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21C.3 lokale Maxima, lokale Minima, Wendepunkte von Sinus, Cosinus, Tangens


CC-BY-NC-SA 3.0

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die Geschichte wie eben mit lokalen Maxima minimalin hoffentlichetwas einfacheren Situationennämlich für die üblichengeometrischen Funktionenlokale Maxima minimal WendepunkteWände stellenfürdie üblichen Verdächtigender Sinusder Kosinusder Tangens und der Argus Tangensinnerlich hoffentlich für die Funktion im Prinzip aussehen?? Vogelzug alle Millimeter Maximalwändestellen Wendepunktegute Frage einmal grob skizzieren und einmal nachrechnender Sinuswo ist der Sinushorizontalund schreiben Sie Beistrich von X ist weit hübscher ?? dieses jetzt müssen über Gandhi bis Karmasin Beistrich von Xdie Ableitung von Sinus Bindestrich von X istKosinusdie Frage ist wo ist das gleich Nullhorizontale Tangentehaben wir da wo der Kosinusvon X gleich null ist??gute Frage von ihm wohlweislich den Eingriff oder großes gleich Null ?? müsste jetzt wirklich überlegen und sie Kosinus an Punktwarum ist ?? bald das etwa neunzig Grad und die halbe gleich null Baumeister tatsächlich hier bei dreidie halbenull andas weiß er natürlich aus der Geometriedas wirklich einrechteckiges Dreieck anmit einem Winkelder mehr und mehr zu neunzig Grad wird und dann sehen Sie wenn Sie das Verhältnis bildendenkees Verhältnis bilden ein Kathete Support den Musewird das Verhältnis nullso könne man es entsetzlich begründen aberirgendwann weiß man einfach okay Geschenk der Kosinusund die halbe Unterkurses von drei die halbe S null und so geht das ein hundert achtzig Grad weiteruntenhorizontale Tangente großes Xgleich null das heißtX ist gleich?? über das hinschreiben könntedas heißt X ist gleich Pi halbeNuss ein ganzzahligesVielfachesvon PidasvonPiein P weiterzwei P weiter und so weiteran den Stellen hat der Sinus horizontale Tangentewas uns sich so wirklich überraschend istschon tausendmal gesehen lehrte sie bis tausend ?? Tangente Daten horizontale Tangenteund immer weiter ?? es kann sich überlegen welcher Art diese horizontalen Tangenten sinddafür die zweite Ableitung ausrechnen die zweite Ableitung vom Sinusalso den Kosinusableitenwenn sie groß ableiten minus Sinusdie zweite Ableitung ist der ?? minus Sinuswas weiß ich nunan dieser Stelle bei neunzig Grad ist die erste Ableitung von Sinus null hat also nur horizontale Tangentedie zweite Ableitungist das negative vom Sinus das heißt die zweite Ableitungistminus eins die zweite Ableitung ist negativwill sagen der SinusÜberraschungder Sinus macht diese Art von Kurve macht eine Rechtskurve an der Stelle das muss also lokalesMaximum gewesen sein und es hier machen bei drei die halbeAbleitungist nullgroßes S nur die zweite Ableitungminus der Sinus zweite Ableitung ist positiv das heißt in dieser Stelle kommt der Sinusso dran von oben das muss lokales Minimum gewesen sein und das muss ich natürlich alle drei hundert sechzig Grad wiederholen als IT wiederholt bei der Sinusan zwei Pi periodischeFunktion ist man zusammengefasstdie lokalen Maxima vom Sinus alsoalle Maximahat man bei X gleich vier halbe dem hier und immer drei hundert sechzig Grad weiter kam mal zwei Piund dieses Ksoll eine Zahl aus denganzen Zahlen seines Pi halbe plus null mal zwei bebe Hall plusachtundneunzig mal zwei P so Komma dass hinschreiben und informierte dazu gehört es natürlich immer einsund die lokalen minimalvom Sinusminimal vom Sinus habe ich dann also wenn ichzu dem drei vier halbe geheund ein ganzzahliges Vielfaches von zwei Pi weiter wenn ich willes gar eine ganze Zahlder Epson wird dazu ist immer minus einszu den Wendepunktenanschaulich auch klar wo der Wendepunkte liegenimmer wenn der Sinus durch die Achse geht sehen Sie hier eine Rechtskurvegeht durch die Achse machte Linkskurveimmer wenn der Sinus durch die Achse geht sollten beim Wendepunkt haben?? nachrechnenkönnenWendepunktenennen ??ich hab die zweite AbleitungSinus ist der ich hab die zweite Ableitung vom Sinusund das war minus Sinusfür ein Wendepunkt istnotwendigdass die zweite Ableitung null ist das ist notwendigdas reicht nicht hin aber das ist notwendigmuss habendass er an der Stelledie zweite Ableitung landen wir die zweite Ableitung größer ist als null heißt das eine Linkskurveder zweite Ableitung kleiner ist als Null als es eine Rechtskurveer muss von einzelnen übergehenalso null seinundman kann sie sicherheitshalber noch überlegen was mit der dritten Ableitung dann ist der Sinus dreimal abgeleitetan der Stelle Zeitspannen zu schreibende Sinus in Klammern dreiDreifachableitungder Sinus Dramen abgeleitet die normal glatte David minus Kosinus von Xund an diesen Stellenist er natürlich ungleich Null dieses hier passiertFanliegt zwar darüber ?? beim SinusSinus habender Sinus wird null zwei null zwei Pibei zwei Pi bei allen ganzzahligen vielfachen von Pi mit der Sinus nullals ein ganzzahliges Vielfaches von Pi mitK Elementganze Zahlder Kosinusist an diesen Stellengleich eins oder gleich minus eins schafft man das Portal sogleich eins oder minus eins an solchenStellen also garantiert ungleich nullPunktdas heißt ich hab wirklichein Übergang dann in der Komma ich komme von links Komma Gier nach rechts Komma oder umgekehrt die dritte Ableitung ist nicht nur die zweite Ableitungsnot an allen diesen Stellendas edx werden die Ozonwerte wird das Einsetzen Sim gesehen?? Werte sind natürlichkeine große Überraschung?? man alles tatsächlich nachrechnennunder Sinusder Kosinuswürde man nicht normal neue nachrechnender Trick ist jairgendwie kommen sie vom Sinus und KosinusKosinus von X ist gleichwie können sie Kosinusvon X mithilfe vom Sinus schreibengenauX mittellos Pi halbeein Plusin den Klammern drin verschiebt die Funktion ja nach linksich nehme den Sinus mal bei den Sinus ich nehme den Sinusund verschiebe ihn nach linksmuss den Sinus nach links verschieben und den Kosinus zu kriegen wenn sie das machen schieben sie um neunzig Grad nach linksman kann einmal testweise ausrechnenwenn sie den Kosinus von null haben wollen den Kosinus von null dann können Sie stattdessen den Sinus von die halbe ausrechnen für den Kosinus von null kann sie auch rechnen den Sinusvon Pi halbedas wäre symmetrische Knecht in Sinus eine Stelle die halbe null die halbe ausrechnen gibt eins großes M Stelle nullgibt ein so muss es sein das die halbeimmer sich das klarmachtheißt das jaalle lokalen minimal maximalWendepunktedie wandern einfach um vier halbe?? zur Seite des ?? geschenkt einfach nur verschobeneinfachnurverschieben schreibe ich mal ganz dreist in das überlegt sich natürlich dann wirklich niemand noch mal neu schiebe einfach alles und die halbe zur Seiteder Tangente sind immer schwierigerwird es gar nicht schlecht wenn sie noch überlegen wie die Ableitung vom Tangens zustande kommtamTangens von XAbleitung vom Tangente Tangens ist der Sinus durch KosinusAbleitung von Sinus von X durch Kosinus von XTangens ist jadas mein Winkel istTangens ist ja gegen Kathete durch ein Katheteund alternativ kann man rechnengegen Kathete durch routinelosedurch ein Kathete durch Hypothenusekurze Sicht über den Weg sie haben Sinus durch groß sangen sie Sinus durch Kosinusbestimmt immer auf diese Weise die Ableitung vom Tangensmitkurzer Regelokay gerade Nachtrag hierzu diese Obergleichungist notwendigwas sich hier mit der dritten Ableitung gemacht habe?? das mit dem Ober zusammen nehme dann ist es hinreichendals wenn sie haben dass die zweite Ableitung null ist und die dritte Ableitung nicht nur des Tanzes hinreichend dafür das deine Wendestelleein bisschen schnellerso hier die den Tangens den Wasser Prozent Regel wurde das null was wenn sie noch mal ableitenso?? QuotientenregelDanella das Urteil ihr Kosinus Quadrat schreibe ich mal so schulmäßigdann die Zelle ableiten Kosinusmal den Nenner mal Kosinusminus den Zähler stehen lassen Sinusmal den Nenner ableiten großes ableiten gibt minus Sinusund dann haben wir dadas ist es bis Kosinus Quadrat von Xminus mal minus machtlosSinus Quadrat von Xdurch Kosinus Quadrat von Xgibt es mehrere Arten das zusammenzufasseneiner Art wäre sie nehmen großes quadratisch großes Quadrat ist einsPlusSinus Quadrat durch Kosinus Quadrat das Quadrat von Sinus durch großes S das Quadrat vom TangensEinatmen es hinkriegen kann großes V Beistrich großes K hundert einsZiffer durch Kosinus Quadrat sind sich großes langes Quadrieren gezielt quadratisch großes Quadrat oderwas ich eigentlich hübscher Finder AnsichtssacheSinus Quadratfuß großen Quadrat ist einsPythagorasdurch Beratung Kosinus das finde ich fast noch hübscherbeides richtig??ich suche ja null Stellen von der Ableitung was halten Sie von Nullstellenvon diesen Dingern hier wo werden die nullnehme den ihr vorne malwenn das null würde was müsste mit dem Tangens passieren damit das hier null wirdals das Dankesquadratalso der Tagesrat müsste minus eins werdendas heißt der Tangens müsste I oder minus I werden das jetzt müssen komische Reden von reellen Zahlendas wird nicht stattfindensind auch noch andersTangens ist der Ellewinkel ist der Tangens eine reelle Zahl Sie bilden das Quadrat einer reellen Zahl ?? entsteht mindestens nullaber niemals was negativeswas hieraus kommt es mindestens eins weil sie rechnen ?? eins Plus etwas das mindestens null ist es kann niemals null werdenegal wie es wird niemals nurdie Ableitung vom Tangens wird niemals nullalso gibt eskeine lokalen minimal keine lokalen Maxima denn für lokalesWachstum lokales Minimum brauche ich nur horizontale Tangentees gibt keinen lokalenMaxima ein Lokal minimal für denTangensdas ist alsorelativ einfachzu haben weil die Ableitung ihr zu Null wird sie müsste aber mindestens null werdenSinnes könnte sein dass die Ableitung null wird und es ist kein lokales Maximum Minimumaber wenn sie ein lokales Minimumsmaximumhätten lokales Minimum hätten dann müsste zwangsläufig?? werdenwird sie nicht als Arme keine lokalen Maxima minimalist das eineund dann kommen die Wände Stellwendepunktebestimmt war die zweite Ableitung was ist die zweite Ableitung vomTangenssicherheitshalbernoch mal der Verlauf vom TangensDankes ist Sinus durch Kosinus wenn Sie das einmal auf mein hier zwei fifieinmalden SinusBausehr hemdsärmelig heute und einmal den Kosinusdie beiden Durcheinanderteilengibt den TangensSinus ist null null durch eins macht nullviernull durch minus eins ist schon wieder null für den Tangente soll mal in blaues Anschreiben tangensdiseTangens schon wieder null vierteilig Sinus es nur Kursus eins durcheinander macht schon wieder null null durch einshier wird der Kosinus null ich teile Sinus durch Kosinuseins durch nullhier muss der Tangens explodieren nicht Teile durch Null dasselbe hier der Kosinus wird neulich Teile durch den Kosinus hier muss der Tangens zurückspielender Sinus ist da und mit ?? unten hin mal was verkehrt hiernicht teile Sinus durch Kosinusgesehen hier sind Sinus und Kosinus gleichdass es neunzig Grad dass es fünfundvierzig Grad bei fünfundvierzigGrad ist der Tangens gleich eins auf der Höhe einshier anteiligdieselben negativen Zahlen durcheinander dann ist der Tangens auch gleich einshierhabe ich einmalplus soundsoviel für den Sinus und minus dasselbe für den Kosinus da kommt minus eins rausund das selber habe hierVorzeichenVerschiedenbeträgegleich minus eins rausso wird es dann werden der Tangens läuftso ins unendliche kommt dann hier wiedergeht wieder ins unendlichekommt da wiedergeht da wieder zu ländlich und da kommt der von unten das ist der TangensKlammer zu Orientierungsie sehen nebenbei dass sich der Tangens alle hundert achtzig Grad wiederholt der Kosinus wiederholt sich alledrei hundert sechzig Grad der Sinus auch allenfalls sechzig Grad relevanter Netzteilewiederholt sich der Tangens ein hundert achtzig GradPiPi machte diese Figur dabei zwei Pi wieder dieselbe Figurdie zweite Ableitung folglich haben sie rechne mal mit den Geschichten von eben die zweiteAbleitung aus das war die erste Ableitungdie Ableitung vom Tangens weit am einfachsten hier mittlerweiledie Ableitung vom Tangens haben ich leite aber demnach die Xdie erste Ableitung vom Tangens nämlich eins Plus das Quadrat von Tangens von Xund da gibtStoiber Steinchen hier das Quadrat von Tangens von X ist jaindes ausbuchstabierendasdas ist die erste Ableitung nehme den Tangens davon das Quadratdann ins Quadratdereinst dazujetzt kommt sie mit der KettenregelStellewas passiert wenn sie hiermit Kettenregel rangehenKosten bisschen Überwindung also die eins ableiten ist eine Summe die als ableiten fällt wegnatürlich die Ableitung von Tangens von X ins Quadratdas Quadrat ist die äußere Funktion der Tangens ist jener Punkt so das es in dieser Schreibweise bisschenunschön verborgendas Quadrat ?? zuletzt das Quadrat ist die äußere Funktion äußerer Ableitung irgendwas Quadrieren also zweimaldass irgendwasdas ist die äußere Ableitungzweimal der Tangens Kleins Quadrat wird zweimal bla äußere Ableitung males kommt die innere Ableitung das ist die Ableitung vom Tangente Advisors die Ableitung vom Tangens ist dies nämlich eins Plus das Quadrat plus Dankesquadratnämlich eben ausgerechnet die Ableitung vom Tangensso sieht die aus damit habe ich die zweite Ableitung vom Tangensbauzu den Wendepunkt und so weiter komme ist gleich ich habe sie sind zumindest Einfluss der Netzquadrate sind mit niemals null werden zwei wird nicht null werden die einzige Chance dass das null es ist das der Tangens null wird?? wird der Tangens nullda wo offensichtlichen Wendepunkt hat nicht das sie werden nachher die Wendepunkte werdenbei null und vier zwei Pi und so weiter da gehen sie von derRechtskrümmungin die Links Komma an den stell das so nebenbei bemerkt aber guck Komma dass das mit Kosinus auch funktioniert das im großes dasselbe Rausgerichtals ich will jetzt ableiteneins durch das Quadrat vom Kosinusnoch malabgeleitet??könnte man jetzt mit Quotientenregelich würde so dran gehen das ich sage was da steht ist eigentlich folgendesdas ist der Kosinusvon X hochminus zweiwird es jetzt probierenwie geht das weitergenau Kettenregel ?? äußere Funktion ist bla auch minus zweiLauf minus zwei das minus zwei kommt nach vorneund sie haben dann bla hoch minus drei es um eins verringern dadas ist die äußere Ableitungauch mit zwei abgeleitete Gebietes zweimal blau minus drei die äußere Ableitung maljetzt kommt die innere Ableitung den Kosinusableitender Kosinus wird abgeleitet zu minusSinus von X was jetzt völlig anders aussieht als das Wasser eben hattendas beseitigen wir zum Tangens zusammenfassenhier steht jetzt alsodas ist minus zweiGrad minus minus siebzig weg ist zweidas minus siebzig Weg zweimalSinus von X durchKosinus von XKosinus von XKosinus von XSinus durch Kosinus das ja schon mal der Tangens so weit so gut also zweimal der Tangens von Xdurch Kosinus von Xins Quadrat habe ich wieder mal Sinus durch Kosinus wird der Tangensaber wir haben noch Kosinus Kosinusdas ist noch nicht ganz das Wasser eben hatten dort heutezweimal der Tangenshammerden sie hierzweimal der Tangensdas komische ist jetzteins Plus Tangens QuadratPunkt eins Plus Tangens Quadrat aber da noch ?? und hier wird durch Kosinus Quadrat von Xgrade mal angucken was Einfluss Tangensquadrates was mit dem hier passiertihr Einfluss dann ins Quadrateins PlusSinus Quadrat von X durch Kosinus Quadrat von X das aber eben andersrum umgeformtwird dann nämlich wird das auf einen Bruchstrich bringenKosinus Quadratvon X plus Sinus Quadrat von Xdurch großes Quadrat von X das auf ein Bruchstrich gebracht ?? vom sie das und groß das Quadrat von ?? bisins Quadrat von X durch großes Quadrat von XPythagorasSinus Quadrat großes Quadrat ist eins durch Kosinus Quadrat von X so was hier steht es also zweimal der Tangensdurch Kosinus Quadrat von X und das ist dasselbewas da gestanden hat ist das ?? dasselbe muss gewisse Gehirnsschmalz rein steckenwas es gar nicht hatten ist der AkkusTangens hier obentrainierender Akkus Tangenshabendie Funktion läuft ja soins unendliche Reihen die hat kein lokales Maximum kein lokales Minimum weil sie hierdenhohen Wert nicht erreichtund den tiefen Wert nicht erreicht hat sie weder lokales Maximum lokales Minimum und hier an der Stelle null und beim Wert null hat sie offensichtlicheinen WendepunktAmir sich geschafft alles klar was rauskommen muss