[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

23D.1 unbestimmtes und bestimmtes Integral einer stückweise definierten Funktion


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

eineStammfunktionsoll bestimmt werdenwir sagen ein unbestimmtes integralzu folgender Funktiondie Rechenvorschriftmeiner Funktion soll sein jetzt kommt eine stückweiseDefinitionX QuadratWNX kleiner ist als einsund der Sinus von X wenn X größer gleich eins istvielleicht skizzieren sie das erst mal wie sie die Funktion aus wie sollte dann eine Stammfunktiondazu aussehenzur Erinnerung weiß über den Jahreswechsel verloren gegangen ist ?? Fusion als eine Funktion deren Ableitung die gegebene Funktion ist die Ableitung rückgängig gemacht suche eine Funktion deren Ableitung dieseFunktion ist die links von der eins klein X gratisund ab der eins aufwärts Casinos von X ist skizzieren sie vielleicht erst mal die Fusion von X und dann überlegen sich müsse eine Stammfunktionaussehendann müssen Sie in der Lage sein tatsächlich alle Formeln zu schreiben für eine Stammfunktionführt?? die beidenTeilfunktionenmehr skizzieren muss Punkt sieht für das zusammenpassenkönnteYeinsy-Achseeins auf der x-Achsedas X Quadrat simpeldie übliche Parabelheißen bisschen Bauch ?? geworden aber sie wissen was ich meine das ist der dann der Sinusbei Pi drei Komma eins viermir bei Pi musste Sinus null werdendie halbe neunzig Grad wieder eins der Sinusjetzt schalte ich um die Funktion als solcheich schalte um an der Stelle ist gleich einsfür X kleiner alseins nämlich X Quadrat hier ist ist gleich minus einsminus ein halb null denn im ÜberblicksquadratX kleiner als eins bis zu eins ausschließlich der eins so das noch ausschließlich der eins nehme ich X Quadrat von links das ist der grüne Teil und ab X größer gleich eins nämlich den Sinus meiden sich hier weiter auf dem Sinus das ist der zierliche Zeitpunktan der Stelle eins bin ich auf der SinuskurveKomma mit dem Sinus weiterdas wäre der Graph einer Funktionstückweise DefinitionFußnotezum Beispiel beim Betrag von X was ist der Betrag von X dieses X wenn X größer gleich Null ist und minus X wenn X kleiner ist als null ?? mit der schrittweisen Definitionzu sagen für welche X denn welche Rechenvorschriftgelten soll hier Mittelsmann an zusammen gestricktdas man sich über die StammfunktionGedanken machen muss jetzt hätte ich gerne eine Funktionvon der der Graph der Ableitungdie rote Kurve ist diese rote Kurve besonders Ableitung rauskommensogar mit Einheiten ergangene Schaden mit Einheitenauf beiden Achsenkam es teilweise aber schon Formen geschrieben ein drittel X hoch drei minus Kosinusmuss aber alles zusammenpassenwenn ich diese quadratische Parabel integriert und damit an die quadratische Parabel integriert ein drittel X hoch dreiX hoch drei ist dabei eins gleich eins ein Drittel davonist auf der Höhe landenviel flacher sein sowasjetzt will ich mit dem Minus Kosinus weitermachennicht so ganz funktionierenwenn sie minus großes N Trinker so anKosinusin Sizilien minus Kosinus ansetzenwarum ist das komischin das erste Stammfunktion sein soll zu der roten Kurveobenwerden sie links ein Teil angeguckt eine Stammfunktion sein könnte der für den dann auch in komplexe drei Drittel neuerAnführungsstriche zudrei Drittel dann stimmt auf der linken Seite die Ableitungsideenableiten kriegen sie die grüne Kurve raus damit auch die rote Kurve links von der eins X Quadratauf der rechten Seite von der einssich genommen Y ist gleich minus Kosinusvon X wenn Sie diese Kurve ableiten minus von X kriegen sie das was wir gewollt haben den Sinus wieder raus in Rotentalbeim Theme festgestelltwenn sich jetzt für die Klippe gehenund eine Stelle eins ableiten wollenmüssten sie eigentlich müssen endlich rauskriegenKomma dass ?? sinnvoll definieren wollen würde?? wollen Sprung haben und ich mindesten endlich haben und dass es insofern keine gute Idee das möchte ich rettender Witz ist ja ich hätte nicht die zur zwei Drittel nehmen müssen nicht minus Kosinus von X nehmen müssenwelche andere Funktion hätte man nehmen können und diesen Sprung nicht zu habenzurückin erster Konstante addieren zum Beispiel auf der rechten Seite auf der linken Seite genauso der beiden passenden Konstante dir immer die rechte Seite ist es bequemer Serien genau die Höhe des Sprungals KonstanteKomma so aus dem Kosinus rausschon nicht ganz gelungenY ist gleich minus Kosinusplus eine passende Konstante so das wir keinen Sprung mehr habenwie können Sie diese Konstante ausrechnenPunktsie ?? sich auf hier das ist nicht ganz die Strecke als es mit der schlecht gezeichnete Kosinuslandet ja der minus Großtantebei null bei minus eins diese Strecke hier ist der Kosinus von eins ?? muss ich raufalso was ist die Konstantedie StreckeKosinus von eins muss ich auf und er muss sicher noch ein Drittel raufen sie eins einsetzen kriegen sie Einzug drei Drittelkursusvon eins plus ein Drittel so viel muss ich aufwelche mit der grünen Kurve weiter mache ist kein Sprung mehr drinwenn ich von der linken Seite Komma habe ich die Parabel als Ableitungvon der rechten Seite Komma habe ich die Sinuskurve als Ableitungkein Abschluss bei der Ableitung ins negative ländliche jetzt die Steigung formal minus unendlich?? Agenten gerade dranlegen würdenkein Ärger mehr ich habe einenKnick in der Funktionhier geht es etwas steiler rauf als es dann weiter geht okay so ist das und damit hätte ich jetzt eine Stammfunktionso könnte man jetzt um eine Stammfunktionhinschreibenplötzlich mal alsunbestimmtes integral zu ?? von X D Xunbestimmtes integraljetzt stückweise DefinitionX hoch dreidrittelklein X kleiner einsund jetzt nehmen wir den minusKosinusvonXlos den Kosinus von eins plus ein drittelXgrößer gleich als uns jetzt sehen sie beim integral?? größer gleich eins kleiner gleich wem ich jetzt hier das kleiner gleich größer gleich gebe ist egal kommt aber beiden der Welt ein Drittel ausGips ?? nur noch Knick kein Sprung mehr als die Stammfunktionhat nur noch knickt die Originalfunktionmitder ?? startet habe dich in die Krise die Originalfunktionhatte einen Sprungdie Stammfunktion hat ein Knick könnte der Stelle eins immer noch nicht ableiten?? zumindestriesig ein Sprung ins minus unendlich wenn sie versuchen die abzuleitenKomma ein Knick das wäre was man als Stammfunktionwird als eine mögliche Stammfunktionwas wären andere mögliche Stammfunktionals eine Möglichkeit wäre jetzt in diesem Teil untergehen zu lassen dass sie den unten einsetzenden dicken Teiloder sie addieren bei beiden irgendwaskönne hier schreibenplus zwoundvierzigumzuschreiben ?? plus zweiundvierzignehmendieseund diese und schien das ganze Zeit wird sich nach obenein konstanter dir natürlich in allen Teilen dieselbe Konstante addieren langsamer Wiedersprung drin überall dieselbe Konstante hat Leertaste und zunächst auch ?? hier angewendetminus großes X plus eine Konstanteanderer klarzumachendas unbestimmte integral die Umkehrung des von ableitenund dass das nicht eindeutigist es gibt unendlich viele Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion sie können eine beliebige Konstante addiert ist es hier machen natürlich bitte überall die Konstante hat ja nicht nur links die Konstante addieren recht sein lassen?? bestimmen mal ein integral jetzt ein bestimmtesintegralmit dieser roten Funktion dieser stückweise definiertenroten Funktionen wie sehr das nun aus versehen die man für den ich davon zu verwendenwill es anders rechnen sind jetzt wenn ich zum Beispiel integriere vonminus zwei bisplus dreidiese rote Funktion der von oben stückweise definiertwie könnte man das angehenjetzt will ich das ehrlich eine Fläche wissentlich das ist es unbestimmte integral keine Grenzen angeschrieben das unbestimmte integral so einfach nur heißen gibt mir eine Stammfunktiondas bestimmte integral mit Grenzen dann soll heißen bestimme die Flächewas wenn sie schuhmäßig machen unseren integral ausrechnenSie suchen eine Stammfunktionschreib jetzt mal ?? von X groß F von X die ?? schreiben können groß R von X Punkt die suchen eine Stammfunktionsie setzen die Obergrenzeein und ziehen davon ab was sie rauskriegen wenn sie die untere Grenze in die Stammfunktioneinsetzenalso groß F von drei schaffensdynamischedrei minusgroß Feine Stelle minus zwei das wäre was ich womöglich machen das ist der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungangewendet dann ?? sie suchen zu der Funktionunter der sie die Fläche wissen wollen suchen Sie eine Stammfunktionaber gemacht dann setzen Sie die Obergrenze die Stammfunktionein Minusund wir sind Schaffens und Einsätzenfertig das ist das integral da das bestimmte integralgehen drin für das unbestimmte integral eine Stammfunktionsie es aber noch mal gesehen so normal das egal ist jetzt bei bestimmten integral welche Konstante sie dazu nehmen ob dir zwei vierzig addieren oder nicht täten hier die zweit wird sich addiert und über die zweiundvierzig wieder abziehenKonstante fliegt raus die Stammpunktion ist um die Konstante unbestimmtplus dreizehnten zwoundvierzig was auch immer das bestimmte integral ausrechnenwarmes Blut ist die Konstante dann wieder weg durch das minusauch komisch die Fläche hier ist eindeutig bestimmt der darf nicht durch Konstante stehen bei bestimmten integraldas würde man schon mäßig machender Zimmer die Stammfunktion einfach überall rausgekriegt habendavonschon eine Stelle drei wenn ich das hier um die zwoundvierzig nehmen wie sie hier steht eine Stammfunktionan der Stelle dreies gilt der untere Teil X größer gleich einsalso nehme ich hier minus Kosinus von dreiX gleich drei Einsätzen plus Kosinusvon eins plus ein drittelSchrägstrich drei für ?? ist gleich minus zweiminusund jetzt minus zwei einsetzenminus zwei hoch drei Drittel?? minus zwei ?? zweite Sonntag offen sind minus acht minus minus acht Drittel dann bin ich jetzt also bei minus Kosinus von drei Plus Kosinus von eins plus ein drittelplus acht Drittel natürlich minus minus ?? drei sind minus acht minus minus ?? plus acht Drittel machte ?? neun Drittel sind dreidas wäre jetzt mit der Hauptsatz der Differenzial Integralrechnungdurchgerechnetich habe Stammfunktion gefundenaber nutzt jetzt die Stammfunktionund dieses bestimmte integralauszurechnenFunktion der ObergrenzeMinisterpensionan der unteren Grenzezwar viele von ihnen schon so schlau zu bemerken dass das ja alles viel zu aufwendig ist man kann es ganz anders machenodersie kriegen das selbe integralin dem sie zerlegendas es hier das nette beim integral das Additiv ist wenn ich so ?? Fläche bestimmen will welche mit Vorzeichenwenn ich ?? welche bestimmen will kann zwischendurch auch einmal trennenund sagen okay ich nehme diese Flächeund diese Fläche und addiere die beidenkönnen das integralzerstückelndas machen uns zu neunzig zerstückelte das sage ich integriere mal von zwei bis eins von X TXund dann integriere ich von eins bis dreiF von X D X genauan der Stelle an der meine beiden Funktionen zusammengeklebtsind an der Stelle Z wenn ich die Flächeund dann kriegen siefür den ersten Teileine StammfunktionX Quadrat war die Funktion von minus zwei bis eins okay X hoch drei drittel wäre ein Stammfunktionensie wollen ganz ?? Opus dreizehnter zu schreiben wo wozu macht keinen unterschied im bestimmten integralvon minus zwei bis eins und als Option für den Sinus minus Kosinus zum Beispielminus Kosinus plus dreizehn wäre eine andere?? von eins bis drei?? habe links eine Fläche ausrechnenrechts eine Fläche auszurechnenjeweils für sich damit nicht mehr besonders zusammenpassenmüssen zwei getrennt integral Ähnliches ausrechnenund nun gibt das wenn ich eins einsetzte hier Einzug drei Drittelminus ist groß die mit zwei Einsätzen minus zwei hoch dreidrittelplus drei ?? minus Kosinus einsetzenminus Kosinusdreiund dann ab zehn minusKosinus von eins also Plus Kosinus von eins wenn's das angucken hoffentlichimmer selber rausein Drittel minus minus wusste zwei ?? drei Drittelein Drittel minus minus ?? verbreiteteDentalhammerMinuskursusvon drei Mindestkurses von drei großen Vereins groß des Vereins ist dasselbeauch gegangen das ist natürlich eine viel natürlicher Eid als wenn sie stückweisedefinierte Funktionen habenund brauchen ein bestimmtesintegraldann trennen Sie einfach das bestimmte integralgenau dafür stückweise Definitionauch getrennt ist ?? an der Stelle eins Sie können auch nur offizielle Stammfunktioninsgesamt bestimmendas ist normalerweise über Gandhi ?? normalerweisewird einen die hier nicht interessieren die gesamte Stammfunktionbei Differenzialgleichungensonst normalerweise nicht wenn sie bestimmte integral haben wollen ganz einfach trennenstückweise Definition?? ?? zwei Eigenschaften des Integration ?? vorgeführtBeistrich die eine Eigenschaft ist der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnungwie können Sie ein bestimmtes integral ausrechnenSie suchen eine Funktion?? Funktionunbestimmtes integral deren Ableitungdie Funktion ist integriert werden soll und ähm dann zur Stammfunktion?? Obergrenze mindestens doppelt so ?? Untergrenzeund die andere Gesetzmäßigkeitzum integral ist das meines geometrisch addieren kann aber die Vorstellung hat von Fläche mit Vorzeichendieses integral hier das eine Fläche ist weiße Fläche zerstückeln und sagen nimm diese Fläche bis dahin und diese Flächeam Vorzeichenzusammen addiert Punkt dasselbe ergeben