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22E.4 quadratische Näherung einer Funktion zweier Veränderlicher; Beispiel 1,02 hoch 3,04


CC-BY-NC-SA 3.0

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die – quadratische Nehrung erst mal in einer Dimension dann in zwei Dimensionen – in einer Dimension – eine Funktion einer veränderlichen – ?? können Sie sagen die Funktion an der Stelle X – das ist die Funktion an einer anderen Stelle X null plus und so weiter – was weiterhin für die quadratische Nehrung zur Erinnerung ✂ ?? also der Wert an der Stelle X null und jetzt geh ich den ja weiter was ist die Ableitung – an der Stelle X nun mal – wie weit gehe ich raus aus der Stelle X nur das wir jetzt zusammengenommen ?? Ernährung – und – quadratischen Ter also offensichtlich was mit X minus X null ins Quadrat – die zweite Ableitung – wie gekrümmt ist meine Funktion an der Stelle X null und dann zum allgemeinen Ärger noch ein halb irgendwohin – sich noch erinnern – und dieses ein halb ?? kam ✂ wie – so schön sagen die Funktion recht zu die Fusion Links sollen möglichst vielen Charakteristika – übereinstimme – nämlich – im Funktionswert – wenn sie X null einsetzen – und derselbe Funktionswert raus konnte nämlich nur raus kommt auch noch aus Skonto Original Funktionsvorrat – wenn sie einmal ableiten auch das soll Stimmen an der Stelle X null ableiten links arbeiten Rechtsanwalt Nixon einsetzen soll dasselbe sein – Sinn ableiten Punkt null raus – wenn sie den ?? ableiten – fällt der Weg der Städte die Ableitung an der Stelle X null bis die hinten ableiten wegen des Quadrat – fällte auch weg die Ableitung an der Stelle X null stimmt wenn sie links und rechts ableiten eine Stelle X null ist das selbe raus ein zweites Charakteristikum – das stimmt links und rechts – das dritte was dem soll es die zweite Ableitung wenn sie links als rechts vom Plattenwechsel – einsetzen – ?? dasselbe rauskommen – den ?? bleibt es nur zweimal bleibt es erst recht null diesem hier – den ja Ter mit den zwei ?? Arbeiten – zu null zwei ?? Arbeiten interessiert nur der dritte Tag hier – einmal ableiten die zwei Kopf nach vorne und dann ist das ein Halbweg – das ist es Essig und für das ein halbeinmal – ableiten die zwei Komma vorne – weg noch ?? ableiten – ließe sich ?? sechs null Sekunde später die zweite Ableitung – aus dieser ?? kommt eigentlich sozusagen von der Probeableitung – ich leite was auf der rechten Seite steht zweimal ab in dem Zuge ist das ein halb nach – nächsten ein Sechstel Rahmen ableiten – müssen lernen und so weiter – so ich möchte also das ?? von Sohns wird die erste Ableitung und die zweite Ableitung an der Stelle X nur passen – das ist die quadratische Nehrung an der Stelle X null – sind aber inzwischen bei – Funktion mehrerer veränderlicher – Nehmer zweiveränderlicher – ?? sieht das aus die quadratische Nehrung für eine Fusion zweier veränderlicher – das es ja hoffentlich – nicht so verschieden – von dem was man in einer Dimension macht ✂ wir – haben heute den Funktionswert – an der Stelle X null Y null sich als habe die Funktion wirklich keinen Vektorfall die Funktion ist ein ganz normaler Scala – an der Stelle X Y – haben wir eine Höhe von zwanzig Meter was auch immer sein skalar diese Funktion – kein Vektor könnte das auch mit minderwertigen Funktionen machen aber es bleibt erst mal ein skalar – Plus – jetzt kommt die lineare Nehrung – die erste Ableitung wird zur partiellen Ableitung hier einmal nach links – ist positiv sein jetzt an der Stelle X null Y neulich hat das mal so ein bisschen verwirrend vielleicht – das soll heißen an der Stelle – des ?? unternehmen – also sie bilden die partielle Ableitung – und setzen dann X null Y null eins das meine ich damit – das hier so schreibe – modifizieren das mit X minus X null – dass wir das analoge jetzt für den Ausdruck – in den Jahren ein Teil – in tangentiale – soll ich sagen ?? X Richtung wie ändert sich die Funktion wenn ich in Längsrichtung weitergehen mit welcher Rate ändert sich die mal die weiblichen X Richtung – Kloster selben Y Richtung Orchester drunter Punkt Platz – acht Y partiell ableiten – an der Stelle X null Y und sie rechne partielle Ableitung aus Kriegen irgendwie was weiß ich Sinus von X Quadratsmeile – Y dann setzen Sie X und Y und ein das man damit – mal wie weit geht denn Y – von Y – das wäre der lineare Anteil – und der quadratische Anteil der wird jetzt offensichtlich fürchterlich – plus ein halb mal jetzt die zweite partielle Ableitung – fix – an der Stelle X null Y null – XXXL – ins Quadrat – X minus sechs Quadrat – soweit mag man das noch glauben ?? plus – Meyer zweimal Y ableitenden Y Y und ins Quadrat – ist auch noch logisch – null Y null an dieser Stelle mal – wie weit ich mit Y gehe ins Quadrat – plus es gibt aber auch die gemischten Ableitungen – ein halb mal – die Funktion partiell ableiten nach Y – und danach X – an der Stelle X null – Y null – mal – ?? muss offensichtlich die XXXL – mal Y – minus Y null dieser Form – denken wir netterweise zweimal denn ich kann ja noch andersrum ableiten ein halb mal partielle Ableitung erst nach X und danach Y Blablablablabla – Beistrich die Umwelt zusammenfasst statt der ein Halbkaserne – eins hinschreiben – das ist die quadratische Nehrung im zwei dimensionalen – Funktion haben von zwei veränderlichen – ?? gar nicht nachdenken wenn sie Täler verstanden haben eindimensionalen – Sklaven – zweite Missionar hinschreiben muss Merkel jetzt wieder Nachrichten – Hausaufgabe – reden sie nach der Fusion muss stimmen wenn sie X null Y null einsetzen – musste Originalfunktionswerte – rauskommen – wenn sie ableiten – nach X partiell nach Y partiell rechts wie links und X und Y einsetzen und sind vielleicht dasselbe rauskommen – wenn sie zweimal ableiten – X soll aber nach Y oder gemischt ableiten einmal wirksam Y und X und Y einsetzen muss links und rechts dasselbe rauskommen – kann man nachrechnen ist aber offensichtlich der Fall kann nichts schief gehen Sie die quadratische Nehrung in zwei Dimensionen außen Sie eines wenn sie die dritte Dimension haben das ist dann banal – X Y Z X null Y null Z null hier kommt die partielle Ableitung nach Z mal Z Bindestrich null ?? unter quadratische – Teile wird natürlich fürchterlich aber kann man sich auch überlegen was passieren muss die Karte etwas hübscher dann schreiben Sie diese quadratische Nehrung über etwas schreiben – das ist der Funktionswert – an der Stelle X null Y null – plus – was steht hier eigentlich – für den Jahren Anteil können Sie das mit Vektoren hübscher schreiben ✂ und – das beispielsweise sowas hätten nun zwei – mal X plus drei mal Y wickeln sie das mit Vektoren – kompakter schreiben ✂ somit – den Skalarprodukt – der Vektor zwei drei mal den Vektor X Y – das hier schreit nach dem Skalarprodukt – Sinne mit der Gradientskala – modifiziert – mit dem Vektor der sagt wie weit ich aus meiner Original Stelle mit dem Index nur herausgehen – das steht da dieser Teil hier ist der Gradient – partielle Ableitung nach X – an der Stelle X null Y null partielle Ableitung nach Y – an der Stelle X null Y null – Skalarprodukt – was hier steht X minus X null Y minus Y – das hier übertragen also eigentlich hatte sowas zu passieren wie ein Skalarprodukt – der Gradient Skalarprodukt – mal – der Vektor – mal den Lektor bei den Vektor der sagt wie weit ich beim Original Punkt Herausgeber X und Y – steht also plötzlich – ein Skalarprodukt – was das Ganze überschaubar macht und dieser Teil – mit den Quadraten der Welt netterweise auch viel einfacher – das ein halb kann man raus ziehen – und es hat mir schon die Hessematrix – die Hesse Matrix – in der steht ja einfach – jede zweite Ableitung drinnen auf alle möglichen Arten gebildet sie leiten zweimal ab nach X an der Stelle X null Y null – sie leiten zweimal ab nach Y – zweimal – an der Stelle X null – Y null die leiten gemischt ab nach – oben ist nach Y und danach X an der Stelle vergesse ich alles hin X und Y nur die unten haben sie das sie zweimal ableiten – und zwar erst nach X und danach Y an der Stelle X und Y schreibe ich nicht ?? das war die Hesse Matrix ?? den Gradienten – an der Stelle X null Y – null und hierüber die Hesse Matrix – wie können Sie das jetzt zusammen basteln offensichtlich muss hier die Hesse Matrix vorkommen – die Matrix mit den zweifachen Ableitungen – überlegen sich mal immer das zusammen basteln kann was muss ich da jetzt noch dran schreiben – um das zu kriegen – was du offensichtlich stehen muss ✂ man – sechsmal Vektor musste offensichtlich stehen was anderes haben wir nicht zur Verfügung ?? Rechenoperation – welcher Vektor offensichtlich nicht der Gradient sondern jeder Vektor – gesagt um wie viel ich aus X null Y null ausgehe – dieser Vektormatrix – mal Vektor – was denn jetzt steht ist wieder ein Vektor – ?? ich brauche ein skalar – was insgesamt rauskommt ist eine Zahl – F ist eine Zahl Vektorvektor – ist eine Zahl muss eine Zahl rauskommen – was fehlte jetzt noch um – das oben ✂ rauszukriegen – so – ein Skalarprodukt – also hier jetzt X minus X nur dieser Wechsel noch mal der vorgeschriebenen Y Y – sowie das schon deutlich übersichtlicher – als das oben gewesen ist – es aber gerade nach Komma dass er wirklich hinhaut – ein halb – mal mit angucken X minus X null – mal was steht nachher – oben in der Komponente von dem hier die zweite Ableitung nach X mal X minus X null – machten den plus – die zweite Ableitung – gemischt – mal Y minus Y null – das ist der her und so weiter könnte der wird ja durch diese tatsächlich alle da also das ist nicht nur der logische Ausdruck das auch der richtige Ausdruck – was sie mitnehmen sollten – der Gradient ist dann die Verallgemeinerung – der ersten Ableitung – bei den Funktion einer veränderlichen aber war die erste Ableitung hier gehabt – da steht jetzt der Gradient – bei zwei veränderlichen und hundert veränderlichen Glieder der Gradient – und die Hesse Matrix ist die Verallgemeinerung – der zweiten Ableitung – mit einer veränderlichen Stern die einfach die zweite Ableitung – mit zwei veränderlichen – und genauso mit hundert veränderlichen steht da die Hesse Matrix – und die müssen Sie sinnvollerweise mit Vektoren trainieren – sie modifizieren die Hesse Matrix – mit dem Vektor der sagt wie weit sie rausgehen – auf der rechten Seite ?? Skalarprodukt – genauso – auf der linken Seite – das ist die quadratische Nehrung – für eine Funktion mehrerer veränderlicher – also gar nichts und Ra ✂ sich – als habe sie können also nicht hier war diesen Vektor da vorne sofort mit dem Wetter dahin zusammenfassen – fusioniert – wenn sie das Skalarprodukt aus den beiden Welten steht der was mit X Quadraten was mit ?? zum Quadrat ?? sie kriegen keinen gemischten Ter – brauchen diesen gemischten Term das kann offensichtlich nicht hinkommen – zu rechnen ist also meistens ehrlicher – bezahlen mal stehen hätte zu rechnen wäre also diese Matrix – mal den Vektor – gibt hier ein Vektor und dann können Sie den Vektor auf der rechten Seite mit dem Vektor auf der linken Seite modifizieren – der Reihenfolge müsste das ausgerechnet an könnte tatsächlich auch hier diesen Vektor von links an die Matrix an modifizieren – ginge auch – Hansidings ein Vektor – den sie von links – an den Vektor rechts modifizieren können – das junge Saison am Beispiel einer ?? wie sähe das aus – tatsächlich ich hätte gerne eins Komma null zwei – ?? hoch drei Komma null vier was ist das in quadratischer Nehrung ✂ übertragen – auf unsere quadratische Nehrung was hier steht – Bayer die quadratische Nehrung für F von X Y – die Funktion – soll offensichtlich sein X hoch Y oder Y ?? X da müssen sie aber alle Benennungen andersrum machen ich sag jetzt mal X und Y das so offensichtlich meine Funktion sein – dann ist X gleich – eins Komma null zwei und es ist Y gleich drei Komma null vier und sinnvollerweise – ist X null gleich eins – und Y ist gleich – drei – und jetzt geht ein nicht nur darum dass in diese Wahnsinnsformel – einzusetzen Punkt die zweiten Ableitungen – denken Sie dran wenn sie hier nach Y ableiten haben sie eine Ex Mensafunktion – umformen in ihm hoch irgendwas – bestimmen Sie die ersten Ableitungen und die zweiten Ableitungen – dieser Funktion – die ersten partiellen zweiten partiellen Ableitung dieser Funktion – dann setz mir ein – fertig ✂ die – ersten Ableitungen – partiell nach X ist wohl das einfachste – X hoch sozusagen – eine Konstante – Punkt die sozusagen Konstante nach vorne stetig so als weniger Y mal X und Y minus eins – soweit so gut – die erste partielle Ableitung nach Y – ist ungemütlicher – eine Kommentarfunktion – Fairchild – ganz dreister hinter – ihr steht ja X äh ist ihm hoch L N X – hoch Y also Ego Y mal LN Exterstädter – eigentlich funktionsmäßig – als es das ableiten nach Y einfacher – Ellen X kommt als Faktor dazu – wie hoch Y – NN X was wieder zurück zunächst mal – wählen X das wäre die partielle Ableitung nach Y – wird sie zweiten Ableitungen für die Hesse Matrix – zweimal – nach X ableiten sicherte aber noch mal das heißt nicht nach X Quadrat ableiten – das ist leider eine sehr verwirrende Schreibweise das soll heißen – die Funktionen nach X ableiten – und dann noch mal nach X ableiten – eigentlich hätte man mal die Untenklammer – setzen müssen – aber die Geschichte ist leider nicht so gewesen also nicht falsch verstehen – ?? Nix Quadrat steht gemeint ist zweimal nach X ableiten – ist nicht gemeint ?? Quadrat ableiten sondern zweimal nach X ableiten – die hier nach X ableiten – ?? Exponent kommt davor also Y mal – Y minus eins – und Inter vor malig so und jetzt eins wenigen Exponenten – Y minus zwei – zweimal nach Y ableiten – dann kommt einmal noch dieses Ellen X davor bleibt also hier auch die hoch Y – einen X mal – einmal noch das Ellen X dazu – passt das ins Quadrat – der letzte im Bunde diese gemischte Ableitung – grundsätzlich was geschicktes sie können die nach X nach Y ableiten oder die nach Y nach X ableiten – Beistrich beides irgendwie – gleichermaßen – ungeschickt – ich nehme mir die nach Y und leitet die nach X als erster Y ableiten – X ableiten guck dir nach X ableiten – ihr steht ein Produkt – in den ersten nach X ableiten – meine zwei ich hoffe wirklich ausdrücklich in der Mitte sonst – nicht zu verwirrend wird ich will den ersten nach X ableiten wie hoch Y – X den zweiten lass ich stehen mal X – plus zweite Teil der Produktregel ich lasse den ersten stehen – Y LM X – und mal – die Ableitung vom zweiten was ist die partielle Ableitung von X – nach X zu etwas übersichtlicher – hier kommt jetzt die – Kettenregel eine Funktion einer Funktion – die äußere Ableitung bleibt eh hoch Y LM X – die in Ableitung Y einen X ableiten – nach X partiell gibt Y durch X mal Y durch X und jeder Logarithmus bleibt stehen X – plus – Frauen beim Stehen – Y – X – den Rhythmus ableiten Beistrich X – das sind jetzt die ersten die zweiten Ableitungen ✂ nächste – Schritt ist also jetzt X null Y null einzusetzen – ich brauche ja diese Ableitungen – ersten Ableitungen – zweifeln Ableitungen alle an der Stelle X null Y null Setzen war ein – was ist die partielle Ableitung nach X an der Stelle – X null – Y null eins drei was ist die partielle Ableitung – nach Y – an der Stelle – eins drei X und Y – das ist die partielle Ableitung zweimal – nach X – angestellt X null Y null – die zweimal nach Y – umgestellt X null Y null – und die gemischte – nach X nach Y andersrum – an der Stelle X und Y das müssten – relativ saubere Zahlenwerte sein Sätzen eins drei ein was gegen sie jeweils raus ✂ aber – vergessen der Fusionswert selbst im ?? natürlich auch noch Punkt – Funktionswert selbst an der Stelle – X null Y nur der Fusionswert selbst war eins hoch drei naturalis eins – die Ableitung – nach X partiell – drei mal – eins hoch zwei – bis drei – die Ableitung nach – Y – partiell – ihr steht der wieder eins hoch drei funktionelle Nix das S eins hoch drei also eins mal die natürlichen Logarithmus aus eins – des nun Ableitung ist nur – zweite partielle Ableitung nach X – drei mal zwei mal – eins hoch drei minus zwei sechs – zweite partielle Ableitung nach Y – hier steht wieder eins hoch drei – mal – Rhythmus aus eins ist nun ins Quadrat – wird als null werden – jetzt die gemischte Ableitung – der eins hoch drei mal irgendwas mal – darüber muss es nur der erste Teil fällt weg plus eins hoch drei mal eins durch eins – eins – das wenn jetzt die gesammelten partiellen Ableitung ist es Komma die quadratische Nehrung hinschreiben – also eins Komma null zwei hoch drei Komma null vier – ist ungefähr – der Wert an der Stelle eins drei eins plus – jetzt kommt als nächstes – Gradient schmal wie weit ich weggehe – dieser Vektor hier gewaltig weggehe – ist null Komma null zwei – null Komma null vier – also der Gradient – drei null Skalarprodukt – null Komma null zwei – null Komma null vier – Klos – und jetzt der quadratische – Anteil – mit der Hesse Matrix ein halb – ?? und so weiter – ein halb mal – diese Vektor hier über dich weggehe – Komma zwei – Komma vier – Skalarprodukt – Hesse Matrix – mal diesen Vektor noch mal – null Komma null zwei – null Komma null vier und den Hesse Matrix steht sechs – oben – ins um null rechts unten und quer eins eins – das ist die quadratische Nehrung – jetzt ausrechnen – was hier steht ist also eins plus – drei mal null Komma null zwei null Komma null sechs plus nur mal irgendwas – kein – Plus – muss in Einzelschritten süß eben gesagt habe den Vektor links stehen lassen – Komma null zwei null Komma null vier – mal und jetzt rechne ich Matrix mal Vektor – sechs mal null Komma null zwei plus einmal null Komma null vier – sechs mal null Komma zwei plus einmal Komma vier – steht oben wenn sie das ausrechnen und steht einmal null Komma null zwei plus null Komma null vier also hier unten sicher – sofort aus null Komma null – zwei – Basisvektor – dahinten – null Komma eins zwei plus null Komma null vier – das macht so null Komma – sechs und unten null Komma zwei – unheimlich hier und je Vektor Skalarprodukt – Vektor – zwei hundert sechzehn zweiunddreißig – lesen Sie ein zwei drei vier Stellen hinterm Komma haben – plus – zwei mal vier sind achtzehn wieder vier Sterne den Komma null null – null – nur so – ist bei den – das zusammen sind null Komma null null vier – null für dich jetzt physikalisch unterschreiben Komma in dem der Mathematik davon die Hälfte sind null Komma null null zwei und jetzt habe insgesamt eine quadratische Nehrung hier eins Komma null – sechs – und hiervon die Hälfte eben null Komma null null zwei eins Komma null sechs zwei wäre meine quadratische Nehrung – vorsichtig mal gucken – was – die Num Erik davon hält – eins Komma null zwei – hoch drei Komma null vier – eins Komma null sechs zwei null vier – ?? behandelte Liste der vier Stellen hinter dem Komma richtig – mit der quadratische Nehrung mit der ?? den Jahren erste Sinne eins Komma null sechs wäre die lineare Nehrung – können Sie zwei stellige Komma richtig mit der quadratische Nehrung habe lustigerweise – sogar die null die nächste nur die vierte Stelle der Komma richtig so sieht das dann tatsächlich aus