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01A.2 Dimension von Kurven, Flächen; Hausdorff-Dimension; Fraktal, Koch-Kurve


CC-BY-NC-SA 3.0

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der – Dimension Begriff – was ist eigentlich Dimension – ?? bei den Vektorräumen ist das am einfachsten – ich gucke mir bei den Vektorräumen an wie groß eine Basis rein muss alle Basen haben dieselbe Anzahl – an Elementen netterweise alle Phasen desselben Vektorraums – haben dieselbe Anzahl an Elementen – ?? zwei nehmen – das als Basis – oder – das als Basis oder das als Basis – alle waren es eher zwei haben zwei Elemente – alle Basen des R drei haben drei Elemente – alle Basen von – dem wir alle Basen von diesem – unter Raum – alle Vektoren aus dem er sieben bei den Epson das Doppelte von X ist – alle Basen von diesem Raum haben sechs Elemente das – ist die Idee – der Dimension – bei den Vektoren – wie groß ist ein Vektorraum wie viel Freiheitsgrade – hat ein Vektorraum das ist eine Dimension – wenn ich – keine Vektorräume – haben sondern – auch sagen die Jahre – gebildet – die aber – keine Vektorräume sind das zum Beispiel ganz am Anfang ?? hat das hier – diese Menge das ist zwar kein Vektorraum – welche für welche Dimension würden sie der Trotzdem geben – weil das Leben ist – auf jeden Fall in Dimension zwei – Sinneswandel eben das Ding sollte – Dimension zwei haben – einen – bin ich Kurven habe – ?? eine Kurve – was für eine Dimension – sollte die Kurve haben ✂ eine Dimension ich bin gerade was überrascht mich zwei Dimensionen an Dimension – Beistrich Kurve im Raum Semikolon im Raum vor – diesem Ebene aus – Semikolon im Raum vor – Komma – raffiniert – sowas – Lesekurve im Raum vor – Punkt auch eine Dimension – eine Kurve soll eindimensional – sein – wie man das definiert am einfachsten ist folgendes – Mann Punkt sich so ein Objekt unter dem Mikroskop an – oder unter der Lupe – und unter der Lupe sehen sie – etwas das aussieht – wie ein eindimensionaler – Vektorraum – mit den Ursprung in die Mitte legen – diese unter der Lupe einen eindimensionalen – Vektor – deshalb eindimensional – das silberne Kurve im Raum – zwei sich – unter der Lupe angucken – sieht die aus – Prüfung in die Mitte legen dann sieht sie aus wie ein eindimensionaler – Vektorraum – deshalb eindimensional – was wäre zweidimensional – bei solchen gekrümmten – Objekten was ✂ das einfachste Beispiel ist eine Ball W lan gekrümmt und zweite Personal wäre die Kugeloberfläche – wie meine Kugel – so – und von der Kugeloberfläche – vorgemerkt nicht das Volumen sondern nur die Oberfläche – wie die Erdoberfläche – das sollte zweidimensional – sein denn – wenn ich da – mein – Vergrößerungsglas – drauf halte – Punkt mir das an – sieht das aus – wie ein zwei dimensionaler Vektor – genau genährte Ebene – das unter der Lupe zweidimensional – auf das mathematisch – korrekt ?? zu schreiben – Begriff ist dann Mannigfaltigkeit – unter Mannigfaltigkeit – müssen diese heftig auch von der Idee her ist schon wichtig – Punkt das ist ein zweidimensionales – Objekt – weil es – unter der Lupe aussieht wie eine Ebene – zweidimensionaler – Vektorraum – den – Ursprung genau ermittelt unter dem oder der andere das andere Beispiel das gefällt mir ein Schalen – nun – entscheidend es ist natürlich auch sehr schön zweidimensional – wenn ich ignoriere – das selbige hat – beziehungsweise – wenn ich den genau motivieren müssen sicher sogar – sagen ?? werde es eine dreidimensionale – ?? besteht ja aus Garn was zusammengesponnen – ist als wenn sie das ignorieren wenn sie nur soweit modellieren ist das einfach – eine unendlich dünne Stückfläche – ist was sich die Gegend schwingt diesen Fahnen – dann können Sie sagen okay das sieht zweidimensional – aus ?? mit der Lupe drauf gucke – habe ich praktisch eine eben aus der Sicht der Ameise – gibt es zwischen diesem Modell haften Schal und eine Ebene keinen Unterschied genauso bei der Erde – wem – darf ich die Erde schon keine Furchen machen bekannte Führung – an – wenn es wirklich eine Ebene aussehen soll für die Ameisenmuster – sehr in die Tiefe gehen – mathematische Modelle – als gekrümmte Flächen – konnte Flächen – zweidimensional – und die einzelne Punkte haben – das sinnvollerweise – wie vieldimensional ✂ ?? null dimensional – die – die weggewischt – die Kurven eindimensional – die Flächen zwei dimensional – Punkte null dimensional – Anteil an null dimensionalen Vektorraum bauen ✂ was wäre ein multimedialer – Weg darunter verblüffenderweise – nur einen – ein nur die Personalerweiterungen – was kann sie machen – ?? – null dimensional Weltraum hat in der Tat nur den Nullvektor also der Vektorraum als solcher wäre nur der Nullvektor – und die Basis hat nur Elemente – bei den Nullvektor aus – ?? Vektoren bilden können – und sich gar nicht ein Vektor anzugehen – das es gibt auch ein null dimensionalen Vektorraum ist nicht so sehr – hilfreich – als solcher aber macht das ganze komplett – einzelne Punkte – nur die Personalräte hat ?? ein Punkt den Nullvektor – einzelne Punkte sind – nur dimensional – deutlich zur – Wiederholung von Rhythmus – und Potenzen – Komma was ganz gewagtes bringen ist gibt Mengen – an denen man eigentlich sagen sollte Sie sind nicht eindimensional – sie sind nicht zweidimensional – sondern was dazwischen – oder sinnlich zweidimensionalen – nicht dreidimensional – was dazwischen – in irgendeiner Weise ausgeschmiert – Fraktale heißen gerne Weise gebrochen seine Dimensionen haben verkettete Menschen zu Fraktale – Wochen sei Dimension – nun – muss mal einen an und rechnete Dimension aus – muss es erzählen wie man denn auf solche Dimensionen Punkt das Erweiterung von Vektorräumen – wegräumen haben immer – ?? Dimension zwei drei achtundneunzig – und nicht – drei Komma sieben fünf oder was – ?? noch meinem Dimensionsbegriff – klarzumachen – und das vorstellen ?? es nennt sich die Hausdorf – Dimension – Store Gutmenschen – mit Sockel F – an – dieser Begriff als solcher den können Sie auch sofort wieder vergessen aber es kommt gleich ?? Logarithmus und Potenzen vor und Grenzwerten – ähm – was mir sehr wichtig ist dass sie das dann auch weiterhin können auch als im letzten Semester dran war – und zwar – der – gute Herr Hausdorf hatte folgende Ideen – wenn ich – so eine geometrische Menge haben – und ich überdeckte diese geometrische – Menge – mit Flügeln – zähle ich doch einfach mal welche Kugeln ich brauche – und hab hoffentlich was über die Dimension – ?? wenn sie den Schal von ihm haben – gewonnene Schale – in den Schall haben – brauchen sie irgendwie – gefühlt mehr Kugeln – um das ganze Ding – zu überdecken – mit Google – als wenn Sinne Kurve haben dieses mehr – Besucher dieses mehr an Kugelschalen – mehr braucht als die – Kurve – das versuchen in Formeln zu fassen als mich interessiert – waren – folgendes ich habe – alle Kugeln – mit Radius – R – und ich brauche ähm von RA Kugeln – zur Überdeckung – der zu kleine Glaskugel Vorwissen müssen sie – auf die Kurve auf Fäden wie viel müssen sie auf die geben auf welcher – Ebene was aus auf zu fällen gedacht – das so entfernt er sein abhängig vom Radius – der Gedanke ist an diesen Rades immer kleiner zu machen und sich anzugucken was mit dieser Anzahl an Kugeln – passiert die sie brauchen – um das gesamte – Objekt – abzudecken – Punkt – das Netz entschlossen Radius gegen Null gehen und versuchen dann irgendwie aus diesem Grenzwert raus zu disziplinieren – sich schöne zweidimensionales – Objekt – mehr brauche als wenn ein dimensionales – Objekt für dreidimensionales – Objekt – noch mal mehr brauche – als für ein zwei dimensionales Objekt und damit kann man ?? lustigerweise – hinkriegen – es noch gebrochen seine Dimensionen – das nachher irgendwas drei Komma sieben neun Dimension – nicht genau drei – oder genau viel zu – gucken uns das mal vielleicht für die – Kurve zuerst – an was passiert bei der Kurve wenn sie diesen Radius – immer kleiner werden lassen was passiert mit der Anzahl der Kugeln sie brauchen – was passiert wenn sie den Radius halbieren – was passiert dann mit der Anzahl der Kugeln – bei der – genau doppelt so viele – das Heißwasserrichter – eigentlich als Proportionalität – die Anzahl der Kugeln – ist also proportional – wozu – zum Kehrwert also zu eher hoch minus eins – wenn ich den Radius – von Doppler – dann brauche ich nur halb so viel Kugeln – wenn ich den Radius halbieren die Kugeln kleiner mache auch doppelt so viele Kugeln – das es indirekt proportional – nicht hundertprozentig – mündlich angeblichen Kreuzungspunkt noch nachdenken was auch immer besser vom Prinzip her – so wird es vom Prinzip her aussehen – wenn sie den Radius – halbieren – vierten achter dann wird die Anzahl – doppelt vierfach acht wach werden im Prinzip – was passiert bei meiner – bei meinen Schal hier mit der Anzahl der Kugeln was passiert da mit der Anzahl der Kugeln – wenn sie den Radius halbieren – Schalen – den Radius halbieren – Punkt nicht doppelt so viel Kugeln für den Schaden der Firma sowie die brauchen doppelt so viel in der Länge – und doppelt so viel in der Breite viermal soviel – also das heißt es wird dann sein proportional – zu der hoch minus zwei – ?? Radius – halbieren – als die Anzahl vervierfachen – Pi mal Daumen im Grenzwert – ?? null und so weiter – mit einer möglichen Fusion und beim Volumen wird es natürlich auch minus drei sein Länge Breite Höhe – fliegen jeweils den Faktor – ?? – das war der kluge Gedanke von Herrn Hausdorf ruhig kann es jedoch ablesen die Original Formulierung dann von Herrn Auster für das mathematisch aussieht ist pervers das das versteht man am besten willen nicht an – Gedanken kann man relativ schnell nachvollziehen – die Anzahl der Kugeln ist bei einem eindimensionalen – Objekt sowas wie Radius hoch minus eins mal zementiert konstanten und zweidimensionalen – Sektors gerade so minus zwei – Mal vorzeitig das ?? beim drei ?? mit ?? Objekt sowas wie ?? so minus drei – an – das Glück schon jetzt um zu definieren – also definiere – diese Dimension – denen sich dann die Hausdorf Dimension – wie gesagt ?? offizielle Definition dafür sieht haarsträubend aus – aber das ist Ideen – wie definiere – ich meine Dimension – ?? – ich muss jetzt irgendwie da die zwei raus disziplinieren – und ich muss irgendwie hier die eins aus disziplinieren – da für mich eine allgemeine Formel das schafft – aus eher hoch minus eine Zahl – genau diese Zahl – heraus zu disziplinieren – was rechnen sie mit N von R – um Daten zwei rauszukriegen – und so weiter – sondern meine kleine Wiederholung zu – Spezialfunktionen – und Operatorenpotenzen – sehr schön Logarithmus zur Basis per – Rhythmus zur Basis eher von entfernt er – wenn sie das hier bilden bei ?? auch minus zwei was kommt dann aus Logarithmus zur Basis eher von N von ?? heraus – wie das bei dem wilden – Rhythmus sagt ihnen womit sie eher potenzieren – müssen und ein von R rauszukriegen – müssen er mit minus zwei produzieren – die Pufferzone der Versand ?? mag jeder minus zwei raus ich bin aber zwei haben deshalb minus davor und damit das ?? Schwert ein Grenzwert – immer kleinere Radien – aus ?? guckt sich diese Zahl an – Kugeln an die man braucht abhängig vom Radius – des Rades immer kleiner werden und dann minus den Logarithmus davon ?? es gibt lustigerweise – die Dimension – für diese üblichen Objekte gibt das die Dimensionen – die man dafür auch haben will der Scheibe zweidimensional – und die Kurve wird eindimensional – ähm Dinge Komma ✂ noch – anders hinschreiben – der Logarithmus – zur Basis eher aus N von er – geht teilweise gibt's dann noch Erinnerungsvermögen – an das Wagnis für den Bruch sind nie irgendein Logarithmus – ich hab es aber nur locken in irgend ein Logarithmus von N von Herrn teilen durch denselben logarithmusselbe – Basis schafft nur noch – von mehr – als ?? die Zehnerlogarithmus – von N durch den Zehnerlogarithmus – von Herrn so ging das mit den lockeren zu einer beliebigen Basis – das ist die – übliche Faustformel – für die Hausdorf Dimension – und das lustige ist hier muss jetzt nicht ganz fertig mehr rauskommen wenn sie Männerkurve anfangen und Schal anfangen – Vollwürfel – Vollkugel – anfangen – ?? sie ganze Zahlen raus – wenn sie mit – komischen Objekten sogenannten fatalen anfangen kriegen Sie hier krumme Zahlen aus – zwei Minuten – das verfeinert schnell alleine – das tatsächlich krumme Zahlen kommen können – ähm – das einfachste fatal – ist wahrscheinlich die sogenannte Kochkurve – wie finden Sie – in Wikipedia – als – lauffähig – aus guten Grund – das ist eine Kurve – die so verkrüppelt – ist – das man eigentlich nicht mehr ernsthaft die Dimension eins geben kann sondern schon bisschen mehr geben muss – und zwar – so zu konstruieren – ich fange an mit einem Dreieck vergisst man einfach als erwartete Seitenlänge einzig fange an mit einunddreißig – unternehme ich aus jeder Seite – das mittlere Drittel raus – und konstruiere darüber – Bedingungen konstruiere – stattdessen – zu einer Ausbeutung – hier gesammelt also ein Drittel ein Drittel zur Seite ein Drittel zurück da oben ein Drittel derselben hier ein Drittel – auf der Mitte der Seite gezogene Ausbeutung – und dasselbe mache ich hier – nur besonderen – Stimmung sie an etwas ?? besonders die Software des englischen – Schneeflockeneiskristall – das macht mir immer weiter – nehme jede Seite – und – Beule das mittlere Drittel aus – muss sie nicht ausführen sie an wie das weitergeht unternehme ich jede Seite – und Beule das mittlere Drittel aus und so weiter und so weiter das jetzt ziemlich kümmerlich – an – das bleibt unter dem Mikroskop klingelt man sagt das macht man jetzt bis ins unendliche – das ganze bleibt mathematischer Satz eine Kurve – aber diese Kurve ist – schon – so – gar – nicht mit einer Begriff eine so glücklich dass man ihr gerne eine Person gibt die nicht einzig sondern mehr als das – waren – zwei Minuten noch nachrechnen – wenn ich nämlich – folgendes – angucke – für ähm gleich Null habe ich das originale Dreieck – noch nicht unterteilt für einen gleich eins – habe ich diese ersten totalen Kriege ein Sechseck für in gleich drei – der vielleicht zwei sind diese grünen Zackenfan – leicht drei – wird es noch feiner und so weiter – ist mal jeweils ausrechnen – wie viel Teilstücke ich habe – und wie groß diese Teilstücke sind – Komma einfachsten ist zu sagen – wie groß diese Teilstücke sind abhängig von ?? ähm – wenn N gleich null ist – an die Teilstücke die Größe eins – was passiert in jedem Schritt – solcher Mängel in der Teilstücke – was passiert in jedem Schritt – mit der Länge der Teilstücke – unnahbar – Teilstücke werden gewickelt ich nehme die Seite teile sie in drei – und setze wieder Drittel da drauf und dann beim nächsten Mal nehme ich die Seite teils in drei Stücke jedes Mal – wird die Drittel – beim ersten Mal – ist die Länge eins – was für eine Formel brauche ich irgendwas – mit N – es startet mit eins wenn in gleich Null ist und wir den jedes Mal die Drittels ✂ potentieller Zerfall ein Drittel ?? ähm – das ist die Länge der Teilstücke – wenn sie einen gleich Null setzen ein Loch null eins – bei jedem Mal wird es ein Drittel von dem unrühmlichen wertkonforme – Länge der Teilstücke so sagen wie viele sind – Zahl der Teilstücke – ich starte mit dreien – von dem Dreieck – was passiert mit der Anzahl der Teilstücke ✂ an muss natürlich noch hingucken im ersten Schritt habe ich drei – und dann wird vervierfacht – wenn ähm eine Seite kriegen eins – zwei drei vier Stücke für die eine Seite in jedem Schritt wird die Zahl – vervierfacht – und jetzt brauche ich eine Funktion – die mit drei startet und in jedem Schritt vervierfacht wird – Formel ✂ war dreimal – einmal vier Wochenenden – in gleich null ist es drei – und jedes Mal mit dem Faktor vier größer – und verwirrt man das ganze miteinander – zur Faustformel – Beistrich die Hausdorf Dimension – Punkt Faustformel – nicht offiziell als rechnerische Faustformel funktioniert typischerweise – in – einigen der Siedler mit Kugeln die immer kleiner werden – der Tag ist naja ich nehme es einfach googeln die gerade zufällig – so groß sind wie die ?? der Teilstücke – ist – und dementsprechend viel Teilstücke wenn ich ganz kleine Kugeln habe muss ich eben auch entsprechend kleine Teilstücke nehmen also statt dass ich den Radius der Kugelkreis – immer kleiner werden lassen – lass es einfach hier Integrationsschritt – immer weiter ich guck immer mehr ins Detail – nun – die Anzahl der Teilstücke habe ich schon das ist dann auch die Anzahl der Kugeln bin ich jeweils – Google Übersetzer – auch jetzt noch den Durchmesser – der Kugel – die Länge der Teilstücke ?? die ganze Zeit mit dem Radius gerechnet – ähm – Beistrich brauchen – Radius – ist natürlich nur halb groß einhalb mal ein Drittel Punkt ähm – nun kommt die Hausdorf Dimension das soll sein minus der Grenzwert – jetzt entgegen endlich – ist der Radius gegen Null – sondern automatisch – dann Ebenrades – gegen null wenn N gegen unendlich geht und was steht hier – die Anzahl – im Logarithmus – durch den Radius im Logarithmus – die Anzahl – drei mal vier Wochen davon der Logarithmus – irgendeiner – drei mal vier ähm – und ich teile durch den Logarithmus – vom Radius – ein halb mal – sind – ?? für dich – nur noch ein paar Logarithmengesetze – ?? mit dem oberen Logarithmusrhythmus – eines Produkts ✂ genau Logarithmus – von drei ?? plus – den Logarithmus – von – vier hoch ähm und unten dasselbe – Logarithmus – von – ein Halbrückens – von ein halb plus den Rhythmus von – über denselben Rhythmus welche noch immer – ein Drittel – ähm – Komma weil es noch so Rhythmus von vier hoch in ✂ den Rhythmus macht Potenzen zu vielfachen – Sen kommt nach vorn als Faktor – hier steht also – der Logarithmus von drei Schluss ähm mal der Logarithmus von vier und unten steht der Logarithmus – von – ein halbes minus Logos von zwei Solinger Regal – plus das ähm kommt nach vorne mal den Logarithmus – von ein Drittel – was ist der Rhythmus von ein drittel – richtig minus – drei Beistrich also minus einmal den – Logarithmus von drei – ?? mich interessiert der Grenzwert N gegen unendlich – entgegen und nennt sich Fachhandels noch von der Klausur behalten was machen Sie jetzt für den Grenzwert entgegen endlich ✂ Hilfe in dem endlich explodieren – Zähler und Nenner aber wenn ich ähm – raus ziehen beide durch Entteile – ist die Welt in Ordnung versteht Logarithmus – drei durch N plus Logarithmus – vier – durch – Logarithmus – halb – durch ähm minus – minus – Logarithmus drei – davon interessiert mich der Grenzwert – N gegen unendlich – dass sich draußen Grenzwert – durchstreichen soll Deutschland – null – eine konstante Zahl durch – N – geht gegen Null eine Konstante zeitlich ähm geht gegen Null sehen was übrig bleibt – ?? drittens vier durch minus Logarithmus drei – Gefahrenstellen und Minuszeichen – ganz zu Beginn – also ist der – Grenzwert insgesamt – minus hiervon – ?? Hervorlogarithmus – vier – durch Logarithmus drei ist das Ergebnis – eine krumme Zahl – nachgeguckt eins Komma zwei sechs irgendwas – also Hausdorf würde sagen – diese komische Kurve diese Schneeglocke – hat nicht die Dimension eins auf einzelne Probe genannt wird sondern eigentlich sollten wir sagen dieses Ding ?? Dimension eins Komma zwei sechs nochmals – vorgemerkt – Vektorräumen gibt es nur ganze Dimension das es hier nur noch meine Vertiefung zum Dimensionsbegriff – den Begriff Hausdorf die Resonanz auf wieder vergessen aber das Rechnen mit Logarithmen und Potenzen das Ganze nicht vergessen