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28C.2 Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung von drei Münzen


CC-BY-NC-SA 3.0

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unsfolgendes an ich werfedrei nicht ideale Münzen drei nicht triviale Münzen werfendie soll alle von derselben Sorte seindieWahrscheinlichkeitdas eingegebeneMünze auf Kopf fälltdie Wahrscheinlichkeitnämlich klein Pals ich gebe es ausdrücklich keinen Wert hier für die Wahrscheinlichkeitklein P vorder sich vor das ist ein Viertel oder sowas in drei von vier Fällen fällt die Münzeauf Kopfund in ein Viertel der Fälle fällt sie auf Zeitmöchte man als Variable drin habenund die Zufallsgrößedich angucke ist natürlich die Zahl der Münzen die auf Kopf fallennull bis dreifahrenund ich wüsste gerne wieder ErwartungswertVarianz und StandardabweichungErwartungswertvariierenund die Standardabweichungdiese Zufallsgrößekann etwa vier verschiedene Werte annehmen null eins zwei oder dreikeine von den fällt auf Kopf eine zweioder alle drei fallen auf Komma sie haben hierfür vier verschiedene möglicheWertesie können sagen die wahrscheinlich die Werte jeweils sind ?? und damit können Sie ausrechnen was Erwartungswertdie Varianz und so weiter istim sie das viele MessgrößeJahre komische?? komisches Messgerät das Zeichen in nur vier verschiedene Werte an null eins zwei oder drei mit verschiedenen Wahrscheinlichkeitenund ich wüsste jetzt gerne Erwartungswert Varianz und damit Abweichung von diesem Dingalso alle drei nichtideal aber alle drei auf dieselbe Weise kaputt alle drei haben dieselbe Wahrscheinlichkeitauf Kopf zu fallen drei identische Münzen müssen sozusagen aber alle drei nicht in Jahrdrei kaputte Münzen auf dieselbe Weise die drei kaputtunddass es Ebene Verallgemeinerungvon dem hierhier hatten sie drei verschiedene Werte alle mit derselben Wahrscheinlichkeitjetzt haben sie vier verschiedene Werte null eins zwei dreimit verschiedenen Wahrscheinlichkeitendie dann obendrein von irgendeinerkonstanten ?? abhängenwir müssen Sommer die Binominalverteilungangucken ich mal zwar mit einem Baum aufich werfe die ersteMünzedie Kantenzahlwerden oder Kopf werden dann wirf ich die zweite man sich ob man die erste war dann wirklich die zweite Münze oder gleichzeitiggareinen ZahlKopfzahlKopf und dann werde ich die drittebisschen eng schlechte PlanungsowasZahlKopfzahlKopfzahlKopfzahlkommt sie wissen was ich meine zweitedritte das es sicher noch Baummadigmachenzu mit der WahrscheinlichkeitvonPdurch das NN klein Pwahrscheinlich Kat von klein Plieferte erste Münzwurfkopfdas heißt mit der Wahrscheinlichkeiteins minus P liefert er Zahlwenn ich hier diese Zahl habe komme ich mit Wahrscheinlichkeiteins minus Bdanach zahlen WahrscheinlichkeitPdanach Kopf und so weiterund so weiterund so weiter?? Komma das hinschreiben die Wahrscheinlichkeitdass ichich war schon ?? heißt null mal Kopf habedas keine der Münzen auf Kopf steht habe ich malversuchenein bisschenenger dannimmer noch den Wärter hinterkein mal Kopfdann müssen sie hier oben Zahl Zahl Zahl Haar ist eins minus Phoch dreidie Wahrscheinlichkeitgucken eins zweidrei die Wahrscheinlichkeitfürdrei mal Kopf alle drei WürfeergebenKopfEmission Langkopfkopfkopfist die einzige Chanceder Anteil P aller Fälle davon der Anteil P davon der Anteil P ist P hoch dreientscheiden ob ich das P als Druckschrift macht oder nicht macht es wartete das Druckschrift die Wissens kleines Pzurdie Wahrscheinlichkeitdas einmalKopf kommenund die Wahrscheinlichkeitdaszwei mal Kopf kommtweil das mit zweienzweimal Kopf sie können hier Kopf nehmen dann können Sie da Zahlen nehmen und dann können Sie hier Kopf nehmen eine Möglichkeitnächste Möglichkeitsie können mir Kopf nehmen und dann können Sie hierKopf nehmen und dann können Sie da Zahlen nehmenund noch ?? Möglichkeit sie können hier vorne Zahlen nehmen dann müssen sie da Kopf nehmenSie da Kopf nehmenin allen drei Fällen habe ich eins minus Pmal P mal PP mal eins minus B mal P P maximal eins minus PW Quadratmal eins minus P in allen drei Fällen dessen drei Fälledas es das ?? und für den hier obenüber den sich genauso dreimal P mal eins minus P ins Quadratdrei Möglichkeitenwelche Münze Kopf sein sollfür die die wahrscheinlich Kat P und für die beiden anderen eins minus P die Binominalverteilungkam er schon mal dranaus umgezogen um mit diesen Informationenhier sollten Sie jetzt Erwartungswertund?? Varianz ausrechnen können jetzt wissen Sie die WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeitenwissen sollten der Lage sein Erwartungswert Varianz auszurechnensoalso was passiertKomma zurückzu der ersten Aufgabe wie berechtigt in Erwartungswertersetzende diskrete Verteilungbrechen ErwartungswertWahrscheinlichkeitfür einen bestimmten Wert mal diesen Wert plus die Wahrscheinlichkeitfür den nächsten Wert mal den nächsten Wert und so weiter über alle Werte auf summiertein gewichtetesMittelgenau das mache ich hier nur dass die Gewichtung etwas ekliger sind das jetzt meine Gewichtes ist nicht einfach ein Drittel ein Drittel oder ein Flatsland Villenvierteles ist ?? komplizierterals ?? Erwartungswertdieser Größe ist?? Kleinigkeit mal wert das ist die Wahrscheinlichkeiteins minus P hoch drei und der Wert ist nullnull mal Kopf plus die Wahrscheinlichkeitfür den Wert einsdreimalP mal eins minus P Quadratder ?? ist einsPlusWahrscheinlichkeitdreimal P Quadrat mal eins minus P und der Wert ist ?? zweiplus WahrscheinlichkeitP hoch dreierstes dreider schöne Sinne vorne Komma Weg streichen die eins ist egaljetzt muss man sich bis ?? zusammenreißenbeim zusammenfassenähmdrei P malhier habe ich eins minus zwei P plus P QuadratGenome?? drei mal zwei malsechsmalsechs mal P Quadrat minus P hoch dreiP Quadrat minus P hoch dreiund hier aber noch plus drei P drei sodicke Rotstiftdie hoch dreihier vorne haben wir dreimalP hoch dreiplus sechs mal minus P hoch dreiplus dreimal P hoch dreimal zum mitverfolgen dreimaldie hoch drei habe ich insgesamt dreiP hoch dreiDanzig sechs P hoch drei abund agiere wieder drei P hoch drei draufdie fliegen rausheben sich wegsoweit schon mal Glück gehabtdie Quadrat hier vorne habe ich dreimal minus zwei P Quadrat minus sechs B Quadratplus sechs P Quadratdas Licht rausund es bleibtdreimal Pdass es alles was übrig bleibt dreimal weg und das hätte man sich ohne Rechnung denken könnendreimal P Sie werfen drei Münzenjedes Feld mit der WahrscheinlichkeitP auf Kopf wie viele Fallen im Mittel auf Kopfdreimal P wenn Sie eine Münze haben Bischöfe bei einer Münze Mittel auf Kopf P mit zwei Jahren zweimal beben sie drei haben dreimal P es ist keine große Überraschungdamit lernen sie was über den Erwartungswertder Binominalverteilungdes einfachen groß Nmal P muss natürlich allgemein gelten nicht nur mit dreien sondern mit ??im allgemeinen in Seattle Münzen haben ist es die Anzahl der Münzen mal die Wahrscheinlichkeitdas war der Erwartungswertmit ?? Kanapee raus haben haben sich irgendwo verstrickt ist es auch zu leichter Segmente zuzurechnenwir wissen ja was rauskommen sollso für die Varianz brauchen jetzt in Erwartungswertvom Quadratgucken acht Minutendas gegen sie in der Erwartungshaltung Quadratdaraus bestimmen sie dann die Varianz und die Standardabweichungerste grandiose Chance den Fehler zu machen also was kriegen wir die Chance noch offiziellin die Wahrscheinlichkeitdafür das Null rauskommtmal nur ins Quadrat nur der Form halber hingeschrieben ist natürlich Unsinn die Wahrscheinlichkeitdafür das eins raus kommtmal eins ins Quadratplus die Wahrscheinlichkeitdafür das zwei rauskommtmal zwei ins Quadrat plus die Wahrscheinlichkeitdafür das bei rauskommt maldrei ins Quadratdas wäre der Erwartungswert des Quadratsbüroder erste Schritt natürlich raus und eins Quadrat es auch egalhabe hier drei malhier steht?? im Osten sauer weilBeistrich zu leicht berechnen P malhier steht eins minus zwei P plus B Quadrat für denplusdreimalentsteht hier P Quadrat minus Bschon vor Basel drei malzwei ins Quadrat zwölfdreimal vier zwölfmalP Quadrat minus P hoch dreiund hier steht neunmaldie hoch dreidann sind wir ?? dir noch auseinandernehmenbei drei P minussechs P Quadratminus drei P hoch dreiplus zwölf P Quadrat minus zwölf P hoch dreiplus neun hoch dreitotal tollso bis ?? an P wir haben nur drei Cja das es alles drei Pin HamburgP Quadratminus sechsminuszwölfminus sechs plus zwölf ist alles okay Quadratokay das sind also plus sechsP QuadratP hoch dreidrei P hoch dreiminus zwölf P hoch drei plus neun P hoch dreidrei minus zwölf plus neun gibt sich weg es ist kein P hoch drei dabeidas noch bis zum ?? bis wirklichkein ?? hoch drei ?? ??jetzt kommt die Standardabweichungdie Standardabweichungist dieses hierErwartungswertvom Quadratminusdas Quadrat vom Erwartungswertdas Quadrat von drei P also minusneunP Quadratund dann sind wir bei drei Pminusdrei P Quadratdas auf das Ergebnis an das ich mich erinnert habe ??erstaunlich dass es dreimalP mal eins minus Pist das allgemein machen für die Binominalverteilungkriegen Sie ähmmal die mal eins minus Pmacht es allgemein natürlich nicht so es gibt raffinierten Trick mithilfe von Ableitungen bis hin und her schiebenkann ?? allgemein das ja ausrechnen wären Wahnsinn man sich des viel raffinierter hin aber der Trick istso das man das meine Viertelstunde drüber nachdenken muss wie man es allgemein zeigen kannhier haben Sie die Varianz der Bindungsjahr VerteilungN mal P mal eins minus P und damit Hammer die Standardabweichungdie Wurzel daraus dreimal P mal eins minusP