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22.3 Extrema von Funktionen zweier Veränderlicher, Hesse-Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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extremer?? von Funktionen zweierveränderlicherich mal das ein bisschen was auf was nicht im Skript stehtwenn meine Funktionnun nicht mehreine Kurve istsondern so einfliegender Teppichkann dir mal so ein fliegender Teppich liegt sehrsokann ich mich ja weiterhin fragen muss ist der größte Funktionswertder vorkommtund das ist der kleinste Funktionswert der vorkommt offensichtlich ist das hier unten der kleinste FunktionswertPatientendanicht der größte Funktionswertamgrößer Kleiderfunktionswertwerden während die globalendas globale Maximum das globale Minimuman die können am Rand liegen wie bei den beiden ich meine mal eine Beule in die Mitte manchmal wollen wir mit sowasin diesersie mit Teppichen Gebäude in der Mitte hatteso einen Ball in der Mitte hätte ist vielleichthierdieser Funktionswertgerade indieser Funktionswertdasglobale MaximumMaxi Minimum ist vorgemerktnicht die Stellenicht der Punkt sondern der Funktionswertals solcher diese Höhe sieben Zentimeter das wäre dann das globale Maximum wurde hier von mir aus in Höhe von zwei Zentimeter wäre das globale Minimumwird angenommen an dieser Stelle wird auch an anderen Stellen angenommen werden das hier sieben Zentimeter vertritt das ?? mir auch genausieben Zentimeter hoch dann wird das globaleWachstum an zwei Stellendie globalen?? liegenauf dem Rand wenden das Gebiet auf dem das ganze hier definiert es nicht ganz fürchterlich ist aberdas pennt normal aus also nach globalen suchen sie auf dem Rand ruht erim Innerenund wenn globale maximal Mini meinem Inneren liegenden Schein des automatischenLokale Maximaund minimal zu seinhabenich guckebei dem Begriff Lokalpressewäre globalbei dem BegrifflokalesMaximum Minimum bricht der Funktionswertin der Umgebungkleiner ist größer istglobalenRahmenimmer einfache Delle Reinmalemuss wirklich eine HerausforderungistStelledurchgehen lassenwas wenn sich eine Delle drin haben jemand hatden Fußballlehrer eingetretenoder einfach direkt hier eingetreten genau die für ähm mich eine Delle da drin dann ist hier der Funktionswertin der Mittekleinerals alle Funktionswertein eine Umgebung das wäre ein lokalesMinimumder hier oben aber auchder ist gleichzeitigein globalesMaximumaber auch ein lokales Maximum denn es größer als alles ?? in seiner Umgebunghabendiese lokalen Maxima minimaldie Kammer nun wiederfinden wie man das mit Funktion einer veränderlichengemacht hat bisher schwierige Wochen offensichtlichen Gradientendie zweite Ableitungnoch ekligeraber das Vorgehen ist im Prinzip dasselbeKomma wo sie dich zu den Lückentextenich bin also der Suche nach lokalenextremerglobal extremersind entwederPunkte auf dem Randoder lokale extremerdas heißt wenn ich auf der Suche nach dem größten Wert binkann ich alle lokalenMaxima durchgehenund dann obendrein noch den Rand durchgehen und ich muss dannfündig geworden seinsowieso wenn sich der Bogen zum Ableitungenwenn ich auf der Suche nach lokalenRahmenextremerbinein lokales Extremum besagen Maximum oder Minimuman einer bestimmten Stelle XY nullwennda ein lokales Extremum istdenken Sie an denfliegenden Teppich mit BoilerTeppich mit Boilerwenn hier lokalesMaximum istmuss die Tangentialebenehorizontalseinda kann er sich nicht aus also wenn an dieser Stelle ein lokales?? ist X nullY nulllokales Extremum müssen Fall ein lokales Maximum offensichtlich auch das globale Maximumdann weiß ich dass die tangentialdas ist die Nummerneunweiß ich dass die TangentialebeneTal sein muss exakt horizontalbei Funktion einer Variableneiner veränderlichenwar das die tangential gerade die muss horizontal seinhier muss jetzt offensichtlich Gangesebenehorizontal sein wenn die nicht horizontalwäre die TangentialebeneKönig ein Stückchen in Bergaufgehengrößeren Wert haben oder schicken in ?? untergehen verkleinerndas wäre ?? Idee ?? man das begründen kannwas heißt das in Formel die Tangentialebeneist horizontalwas heißt dessen Formendas Ivan Beispiel für eine Tangentialebenewenn ich mit X um eins zur Seite gehe gehe ich mit Z der Höhe um ein Zehntel nach oben wenn ich mit Y um eins beseitige ich mit Zum drei Zehntel nach untenwenn das Ding horizontalsein soll heißt dasich darf mit X und Y Maschinen wie ich will es darf sich Z nicht ändern hier muss Null stehen und da muss Null stehen die partiellen Ableitungen müssen beide null sein das heißt dassdann ist die lange Zeit eben horizontalund eines nebenbei der Gradientder Nullvektordas passt ja gut ins Bildalsodie AbleitungX partiellan dieser Stelle X null Y nullgroß null seinWunschnach Ypartiell abgeleitetan dieser Stelle diese Ableitung muss nur das Äquivalentgenau dann ist die lange Zeit eben horizontal wenn diese beiden Ableitungen neu sindoder wenn dieses Kompaktschreibenin der Gradient der Nullvektor istwas gut ins Bild passt der Gradient sagtmit der Richtungin welche Richtung es für dieeher kurzsichtige Ameisesteil aufgehtund der Gradientsack mit seiner Längewie steiles aufgehtwenn der Gradient der Nullvektor istsagt er okay es geht gar nicht steil rauf und es gibt auch keine Richtungdas passt dochalles gut zusammenso kann man also auch formulierender Gradient ist der Nullvektorzwangsläufigauf dem Berg drauf und im Tal drinPunkt es heißt nichts anderes als dass die partiellen Ableitungengleich null sind allesamt gleich null sindalso nicht nur eine Ableitung bei derFunktion einer Variablendas ?? Beistricheine Stelle X nur gleich null ist der Zins eben zwei Ableitungen oder bei drei veränderlichen Dreier bleiben und so weiter das isteine notwendigeBedingung ohne die geht es nicht ohne die kann ich kein lokales Extremum habenbesteht einFolge Fall wenn ich ein lokales Extremum habe Beistrichdass sie damit ?? horizontal sein muss Punkt es ist notwendigdas Internet ?? horizontalesdafür dass ich ein lokales Extremum habenkanndas muss seines tut nun ohne das geht es nichtdas ist leider nicht hinreichendwenn ich nur weiß das sie Tangentialebenehorizontalistamist das leider noch nicht fertignicht hinreichendsteht imSkriptes ist nicht hinreichend wahrscheinlich ein paar Beispielen klarmachtdas übliche Beispiel ist manbaut einenSattel das ist eine zeichnerische Herausforderungeinen Sattelpassierenmuss der Hals vom Pferd sein mussder Teil von vierzehnbis neunzehn Uhr sieht das Nachsattel aussowasendlich hier mitten auf dem Sattel drauf sindsie Vorderkantewar ein sehr dicke Vorderkantesicher nochstärkerähmwenn sie hier mitten auf dem Sattel drauf sindund die Tangentialebenebilden dann nicht die hier oberhalb vom Sattelsticht dann hierdurch den Sattel durchnicht ganz gelungen Tschuldigung?? vergrößernhier nicht sie oberhalb von Sattelsticht sie hier so durch den Sattel durch einTier guckt sie dann auch wieder raus auf der Seiteziemlich dumm zu machen Punkt sie so raus die tangential ebenso verschwindet Halbsattelendegeht's ja raufder Sattel liegt über der Tangentialebenejetzt runter deshalb nicht unter der Tangentialebenebesticht also schön durch und offensichtlichist das in der Mitteweder ein Maximum lokales Maximum noch ein lokales Minimum es gibt in der Umgebung werde die sind größerund es gibt in jeder Umgebung soll sein es geht hier um Vergebung werde diese einer das kann kein lokales Wachstumkein lokales Minimum sein aber trotzdem ist die Tennishalle eben horizontalsie dass es eine Nummer heftiger als bei Funktion einerveränderlichen da gab's einig nur diesem Fall ja lange Zeit geradesehr gelungentangential gerade ist horizontalund die Funktionkommt von der einen Seite geht zu einem leider konnte der Ärger passiert dies auch Sattelpunktebenso zur echten Seite malan denselben Effekt abereine nur komplizierterdiese fiktive mit den üblichenSattelpunkt mir sowas ?? kubische Parabel das kann man natürlich weiterhin habenFunktion die so läuftArmoder vielleicht sogarnoch meinen Tunnelfunktion?? Touristsowashier mitten draufda mitten drauf das sind die Tangentialebenenhorizontalaber trotzdem habe ich keine lokalen extremerhier sind die Werteauf der First Linie hier sind die Wertenicht kleinerals der Artikel sogar noch übertreiben ?? fest in D sowie X hoch Viersenhoch geht es sogar noch finsterer dann sind die Wertesogar größer als der Mitteweiterhin ist die TangentialebeneHorizontalinterfacezu Wegzug vier verläuftdie Werte auf dem vierzehn garantiert größer als in der Mittein diese Richtung geht unter die Werte werden kleiner das kann weder Maximum noch Minimum sein und hierinsbesondere kubische Parabelin dem Raum im Raum in die Tiefe ziehen ?? durch dasselbe Phänomenwaren die vorhervivendi werde größer?? ich werde kleiner heben sie größer wie schon bei Funktion einerveränderlichen ?? kann auch nichts werdenobwohl die Tangentialebenehorizontaldas ist also kein hinreichendes Kriteriumwie bei der Funktion einer veränderlichenBeistrich von X gleich null nicht hinreichend ist notwendig aber nicht hinreichendimVerbrauch bisschen mehr man kann wie bei den Funktioneneiner veränderlichen zur zweiten Ableitunggesehen wenn ich die erste Ableitung bildenbei zwei veränderlichen ?? hier schon zwei partielle Ableitungendie zweite Ableitung der total finsterin ?? die erste Ableitung nach X normal X ableiten ich kann die erste Ableitung ?? Y ableiten und ich kann die Ableitung nach Yan Y ableitenähmwird sich die Kombinationvon Ableitungendas wird etwas ungemütlichKomma dass man hindas ist die Hesse Matrixelfbeschreibt ?? F zwei Strichwie letztes Semesterum die zweite ableiten zu bilden ich muss jetztalle möglichen Kombinationendurch den Leiter zweimal abund zwar zweimal nach Xden kann ich wählenich kann bildenleider zweimal ab aber erst nachYund danach Xund ich kann bilden leider zweimal ab aber erst nachX und danach Yund die letzte Kombination ich habe zweimal ableiten beide mal nach Y ableitenlassen alle vier die kann man als Matrix hinschreibendas Ding nennt sich dann Hesse Matrixweil sie mehreher veränderliche haben wird ?? durch den entsprechendunangenehmerdreimal drei vier mal vier alle Kombinationendurch alle möglichenzweiten Ableitungengebildethattendieses Monstrum hier rechnet man aus netterweise muss man nicht alle ausrichten sie müssen nicht alle vier ausrechnenmüssen sie nicht ausrechnennetterweise müssen sie nur drei ausrechnen?? ähm die beiden sind ja gleichob sie erst nach Y danach X oder Asterix und danach Yableiten ist beinicht pathologischen Funktionen gar das heißt sie müssen nurdrei ausrechnen das ganze Ding wirdsymmetrischHesse Matrix ist also eine symmetrische Matrixnundie sagtwie sich meine Funktionvon der Tangentenebenevon den Tangentialebenenweg Punktamim Skript mich als Bild vorgesehenen Versuchs malhinzu malenich habe meinen fliegenden Teppich mit derdieses Gebirge der Funktion auf das Gebirge der Funktion ist es möglich ausgewählte Personen lege ich die Tangentialebeneich weiß zumal die Tangentialebeneanund diese Matrix beantwortet die Frage bis jetzt ist meine Funktion davon weg und die Bitte nicht die ganze Zeit in der Tangentialebeneliegen bleibensoll wird in gewisse Richtungenweg gehen von der Tangentialebenenach obenoder nach untenzum Beispieldass es da drin codierter den Schuhmarkt vorgeführt das symmetrische Matrizenwarenim allgemeinen zwei verschiedene Eigenwerte haben und zwei Eigenvektorenzur Einrichtungen haben die senkrecht aufeinander stehendas findet man dann nämlich sie finden zwei Richtungenwendet sich zufällig irgendwasdegeneriertfinden Sie zwei Richtungendie senkrecht aufeinander stehen ?? in die eine Richtunggeht die Funktion mit dem einen Eigenwertnach oben oder nach untenund eignet positiv istnach oben weg von derEbene mit ein ?? negativesnach unten weg von der Ebene und diese andere Richtung senkrecht dazu das andere Einrichtungmacht dasselbe mit dem anderen Eigenwert ist der positive Eigenwert geht's nach oben in der Richtungist der negativ geht's nach untenund der Restpasstschön mitten reinan das ganzestammt aus einer haarsträubenden Formel zu muss man angeschrieben haben willwenn sie diein das Tellerpolynomzweiten Grades hinschreibenfürFunktionenzweier veränderlicherMusik ganz raus aus das es einmal gesehen habenundin zweiten Gradeshabenund schreibt was im Vergleich mit einer veränderlichen?? ähmder Erkenntnis dann wieder was dieser Term macht was ?? Hesse Matrix machtmit einer veränderlichensieht so aus Y ist gleichder Funktionswertan der Stelle an der das ganze auf zierlosdie Ableitungan dieser Stelle mal wie weit ich aus dieser Stelle ausgeheplus wasfür eine veränderlichejeden Fall brauchen sicher ein halb dass es wichtige Details des Gleis muss quadratischsein X minus X null Quadrathalbe Mal die zweite Ableitung das Essen einer veränderlichen ?? das halbe des Nachbarn ableiten hinkommendie zweite Ableitung von diesem Ding eine Stelle X null soll Beistrich von X null Seite zwei brauche ich um die Ableitungvon zwei wiedergutzumachendas wäre die schmierige Parabel in einerveränderlichenjetzt Komma dassder für die ?? durchgehen und übertragen den ersten ?? sowieso schon ist es keine Kunst das ist einfach die Funktionan dieser Stelleim Zentrumschön in zweiten hatten wir auch das hatte ich ihnen erzählt wegen ihrer Ernährungdie Ableitung wird zum Gradientenich hab's tatsächlich mal hin mit den partiellen Ableitungen also DFnach D Xan der Stelle X nullY null DF nach dem Yan der Stelle X null Y null dass der Gradientmal und hier steht dann jetzt als Vektor hingeschriebenX minus X nullY minus Yso weit hatten das bis dahin System TangentialebeneinmittenSkalarproduktOriginalfunktionswertPlusgradientmal gewaltig weggeheVektor hingeschriebenaus der Schnittstelle ist ein Messe damit erleben mich das jetzt ein zweiter Tribalumso quadratischen Ausdruck hin zu kriegensind bisschen bastelnschaut meine Extrazeile ja nochnatürlich für den halb weiteren stehen bleiben dass wir ganz komisch wenn es inhaltlich zum Stehen bleibtes kommt die Hesse MatrixBesonderheitim weil ich faul bin da kommt die Hesse Matrixdie von eben alle partiellen Ableitungenzweifachen Patient Ableitungen diese Matrixkönnen alles Zahlenwerte setzen wir eben ein fünf drei fünf drei fünf drei ?? finden jegliche Zahlenwerte raus vier Zahlenwertediese Hesse MatrixPunkt der Knüller dass man die von der einen Seite mit X null sechs null Y minus Y null multipliziertund von der anderen Seite des Ergebnisses steht Skalarproduktmit X minus X nullnullmultipliziert das wäre das analogezur Schmiedeparabeldas kann einfach abonniert werden?? das kann ?? ja was fürchterliches werden ?? in die Einrichtung aufgeht und die andere Richtung quer dazu runtergeht und hatte bisher kein Problem mit miranhier sehen Sie dann wie das dann insgesamtzusammen spielt ?? sicherlich dann nicht mehr das Quadrateiner Länge sondern steht der linken Seite dieser DifferenzvektorSkalarproduktHesse Matrixauf der rechten Seite noch mal der Differenz weckt im Endeffekt stetig im Quadrat da da steht der Referenzsekte vertrat und dazwischen stehen diezweiten Ableitung ist das Ganze aber so organisiert das es Matrizenvektorenin HausamIntercity unmittelbar einleuchtend dass das so sein muss einig müssen sie davon zwei Stunden überlebenmöchte ich einmal geschrieben haben es mal sehenwie sowas aussehen kann also wenn man das verallgemeinernwir die Idee dieser Spiegel Parabel verallgemeinernwillBeistrich hier dieTangentialebenedas hatten wir schon mit dem Gradienten und im nächsten Schritt kriegen Sie hierfür die zweiten Ableitung eine Matrix die Hesse Matrixsehr Hesse Matrix sagt mir ebenin ihren Eigenwertenaufgehtoder untergehtund diese EigenrichtungenEigenvektorenwenn Sie wollen sagen mir in welche Richtung Nissen am stärksten raufund runter gehtKomma das analysierennunwas mich also interessiertistob diese Hesse MatrixzweipositiveEigenwerte hat wenn sie positive Eigenwerte hatder Gradient null ist der Nullvektor ist horizontale Ebeneund die Hesse Matrix zwei positive Eigenwert hat okay dann muss das ein lokales Minimum sein weil es in jede Richtung aufgehenwenn die Tangentialebenehorizontal istund die Hesse Matrix zwei negative Eigenwerte hatals das lokales Maximum sein was in jede Richtungabwärts geht von den Punktda hat man jetztein hinreichendesKriteriumwenn ich die Hesse Matrix ausgerechnet haben und ich stelle fest ja zwei positive Eigenwerteund der Gradient ist der NullvektorBreschnew es ja zwei negative Eigenwert und der Gradient ist der Nullvektor dann kann sie wirklich handfest was sagen überlokales Maximum Minimumwenn der Gradient der Nullvektor istund die Hesse Matrix einen positiven Eigenwert hatund einen negativen Eigenwert hat dann weiß ich das kann nichts von all dem sei das kann weder Erwachsenseinnoch ein Minimum seindamit abmahnen immer noch nicht alle Fälle erschlagen kann einfach sein das hier lauter Nullen stehen zum Beispieldie Funktion super langsamder hier in diese Stelle rein geht super flachen Stelle rein geht es hier nur null stehen dann weiß ich nichtallgemein steht da nicht nur nur gestaltete Aussage treffen?? Rosenaussageman so eine Matrix positive Eigenwert hat zwei negative Eigenwerte hatund schwang sie einen Eigenwert der Positivlisteeinen Eigenwert dernegativ istalso wenn ich habe eine Matrixähm ist symmetrisch zwei mal zweidass es Hermann Situationan symmetrische zwei mal zwei Matrixund jetzt möchte ich wissenob die Eigenwertebeide positivsind hat zwei Eigenwertegrößer alsnulloder zwei Eigenwertekleiner alsnull?? dann habe ich wirklich nur Jones auf lokales Maximum lokales Minimum in beide Eigenwerte größer sind als null Jones auf lokales Minimumbei Eigenwerte negativsind ?? Jones offen lokales Maximum es geht in alle Richtungen abwärtsdafür hätte ich gerneeine Idee was das mit derDeterminantezu tun hatdreizehn??wie können Sie das mit der Determinante ausdrückenScan irgendwannein paar Monaten mal dran wenn sie die eigene RichtungMallander eins nehmen und in die andere Richtung Malander zwei nehmen werden die Flächen Mallander eins Mallander zwei genommenbitte die Determinante ist das Produkt der Eigenwertenicht komplett zerlegen kannals die SPD dementierte mit das Produkt der Eigenwertein beide Eigenwerte größer sind als null oder beide Eigenwerte kleiner sind als nur dann ist die Determinante also größer als null positive Zahlen ?? positive Zahlen positivnegative sammelnegativeZahlpositivansonstenwenn einer null ist in einer Negativesbeide ?? eine negativ ist eine positivkonnte nur raus oder was kleiner als nullwenn die Determinante größer ist als null dann kann ich sicher sein dass einer von den interessanten Fällen aufgetreten istdas beide Eigenwerte größer sind als null oder bei Eigenwerte kleiner zu ?? immer vorausgesetzt dass sie damit erleben horizontal istdas mal jetzt insgesamt normal als Flussdiagrammauf ?? als Übung für nächstes Semester Informatikimich möchte prüfen auf ein lokalesMaximumfürauchlokales Maximuman der StelleX null Ydann mach ich folgendes ich bestimme den Gradientenan dieser Stellealso beide partiellen Ableitungendenken Sie an dieser Stelle aus zwei Zahlenwertewas ist dann gibtdann prüfe ich ob dieser Gradientgleich null ist??was machen Sie wenn dieser Gradient nicht gleich null istgenaudann ist die Antwortneines kann keinscharfes S möglich ist als AusgabeNein ist die Antwort es kann kein lokales Maximum sein dieäh Tangentialebeneliegt schief?? schreiben nullVektorgedankenZeitebene nicht schiefdann kann es nichtein lokales Maximum lokales Minimum sein so wenn aber die Tangentialebenehorizontalliegt jader Gradient gleich null istdann bestimme ich die Hesse MatrixdochKomma ?? BindestrichStimme HesseMatrixan dieser Stelle vier Zahlensonächster Schrittund ?? ich mir die Determinantean der Hesse Matrixist die Determinanteder Hesse Matrixkleiner alsnull fraglichFragezeichenwenn die Determinante kleiner ist als nulldie Determinante das Produkt der beiden Eigenwert legitimiertekleiner ist als nur legitimiert von Hesse Matrix die klein S als null ist ein Eigenwert positiv einer negativich muss sie diese Situationmit dem Sattel sein das kann keinlokalesMaximum sein die Antwort istneinwenndie Determinantegleich null istdas nächstes mal gucken was ich aufgeschrieben habedas geschickt Schneefall versessen fragen ob die Determinante größer ist als nur so ist die Determinantegrößer alsnullwenn sie hier sagenneindann kann ja nur noch die Determinantegleich null seinund die Antwort lautetweiß nicht??müssen dazwischendie Funktioneine der beiden Eigenwert ist null müssen wirklich die beiden Eigenwert ausrechnenund Abweichler weiter Gruppen oder höhere Ableitungenanguckenähm auf jeden Fall geht sodann erst mal auf die Schnelle nicht weiterwenn dagegen die Determinante größer ist als null dann weiß ich okay beideEigenwertesind positivoder beide Eigenwerte sind Negativeskann nur noch dieses Auftretenbei diesen positivoder dieses auftreten Beistrich negativich interessiere mich für das lokale Maximumund jetzt gibt's einen Trick?? guckt sich in der Matrix den linken oberen Wert anwenn der positivist absurderweisewenn der positiv ist sind in dieser Situation automatisch beide Eigenwertepositiväh istlinks obenist links obengrößer als nur das Komma schon mal durchrechnen zu müssen langweilige Rechnung?? sie meine allgemeine Matrix auf dann sehen Sie dass die gucken dann in der Situation steht oben links eineZahl die positivistwenn das der Fall ist??dasgroßartighingekriegt weil ich suche nämlich nach Maximumlokales Maximumnäher machen weil es auf einzelne gesunde Fragen ?? geschrieben also wenn obeneine Zahl steht die nicht größer ist als nullist die Antwortwenn der Wert links oben positiv ist sind beide Eigenwerte positiv ich hab diese Situationdas heißtAntwort istnein es ist kein Maximumwenn links obenetwas Negatives steht nur Kanzler nicht mehr sein für jetzt vorbei bekanntsein wenn der was negatives steht ist die Antwort ja unglaubliches ist einlokales Maximumähmfür Minimumnatürlich dann entsprechend umgekehrt hier die beiden Jahrs online vertauscht das sind also nur vom letzten Schritt abPressestellen sind die beiden Eigenwert in der nun positivmüssen sie beide negativvorher haben sie geprüftist die Ebene lange Zeit im horizontalhat die Hesse Matrix zwei Eigenwerte mit dem gleichen Vorzeichenund dann ist der letzte SchrittvorzeigtPunkt das ist die Schema F Formel das Rezeptum auf lokale MaximabeziehungsweiseMinimax prüfen