[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

09B.9 Baumwachstum mit Differentialgleichung simulieren; nichtlineare DGL


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

einWachstumsprozessund zwar Baumwachstumin denAbituraufgabenfür die Mathematikdieses Jahr noch missfallen kann eine Aufgabe vor mit Baumwachstumwurde einfache Formel hingeschriebendie Bäume wachsen und ich möchte dashier mal herleiten wo diese Formel herkommtbeschreibenwie sich die Höhe eines Baumsüber dieZeit verändert?? die Höhe in Abhängigkeitvon der Zeitdafür möchte ich irgendeine Gleichung erzeugen das beschreiben kannnunauf ziemlich dumme Weiseder Baum mit irgendwas an SonnenenergiekriegenwirdWasser verlierenin der Krone größer die Krone ist es mir Wasser wird er verlierenunder soll wachsen?? irgendwieberücksichtigenwie viel Masse hat so ein Baum?? mit der Masse anwie hängt die Masse höchstwahrscheinlichvonder Höhe des Baums ab wenn ich keine Ahnung von dieser Botanik habe als Laie hierwie überlege ich mir das wie hängt die Masse von der Höhe ab was würden Sie erwarten?? wenn ich mir vorstelle das Bäume Maßstabs gerecht wachsenwenn ein Baum der halbenHöheauch nurin allen Dimensionenhalb so großes Länge Breite Höhe über halb so groß ist dann hat er ein Achteldes Volumens als ich würde erwarten dass die Masseproportionalist zur Höhe hoch dreidas wäre meine Ernährung irgend eine Konstante mal ?? hoch dreiwenn ich die Höhe weiß sollte daswas mit der Masse zu tun habender Wasserverlustin der Kronesoundsoviel Literpro Tag oder pro Stunde keine Ahnung wozu sollte der proportionalsein naiv??hätte sich die Sache oberflächlich hätte jetzt gesagtproportional zu dem Volumen was wir hier habenund original zum Volumen wäre Frau wieder proportionalzu H hoch dreies natürlich alles Hände wird klarKomma dass sie meine Deadline man aufsolche Gleichungen kommen kann wieder zum Schluss auskommen ich hätte jetztgesagt proportional zu H hoch dreiund das ganze wird gespeist durch Sonnenenergiescheint die Sonne draufwozu soll die Sonnenenergieauf dreißig Joule proTag oder sowasnegativ pro Tagdie sollte was mit der Oberfläche zu tun habenwenn der Baumnur halb so groß wärewäre die Querschnittsflächeoder die Oberfläche ein Drittel so groß ich würde davon ausgehen dass das irgendwas mit der Oberfläche zu tun hat wie groß ist diese Querschnittsflächehier die würden mit H Quadrat gehen wenn der Partner schöngleichmäßig wächst proportional wächst zu seinem Ausgangszustandanvielleicht nicht ganzmein Gewitter in der Tiefeauch noch bisschen Fotosynthesebetreiben ?? sind ja nicht nur die Blätter ganz außen willigt mit kriegen die Blätter innen drinwerden auch noch etwas Licht mit kriegen und deshalb sage ich mal ganz dreist H hoch zwei Komma fünfnicht H hoch drei es ist nicht das ganze Volumen beteiligt die plötzliche untenkriegen nicht so viel Licht für die Wetter da obenaber sie kriegen ein bisschen Licht sowie das hier mal probieren auf zwei Komma fünfalsIdeehast ein wann ein Baum so an an Sonnenenergie mitkriegtund dann Hammer folgendeDifferenzialgleichungenwie viel Massekommtdazuder Zuwachs an Masse muss Sensor sein Dokument anders ist die Masse arm mal die Höhe hoch dreiWasser Amadeus drei was ist der Zuwachs der Massedie Ableitung nach der Zeitdas mussten irgendwas sein proportionalzurEnergieminusproportional zum Wasserverlustauf seine Differenzialgleichungenkonstant ohne irgendwasüber Biologie verstanden zu habeneinfach aus dem Bauch herausdie Massearm à la hoch dreiSonnenenergiemüsse die Einheiten anpassen kann frageSonnenenergie irgendwas mein Haus zwei Komma fünf und der Wasserverlustabgezogenirgendwas mal hoch dreidie Änderung der Masse steht hier wie viel Masse kommt dazusollteirgendwas mit Energien Wasserverlust zu tun haben damit die Einheiten richtig machendas wäre die Differentialgleichungmit der ?? starten wollen würdeganz Hände wedeltdas SSH weiter auf was passiert wenn sie linksausbuchstabierenwas die Ableitung von Konstantemal H hoch dreinach der Zeit istbesonders Maus zu buchstabieren versuchen Sie diese Gleichungzu vereinfachensie etwas lesbarer zu machen sowie sie hier steht es in etwas sehr unhandlich machen sie dem etwas handlicher in dem sie links die Ableitung ausrechnen?? Haar soll natürlichdann geht's mir eine Funktionder Zeit seinVorsichthier brauchen Sie die Kettenregel Haar ist eine Funktion der Zeitbekommtman einen BeispielanwenderstündezweiundvierzigMal den Sinusvon X hoch dreiableiten nach X das ?? sich zuerst anzur zwoundvierzig als Konstante davorals Faktor bleibt stehen zwoundvierzigmal jetzt die Kettenregelbla hoch dreiwird dreimalbla Quadratsoausarbeiten war das das ist die äußere Ableitung dreimaldas Ding Quadratmal die in AbleitungKosinusso sieht das ausund hier oben passiertdasselbenur der linke AusdruckA ist eine Konstante bleibt stehenbla hoch dreiableitenäußere AbleitungdreimalblauerQuadratinnerer Ableitungist die Ableitungder Höhe nach der ZeitBeistrich H Punkt wie sie wollenPunkt würde ich eher sagen wegen der Sache nach der Zeitso jetzt kann man das bisschen aufräumenamich möchtelinks und rechts dieses hier und dieses durch H Quadrat teilenes ist nicht ganz unheikel in dieser Situationnämlich tatsächlich hat die ganze Zeit null sein Sinn eine ganz billige Lösung heißt die ganze Zeit nullGleiten null abnull raus da steht nur da steht nurandas natürlich gar die Lösung dich haben wenn ich sage mal ihr Haar soll gefälligst davon nur der Anfangswert soll gefälligstgrößer sein als null und nicht null sein sonstheimliche zu viel Scherereienmit mathematischen Spitzfindigkeitenich Teile durchH Quadratich teile durch drei Armund kriege dann die Ableitungvon H nach der Zeit wirdTeile wie gesagt durch drei Armada H Quadratdiesesdurch drei A mal H QuadratBeistrich dass man inB mal H hoch zwei Komma fünf durch dreimalQuadrategehen minusC malH hoch dreidurch dreiQuadratbeide Seiten durch den ?? geteiltist Adressleiste sollam Anfang ungleich Null seinen offensichtlich wenn die Höhe des Baums einfach lassen es wird hoffentlich weiterhin gleich null seinmüsse man alles diskutierenist aber klar das es gehen wirdsoweit umgeformtdas war diesmal hübscherso wir haben alsoB durch drei war auch zwei Komma fünf durch Haus zwei sind auch null Komma fünf also wurzelhaarminusCdurch drei Aha hoch drei durch H Quadrat sind Hes wird allmählich etwas übersichtlicherist es nicht so schöne diese Monsterkonstantenmit zuschreiben diese konstant ihr vorne nämlich jetzt maldie von mir aus ?? und diese Konstante hier nenn ich mal ehnicht ganz so viel Schreibarbeitbin also nunbei folgender Gleichung angekommenhabe Punkt ist gleichdem mal Wurzelhaarminusäh mal H da bin ich nun angekommenwas für eine SorteDifferenzialgleichungenist dassehr unschönnicht länger als diefür den Jahr habe ich ihn ja schon so einige Tricks verratenaberim wahren Lebenhat man gerne nichtlineareDifferenzialgleichungendie Wurzel hier macht es kaputtwenn ihr nicht die Wurzel stündesondern einfach nur H oder eins dann wär's okay mit der Wurzel herist es kaputtnetterweisein diesem Fall hat man Glückabsurderweisein diesem Fall Glück man kann es retten man kann diese Differenzialgleichungendurch eine Substitutionlinear machenhier klappt es zufälligerweisesie sagenHaarin abhängiger von der Zeit des oben hingeschriebenHaar ist irgendwas anderes eine Substitutionwas würden sie versuchenden Vertrag genau ?? BeistrichX Quadratwill Leitner gerne nach X aber an anderer Stelle gewinnen derzeit abgeleiteten immerBuhquadratsquadratdie Höhe von der Zeit das Quadrat von irgendwas von der Zeitdas probier ich denn dann ist die Wurzel da weg?? dahinstehen Quadrataber Lustigerweiselöst sich auf das probieren Sie mal das setzen Sie mal ein in diese Differenzialgleichungenund stellen fest dass dasglücklicherweisedann den Jahr wird setzte sie das mal ein Substitution?? Fusion einer Funktion die innere Funktion ist Buffon Teedie äußere Funktion ist Quadrierensie leiten die äußere Funktion ab zwei malwas drin stehtzwei das ist die äußere Ableitung und dann kommt mal die innere Ableitung U ist die innere Funktion die Ableitung der Funktion ist Punktdann haben wir also insgesamt H Punkt Ersatz zwei Klammer zu Punkt zwei mal Punktes gleicht dem mal Wurzelhaaristdas ?? Sinn der Sacheminus äh malQuadratauch wieder bisschen diskutierendarf ich durch teilenwenn ich sagedie Höhe soll gefälligst niemals null sein wenn es auch gut niemals nurrichterlichen Teilendann fliegt der raus der fliegt raus und das Quadrat schlichtwegdas jetzt lustigerweise eine lineare Differenzialgleichungenzufälligerweisehat das hingehauenmit List und Tückeweil ich mir fünf Minuten über Lichter zu Hause wie man das machen kann diese Patienten auch andem sie das sich als Rezept die Versager ?? ganz viel Basteleiin den sie mal wie manan dieser Stelle mitGlück aus einer nichtlinearenDifferenzialgleichungeneinelineare machen kannKomma vielleicht in die übliche Form bringen hier steht alsozwei BPunktLos E mal U ist gleich Deine inhomogenelineare Differenzialgleichungendie lösen sie nach Schema Ferkennen wir U und kann dann habe Stimmenokayvielleicht gar nicht in Einzelschritten vorgeführt ?? den als dritten Rechnerkanisterinsgesamt hinschreiben was wird Buffon Tee seinich suche eine spezielle Lösungdieser Differenzialgleichungendenken Sie an ebenwenn X rauskommen soll Seite nach X ab wenn X rauskommen soll wieder mit X einzusetzenwenn ich zur Zeit wirklich rauskommen soll probier ?? zur zwoundvierzig X ein viertes weiter anzusetzenwerdenund zurückwenn T hoch null null ?? RTR Bentley hoch null rauskommen sollob ich was mit ihm noch null einzusetzen eine Konstantein hierdie Quadrat stünden endlich was mit den Quadrat groß T plus Versand angesetzt ?? besteht die hoch nullBesuches einer Konstantendessen offensichtlich was man nehmen mussdie durch E wird es tundas ist eine spezielle Lösung wenn sie hier die durch E einsetzen ekelt sich die kommt raus die Ableitung ist null Geschenkeine spezielle Lösung dieser Differenzialgleichungenplusdie allgemeineLösung derhomogen gemachten Differenzialgleichungensich schmeißen das die Weg schreiben null hinkann man auch so sehen was dann sein muss es irgend eine KonstanteBeistrich keine Neugierde nicht als Mann F irgend eine frei wählbare Konstante F mal die hochwas brauche ich vorne die Ableitungkann sie also minusdie halbemalZeit habendies für sie das Nummernschema stammte aus Kriegen Risiko sie ableiten kommt minusäh halb nach vorne zwei kürzlichdas siebzig mit dem ??so und damit weiß ich was die Höhe sein muss die Höhe muss das Quadrat davon sein die Höhe muss also seinD durch Eplus F mal E hochminusE halbeTQuadratsbausind schon ziemlichanerkannte zeitlicherahnenwas wird das Vorzeichenvon F sein F wie gesagt können sie ja frei wählen eine Konstante jetzt frei Beweis für diese allgemeine Lösung hier was wir typischerweisedas Vorzeichen von F seiendas Muttertier Klammer auf mal wenn F größer ist als null größer wäre als null wird typischerweise nicht größer zu sein der handliche innen drin eine Funktionskonstanteplus ablehnende Ex Mensafunktionsowas hätten sie dann in drineine Konstante plus ein ablehnende Kommentarfunktionund davon bilden sie das Quadratdas sieht nicht gut aus für das Wachstum eines Baumes der Baum würde kleiner werdenin Abhängigkeit?? Funktionen F größer ist als nunder Baum würde kleiner werden das ist keine gute Idee dieses F wird negativ sein lustigerweisedamit der Baum auch wirklich wächstwenn SF negativ ist habe ich innen drin hierich zieh was abeine Funktiondie anwächstsowasso eine Funktion als OrganisatoraufladenF soll negativ sein zum Schluss steht hier was wie die durch äh das ist das Entresultatdie durch ihn das für das Entresultatseinals optischen Kondensator auf lade ich nähere mich diesen die durch Ehe mehr und mehr anich klinge ab sozusagen aber dabei wachse ich weil ich einiges abziehen und davon will ich das Quadratmanchmal nicht in dasselbeKoordinatensystemdavon werde ich das Quadrathatte das ist das Buch was innen drin steht und hiervon das Quadrat heißt ich fange hierrelativrund anFamilie relativ rund an und nähre mich dann umgehend ein Maximalwertim Quadrat von den maximaldas wird manals Baumwachstum gebrauchen können ist gebrochen professionellen Namen dafürdas ist die Chapman Wirtschaftgroß Fang schonaber dennoch dazu zur Ehre der beiden Leute hierBranchen