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14B.2 Wozu Partialbruchzerlegung; Herleitung Partialbruchzerlegung


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ichsah Komma war grundsätzliche Sachen sagenwozu Partialbrüchewarum brauche ich hier diesen B durch X minus dreials Begleiterfürdiese Polstelle zweiter OrdnunganVerkehrs noch mal prinzipiellwozu brauche ich PolynomenKomma noch ein Schritt weiter vorne anwozu Polynomvor allen Dingen umnähere Aromen herzustellensie haben Messwertegegebenwie liegt eine hübsche Kurve ?? Messwerte durch?? schon vorgeführtähm I hoch X gerechnet ihre Mix aus mit einem Polynom eins plus X plus X vertrat halbePlus und so weiterdie meisten der Funktionen offen Taschenrechner und vom Computer die meiste StandardfunktionSinusrahmenund ähnliche Geschichtensind mit Polynom ausgedrücktes wird lediglich der Sinus aus ?? und es wird eine Nehrung mit einem Polynom gemachtund nur ganz ?? nur von Ehrungendurch Messwerte benutzen sondern eben auch für Niederungenvon mathematischen Funktionen benutzenso kommen hauptsächlich Polynom vorzum näher an rationale Funktionen sind ganz andere Geschichterationale Funktionensind erst mal so ähnlich aus Polynom durch Polynomman kann die Verlängerung benutzen das kommt natürlich vor?? ist aberin den Ingenieurwissenschaftennicht so spannenddas spannende bei rationalen Funktion des ?? hatte ich das in den alten Videos vorgeführten der Fetttransformationsspannebei rationalen Funktionen ist das man damit Systeme mit Rückkopplung beschreiben kannsichdie Regeln irgendein System und aus dem System kommt ein Feedback zurückum das zu beschreibenauf abstrakte Artbenutzt man lustigerweiserationale Funktion das hatte ichvorgeführt mit der Zeit Transformationimmer solche System beschreiben kann und dass man da tatsächlich dann auf rationale Funktion kommt das es raffiniert das kommt irgendwo in der Regelungstechnik ganz ganz spät drandas kommt bei Signalverarbeitungdran ansonstenbrauch von dem wahren Leben rationale Funktion eher seltentypischerweisenur bei System mit Rückkopplungso und jetzt dann warum Partialbruchzerlegungdie haarsträubende Begründung vom Partialbruchzerlegungbrauche ist umrationale Funktionen zu integrierendessen rationale Funktionenso schreiben können als Sammel ?? vier durch X plus zweiminusdrei durch X minus vier ins Quadrat und so weitermessen rationale Funktion so ausbuchstabierenkönnenkönnen sie relativ leicht das integral ausrechnen weil diese Funktioneneinfach zu integrieren sind nurder dir bitte das integral einer rationalen Funktion desinteressiert eigentlich keinenHerrn spannend ist die Partialbruchzerlegungauch wiederin diesem Fall Systeme mit Rückkopplungdiese Partialbrüchesagen Ihnen welche Probleme sie mitSchwingungen habenPartialbrüche stehen im allgemeinen für irgendwelche Schwingverhaltendas wird spannend oder zumindest wichtige Anteilein diesem Systemdie man auseinandernehmenkanngetrennt für sich betrachten kann dafür brauchen nach ?? Partialbruchzerlegunginsbesondere bei der Glastransformationhelfen an die partialhierähmAnteile des Systems auseinanderzunehmenso dazu Partialbrüchesie sehen die brauchen relativ spät erstsoll das Studium ist leider so aufgebaut in Deutschland und nicht nur Deutschlandsdas leider irgendwiedie rationalen Funktionen ganz zu Beginn kommen und die partial Wurzel im ?? zu Beginn kommt auch immer dem Ende erst brauchtso ist dasganze leider nicht ändernähmund dann war noch die Fragewieso kommt hierbei derPolstelle zweiter Ordnunggerne hier noch dieser Termmitobwohl er eigentlich nicht so plausibel aussiehtKomma zurück wieder indie Partialbruchzerlegungentstehtwenn sie so eine Funktionhaben irgend ein F von X was auch immer das sein magdurch?? minus drei in die fünfte Potenzmarkevon Xund G von X soll keine NullstelleBeistrich drei habendas Wesen abstrakte Fassungvon einer rationalen Funktionmit einer Polstellefünfter Ordnung an der Stelle X gleich dreihier steht irgendwie ein Kramim Zählerunten im Nenner steht irgendwie will der Kramaber ich kann X minus drei ?? fünf abspaltenim Nennerund dieses je was übrig bleibt das soll nicht null werden an der StelleX gleich drei es soll wirklich eine Polstelle fünfter Ordnung seit ich müsse dazu eine sagen dass er von X auch nicht nur wird aber dass es gar nicht Bandinteressiert mich gar nicht für das was ihr folgtam?? angenommen ich habe so einen Ausdruckfür einenganz abstrakt geschrieben rationale Funktion zum Beispielwas da noch mal angucken warum das klappt'smit der PartialbruchzerlegungähmKette erst mal abwie schlimmdiese Polstelle wirdnach meinemnach meinemamEnde weder dem Verfahren von Ebenenwas greife ich mir aus diesem Ausdruck rauswie schlimm wird diese Polstellederer von drei durch G von drei wie schlimm wir diese Polstellewie schlimm wir diese Polstelledas sollte daraus aus buchstabiert werdenwie gesagtwenn er von drei gleich null istes ein bisschen vorsichtiger sein?? für das folgende aberkeine große Bewandtnisso schlimm wird das werden aber das natürlich jetzt nicht gleich ich hab nur das Schlimmste herausgepicktan dieser Stellewird uns in üblicher mathematischer Trickmannschreibt jetzt was hin und wieder richtig zu machenallgemeine Originalfunktionhin und ziehe das ganz dreist ab dann ist ja alles wieder richtig?? dreiWetter wichtigste Gleichung und wenn sie fragen jaalles viel schlimmer geworden als vorherich schreibe das hin was ich haben willaber das kann ich allein hinschreiben das wir falsch in gleicher Zeichenerstmals wieder richtig ich schreibe das in Wasservorstandund ziehe das abwas ich eben geschrieben habe der ?? und der die heben sicher weg und es bleibt das stehenwas wurde da gestanden hathabe ich die Gleichung eine sehr aufwändige Gleichungnur das ich hier hinten die beidenmal ganz dreist zusammenfassenkannman ?? das war geradenoch mal um sich das klarzumachen was hier passiertfassen sie die beiden mal auf einen Bruchstrich zusammenund überlegen Sie sich Baumann das vereinfachenkönnen muss was man dann kriegt man die beiden auf Einbruch Strichpunktich schreib das Malstückchenanders auf als in denalten Videos weil einige das jetzt auchanders aufgeschrieben habenwas weiß sogareinfacher zu verstehen ist also erst mein Hauptnennerbesuchen alle Faktoren zusammenjeden einmalX minus drei auf fünf brauche ich offensichtlichdie von X brauche offensichtlichund?? vertreibedas ganzeauch nochmit in den Nenner nehmen es in den alten Videos andersLeerzeichen Hauptnennersoden ersten Bruch erweitere ich mitG von drei hier steht also eher von Xmal G vondreiden zweiten Bruch erweitere ich mit G von X also minuself von dreimal die von Xso weit so gutund jetzt kommt der Kunstgriffbisher habe ich nur komisch umgeformt total schräg umgeformthier die Polstelleabgespaltenund ihren total schrägen Ausdruck erzeugt jetzt kommt der Kunstgriffdas sich kürzen kann ?? ich kann nicht hinschreibenwas das Ergebnis ist aber ich weiß das ich kürzen kann hier warum weiß ich das ich kürzen kannwas lustiges jetzt wenn ich X gleich drei Einsätze?? sichder Zähler wird null F von dreiLIEFERN dreipresse von drei G von dreianPunkt neunzehn Zähler anF von X mal je von drei minus elf von drei mal G von Xder Zähler wird nullfür X gleich dreiwenn ich mit einer rationalen Funktion ihr gestartet habe F ein PolynomG ein Polynomist der Zähler hier auch ein Polynomein Polynom mal eine Zahlfunktionswertvon G minus eine Zahl malein Polynom das ist ein Polynomein Polynomverfallen eben das ist ein Polynomein Polynom von dem ich weißdass es an der Stelle dreinull wirdwie können ?? Polynomimmer schreibengenau das vergrätzt die Theorie der Polynomdivisionwenn ich eine Nullstelle habe weiß ich dieses Polynom was da stehtkann ich schreiben als X minus dreidie Nullstelle abspaltenmal ein anderes Polynomdas ist der Knackpunkt bei der Polynomdivisionich baue mir etwasein Polynommit einer Nullstellebei X gleich drei an diesem Fallmit einer Nullstelle da wo die Polstelleso ein Polynom baue ich mir dann weiß ich das ich das er abspalten kleines X minus drei ähnliche oben abspalten?? steht eigentlichalles anders haben wollen hier steht eigentlichX minus drei malirgendwasein Polynomdas weiß ich dies irgendwas kann ich jetzt nicht auf Anhieb hinschreiben ich weiß aber es gibt sowas ich müsse Polynomdivisionausreichend für die Nervenmich interessiert nur das ich ausrechnen könnte?? es gibt so einsund was passiert nunja jetzt kann man kürzendieses X minus drei können Sie gegeneinen von den fünf Faktoren der unten kürzen und sie haben nun eine Polstellevierter Ordnung maximaldas ist derKnackpunkthinter den Kulissen ??ich schaffe es die Polstelle fünfter Ordnung abzuschaltenund dann kriege ich etwasvon dem ich weiß das ich vereinfachen kann ich weiß nicht was das Ergebnis ist dazu müsste man Polynomdivisionmachen ich weiß aber dass es vereinfachen kann ?? es wird nur noch maximal eine Polstellevierter Ordnung habenjetzt sehen Sie wie dashier oben mit dem Bild zustande kommtwenn das offiziell herleitenwürde macht kein Mensch stand damals auferstandene?? herleiten würde ich für diese Polstelle zweiter Ordnung abspaltenund ich hätte waswastypischerweiseeine Polstelle noch erster Ordnung hat ich kriege typischerweiseso einen deres ist die Polstelle nicht ganz weg ist nur eine Ordnung kleine Arbeiten verfahrenals es kannund wird typischerweisenoch soll Anteil mit sowieso hoch vier auftretenund dann kann ich den Anteil abspalten kriege ein mit hoch dreiund ?? weil ich ab und kriege einen hoch zwei und so weiter und so weiterbis die Polstelle zum Schluss wirklich komplett abgespaltensobald sie in der Originalfunktioneine Polstelle fünfter Ordnung habenwenn sie Partialbrüchehabensowiesofünfter Ordnung typischerweiseaber auch vierte dritte zwote erster Ordnung mit dabeidie gibt's dannautomatisch mit der Polstelle fünfter Ordnung bei der Prozessor deutlich verringert das um eins auf vier Punktdann wird hier irgendwas übrig bleiben mit hoch vier und so weiterund so weiterdas passiert hinter den Kulissenman schreibt es nicht mehr hin man weiß einfach was passiertPolstelle erster Ordnungso ein Ausdruck Polstelle zweiter Ordnung so ein Ausdruck aber typischerweiseauchso ein Ausdruck ?? weiß einer was passiert und eines rezeptartighinschreibenund überlegt sich das nicht hiertätig sein zu Fuß dann im wahren Leben was da passieren musssondern man hat sofort ??Schablonedie man anwenden kann