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21D.1 Beispiel für Kriterieren für lokale Maxima und Minima, Wendestellen


CC-BY-NC-SA 3.0

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wirgucken uns folgende Funktion an die Rechenvorschriftder Funktion soll sein X plus einsmalX minus einsmalXminus zweiX Außenwelt Zahnfrageist wie stets mit lokalen extremerund wie steht's mit Wendestellevielleicht vorhereine Wiederholungzu Polynomfunktionenwie sieht denn diese Funktionals Graphungefähr aus wo erwarten sie lokal extremeerwarten sieben Stellen vorher einmal nachdenkenund danach Rechners aus ?? skizzieren sie das es mal ganz grob wie sieht der Verlauf des Grafen aus ganz grob ?? erwarten sie lokal extremeverwahrten silberne Stelle oder mehrereunter RechnernachPolynom dritten Gradeskubische Parabel mit drei gegebene null Stellen minus eins plus eins plus zwei machen Sie keine Einheiten in die Hinterachse dran ist es leichterzu viel Rechnereine Nullstelle bei eins eine Nullstelle bei zwei eine Nullstelle bei minus eins hier gehen wir also durch die x-Achse durch wenn sie sehr große Werte für X einsetzen eine Millioneine Million und eins mal hundert tausend hundert neunundneunzigmal hundert tausend hundert achtundneunzighaben sie eine sehr große positive Zahl es geht nach rechts oben Weg ins unendlichejede dieser Baustellen ist eine einfache Nullstelle Vorsichtentsteht siebtes eins hoch drei oder sowas das heißt nicht die jeweils durch die Nullstellenunter Lupe zumindest mit Nachgraphendurch so sein daraus zu sein ?? muss es so sein wird sieht man ?? hier habe ich einen Kandidaten für ein lokales Minimumhier muss ich einen Kandidaten haben für ein lokales Maximumzwischen neuen Wände Punkt der Punkt hier auf den Rates einbinde Punkt Take That dazu ist die WendestelleStelle heißt was ich in die Fusion einsetzen weil das XPunkt ist dagegender PunktX Yauf dem Graphen so aus ich rechne mit einem lokalen Maximum einem lokalen Minimum undeinem Wendepunktoder schon mal erledigtum abzuleiten?? ausmultiplizierendas geht mehr oder minder klugfür das Hammerforum unprofessionell Aus multipliziertman sie machen das jetzt auf tausend eine Artmit mehr oder minder richtigen Ergebnis manchmalX plus eins mal X minus eins mal X minus zweiwir wissen es wird ein Polynom dritten Grades werden es geht los mit X hoch drei X mal X mal X eine andere Chance zu drei rauszukriegen Hamburg nicht soundsoviel X Quadratsoundsoviel X plus soundsovieldas weiß ich nicht das weiß ich nicht das was wie Felix Quadratdie Klinik Quadrat in dem sie nehmen X mal X mal minus zwei Klammer zu minus zwei X Quadrat die kriegen X fordert in dem sie nehmen einmalX mal Xplus eins neunzig Kriegsquadratin dem sie nehmen etwas systematischesmachen sollenX malminus eins mal Xgibt noch minus eins hier steht also minus zweiminus zwei maliges Quadratjetzt frage ich mich wie viel X sind EntrinnenX mal minus eins mal minus zwei zum BeispielzweiInlandsmannesweisen zweimal X aber aucheinmal X mal minus zweisind minus zwei mal Xunddie dritte Art des X zu kriegenwäre hier die minus eins zu nehmen da die eins zu nehmen einmal minuseinsmal Xsindminus einsund es bleiben zwei minus zweiundzwanzigsteht also mit minuseinfach nur ein minus minus einmal X und der letzteSitz null eins dann bleibt die additive Konstanteoder ein mal minus eins mal minus zwei sind plus zweiso für dich aus und beziehen Sie haben anders aus multipliziertwenn sie vorne binomisch entdecken ist es auch relativ leichtPunkt alternativkönnte man machen hier vorn entdecken sie binomisch ?? steht er nämlich X hundert minus eins Quadrataber als verdattert einzigesX Plus als Mann X minus eins und er wird es übersichtlicher X Quadrat klein X gibt X hoch dreiX Quadrat mal minus zwei andere Art Pixel ?? gibt's nicht bei den X mal minus eins bei den an der Art X zu gering aber auch nicht unmittelbar bei minus was das war so käme man auch warum?? da geht's weiter mit ableitenund so weiterwir suchen also nach Stellen mit horizontaler Tangentefür die lokal maximal minimalauf der linken Seite habe ich lokales Maximumlokalin einer Umgebung ist der Wert größer gleich der Wertedie sonst in der Umgebung habe ein lokales Maximumunddas führt zwangsläufigzu der horizontalen Tangente hier wenn die Funktiondifferenzierbar istalsointeressiert mich die erste Ableitungich glaube ich rechne auch gleich die zweite aus und die dritteWoche vielleicht auch noch drei X Quadrat wird aus dem X hoch dreiX hundert vierzehn zwei X als ihr minus vier X und da minuseinsgleich die zweite Ableitung Komma dabei sind sechs hundert zu sechs X minus vier X wird zu minus vier und die dritte Ableitungist einfach gleich sechs Kommunisten auf einen Schlag erledigtInsurance erst mal Kandidaten jetzt für lokale Maximalokaleminimalwie gesagtnotwendig ist dass die Ableitungdie erste Ableitungnull wirdetwas ausführlicherzum Startkandidatenpendelnan denenKarl extremersind extrem Abel sagen Maxima minimaldie müssen erfüllendas nur ist gleichderersten Ableitung charmanter VersucheKandidaten verstellen an den lokalen extremer sind das müssen die erfüllendas haben sie schon kennengelernt als notwendige Bedingung ohne das geht's nicht ich nehme ihnen nur die XL für die die Ableitungdie erste Ableitung gleich null ist als Witz Nummer gar nicht funktionieren es kann sein dass die erste Ableitung null ist und die Stelle trotzdem keine ist an der lokales Maximum lokales Minimum vorliegt das kann passieren sie können haben die erste Ableitung ist nun aber sie haben kein lokales Maximumlokales Minimum an der Stelledas kommt gleich noch was auf jeden Fall wenn ich auf der Suche nach lokalen Maximaminimaldann muss die erste Ableitung null sein lassen sich jetzt ausKandidaten stellen aber nicht jede davon ist Wasser wirklich einedie erste Ableitung war Dreiecksquadratminus vier X minus eins das Rechenvorschriftdas heißtdas soll Null sein das heißt X Quadrat minus vier Drittel X minus ein drittelist gleich null sie zahlen durch dreiauf beiden Seiten der Gleichung teilen sie durch drei jetzt günstigenFormenominösePS minus für Dritte sie nehmen minus B halbePluszeichen Zweckmit vier Drittel seiner zwei Drittel wenn sie halbierenplusminus jetzt die Wurzelwas sie vorn steht verliert vier neuntelQ ist minus ein drittel sie subtrahierenKuh unter der Wurzel also plus ein DrittelPunkt dann sind wir bei zwei drittel Plusminuswurzelin der Wurzelauch Einwurfstrichvier plusoben steht einmal drei weiteren zweiten Bruch mit drei drei neuntelPluszeichen siebzehn eins siebensieben neuntel im Nenner kann ich die Wurzel ziehen wohl zu neun wird wieder drei werden also zwei drittel Plusminuswurzelsieben durch dreiwas auf einen Bruchstrich wenn sie wollenBruchstrich zwei plus Minuswurzelsiebendurch dreijetzt kann man aber vorsichtig gucken ob das irgendwie sinnvoll gewesen ist sieben liegt zwischen vier und neun Wurzel sieben liegt zwischen zwei und dreida malganz vorsichtig irgendwas bei zweien halb vielleicht in der Größenordnung des Wurzel sieben zwei plus zweieinhalbnicht bei viereinhalbdurch dreidas macht anderthalbdas ist der eine den ich rauskriegeungefähr anderthalb?? und der andere den ich raus fliege zweiminusungefähr zweieinhalbbis minus ein halb durch drei der andere ist ungefähr minusein sechstelKomma die Kurve minus sechstenein ein halbminus ein Sechstelokay sie sehen der Hügelist nicht auf der rechten Seite von der y-Achse sollen auf der linken Seite von der y-Achse jadas ist in meiner Zeichnung vereinbarwar offensichtlich nicht zu sonst ganz entwickelt und der andere warungefähr anderthalbzwischen eins und zwei ungefähr anderthalb dass sie sehr gut aus die beiden werde glaube ichdas sind jetzt Kandidaten für Stellenan den lokalen extremer sindjetzt müsste man sich eigentlich überzeugen ob es wirklichlokal extremer sind hier nicht diese Situation habe nach unserer Skizze ist es aber eigentlich egal wir wissen was jetzt los ist Punkt es gibt es kann nicht anders seinnicht einmal dazu wegen Skizze klarwir haben ein lokalesMaximumbei den minusan der Stelle also zwei Minuswurzelsieben Drittel auf der linken Seite ein lokales Maximum auf der rechten Seite lokales Minimumund ein lokalesMinimumalso an der StelleX gleich zwei Plus Wurzel siebenDrittelwegen der Skizze ist das jetzt klarwissen wie eine kubische Parabel läuft wenn man das jetzt etwas sauberer haben wollen würde oderkeine Skizze gemacht hätteich habe mal Begründung ohne Skizzewie würde man vorgehen um das ohne Skizze zu begründendas das was in der Schule wahrscheinlich gesehen habendaswas dann die notwendige Bedingung zur hinreichenden Bedingung macht in der Schule als sie prüfenist die erste Ableitung nur dann haben sie Kandidatenund dann können Sie noch die zweite Ableitung anguckenund wenn dann obendrein die zweite Ableitungeine Skizze wenn die zweite Ableitung dann obendreinnegativist wüsste sie ganz sicher es ist ein lokales Minimum an der Stelle Punkt das an der Wert wächst xxxxbis hier und dann fällt er wieder hier ist die Ableitungpositivdie Ableitung vierten null die Ableitung wird negativdie Ableitung insgesamt sinktdie Ableitung der Ableitungist negativauf der linken Seite das guckt man sich an für das lokale Maximumist die zweite Ableitung die Ableitung der Ableitung negativ in die Ableitung als solches positivnullnegativwunderbarwenn das der Fall ist dann weiß ich das auf dem Berg gewesen bin und auf der rechten Seite die Ableitungäh ist negativdie wird nur ?? und sie wird positivnegativ und positiv das heißt die Ableitung der Ableitung soll gefälligst positiv sein kann weiß ich das ich da auch garantiert von Minus nach Plus gegangen bin in der ersten Ableitungmit diesem Sattel habenDoppelpunktmir ist die Ableitung positivdann sieben nullund dann ist sie wieder positivScan Vorzeichen wechselt oder wenn es so umgeht die Ableitung ist negativnull negativ kein Vorzeichen wechselt die eigentliche Bedingung was in der Schule ?? keiner verraten hat die eigentliche Bedingung ist das die Ableitung ein null Durchgang haben muss hier der rechten Seite hat sie keinen null Durchgang sieh's positivnull positivodernegativnull negativmüssen ein null Durchgang haben wir hier auf der linken Seitein den negativen Bereich die Ableitung ist positivnullnegativ einen Nulldurchgang der Ableitungoder hier für das lokale Minimum die Ableitung ist negativ null positivdas ist die eigentliche Bedingung die erste Ableitung muss ein null Durchgang habenaber das ist nicht so leicht zu formulieren?? deshalb nutzt man dann schulmäßigEntwickler guckt sich die Ableitung der Ableitung an ihr ist die Ableitung der Ableitung der zweiten ?? bleibt die zweite Ableitung also Negativableitungwird kleinerund hier ist die zweite Ableitung positiv die Ableitung wird größer sie ist das Negative nur mit der Größe das Komma man ?? nachrechnenmit der zweiten Ableitung die ?? ausgerechnet habe sechs X minus vier?? F zwei Strich von X war sechs X minus vier und jetzt setzt man diese Werte ein Gewicht den tatsächlichen Namenschreiben mal X eins X zwei dranich weiß elf Strich von X einsist gleich null somit eins bestimmtundF zweiStrich von X einsdas wird sechsmaldieser Wertsechs malzwei minus groß sieben durch vierimmer was ausgerechnetwas war das minus ein sechstel ungefähr sechsmal minus ein sechstelsind minuseins davon sich noch vier das es ganz sicher kleiner als null auch nicht so geschätzt habe bin ich mir doch sicher dass das kleiner ist als nur die zweite Ableitung kleiner als null die erste Ableitung ist nullsie habendas die Steigungfälltund an dieser Stelle X eins gleich null ist dann muss man Graf so aussehen die Steigung fällt die Steigung ist groß sie wird kleiner sie wird null bei ihr sie fällt so weiter so muss der Graf aus das wir jetzt die hinreichende Bedingung die beiden zusammen nehmendann haben sie eine hinreichende Bedingung dafür dasswir amX einsein lokalesMaximumhabenuns nicht irritieren lassen die zweite Ableitungnegativdas bringt am Anfang gut durcheinanderdie Ableitung des Positivsisnull sie ist negativ die erste Ableitungdie erste Ableitung fällt Jan sie elf Strich von X ist größer als Null gewachsen IST Beistrich von X gleich null und ISF Strich von X kleiner als null die erste Ableitung fälltvon links nach rechts positiv null negativdie zweite Ableitung ist es gefälligst negativ beim lokalen MaximumVorsichtbeim lokalen Maximum die zweite Ableitung negativ unter die entsprechende Rechnung auf der anderen Seitebei dem lokalen MinimumGewissen an der Stelle X zwei ist die erste Ableitung null und die zweiteAbleitungistgrundsätzlich wieder ein sechs mal X zwei tausend sechs mal zwei Plus Wurzel siebenDrittelminus vierProzent sieben beeinflussbar zweieinhalb?? steht was von wegen vier ein halb durch drei ist mehr als einsund kann alles genau ausrechnen viereinhalbungefähr durch drei ?? auf jeden Fall mehr als eins ist keine Fragesechsmal mehr als eins ist mehr als sechs von mehr als sechs sind sie vier ab und haben garantiert etwas was größer ist als nullund damitbeides zusammengenommeneine hinreichende Bedingung dafür das X zwei lokalesMinimumistdas noch mal ein lokales Minimum ?? die Steigung ist negativ die Steigung ist nur die Steigung des positivhier ist elf Strich von X kleiner alsnull da ist Beistrich von X gleich null und hier ist Beistrich von X größer alsnull ?? lokales Minimum haben ist die erste ?? ist negativ dass sie nur dass sie positiv sie wächst die zweite Ableitung ist positivdie Ausarbeitung wächst die zweite Ableitung positivwenn man nicht Pech hat sie können täglich haben dass sie lokales Minimum so aussieht dass wir hier so partout habenoder zumindest zweiter ordnungpartoutanderen wird schwierig Komma dass es zu der Bilderbuchfallin Hamm bei jedem Bilderbuch Fall dass wir die schulmäßige Begründungwenn Sie mich fragenwürde sagen wozu das wir sind in der Lage uns das zu skizzieren und sie wissen diesem Polynom dritten Grades aussieht und sie müssen deshalb wenn sie zwei Stellen haben mit horizontaler Tangenteerst arbeiten gleich null und das Polynom von links nach rechts oben verläuft dann wissen Sie dass die linke Stelle davon an einem lokalen Maximum ist und die rechte Stelle der von einem lokalen Minimum ist da wo sie nicht weiter begründenzu müssen Beistrichsoals wäre er es so schön heißt notwendigundhinreichendzur WendestelleWendepunkteWände stellenvielleichtdoch noch malman sich das vorzustellenhatich zitiere mal irgendein Grafen ein Wendepunktist ein Punkt auf dem Graphen bei dem sich dieKrümmungumkehrtsie kommen hier aus einer Rechtskurveverzeichnet das mal in Farben an Sie kommen hier aus einer RechtskurveRechtskurve Rechtskurve sie lenken nach rechtsdenke nach rechts in den ?? nach rechts und hiergehen Sie über Linkskurvesie lenken nach links zu denken allerdings die linke nach linksdazwischendas ist ein Wendepunktjetzt geht's hier weiter ich denke wieder nach rechtsdazwischenist ein Wendepunkt hier generell zerrissen rechts tatsächlich hier wieder nach linksund hat dann endlich wieder nach rechtseine ziemlich simplehier zwischen jeweilsam Übergangin das Lenkrad geradeaus steht hier steht das Lenkrad nach rechts da steht es nach links die mit dem ?? das Lenkrad geradeaus steht das ist ein WendepunktPunkt Stelleheißt dann immer was ist das was ich in die Funktion eingesetzt habe ?? jetzt X wird das werden die Wände stellen die dazugehörigen Experte wenn jetzt die Achse lang genug wäredie Sache insgesamt Anzeichendas sind Wände stellen die X Werte dazudas ist die Idee dahinterdas heißt bitte den Grafen skizziert haben können Sie sofort sagen ohne großes Nachdenken wo Wendepunkte gefährlich sein müssen und nur wenn die Stellen gefährlich sein müssen aber eben auch Kommadie Rechnung ist interessanterweise ganz ähnlich wie bei den lokalen maximal lokal minimal nur eine Ableitung weiter an die zweite Ableitung sagt Ihnen ja hier was zur Krümmungist ihr Graph nach RechtsgekrümmtKulisse Graf nach Linksgekrümmtin der Graf nach Rechtsgekrümmtistsinkt die erste Ableitung gucken sich das anders istals Ableitung gesinnter steil werden flacherJammer zu warnen lokalesMaximumin die?? der Graf nach Rechtsgekrümmtistsinkt die erste Ableitungist aus eins ein halb null minus eins die erste Ableitung singtdie erste Ableitung sind als es aber die zweite Ableitung ist negativ F zwei Strich von X ist kleiner als null?? dazu noch Rechtskurvejährlich eine Linkskurvedie erste Ableitungist vielleicht minus eins Tennessee minus ein halb ?? wird sieben null dann wird sie plus eins die erste Ableitung steigtin der Linkskurve sie wird größerder Graf biegt sich nach oben die erste Ableitung steigtErstableitung steigt seine zweite Ableitung ist positivBeistrich von X bis größer als null und dazwischen Hammer natürlich dann F zwei Strich von X ist gleich null das macht den Wendepunkt aus die zweite Ableitung muss Null sein wenn die FunktionKlammer zu zu leiten ist die zweite Ableitung muss Null sein anwende Punkt an der Wendestellees kann ihn passierendas die zweite Ableitung null wird sie haben keinen Wendepunkt im keinen Übergang von Rechtskurve Linkskurve oder umgekehrtdas es ähnlich wie mit Schirm X hoch dreinach lokal maximal lokal minimal suchen dieerste Ableitung ist nur lautes trotzen der lokales Maximum lokales Minimum etwas ähnliches kann ihn bei den WendepunktenWendestellen passierenkann sein dass sie aus einer Rechtskurve kommendie zweite Ableitung null wird uns in der Rechtskurve weitermachendas gemein?? die passieren Tifosi kommen aus der Rechtskurveganz ganz flach nur noch die Kurve sie fahren praktisch geradeausund dann entscheidet sich das Lenkrad doch wieder nach rechts zu drehen kann im passieren ungeschicktalso was man achten muss ist das die zweite Ableitung ein null Durchgang hat das ist das offizielle Kriterium eigentlichSchule wahrscheinlich nicht vorkommt ?? die zweite Ableitung soll ich nur null seine zweite Ableitung soll ein null Durchgang haben die soll von Minus nach Plus gehen die zweite Ableitung oder von Plus nach Minus geheneilig sollte man sich nicht nur den Wert hier an dieser einen Stelle angucken dass es also machen wir Suche nach Nullstelle zweiten Ableitungund schulmäßigKomma nicht nach NulldurchgängenKomma gleich auch machen sondern wir gucken und nach der dritten Ableitung ist die dritte Ableitung nicht null die dritte Ableitung nicht null ist Beistrich okay es muss weitergehen in dieselbe Richtungalsoich suche einen Gartenverwenden Stelleder weiß wie es kommen nur die X infrage für die die zweite Ableitung gleich null isteine notwendigeBedingung kann ich sicher sein dass ich deine Wendestelle habeaber ohne das wird es nicht gehenund zwar so analog wie eben bei den lokalen maximal lokalen Mini immerwas bedeutet das nun nicht die erste Ableitung soll unter anderem die zweite soll Null sein sechs X minus vier soll Null seinSinnesmusicalgeschrieben ?? null ist gleichSolis schreiben soll F zwei Strich von X ist sechs X minus vier und das ist genau dann der Fall wenn sechs X gleich vier istsieda ist gleich zwei und das ist genau dann der Fall wenn extra zwei Drittel istalso an der Stelle zwei Drittelkönnte eine Wendestelle seinkönnte sein ?? Werner schon skizziertund wir wissen das kubische Parabel macht zwei Drittelzwischen null und eins Dichter an der einst an das sieht gut ausund ?? wissen was Google reparabel macht und wieder skizziert habe ist es damit eigentlich klar aus der Skizze ist es ratsamdas ist eine Wendestellewenn sie den Wendepunkt haben wollen setzte sie zwei Drittel in die Rechenvorschriftein Fenster zuund ob dann noch mal die Begründung ohne Skizzeganz allgemein würde man gucken ob die zweite Ableitung ein null Durchgang hat sie gerade natürlich wieder Nulldurchgang was soll sie tun kann ich abwiegen?? mäßig würden Sie sagenihr Wissen die zweite Ableitung an der Stelle zwei Drittelist null und wir gucken uns die dritte Ableitung an an der Stelle zwei Drittelnoch mal abwarten ?? Java sechs raus das garantiert nicht null dritte Ableitung eine Stelle sechs was garantiert nicht alles beides zusammengenommenheißt ich habe eine WendestellegarantiertanX gleich zwei Drittel für die schulmäßige Begründungist ehrlich gesagt lieberwenn sie der Lage sind das bis zu skizzierenund sich das an der Skizze klarzumachen dass es keine andere Chance gibt