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16B.3 komplexe Fourier-Reihe für Sinus; Effektivwert


CC-BY-NC-SA 3.0

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Klammer zuden komplexen Foyer reinschreibstKomma den der Gedanke ist wenn ich eineFunktion habe mit Periodegroß Cdass ich die zerlegenkannin dieserMaschine seinen Schwingungensehr Kosinus plus Sinus E hoch immer irgendwas des Kurses PlusminusunfälleOberwellenGleichspannungwas von wegenI auf jeden Fall dass man online Aktion hatversehentlich den Winkel sorgen zweidiedie Zeit durch die Periodenlängedas wäre dieGrundschwingungwenn die Zeit Punkt je größer wird groß Tdie Periodenlänge größer wird wird das hier um eins größerim Exponenten steht dann zwei Pi mal mehreine Umdrehung Verdas wäre die Grundschwingungund davon aucheinfache Frequenz sich nicht um ihre über alle vielfachenhier ähm auch negativeSegment ?? Komma wozu die negativen da sind das Schulfach wäre gleich Spannungein Versatz rauf unterhier stehen die Fourierkoeffizientendie komplexen Fourier Koeffizientenzweifelsohne wirklich komplexe Zahlen stehender Betrag der Zahl sagt wie viel von dieser Schwingung drin ist und die Faserwinkeldieser Zahl sagt was die Phasenverschiebungist für diesen Anteilamsoweit erst mal im Prinzipdie Formel des Garten für die frühe Koeffizientenauch noch was zum ausrechnen wenn man jetzt wissen will wie viel davon drin ist mit welcher Phaseeinemebenso naht Skalarproduktich integriereüber einePeriodenlängevon null bis T odersie können auch genauso zum Beispiel von minus die halbe bis plus die halbeintegrieren Hauptsache war eine Periodenlängeperiodische Funktion integrierenüber eine Periodenlängeist egalwo sie die Periodenlängenehmen Hauptsache war eine Periodenlängekönne anstecken was sie vorne über istwieder ein und dasselbe raus als ob darüber eine Periodenlängemein Fach seziert zu schreiben von stehenähmund dann kann der hier mit einem Minuszeichenerstes kam die Funktiondashat nicht nur sondern hat das ist tatsächlich ein Skalarproduktsie die alten Videossound der Jobeigentlich ist typischerweisenicht das man seine Funktion wieder zusammensetztund weiß typischerweisewas die Funktion ist man hat etwas gemessen ein Signal gemessen man weiß was es istimmer ist die Frage welche Anteile sind denn drin also das ist im allgemeinenspannender Geschichte die Fourieranalysegegeben eine Funktionein SignalFunktionsumfanggegeben diese Funktiondie zerlegenwas wären dieüber die Foyerkoeffizientendavor welche Oberschwingungensind und welche Amplitude weg erfasst dabeidas ist im allgemeinen gespannt Leerschrittdas ist die Ausgangslageich überlege mirmehr oder minder raffiniert dass meine Funktion so zusammengesetztistund dann stimmigwie sie der zusammengesetztist dass sie oben ist die Fouriersynthesedie Funktion wird gebildet wie sie in der Chemie was synthetisierenschon mit gewähltFoyer sind dieseFoyeranalyseich analysieredie Funktion was ist denn drindie für die Analyse zum allgemeinenSpannzangeauch fertig gebaut als Messgeräteiner Leisernoch mal ein billiges Beispiel sie nehmen mal folgende Funktionsfunktionsoll einfach seinSinusso glücklich istsie nie mal einen reinen Sinus hierwie ist der denn jetzt zu bildenwas sind die Foyer profitierten die komplexenFoyerkoeffizientensoll ich dazu sagen gleichgibt's ja noch mal dieRegeln Anführungszeichen untenA und B von KoeffizientenCC Ende sind die sogenannten komplexenZahlen werdensie bestimmt mal diese CN für den Sinuswies der Sinus den jetzt zusammenzusetzenaus diesen Funktionenich fange mit dem ganz kurzen Weg an eine der ?? der wichtigste istEuler zum tausendsten Mal Euler Ehe hoch ihm mal einen Winkel ich bin jetzt aber Winkel Gleichzeitist Kosinusvon dem Winkelplus niemals Sinusvon den Winkelmein Mantratheoriemal Tee ist die komplexe Zahlmit Länge eins undWinkel in diesem Fall Tdann lesen Sie abwas ist der RealteilKosinusvon Winkel T um was ist derImaginärteilSinus von diesem Punkt ITandasnutz sich ausden wenn ich jetzt ganz dreist sage was ist denn die hoch minussiebenminus sieben HTKosinusvomnegativen Winkel ist der Kosinus vom Winkel großes S ?? gerade Funktionsie ?? zum negativen Winkel ist minusSinus vom Winkel des Hundes ist ungerade Funktion oder jemals wieder auf was passiert wenn ich eine Zahlelänge eins habe mit dem negativen Winkel der Kosinus behält sein Vorzeichender Sinus ändert sein VorzeichenPatrick ist jetzt die beiden voneinander abzuziehendann steht da eh hoch niemals ähm minus E hoch minus mal Tee ist gleich großen Smith Kosinusfällt wegniemals Sinus minus minus immer Sinus gibt zweiihnbei den Sinusder Ministerien macht null der minusminuszwei Malund damit weiß ich was der Sinus ist der SinuserstE hoch I Tminus E hoch minus GT durchzwei ihnso kriegen sie den Sinus ausgedrücktEuler Sach den erst mal was Ehe hoch ihm mal irgendwas ist mit Kursen Sinussie spielen bisschen rum kriegen dann den Sinus ausgedrückt mich eh hoch ihmmal irgendwasanwas ändert sich für den Kosinus ?? den Kosmos auf diese Weise haben wirja den Kosinus haben wollenin großen Mustern addierenKosinusund in ihrem Plus KosinusSinus mirausgroßes bis großes G zwei Kosinus sich zwei I Kosinusalso beim großen ?? und nurzweinicht zwei ihnso gibt's den auch den Kosinus aber mich hätte sie sie interessiertund da steht schon alles waswas ich haben willlustiger Weisesich das angucken versteht dafür den Sinus der steht einst durch zweimal die hoch Tminus eins durch zwei maligeminuszehn?? können Sie ablesen was die Foyerkoeffizientenfür den Sinus sindsehen sieC einsund hier sehen Siewelche Koeffizienten?? diese System minus eins das Mineral zeigen alle anderen sind null?? zeitgleich noch mal aber vielleicht malwas uns das sagen willum den Sinus zu bildenmirder Grundfrequenzsozusagenden Sinus zu bildenbrauche ich dieden C eins Koeffizientenund den sieben minus eins Koeffizientendeshalb die negativen Frequenzen hierdie negativen Andreaversichert vermissen krank aus ?? soll ich hier auch negative Zahlen reinschreiben die brauche ich damit das ganze auch virtuelle Funktionen bilden kann das hier sind ja hübsch komplexe FunktionWiesodurch die komplexe Ebene rotierendamit ich was reales bilden kann brauche ich ja auch die negativen Frequenzen versickern hier den Aktion brauche C einsund Cminus eins diese beiden Koeffizienten?? für den Sinusdie Anerkennung der netterweise vergessenBeistrich nochmals ein hundert C eins und sie minus eins sind oder siein das ?? Klammer aufwir sie gerade mal selber ausdemTafelbildaber sei so wenn siedir nehmen diese Funktionen das mal ausbuchstabierendie Summeam vorn hast ?? malvon innen gleichminus dreibis N gleich drei was steht denn da überhaupt wenn Sie diese Summe herausbuchstabiert?? mit dem Pünktchen aus dem indessen endlichen Komklosersteht hierfür minus dreiund so weiter was die dafür plus dreiund den Pünktchen wieder bis ins unendliche gehenwas bedeutet eigentlich diese Summegroß Thinschreiben soll die Periodenlänge ist natürlich jetzt zwei Pigemerktwas bedeutet das für diese Summereinschreiben was die ist von minus drei bis plus dreidannhoffentlich etwas klarso befangen bei minus unendlich an zehnminus zehn MillionenE hoch zweiPi I mal minus ?? Millionen Tee durchzwei Pi groß T ist zwei Piund so weiter und so weiterman nur die mittleren Therme und die null herumKomma aus dem unendlichenaus dem minus unendlichkompliziert plus was passiert bei minus drei N gleich minus drei dann steht da C minus dreiMal E hoch zweiPidiemal minus drei mal Tee durchzwei Pi die zwei Pi kürzen sich eh hochihm mal minus drei mal Teewie hochdie mal minusdrei mal Teeversteht dafür minus dreifür minus zwei steht AC minus zwei?? hoch minusmal zweimal zehnfür minus eins steht als C minus eins E hochminusdie mal Teeetwas schreiben mich minusfür N gleich null zehn null E hochnulljedoch null ist eins einfach nur zehn null das Hans inzwischen schon mitgekriegt sie nun ist einfachen Versatz rauf unterGleichspannung Gleichstromversteckt in zehn null drinsind dazu noch schaffen kannund dann geht's weiter mit Cdiesen ?? können Sie einsE hoch zwo Pi I mal eins mal Tee durch zwei PiC einsmal eben hoch ihm mal Teeplusdas reicht nicht sie wissen jetzt wie's weitergeht und so weiterso und der Witz istwas war der Sinusder Sinus der Sinus war einst durch zwei ehemalige hoch TMinusplanAhadaheim bei eins durch zwei ihm mal wie hoch GT dieses C eins muss einst durch zwei ihn sein gerade gesagtund in den Sinus war drinnenminus eins durch zwei ehemalige hoch minusI Tdas heißtdieser hierCT dieser hier ist minus eins durch zweidie beiden brauche ich und alle anderen brauche ich nichtda steckt das drinwas sie nehmen den hier für N gleich minus eins sie nehmen den hier verändert plus eins die beiden brauchen sie um den reinen Sinus hierzu bilden alle anderen können sie weglassenmüssen sie sogar weglassen sie die noch dazu nehmen passiert ein Unsinn alle anderen müssen sie weglassenso entsteht der Sinusandas Weiher noch nicht sicherist auch bisschen was Neuesnicht ?? bisschen was neuesamwir prüfen gerade mal noch den Effektivwertwas ist der Effektivwertvom Sinusund wie würden Sie das jetzt mit den Foyerskoeffizientengegendie würden sie aus dem Foyerkoeffizientenden Effektivwertberechnendie beiden Sachen mal vergleichenEffektivwertvom Sinusmüssen sie eigentlich aus der Wechselstromtechnikwas ist der Weg wird von ?? und wie könnte man jetzt aus diesen Foyers Koeffizientenvon den Männer zwei brauchen den Effektivwert berechnendas kann lustigerweise dieser schon mal vorder Effektivwert von einem Sinusähmwas mach ich elektrotechnischerSeite elektrotechnischerseitssage ich okay ich lege mal diese Sinus Spannung an einen Widerstandan ?? gucke mir an wie viel Leistungdann in diesem Widerstandunschön Widerstand verbraten wird ist es proportionalzur Spannung ins Quadratdas wäre ein Maß für die Leistung wieder verbraten wird und dann überlege ich mir UG welche gleich Spannunghätte dieselbeverbratenLeistungswiderstandim Mittelanundgut wie billig das Mittelich integriere das hier die Leistungdass es proportional zur Leistungdas integrierenüber eine Periodenlängedann weiß ich wie viel Arbeitverrichtet worden ist wie viel Wärme aus dem Widerstand rausgekommenist weiß ich dann ?? gehört jetzt noch mal eher dazu muss es auf jeden Fall proportionalzur Wärme der sie mir schon rauskommt?? ich teile durch die zwei Pidas ja meine Zeit tanzt aus der Arbeit wieder eineLeistung geworden Arbeit pro Zeitund einzig noch die Wurzel drausdamit ich wieder waspflege was richtige Einheit für die Spannung hatdas wäre der Effektivwert?? ich merke mir das immer alsEnglisch ist es einfacher Gutmisquerdie Wurzel aus dem Mittel des QuadratRMS AMSdie Wurzel aus dem Mittelintegralbilden und durch Dis durch die Länge des Integrationsintervallsteilen istMittelwertbildungund da steht das QuadratMinsk queroder mandenkt an Pythagorasdas ist eigentlichen Verallgemeinerungvon Pythagoraswie bilden sie die Länge eines VektorSie bilden dieX Komponente ins Quadrat Y Komponente ins Quadrat EZ Komponente ins Quadrat die Summe draus die Wurzeleigentlich steht daPythagorasin gewisser Weiseso das effektivwertintensiveKomma ausso das integral von Quadrat vom Sinus man könnte es mit List und Tücke lösen das Quadrat vom Sinus kann man auch hübsch zusammenfassenähmich mach das immer sovon null bis zwei dieSchließung für die einshaben den Sinusdas ist der Sinusund mich interessiert jetzt das Quadrat vom Sinuserstes eins das S null dreißigstennull das ist auch wieder einsdas es nullminus eins Quadrathiermuss ich das Quadrat vom Sinus auch hübsch von unten an die eins an Schmieden hier muss sich auch von unten an die einzelnen schwinghier geht der Sinus das Komma nicht auf mal unter der Lupesehen sich hierdas der SinusY gleich X quasistartetder Sinus geht hiermit fünfzig Grad los im Bogenmaßder sich unter der Lupe auswie diese gerade Y gleich X und wenn sie dann Quadrierenkriegen sie Y gleich X Quadrat unter der Lupe hier unter der Lupe sieht das aus wie eineParabelund dann ist hoffentlich die Überraschung nicht so groß dass man zum Schluss wieder eine Sinus Vermischungbricht mit Gleichspannungsversatzkann man auch ausgerechnet am einfachsten geht das ausrechnen wenn sie für den Sinus die unsere Formel von ebendiese Formel wenn sie die Formel für den Sinus einsetzen und dann einfach Quadrierendieses auch aussie kriegen wieder eine Sinusfang die Schwingung rausundderen Gleichspannungsanteilistein halblustigerweiseund das bestimme ich hier gerade mit dem integralvon den Quadrat hier die rote Kurvebilligt den Mittelwert haben was ist der Mittelwert ein halb hier unter der Wurzel steht ein halbkann sich auch ?? mit der gegen Fläche und überlegen was ist der Wert dieses integraldas integral ist genauso groß wie diese gegen Fläche dadrüberich weiß wie groß das Rechteck ist und so weiteraber noch viel einfacher ist zu sagenintegraldurch längeres Integrationsintervallsist ein Mittelwertsowie alle aufsuchen und dann durch die Anzahl ?? ein dass ein Mittelwert was der Mittelwert dieser roten Kurve ein halbunter der Wurzel steht ein halb das integral ist also eins durch Wurzel zweiden Faktor sollten Sie auch schon wieder gehört habendannso das ist die offizielledie offizielle Art wie man den Effektivwert bestimmt Sinus gegebenAmplitude eins was ist der Effektivwert Einzigwurzelzweies lustig istdas für den auch viel einfacher hätten haben könnenwenn sich die beiden an Punktdenndas ist wiederPythagorasauf eine sehr verallgemeinerteArtsie rechnen von den beidenäußerte mal gemeinhinallgemein wäre das folgendes sie summieren alle von diesen Koeffizientenfoyerskoeffizientenim Betragsquadrataufminustäglichund ziehen dann die Wurzeldas sollte sie wieder Pythagoraserinnernsowie zu lustigerweise auch den Effektivwertaus den Foyerskoeffizientenim Betragsquadrathabensie gleich einmal rechnen aber vorherwarum schreibe ich hier eigentlich Betragsquadratwarum schreibe ich nicht CN Quadratwarum schreibe ich Betragsquadratesieht ein bisschen nervig aus bei Pythagoras stetig Betrag QuadratPythagoras steht einfach Quadratder komplexen Zahlen sichern sie das wie wenn sie einfach nur Quadrierenbesiegte fürchterlichesdiese Anteile werden plötzlich negativ solche Geschichten das will ich überhaupt nicht ?? auch das Betragsquadratwegen der komplexen Zahlenhabenzu Übungdas Grabmal aus das es es wirklich stimmt ?? wissen was rauskommt eins durch Wurzel zwei aber rechnen Sie einmal nach dass es hier wirklich stimmt für den Siemensso ausder ganzen Summe bleibt mir nur diese beiden C einssieben minus einsist alsodie Längeder Betrag der komplexen Zahl C eins ins Quadratplusdie Längeder komplexen Zahlen zehn minus eins ins Quadrat oder andersrumes minus eins und dann einzigartigschauerliche von mindestens ?? gestoßen und ich geheso die beiden hatte ich ja schon einzig zwei I minus eins durch zwei das ist also die Wurzel aus Betrag eins durch zwei ihn Quadratpluseins durch minus zweiQuadratder Stelle soll Komma klarmachen der steht ja nicht wie hoch ihm klar jetzt noch dabeidiese Funktionenhierdiese Funktion denen ich dabeies jetzt nurmit den Foyerskoeffizientennur diese reinen nackten Zahlen nichts was davon T abhängt denenlassen sie weg das machen sie aber Pythagorasnormalerweiseauch nicht wenn siemittels Wörterdannwenden Sie sich Pythagorasdie Länge eines Vektor bestimmen eins zwei dreispäter die Wurzel eins Quadrat plus zwei Quadratfußdrei Quadratbesteht ja nicht die Wurzeleins Quadrat maleins null null Quadrat noch der Vektor dazu und hier null eins nullQuadrat wird man lustigerweise in gewisser Weise so schreiben aberdas ist ja nicht was man erwartetso solches Ausseheneinfach nur die reinen Komponentender steten EUTheorie Martyinsbesondere steht dabeiso die Länge der komplexen Zahl eins durch zwei dieLänge der komplexen Zahl durch zwei I neben Rechnung wirklich eins durch zwei I ausgerechnetder exponierten erweiterten Text korrigiertdie unten wäreminus zwei I immer nur minus siebenundvierzigbisschen sehreins durchzwei ihm mal minuswie oben auch mal minusund dann steht am minus Si durchsteht zweimaldie mal minus I immer minus isteins also minuskomplexe Zahl minus I halberda istminus I jetzt minus ihr halber die Länge dieser komplexen Zahl ist ein halban sie auch ein ausgeprägtergroßes Wunder als ich ihr ein halb ins Quadratplusdas natürlich auch ein halb ins Quadratein viertel plus ein viertelmachtein halb unter der Wurzelist eins durch die Wurzel zwei das ist der Effektivwertso konnte auch mit den Fourierkoeffizientenaus?? müssen sich auch entsprechend auf summieren wieder Senat verallgemeinert der Pythagorasim?? die Moral ist dass diese Foyerkoeffizientendem Betragsquadratsich auch wieder vernünftigzum Fall gratis Effektivwert zusammen addieren müssen das darf nicht zu viel werden und nicht zu wenig werdenwir glatt einfach eine Geschichte gar nicht jetzt gesagt ich ?? sagen wolltewir haben angefangen mit demSinusendlich ab sofort den Sinus zerlegtmithilfe von Euler und gar nicht dieses integral ausgerechnetdieses integral ausder das auch mit dem integral machen können?? eh hochund für den Sinus schreiben Sie hier jetztdie hochihm AT Minuseominisimmer die durch zwei Tiere soumfassen die Funktion zusammen könnte man machen wenn bisschen aufwendigdieses hier ist der direkte Wegdas man sofort sieht wie man den Sinusaus die hoch ihm AT bildenja das war die einfachste Funktion von allen Foyers zerlegte Sinn selbst daraus kann maneinergroß Wissenschaft machen