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15G.1 Geometrische Reihe und damit verwandte Potenzreihen

CC-BY-NC-SA 3.0

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geometrische – Reihe eine Potenzreihe – sehr wichtige Potenzreihen – möchte das noch mal anders aufziehen als in den alten Videos wir fangen mal so an ich interessiere mich für folgenden – Ausdruck 1 / 1 - X – könnte ich 1 durch 1 minus X – könnte man sagen ok ich fange Taylor-Ann Bilder Ableitung – so weiter und so weiter Mann ist faul – möchte man vermeiden dass würde funktionieren das – mit Taylor zu machen aber es geht wesentlich einfacher – und zwar so die schreiben ja das ist eigentlich was wie eins plus irgendwas – Teil 1 / etwas weniger als 1 wenn ich groß wie tief ist heißt du etwas weniger als 11 das – Ergebnis etwas mehr als 11 – + – die dümmste hat jetzt schreiben viel denn noch dazu kommt ist folgendes das ist vielleicht ein bisschen irritiert ich – schreibe das ist 1 / – 1 - X - 1 – ich soll dich – fragen was habe ich nun eigentlich erreicht – möchte wissen was ist 1 durch nichts – Positives – dich bei mir ist etwas weniger als ein Rassismus etwas mehr als 1 Zahn und zwar 1 + 1 – = 1 - X - 1 dieses Gleichheitszeichen ist garantiert richtig – 1 - 140 – weg ist bleibt 1 / 1 - X übrig ich habe etwas addiert und – üblicher Trick in der Mathematik – dieser Stelle versteht man noch nicht was der bringt im Schritt sehen Sie was der bringt – steht hier der Klammer wie können sie es die Klammer anders schreiben ✂ bringen auch die beiden Brüche auf einen Hauptnenner und der wäre 1 - 64 – fahren steht eine 1 - die – als muss ich jetzt schreiben – einzelne six durch 1 - XI steht also - 1 - X – Zähler die – beiden auf einen Nenner gebracht – der ziehen Sie 1 – - 170 – weg hier steht das ist X – / 1 - X – habe ich erreicht ihr – steht insgesamt – die Klammer ist und damit 1 / 1 - X = 1 – + für die Klammer habe ich jetzt durch – - X – sie davon wie ich jetzt weitermachen werde ✂ doch ein bisschen verborgen der Trick ist jetzt schreiben das ist EinsPlus – und die Woche hinten tragen sie ixmal – 11 – - IX – sich jetzt was ich vorhabe ✂ möchte sagen was 1 / 1 - X = – kann ich in – selbst jetzt wieder einsetzen – indische Formel setzt sich die Formel selbst wieder ein – hinten steht also das ist 1 + X mal – und – jetzt setzt sich für den Orangen Kringel die – ganze Farbe wieder ein ich weiß dieser orange Kringel ist 1 + – + X – 1 durch 1 – - – X = – Orangen Kringel – vorne – das gesamte was da auf der rechten Seite steht also 1plusx / 1 - 6 – das ist also 1plusx – x – 1 + – jetzt – ixmal ixmal – 1 durch das X Quadrat x 1 / 1 - 6 – und sie an ist jetzt wie das weiter 1 / 1 - X ich kann meine Formel wieder einsetzen 1 / 1 - X = was hier steht 1plusx gehörst mir steht – das ist 1 + X + X – Quadrat x – 1 – + 6 x – 1 / 1 - – nassen Ausdruck – ich für den reingesetzt das – kann ich wieder ausmultiplizieren – das ist 1 + X + X – Quadrat x 1 – plus X Quadrat x 6 x 1 / also – xhoch3 x 1 / 1 - X – jetzt sieht man auf mich das Muster da drin das können Sie beliebig oft weitermachen – so weiter und – kriegen allgemein etwas wie 1 + X + X – Quadrat + undsoweiter – + – X hoch 1 n -1 – X hoch n mal – 1 – durch 1 minus X – können Sie für jedes – positive ändern in gleich 42 Englisch eine Million immer wieder ineinander einsetzen Isoformen – immer wieder ineinander einsetzen sie finden also 1 / 1 - 6 = z.b. gleich 1 + X + X Quadrat plus – X hoch 99999 – plus X – hoch 1000000 x 1 / 1 - X – dir steht schon wieder – Ausdruck drin – ich eigentlich umformulieren – will – letzte Chance was man tun kann ✂ man guckt sich – X hoch n an dieses – X hoch n das geht gegen 0 1 – n gegen Unendlich geht geht – gegen Null für n gegen Unendlich – wenn – unser X zwischen -1 und +1 liegt – und nicht gleich -1 ist und – nicht gleich – 1 ist wenn - 1 kleiner X kleiner – 1 – wenn ihr zwei auch entsteht das um die Ohren 21 – 22 23 zu Hause eine Million wenn der -2 – steht Vitus das um die Ohren – das Zimmer spielt einhalb steht ein halbhoch 12131 – geht – das gegen Null wenn – X eine Zahl zwischen -1 und 1 ist nicht – -1 – sonst so viel passiert - 1 + 1 und so weiter nicht eins ist aber dazwischen liegt – geht dieser – gegen 01 / 1 - X ist eine konstante – ganze so mein Kind geht gegen Null und ich weiß dass ich diese Summe hier bis ins Unendliche fortsetzen – kann – Reihe daneben – kann eine mündliche Raimund die unendliche Reihe ist in der Summe im Grenzwert soll ich sagen – eins durch 1 - X – vorgenannte raus das ist die geometrische Reihe – durch 1 - X – sie wenn sie die Potenzen von X aufsummieren – 1 + X + X Quadrat plus X hoch – 3 plus und so weiter bis ins Unendliche – schreib das jetzt mal mit drei Pünktchen – X-Vision – -1 und +1 liegt – nicht – eins ist nicht -1 ist hier schreibt das lieber so wenn der Betrag von X kleiner – ist als 1 – ich darf mit dem X nicht zu weit liegen von der Null – 1 Uhr darf ich der kriegen von der Null und dann stimmt das dass ich die geometrische Reihe – uns gerade noch ein – Beispiele dazu an das plastische wird erstmal – sie fragen kann das sein – sowas wenn sie haben 1 – / 1 – - 0,1 – mal gerade ihn als Beispiel sie wissen was da rauskommt hier auf der – Seite steht 1 / 0,9 – da – sie wissen was da rauskommt und sie kommt man die rechte Seite an sich zu überzeugen dass das ergibt was hier steht ✂ hier steht also die 1 + – und dann kommt – 0 ins Quadrat ist ist ein Hundertstel – hoch 3 das ist ein Tausendstel, – so – weiter und so weiter sie sehen was passiert 1, – sagt in der Taschenrechner – rauche ich hoffe sogar dass du das wissen als / 0,9 dass das 1, Periode 1 = also – kann Überraschung das stimmt anderes – Beispiel – ist das übliche Beispiel mit X = einhalb 1 – - einhalb – durch 1 minus einhalb geteilt also 1 durch – 1 – durch einhalb und ich vorhin 4 teilig 1 durch einhalb und das ist natürlich zwei – auf der rechten – Seite – steht jetzt 1 – + einhalb – das Quadrat von einhalb das ist ein Viertel plus dritte Potenz von Anhalt ist ein Achtel also die ganzen – runter – das soll 2 sein 1 + einhalb plus ein – Viertel plus ein Achtel und so weiter soll zwei sein kann man sich relativ leicht auf mal – das die Strecke 1 ist – jetzt noch einhalb dazu das ist die Strecke einhalb dann gehen sie noch die Strecke ein Viertel dazu dann – geben sie noch die Strecke ein Achtel – dazu dann geben Sie das 116 – dazu – sind wenn sie beim sechzehnten sind – sie hier hinten noch ein 16 frei – sie zwei rausbekommen – ging sie noch ein 32 oder Zug dann fehlt die hier hinten an 32 bis zur 2 und so weiter und so weiter – Sie das bis es unendliche machen kriegt sie tatsächlich 2 raus der Kreuzritter vom Bus Preise – haben also jetzt die allgemeine – Reihe – kann sagen wenn wir die Potenzen aufsummieren 1 + X + X Quadrat plus X und so weiter + bis ins Unendliche das meint jetzt mit den drei Punkten endlich – so ein bisschen zum endlich aufsummiert – würde mal so Summenzeichen schreiben aber das sieht so – aus – ist jetzt aus was ist 1 / 1 - X – dann – Betrag von X kleiner ist als 1 nachricht gleich eins sein xdove sowieso schon nicht gleich eins sein entsteht hier als durch nur das wollen sie nicht nicht größer als 1 sein – explodiert in – Reihe offensichtlich – und – wenn X kleiner ist als - 1x Lite – -2 explodiert – in Dessau offensichtlich -1 – selbst geht auch nicht gut dann steht da 1 - 1 ins Quadrat versucht +1 -1 +1 sieht – auch nicht allzu vertrauenserweckend – aus – hat Autoversicherungen – Matthäus – eine Formel für einen Kehrwert mit Hilfe von – aufsummieren alle Potenzen auf der nullten 122 – aufsummieren – sie den Kehrwert von 1 - xwx – nicht im Betrag zu groß ist ist – Art wie man die geometrische Reihe kommen kann ich sollte noch mal sagen warum die geometrische Reihe heißt sonst noch mal drüber schreiben – gesagt hiermit schreibe übrigens – über Sat 1 1 + 12 – + 14 + 18 und so weiter dass wir eine konkrete geometrische – Reihe – steht die allgemeine geometrische Reihe Warum geometrisches immer um denselben Faktor weitergeht t10x – dann – haben sie da das XIX – Malix – dann haben sie das X Quadrat sieht – 2-Draht Malix dann hat wieder das xhoch3 deshalb – für dich das geometrisches geht immer im selben Verhältnis Freitag – Innenverhältnis – Summand – nächsten das Verhältnis bleibt konstant das nennt sich dann eine geometrische Reihe – sogar mit Schrei hätte man anders haben können über – die Taylorreihe haben können das ist eine Potenzreihe was – hier steht eine unendliche – Summe von Potenzen – man als Taylorreihe haben können was müssen Sie tun um das hier auf der linken Seite als Taylorreihe zu bekommen ✂ ich nehme mir mal die matrix Weg dass – ein anderer Weg zum selben Resultat wäre die Taylorreihe – sie nehmen von 1 / 1 - X Funktionswert – und Ableitungen an der Stelle sinnvollerweise nur – haben das denn hin denkt sie noch mal beim Taylor der Funktionswert – an der Stelle an der ich entwickle bloß – Ableitung – der Funktion an der Stelle an der ich entwickle mal X - 60 – plus die zweite – Ableitung an – und so weiter und – hoffe sie entdecken das wieder die eins ist der wird – der Stelle x0 sie setzen nur ein – dieses – X – ist die Ableitung mal – X - 60 entwickeln – an der Stelle x0 = 0 Statistik – steht die Ableitung ist eins dieser – Termin ist der – so weiter das hätte man als Taylorreihe bekommen – können – habe hier mal drüber Geometrie als Potenzreihe – hier steht er jetzt nicht konkret EinsPlus einhalb plus ein Viertel und so weiter sondern mit einem X das Verhältnis von einem zum nächsten als X geschrieben dann – haben sie eine Potenzreihe unendlich – lang Summe von Potenzen gehe jetzt von X ist – aber gleichzeitig eine Taylorreihe der Lehrer – eine Potenzreihe sind eigentlich dasselbe sind verschiedene Arten sich dasselbe anzugucken an der – telle reingehen Sie über die Ableitungen – also mein hätte das hier auch mit dem Ableitung hinkriegen kann sie nehmen diese Funktion – der dicken Stelle x0 = 0 – bestimme die Ableitung dieser Funktion ein bisschen nervig gewesen wir haben viel einfacher hinbekommen – du da nicht verwirren lassen Potenzreihe – Taylorreihe ist eigentlich dass sie – diese Potenzreihe hier haben können – wir weitere – Potenzreihen – Sie eine Idee was könnte ich jetzt dieser Potenzreihe antun um – andere Potenzreihen – was – kriegt man jetzt geschenkt ✂ noch gesagt ich schreibe mal was auf der linken Seite hin sie müssen sofort was dieses ist 0 + 1 + 2x + – 3x Quadrat – + – Ich muss in letzter hinschreiben dass dieses unklar 4x ^ 3 + und so weiter sie müssen sofort was das ist nämlich was ✂ 1 / 1 - X = also 1 – - X hoch -1 – noch abzuleiten – jetzt kommen sie mit der Kettenregel irgendwas – hoch -1 – die -1 kommt nach vorne als Minus – wir zu - 21 – - X - 2 – RCZ mir noch die innere Ableitung das war die äußere Ableitung mal die innere Ableitung die Notlandung ist -1 – dann habe ich hier also das ist 1 / 1 - 6 in Klammern ins Quadrat – Gleichheit – gehoben gilt dann – wird wohl auch diese gleich hier gelten – das ist jetzt nicht streng mathematisch höchstwahrscheinlich auch wenn der Betrag von X – ist als 1 aber das ist das richtig so der Mathematik müsste man jetzt vorsichtig sein hier steht auf der linken Seite ein Grenzwert sie haben unendlich viele Summanden da steht eigentlich ein Grenzwert auf der linken Seite dürfen – sie jetzt – einzelnen – von den Summanden ableiten – und dann 40 für den Grenzwert bilden und das ist so – unsauber kann man das einfach so macht der Physik und in den in den Wissenschaften macht man das Portal – unendlich viele Summanden geleiten jeden einzelnen in der Mathematik müssen wir jetzt eine halbe stunde Nachdenken – das ist wirklich erlaubt ist Italien – einfach mit S ist das täglich erlaubt sie können jeden Summanden heißen ableiten – bei einer Potenzreihe – sie im – sehen wir haben noch andere Potenzreihe geschenkt bekommen wenn sie addieren 1 + 2x + 3x Quadrat + 4x Ultra Plus und so weiter kriegen sie eins durch 1 - 6 ins Quadrat – der Betrag von X kleiner ist als 1 – weitere Potential die ist jetzt nicht so wichtig ich wollte Dir nur mal zeigen wie – man plötzlich – viele Sachen – bekommt sie – sind andere Chance was man auch noch machen könnte mit dieser Potenzreihe – wie kriegen wir eine weitere Potenzreihe geschenkt ✂ sie bestimmt mal ein bestimmtes Integral zu nehmen die geometrische Reihe oben – ich habe seit dass ich noch mal hin 1 + X + X Quadrat + X hoch 3 + und so weiter bis ins Unendliche DX – integrieren x von 0 – zu einem X1 – integriere – Reihe von 0 bis X eins dann ist garantiert – das gleiche als wenn ich von logistics 1 dass ihr täglich etwas auf der rechten Seite rauskommt – X1 – Betrag kleiner ist als 1 – ist ja auch dieses ixian Betrag kleiner als eins und alles – ist in Ordnung das geht auf jeden Fall – wendet man wieder – diese etwas Hände wedeln derart – zu sagen ok statt dass ich das Integral aus der Summe – werde ich die Summe der einzelnen integrale – das ist mathematisch nicht so ganz – zu begründen aber wie gesagt – ich in der Wissenschaften und in der Physik ist man da tatenlos – wir bilden jetzt die heißen integrale – das mal hin was passiert wenn sie auf der linken Seite die einzelne integrale bilden und – auf der rechten Seite ich hoffe sie erinnern sich an – wieso – integrali auf der rechten Seite – Stammfunktion ausrechnen – können ✂ 1 / 1 - X – können jetzt versuchen das wieder mit dem Kehrwert also – hoch -1 zu schreiben ja – difftime vielleicht – nicht so richtig viel mal muss sich erinnern der Kehrwert von irgendwas and integral – Kehrwert da geht irgendwas mit dem natürlichen Logarithmus üblicherweise – den Jahres steht finden unten im Nenner das – besteht hypodenses stehen fangen sie an mit Partialbruchzerlegung – eins durch – lineares da ging was mit dem natürlichen Logarithmus das probiert mal – der natürliche Logarithmus von Betrag – ja mit dir keinen Stress mit Betrag – versuche den natürlich Logarithmus von – 1 - X deswegen versucht wohlgemerkt – Klammern 061 – Ich will ein bestimmtes Integral dass er versucht er ist noch nicht richtig ja jetzt rechnen Sie Probe das – war eine Stammfunktion werden zu eins durch 1 - X das heißt ja nicht hier unten Ableitung von 1 durch 1 - ich rauskommen stimmt noch nicht was – geht schief wenn Sie hier ableiten sie kriegen nicht einzige Livestream SX raus sondern ✂ noch 1 - finde ich innere Ableitung also sie leiten Abdruck Rhythmus von irgendwas gibt 1 / – - 6 das ist die äußere Ableitung natürlicher – Logarithmus ableiten – den Kehrwert soweit sogut mal – die innere Ableitung der Ableitung ist aber – die Leiden 1 - X ab 11 – das müssen wir wieder gut machen da steht ein Minus davor – Minus könnte man jetzt reinziehen - Logarithmus Logarithmus – von Kehrwert aber ich lasse es lieber so und – dann steht hier sitzen – X1 ein das ist -1 – - X1 – 701 – - - – von 1 - 0 zählen – von 1 - 0 was bringt sie daraus ✂ Alkohol – weglassen der Logarithmus aus 1 = 0 – wir also - LN von 1 - X1 die – sind jetzt kriegen jetzt eine Potenzreihe für den natürlichen Logarithmus ich so richtig schön mit den ganzen Minuszeichen aber schon – eine Reihe die was mit den natürlichen Rhythmus zu tun hat – sich die linke Seite gestern alle haben rechts angefangen jetzt gucken sich die linke Seite an was passiert wenn sie da integrieren sie kriegen ja auch sondern – Formel jetzt hier von 0 bis x10e – nehmen – eine Stammfunktion für die linke Seite hätte ich gerne ✂ ein nachdem an integrieren wie gesagt was mathematisch eigentlich nicht ganz sauber ist aber auch – wirklich hin sie – suchen – eine Stammfunktion zu 1x Lite – IX abbekomme 1 raus zu suchen Stammfunktion 2x dann nehmen Sie nichts – Quadrat halbe ein – Sieg für das halbe ableiten 2 nach vorne günstig mit der zwei haben sie XX – Quadrat nehmen Sie xhoch3 Drittel – zu xhoch3 nehmen Sie xhoch4 Viertel – plus – so weiter sie – könnten eine konstante dazuschreiben +42 – aber – die fliegt herausfindest das bestimmte Integral Bilder die ich diese Konstante raus – dann habe ich hier auf der rechten Seite ich – setze X1 1 – plus X1 – Quadrat – halbe plus X 1 hoch 33 + – X14 – Nachricht – durchstreichen + – bis unendlich minus – ich setze 0 1 0 + 0 Quadrat Hagen II - 0 – Sie wie man den natürlichen Logarithmus bestimmen könnte – mit den Grundrechenarten dann kann ich nicht genau ausrechnen aber man kann ihn beliebig genau ausrechnen zumindest Wittensee X1 hier – so weit weg ist Werdohl – denn wir jetzt also wir lernen ich – setze dieses X1 jetzt mal überall durch X wieder wenn – dann etwas über folgende Potenzreihe – X + X Quadrat halbe – + X hoch 33 – + X hoch vier Viertel – plus X hoch 5 – 50+ und so weiter bis ins Unendliche – - der natürliche Logarithmus von 1 - X – im Betrag kleiner ist als ein – ist doch noch eine hilfreiche Potenzreihe – für den natürlichen Logarithmus – das was ich vorhabe ziehe ich gerade mal das Minuszeichen den Logarithmus Rhein - – Logarithmus ist Burger Rhythmus von hier – Wert 1 / 1 - X2 wenn – sie gerade mal folgendes – weitere – Potenzreihe gefunden – Sie gerade mal – diese – Funktion hier aussieht sieht das aus für Betrag X kleiner 1 wie sieht der Verlauf dieser Funktion aus und damit natürlich der Verlauf dieser Potenzreihe ✂ von -1 bis +1 ohne – die - 1 ohne die + 1x der – geht von -1 – bis +1 ohne – die Grenzen – dann – ist das was da drin steht I - X okay – jetzt sind ungefähr 1 Folge 1 - – das ist das geilste was sie kriegen können wird – aber nicht erreicht also nur ausschließlich – - 7 + 1 HD +1 kommt ja nicht wirklich vor das ist das kein Zufall sie haben können das Größte – was sie haben können ist 1 - -1 – aber das wird gerade nicht erreicht 1 - - 11 + 12 wird gerade nicht erreicht das ohne die Grenzen – interessiert also der natürliche Logarithmus von 0 bis 2 ohne die Null ohne die zwei – fange ich an und dann überlege ich mir was passiert wenn ich das Vorzeichen Ändere wenn ich falschrum arbeite und – so weiter das mal Vektor normal in kleinen Schritten hier – natürliche Logarithmus von – nur bis 2 – Uhr bis 2 – 1 – ist die - 17 – also den natürlichen Logarithmus – eben schon natürlicher Logarithmus von 1 = 0 womit potenzieren sich damit 1 rauskommt mit null – wird der natürliche Logarithmus I was setzen sie in den natürlichen Logarithmus ein damit – eins rauskommt ✂ 2,7 – hier irgendwo da wird er eins – natürliche – potenzieren sie eh damit – das rauskommt was im Begriff muss steht sie produzieren mit 1 damit – hoch – rauskommt – Logarithmus von 2,7 – noch was ist gleich 1 wir werden also hier nicht auf der Höhe einzahlen bei der zwei – auf der – bis ins Unendliche – eine – dicht bei Null rauskommt – meine Potenz die – minus unendlich läuft – hätten wir den natürlichen Logarithmus – ich habe mal y = LN von X – will ich hinzu - LN von 1 - X und – was machen sie als nächstes ✂ sie nehmen sich erstmal das Minuszeichen lieber – erstmal die Sachen die man sofort kann – Kurve an der X-Achse spiegeln – ist nicht – ganz gelungen aber gut zu wissen was es werden soll gibt – es dann = - – LN von X – war der äußere teilhaben – integriert muss ja Imbiss - jetzt – 1 - XS – setzen nicht X einsetzen 1 – - X1 was passiert dieser Kurve nebenbei wir wissen überhaupt schon was – in den Griff muss eingesetzt wird sind die Werte von 0 bis 2 – dagegen – von -1 bis 1 über ohne die Grenzen – gibt denn eigentlich schon in weiß was jetzt mit der grünen Kurve passieren muss ✂ 1 + – irgendwas mit X bedeutet wir verschieben um 1 Uhr nach links – an irgendeiner Stelle in der Reihenfolge der geometrischen Transformationen – des - – X das muss Ihnen sagen dass – wird links rechts gespiegelt wird – Funktion wird rückwärts durchlaufen – muss man sich jetzt gar nicht genau überlegen in welcher Reihenfolge jetzt was gemacht wird wir wissen – wir – unsere grüne Kurve von 0 bis 2 ausschließlich – nur ausschließlich zwei Kriegen über die original Kurve nehmen von – bis -1 – rückwärts – hier waren wir noch nie -1 – ich jetzt in meiner originalfunktion – Werte X – bis +1 Einsätze – ausschließlich - 130 – + 1 dann – kriege ich die grüne Kurve – falsch herum – das heißt das muss – mit 45° durchgehend – muss ich unten so ankommen – und hier geht's rauf bis ins Unendliche – so sieht das aus – ist y = - – LN von 1 - X was dasselbe ist wie der natürliche – Logarithmus von 1 – / 1 - X das – ist die – die Wade jetzt gebastelt haben als Potenzreihe aber – nur wenn der Betrag von X kleiner ist als 1 also auf diesem Bereich hier zwischen -1 – und +1 oder -1 und – +1 können – wir diese grüne Kurve Begriff – muss vom Kehrwert 1 - X Comedy – so ausrechnen was – sieht fürchterlich aus wie die geometrische Reihe aber sie teilen d'isonzo für die Potenz immer noch – den Ex sprechen – nicht als Musik Susi 2003 – und so weiter sondern XXL – halbe – Xbox 360 vier Viertel soweit immer noch geteilt – jetzt schon etwas vermuten am Rande wenn Sie das hier sehen diese Gleichheit Vermutung – wenn Sie folgendes addieren 1 plus einhalb – plus ein Drittel + ein Viertel + – 1 – + – und so weiter bis ins Unendliche das ist die sogenannte harmonische – Reihe geometrische – sondern die harmonische Reihe – mal Vermutung deshalb wegen dieser Formel vermuten – sie hoffentlich folgendes – wenn sie das auch so mir alle kehrwerte – erwarten sie was sie bekommen wenn sie alle kehrwerte aufsummieren ✂ sollte also unendlich sein – Reihe divergiert absurderweise – wir – hatten als geometrische – Reihe 1 + 12 + 14 + 18 + 116 und so weiter da kann 2 raus geometrische – Reihe – harmonische Reihe divergiert 1 + einhalb plus andere die Summe der kehrwerte die fliegt den um die Ohren durch den super langsam um die Ohren – Spanisch – Experiment – das mal aus zu programmieren bis 100 – zu laufen zu lassen bis 1 Millionen laufen zu lassen das ist extrem langsam Wien die um die Ohren fliegt aber sie fliegt ihnen um die Ohren – Summe – Grenzwert daneben ist unendlich – was man jetzt schon vermuten würde sie setzen für X1 ein hast du eigentlich verboten ist testweise – CX1 – einsetzen 1 + 1 + 1 Drittel und so weiter genau die harmonische Reihe – das gleich als Zeichen der noch gelten würde das müsste man sich überlegen ob das denn wirklich noch gelten kann und was bedeutet vor einem unendlich gleich unendlich – so ein bisschen Handy während rangegangen sehen Sie auf der rechten Seite steht – Wert dieser blauen Funktion an der Stelle 1 – ist – es ist der Logarithmus von 0 mit negativen Vorzeichen Minus – der Logarithmus von 0 Tourismus von 0 – geht gegen minus unendlich womit – potenzieren sie eh damit Null rauskommt – einer – negativen Zahl – dann noch mit Minuszeichen ok also man vermutet dass die Summe der kehrwerte gleich unendlich ist lässt sich danach 5 minuten auch vernünftig begründen will ich nicht vorführen – und – messe ich würde man jetzt diese – Summe Reihe – unendliche – Summe geht also offensichtlich gegen unendlich Leben bei – man hier raus schon halbwegs Update – Abwandlung – von der geometrischen Reihe gucken was noch an – überlegen uns jetzt wieder aus der geometrischen Reihe 1 durch 1 + X Quadrat rausbekommen – sicherheitshalber noch mal 1 – + X + X Quadrat + X hoch 3 + X + 4 + und so weiter bis ins Unendliche das – gibt also 1 / 1 - fix – wenn – der Betrag X kleiner – ist als 1 – was schreiben sie hin um 1 + X Quadrat im – Nenner zu haben 1 durch 1 plus X Quadrat rauszubekommen – Passform – sidawi um ✂ ich die Ex geschrieben habe ist wahrscheinlich editieren die schreib hier mal – denken Sie mal über Substitution – nach wie kommen sie von 1 durch 1 - 6 zu eins – durch 1 plus Quadrat ✂ wir machen eine – wir ersetzen – - 2 Quadrat – Sie hier oben X durch minus Kupferdraht ersetzen haben – sie auf dem Pluto Quadrat stehen so banal kann sein – heißt die Potenzreihe – die sie kriegen ist eins und jetzt setzen Sie X durch minus Hochverrat 1 - wohnquadrat – habe ich als nächstes hin ✂ hier kommt der Ausfluss hoch 4 – dann haben wir - 2 hoch 6 und dann kommt hier plus – 8 plus minus – bis – ins Unendliche so geht das aber – mal X – ist jetzt dich : - Kupferdraht xhoch3 – - – hoch 3 bleibt er - 2 Quadrat hoch 3 wird hoch 6 eine – Potenzreihe – + Quadrat – zwischen – -1 und +1 liegt – -1 ohne +1 dann liegt auch nix – jetzt hier gar nicht mehr positiv werden – das Geld dann also wenn ihr wenn der Betrag von U kleiner ist als 1 dann habe ich diese – damit auch so gefunden eine weitere Potenzreihe schreib dir noch mal neu hin die – gleich weiterverarbeiten – müssen lerne also folgendes wenn ich das jetzt wieder mit X Schreibe 1 - X Quadrat plus – X hoch 4 - – 6 hoch 6 plus X hoch 8 plus minus bis ins Unendliche – 1 durch 1 plus X Quadrat wenn – Betrag von X kleiner ist als 1 – Abwandlung von der geometrischen – Reihe – muss man sich an etwas erinnern was schon länger vorbei ist es hier auf der rechten Seite steht 1 durch 1 – plus X Quadrat – ist die Ableitung von Arcus Tangens – haben eine Potenzreihe gefunden für die Ableitung von Arcus Tangens – schreib das jetzt dass wir eine Potenzreihe für die Ableitung von arcustangens gefunden haben ✂ sind die Griechen also – geben Sie diese Potenzreihe ab X gleich 0 – wir kriegen eine – machen wir das mal ✂ von 0 bis X eins möchte ich integrieren – 1 - X Quadrat plus X hoch 4 – XS 6 plus 6 hoch 8 plus minus – unendlich IDX und das – ist dann selber was ich kriege wenn ich von 0 bis X1 die Ableitung von Arcus Tangens von – X integrieren – der Betrag von X-1 kleiner ist als 1 dann ist ja auch das liegt hier im Betrag kleiner – als 1 – rechte Seite – wir können schon eine Stammfunktion das ist nämlich der Arcus Tangens von mir ist auch der Akkus Tangens +42 aber warum der Stress arcustangens – ist eine Stammfunktion zu langen – Strich in den Grenzen von 0 bis X 1 – wenn wir das Ausrechnen haben wir also das ist der Arcus Tangens von – X 1 - der Arcus Tangens von 0 und – ich hoffe es ändert sich noch ein paar Leute dran arcustangens von Null ist null – steht also schlicht und ergreifend der Arcus Tangens von – x1 und – der – Seite – von 0 bis X 1 – Stammfunktion zu eins der Nähe WX eine Stammfunktion zu X Quadrat dann nehmen wir xhoch3 Drittel – mit einem Minus Zeichen Stammfunktion – 64 der Nähe x55c – an wie es weitergeht - 6 hoch 7 7 – plus X hoch 99 – plus minus bis ins Unendliche die – Sätze x11e – ab was rauskommt 0 16 als ich kriege X1 - – X1 hoch – X1 hoch 77 – + – hoch 99 + - und so weiter - – 0 weglassen – und – damit haben wir eine Potenzreihe für den arcustangens eine entwicklungsstelle 0 – der Arcus Tangens an der Stelle 0 entwickelt – das hätte man auch als Taylorreihe schreiben können sie hat sich überlegen können was – ist der Funktionswert von Arcus Tangens was ist die erste Ableitung soweit und so weiter alles an der Stelle 0 und die taylorreihen schreiben können das ist die Taylorreihe nur ich habe sie jetzt ganz anders bekommen – über Ableitung der andere Weg gewesen ist Jesus ist viel raffinierter also wir können jetzt in Akkus danke für liebe ich genau ausrechnen auf – diese Art IHK – wir können arcustangens aber nur – -1 und +1 ausrechnen – ist – Überraschendes darauf wollte ich noch hinaus – was ist jetzt komisch – stellen sich den arcustangens – vor das ist doch eine super schöne Funktion – arcustangens – trotzdem gibt's Stress – sie weiter weg sind – 1 – Ursprung – sie Stress – dieser Potenzreihe die Potenzreihe funktioniert – ja nicht mehr die – gebildet wird ist wunderschön scheinbar – wunderschön – aber die – Potenzreihe explodiert – plötzlich wenn sie zu weit weg sind vom Ursprung – Konvergenzradius – dass – wir uns gerade ganz schnell noch mal angucken warum gibt es den Stress – sieht man nämlich hier bei dem 1 durch 1 plus X Quadrat sieht – man warum das schief gehen muss warum haben wir den Stress mit dem Konvergenzradius – aber mein – Konvergenzradius – 1 warum – geht das nicht bis ins Unendliche – das ist doch eine schöne Funktion der Arcus Tangens warum geht es nicht bis ins Unendliche – mir was im komplexen auf – von X – Stress liegt nicht auf Erdachse der Stress liegt im komplexen Realteil von X – von nichts wenn sie sich das Ganze im komplexen angucken – Sie wo der Stress mit dieser Funktion – + X Quadrat die haben wir integriert – sind Polstellen im – komplexen – von 1 – durch 1 plus X Quadrat wo fliegt einem diese Funktion um die Ohren und das beschränkt den Konvergenzradius deshalb – kommt er nicht – plus minus eins hinaus – sind – von dieser Funktion im komplexen ✂ Plus und Minus i also Imaginärteil gleich 1g Alter gleich null – haben wir eine Polstelle – I haben wir auch eine Polstelle – sitzen da für XING Quadrat = -1 und dann steht da 1 / 1? 0 genauso bei minus wir – haben wohl stell den komplexen die Funktion als solche ist wunderschön wenn sie gerade Zahlen einsetzen aber im komplexen gibt's Ärger – der Witz ist eben mit dem Konvergenzradius – bei – Entwicklung um die 0 – Metrik – immer auf einer Scheibe – Sie sehen dass diese Scheibe nur so groß sein kann sie kann nicht größer werden diese Scheibe die kommen nicht über die Polstelle weg sonst könnte da keine Polstelle sein aber der Stress ist nicht auf der reellen Achse – Stress ist hier – komplexen das sieht man der Funktion erstmal nicht an und genau aus dem arcustangens wenn sie einmal integrieren dem arcustangens sehen Sie das nicht an im reellen aber im komplexen gibt's den Stress und das schlägt durch auf die Konvergenz im Real – also – Potenzreihen – konvergieren immer – einer Scheibe am – Rand der Scheibe weiß was nicht so genau muss man genau hingucken jenseits – der Scheibe auf jeden Fall gar nicht innerhalb der Scheibe kombinieren Sie richtig gut und man sieht jetzt hier aus dem komplexen heraus kann diese Scheibe maximal den Radius 1 haben – kann nicht größer sein dass – es bricht im reellen zusammen – wegen des Problems hier in komplexen wir – sind richtig schöne Funktion haben leorics dazu Potenzreihe dann ist diese Scheibe unendlich groß sinus cosinus ebenfalls – da sind diese Scheiben unendlich groß weil diese Funktion leider nicht diese Scheibe hat den Radius 1 der Konvergenzradius ist 1