – haben wir aus der ersten Gleichung einhalb plus Wurzel 5 halbe – mal – 1 - BASE – plus – und es bleibt ihr hier einhalb minus Wurzel von Adidas – = 1 – gucken – viel Bier wir finden – soundsoviel – mal BIP – haben wir wir haben minus – einhalb B – einhalb – minus B und – wir haben minus – Wurzel 5 halbe btd5 – braucht noch B nämlich + einhalb – und Minus – Wurzel 5 halbe – die Klammer kleiner machen so das ist alles wir haben auf der linken Seite – wir noch ein paar konstanten auf der linken Seite nehme ich alles mal ein das war ich also plus einhalb plus – Wurzel 5 halbe – das ist mal eins wir kriegen wir nicht konstant ist mir gleich 1 – jetzt Viereck minus einhalb plus einhalb – weg – Inhalt – Wurzel 5 halbe bringe ich auf die andere Seite hier – steht also 1 - – einhalb blablabla – 1 - einhalb minus Wurzel 5 halbe – die beiden – gebracht und – hier steht minus Wurzel 5 halbe minus Wurzel 5 HGB das sind zusammen - Wurzel 5b – ManCity zusammenfassen – oje was gibt's zu dem Bier auf der rechten Seite noch 1 - einhalb plus einhalb - – 55 – heißt ich bekomme für – B – das ist einhalb – minus – Wurzel 5 – halbe – durch minus Wurzel 5 – ziehen wir vor dem Buch das Minus aus dem Nenner ziehen wir vor dem braucht minus – minus Wurzel 5 halbe – durch Wurzel 5 wird – nehme ich den Bruch auseinander das ist -1 – durch 2 mal Wurzel 5 – minus gibt plus Größe – 50 + – einhalb – wir wissen das – - BS II II Gleichung – Amos – also 1 – - das hier sein - – 1 durch 2 Wurzel 5 – + – einhalb – das macht – die Wurzel zuerst minus minus also 1 durch 2 Wurzel 5 – 1 minus einhalb – 8 + einhalb – sieht das aus ich glaube es ist schöner für mich das Den Haag nach vorne schreibt einhalb minus 1 durch 2 Wurzel 5 für B und – einhalb plus – 1 – durch 2 Wurzel – die – Summe von den beiden ist 1 - – irgendwas plus irgendwas 70 Weg einhalb plus einhalb die Summe von den beiden ist 1 – das mit den Wurzeln die erste Gleichung sieht – nicht ganz unplausibel – aus – können wir H&B dann – wird's a und – b – hier A&B zu bestimmen ist einfach Strafarbeit – aber zurück zu dieser Gleichung hier ich weiß jetzt was diese Matrix in der N - ersten Potenz angewendet auf den Vektor 11 macht Ah was – wir gerade bestimmt haben mal die soundsovielte Potenz von Eigenwert und so weiter und so weiter – hier steht ganz zu Beginn – nimm das erste Potenz auf 11 angewendet ist aber ist – aber wo waren wir ganz zu Beginn ihrer Fn – + 1 FN – Gleichung – was hier steht ist – + 1 = 1 + erste Folgenglied – Fibonacci Ende – folgen – geschrieben – heißt ich kann jetzt sagen was essen ist – das war ein langer Weg mit – Eigenwerten Eigenvektoren zwischendurch – sie das was ist jetzt fn das können sie ablesen ist – m = was – was – bastel ich zusammen ✂ die verfolgte lange – Gleichung hier Fn + 1 FN ist die 1 - I Potenz von – der Matrix x 11 das – Feuer mal Produkt Matrix – mal Vektor und – so weiter und so weiter hier steht ist auch Fn + 1 FM – können Sie eine Gleichung für n hinschreiben ✂ Witz sind diese einzeln hier unten ich – suche die Y Komponente – steht unten amal fürchterliche – zahlt das hier ist ja eine Zahl die ein wenig erste Potenz mal – 1 + B mal eine andere fürchterliche Zahl mal – eins da – steht unten – in meinem Ergebnis also – a mal die Zahl hat mir gerade ausgerechnet was ist a mal – den einen Eigenwert fünf – halbe hoch n -1 – Mark 1 schreibe – ich nicht hin mal 1 + B mal den – anderen Eigenwert – minus – Wurzel 5 halbe hoch – n -1 x 1 schreibe ich auch nicht hin – und A und B kennen wir steht hier unten das ist B und das ist da – damit haben wir tatsächlich eine richtige Taschenrechner mäßige – Formel – Celine diese Zahl mal die so und sovielte Potenz von Jena – zahlt diese Zahl malison zu vierte Potenz von – Jena Zahl und wissen was – so – und so vielte Folgen – von Fibonacci ist das – ist die Formel – dann also – lustigerweise eine – Exponentialfunktion – plus eine andere Exponentialfunktion – die Zeit und das noch mal genau anzugucken die Zahl die hier steht ist größer als 1 einhalb plus Wurzel von 5 ist größer als 1 in – die so und sovielte Potenz die erste Zahl hier wird explodieren – zweite Zahl die einhalb minus Wurzel 5 halbe – ist – Betrag kleiner als 1 und wie sie da jetzt steht negativ – potenzieren sie das heißt die Zahl – allmählich gegen – Null im Betrag der zweite Teil hier wird immer relevanter der erste Teil ist das Wesentliche – exponentielles Wachstum – könnte man jetzt noch hübscher zusammenfassen – richtig fahren wir das mit den Eigenwerten Eigenvektoren – dass man zum Schluss auch sieht es ist die Summe zweier exponentieller – Therme einer wächst exponentiell und einer geht exponentiell gegen Null X – weiß in Differentialgleichung auch sehr häufig