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02B.6 Fläche unter Parabel halbieren, Integral


CC-BY-NC-SA 3.0

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Schwerpunktberechnungwir gucken uns mal eine ganz dumme quadratisch Parabel anMannes vom Maßstab überhaupt nicht gelungen sei soX Ydie aller Welt quadratische Parabelbei liebes muss ich meineY durch X Quadratundich fange nicht mit dem Schwerpunkt Anlässe Nummer schwierigersie bestimmen malbei welchem Xdie Fläche unter der Parabel hier zwischen null und drei bei welchem X die Fläche halbiert wirdsollte so in dieser Größenordnungirgendwo liegennur das X HaarFläche halbierenbei welchen Blickswird die Fläche unter der Parabelzwischen null und dreihalbiertdas es jetzt wieder klassische Flächenberechnunggleich mit dem bisschen heftigerund das ist auch noch nicht X Koordinate vom Schwerpunktdas überlegen uns auch aber das sollt ihr irgendwie schon so bisschen was dem Schwerpunkt zu tun habenerster Schritt ist die Gesamtfläche zu berechnenPunkt klardass man hindass die Fächer ?? werden soll wussten Sie schon alsoerst mal die Gesamtflächehermit dem integral?? kann sogar gleich schreiben die Gesamtfläche ist gleich das integral von null bis drei auf der x-Achsedie Integralgrenzenauf der X auf der horizontalen Achse nicht auf der y-Achse von null bis drei wird integriertdie Funktion integriert wird sie sechs Quadratdie X hier heute aus formalen Gründen einfach nur noch um zu sagen X ist die Variablenach der ich integrieresoStammfunktionsuchen X hoch drei Drittel wäre die benutzte Stammfunktionund den ableiten wenn sie Dreiecksquadratdurch dreimal X Quadratin der Formelsammlung steht groß eine Konstante aber wenn sieeine Fläche ausrechnensehr sie Konstante drauf ziehen die Konstante wieder ab??Bindestrich ausrechnen kann sie konstant auch weglassenvon null bis dreiStammfunktionennehmen dann vorsichtig das hatte ich eben gesehenbei der Stammfusion steht kein integral mehr das integral schon ausgeführtbei der Funktion die zu integrierenist steht das integralaber hier bei der Stammfusion steht kein integral mehr das integral schon gemachtdie Stammfunktion zu nehmen heißt zu integrierenähmund hier fehlt dann drei hoch dreidurch dreiminusnull einsetzen null hoch drei durch drei wenn das jetzt ausführlich schreiben?? hoch drei durch drei sieben zwanzig Drittel oderdrei mal drei mal drei durch drei neunminus null also neu die Gesamtfläche ist neunnunich sollte auch ?? geradeeinige Sachen Ansagenbeim umgehen gesehen habeich solche ersten sagen das drei hoch drei nicht neun ist in der Tat drei hoch drei ist drei mal drei mal dreineun mal drei sieben zwanzigdrei hoch drei und drei mal drei sind zwei paar Schuhelustigerweise nicht irritieren lassen bei zwei Konzerten mit zwei Quadrat ist zwei mal zweiStellen aber zweimal zwei nicht weil da die zwei oben steht sondern weil das heißt zweimaldie Zeit zwei mit sich selbst modifizieren zwei hoch dreizwei mal zwei mal zweivorliegtda nicht irritieren lassen?? also hoch sagt uns oft mit sich selbst modifizierenLeertaste ich kann nicht sagen ?? aus einer sagen wo noch ?? zu den integraldieursprünglicheIdee vom integral ist die Flächenberechnungwenn sie das habenvon A bis PF von X die Xdann heißt das Fläche mit Vorzeichenvon A bissechs mit Schonungähmvon A bis B auf der x-Achsevon A bis B auf der x-Achse die Fläche mit Vorzeichendas heißt dieses integralnass istdas bestimmte integral und das es eigentlich was die Mathematikerals integral auffassendas integraldas bestimmte integral bestimmt bei der Grenzen drinstehenund die Berechnungist überdiesStammfunktionwenn man denneine vernünftig angeben kann später mehr dazu typischerweise wahrnehmen kann man nämlich keine ordentlich angeben egalman sucht eine Funktionderen Ableitungdie zu integrierende Funktion des Verbänden gerne groß Fwenn diezur Degenerationklein F heißt und nimmt die in den Grenzen A bis Balso dieses Fwenn sich Stammfunktioneine Stammfunktionschon gesagt es gibt unendlich viele sie addieren auf eine Konstante dazu da ?? noch einenamund um sie zu verwirrenhaben die Lehrerfür die nahm Stammfusion was anders davon das unbestimmte integralF von Xdie X wenn sie keineGrenzen dran schreibennennt sich das das unbestimmte integral und das es nicht anders als StammfunktionBürgerinähm soähm keine Grenzen angeschrieben ist nun andere Schreibweise für eine Stammfunktionsuche eine Funktion deren Ableitunggleich diesen klein F istaber die einzig mathematische Bedeutung integral hat was mit Flächen zu tun dass bestimmte Integralgrenzenanden Sinn bestimmtes integral bestimmender schönen bestimmtes integral bestimmen aberin dieser Form dann ist ihnen egal welche Stammfunktionsie nehmen plus zwoundvierzig oder minus dreizehnin eine Stammfunktionskonstantehebt sich von selbst wegausrechnenes keine die Fläche nicht davon abhängen welche Stammfunktion ich benutzedas unbestimmteIntegralwissender Formelsammlung steht die Stammfunktionhat dann gerne mal plus eine Konstante dastehen und klarzumachendass man es noch hin und her schieben kann rauf und runter schieben kann?? bestimmtnicht deswegen sondern weil die Grenzennicht angegebenalso anscheinend drei verschiedene Sachen bestimmtes integral Stammfunktionund unbestimmtes integralzwei davon sind aber das selbe Stammfusion und unbestimmtes integral dasselbe Ding total anders hingeschriebenwas ich gesucht habe ist ein bestimmtes integraldie Flächeund ich berechne es mithilfe einer Stammfunktionfinanziell dazu wollte ich gar nicht so ähm ich möchte jetzt hier die halbe Fläche haben aber noch nicht alle angekommen als ich brauche das neun halbesind das integral von null bis X H mal in plaudern schaust soX QuadratTXdas muss geltenwenn ich von null bisneun und müssen bis zu meinem und müssen X H integrieredie Stelle an der die Fläche halbiert wirdmuss ich eben ?? herausbringenselbe Art wie sie das hinschreibennimm auch dieselbe Stammfunktionhierund jetzt von null nicht bis dreisonder bis zur oberen Grenze eben X Haarund kriege dann sinnvollerweiseX H hoch dreiDrittelauch drei Drittel minus null minus null hoch drei Drittel Natur amWasser so stehen jetzt ?? sich das aufwenig Platz hätte ich nimmer die gleiche mit neun halbe X X H hoch drei Drittelneun halbe?? ist X Haar hoch dreiDrittelLeerzeichen ?? Komma vorgeführt diese Messer glaube ich sie tun beiden Seiten derGleichung dasselbe andann ist es immer noch eine Gleichungähmbeide Seiten mal drei ist das was ich hier tueentweder sieben zwanzig halbesieben zwanzig halbe ist gleichX Haar hoch dreiin den neuen Skripten kamen schon was zu Folgerung vordas geht jetzt sogar in beide Richtungen erst mal weiß ich wenn ich beiden Seiten der gleichen dasselbe antue dann folgere ich aus dem linken das rechteaber netterweise das Äquivalent zum vom ?? so schön sagt es geht in beide RichtungenPunkt sie können hier auch beide Seiten durch drei teilen und landen darfman damit ?? die dritte Potenz und jetzt kommt die dritte Wurzelauch schon gerade angesagtals die dritte Wurzel aus siebenundzwanzighalbeist X HaardieX Stelle die ich sucheund die dritte Wurst aus sieben zwanzig halbe lässt die Norm bisschen hübscher machenkannst doch ein Schritt hübscher machen als wir die sieben fand die halbe auszurechnendes Weges zu erkennen dass die siebenundzwanzigJahr drei hoch drei wardessen dritte Potenz ich bilde die dritte Wurzel in Zähler und im Nennernur zu sieben zwanzig durch dritte Wurzel zweiund din zwanzig ist drei hoch drei das heiße dritte Wurzel wird drei seinund bleibt dann die dritte Wurzel zwei stehen sie dannganz hübsch ausähmsollte noch was zu den Wurzeln sagen Feldmausauf Wurzel aus einemQuotientenwurzelaus einem Bruch das funktioniertalso wenn Sie eine Wurzel aus einem Bruch haben können Sie ziehen die Wurzel aus dem Zähler ?? Wurzel aus dem Nennerist die Wurz das ein Produkt habenkönnen Sie Wurzel aus dem einen Mal Wurzel aus dem anderen machenwas geht nichtall die beiden gehen und in der Tat vor mit Vorsicht Vorsicht die Wurzel aus einer Summeist im allgemeinennichtdie Summe der Wurzelnund die Verschluss einer Differenz ist im allgemeinen nichtdie Differenz derWurzelnes geht wenn sie B gleich null setzendie Wurzel aus A plus null ist die Wurzel aus A plus die Wurzel aus ?? aus null toll dann geht's aber ansonsten gibt's nicht Vorsichtähm das machen ganz viele Leute im ersten Semesterhaben sobald sie das sehen manche Info sobald diesen Ausdruck sehen man sich bei den vom Rand dicken roten Strich vor sich zusammen reißen das Ding geht nichtdie Wurst eines Produkts Komma zerlegen die Wurst als Quotienten Komma zerlegen aber nicht bei so und nicht bei DifferenzFußnote dazuamich verwende das mit dem PatientenWoods aus LA durch loslassen ??und das Kommaund außen bisschen hübscher machen die dritte Wurzel aus zweiihrer Kolleginnen und Kollegen mussten gestern ertragen wie ich das gerundet ausgerechnet habe die dritte Wurzel aus zwei Komma neun auf die UhrimMann weist die zweite Wurzel aus weiß ungefähr was bei eins Komma vierkönnen ?? probieren eins Komma dreidie dritte Wurzel aus zwei was bei eins Komma drei ist das für meine nette Schätzungsübungam Rande gerne eine schon alles ausgerechnetaberProbleme das mal geradeeins Komma dreihoch dreiist die dritte Wurzel aus zwei?? bis plausibel was bei eins Komma dreiwie kann ich eins Komma drei hoch drei rechnen ohne mir die Finger wund zu rechnen ohne Taschenrechner auf die Schnelleammithilfe der Ableitung??ich hatte immer vorgeführt wie man Wurzel aus zweiundfünfzigSchätzen kannjetzt möchte ich gerne wissen ob eins Komma drei denn so ungefährhinkommt für die dritte Wurzel auszwei ist eins Komma drei den halbwegs ordentlichgleich zweiwie kann man das schätzen eins Komma drei hoch dreiwie kann man das schätzen Probieren Sie das mal das ganze mit der richterlichen Aufgabe zu tun sondernmit den Chefs überPunktwas nicht funktioniert?? es ist nichtseins Komma drei hoch dreiist nichteins hoch drei plus null Komma drei hoch drei das selber sich ihm bei den Wurzeln erzählt habedas geht hier auch nicht das haut nicht hin eins Komma drei hoch drei ist nicht also drahtlosen Komma drei hoch dreidenken Sie AntinomienA plus B hoch dreiist A hoch dreiplus drei A Quadrat B plus plus plus das ganz viele Dame nicht nur die beidendas haut nicht hiner hätte das gerne mit der Ableitungdie kubische Potenz X hoch dreidamit der Ableitung bastelnmüsste wenn sich an die Wurzel zweit fünfzig erinnernden Mist hinhauenX hoch dreiich kenne X hoch drei eine Stelle eins und eins raus und kenne die Ableitung dies auch einfach mit der Ableitung diesen Wert schätzenalso eins Komma drei hoch dreistellte fest??manch weißes schneller dann eins Komma drei mal eins Komma drei mal eins Komma drei zu rechnenaber meine Hoffnung ist das sie zum Schluss Ableitungenso verstehen dass daslocker geht's in Sekunden Tempowar die Idee ist sich Staate mit meiner kurischen Parabelstadiumeiner komischen Parabel bei der Stelle X gleich einsund gucke was die denn macht wenn ich um null Komma drei zur Seite gehenhier um null Komma drei weiter zu eins Komma dreimüsste gern was die Macht und der Trick ist das guck ich mir mit der Ableitung an ?? sehen gleich dass das in der Situation nicht so superist aber halbwegs brauchbarso Licht die Tangenten geradeich kennedie Steigung der Tangenten geradedas war eben noch nicht bei allen damaligen Meister Beistrich weil dabei das nicht seistnochmals zu Thorium und das Norma klarmachen das ist ?? die haben was die Ableitung tutähmmeine Funktionist X hoch drei an dieser Stelle die Ableitungsagt die Steigung der Tangenten gerade drei X Quadratist die Steigung der Tangenten gerade an der Stelle Xdie Steigung der Tangenten gerade an der Stelle einsist drei mal eins Quadratdiese rote gerade hier sind völlig falsche Zeichen dieser rote Grade muss die Steigung drei habennicht an der Stelle ist es schlechtdas Wahnsinn malhierhat die Steigungdreinämlich dreimal eins Quadratdie Tangenten gerade an der Stelle X gleich eins gesetzt ist gleich einsin die Ableitung ein Punkt das gibt die Steigung dreiund nunfolgender Gedanke ich gehe um null Komma drei zur Seitevon eins bis eins Komma dreiGewinn ich in der Höhe wenn ich nur Komma drei zur Seite wird drei malnull Komma drei so funkt sie mit der Steigungeiner Steigung von dreiein Meter nach rechts drei Meter nach oben null Komma drei Meter nach rechts drei mal null Komma drei Meter nach oben so funktioniert Steigungdass wir jetzt mein Schätzwert hiereinsdieses Stückchen hier eins plus drei mal null Komma drei eins plus null Komma neun eins Komma neunwäre mein Schätzwert der übrigens ein ziemlich schlechter Schätzwert isteins plus null Komma neun diesen in was bei zwei Komma zwei tatsächlichgibt es hier schon so gemalt die kubische Parabelgeht jetzt ziemlich nach oben weg geht schon sehr stark nach oben von der Partner von von der Tangenten gerade weg EssesemesterKomma Sommer andere Sachen an die man es besser machen kann als Mitagenten geradedas ist jetzt wirklich nur sehr Faustformel mäßig wenn ich schon München Komma drei Weitergeber der komischen Parabelist die kubische Parabel schon ziemlich viel weiter oben abereins Komma neun ist nicht so falschmit ?? drauf an in der Größenordnung von zweifür die kubische Wurzel aus zweiist eins Komma drei keine schlechte Idee weil ich hier per Faustformel schon feststellendie dritte Potenz von eins Komma drei zwei eins Komma neunähmzurückverwandelthier also das ist ungefährdreidurcheins Komma dreinunals Komma dass eine gemischte Zahl umwandeln damit zu bisschen hübscher wirddrei ist zwei Komma sechs plus null Komma vier wenn sie den hier zerlegenzwei Komma sechs plus null Komma vierähm zwei Komma sechs alles auf G zwei Komma sechs durch eins Komma drei sind zwei ?? steht dann zwei plus null Komma vierdurch eins Komma dreinull Komma vier durch eins Komma drei über den breiten Daumen was ist null Komma vier eins Komma drei?? statt null Komma vier durch eins Komma dreikann ich doch viel leichter null Komma vier durch eins Komma zwei rechnendass es kein großer Fehler nicht ?? sind unter zehn Prozent hinter zehn Prozent Fehler ich rechne nur Komma vier durch eins Komma zwei Komma vier durch eins Komma zweivier durch zwölf ist leicht ein Drittelalso habe ich das es ungefähr zwei ein Drittelals ErgebnisohneTaschenrechnerähmvon der Skizze herwenn sie mich das sie gezeichnet habezwei ein Drittelich wusste zwar vorher war es gestern schon gerechnet habenes sieht nicht falsch aus also ich würde das mal glauben dass das