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25.03 Volumen von Rotationskörpern


CC-BY-NC-SA 3.0

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dannzum Volumen von RotationskörpernKörperninRotation Körper soll heißen ich nehme eineUhr für einen Grafenund drehe ihn um irgendeine Achsesowie auf der Töpferscheibeich nehme jetzt in diesem Fall die x-Achseund drehe einen Graphen um diex-AchseKomma ?? y-Achsey-Achsesoder Graph einer Funktionohne mich in Mariakeine Ahnung sowas der Graph einer Funktion sie geht von A bis B hierStelle A bestelle Bund ich möchte ein Rotation Körper draus machenindem ich ihn um die x-Achserotieren lassen?? gewordenBeistrichimmer sicherer spiegelbildlichehabenirgendwelcheTöpferwarenherstellen und das Volumen haben wollenwir das hier der Gedankeannatürlich sind ganz viele technischeGegenständesolche Rotation Körperhabenalle möglichen Sorten der Linken an die die Kühltürme beim Kernkraftwerk zum Beispiel das offensichtlich Rotation Körperirgendwelche Kesselin den gerührt wirdalles Rotation Körperinsofern verspannt deren Volumen zu habensoll das Aussehen das oft vornedieses Stück das Stück hintendas Stück läuft vornedas sitzenden InfoA sowie das wieder zuso von so einemKelchstillgelegtenKelch möchte ich das Volumen habe ich heute noch anmerke man kann natürlich auch anders rotieren sie können hier diesen Fusionsgraphennehmen die Z Achse rotieren lassenwenn sie das Gebilde natürlich ziemlich anders ausfür mich jetzt nicht vorgibt etwas andere Formel klaranderes Volumenals erster gucken welche Achse gedreht wird ?? ich möchte jetzt hier den Graph einer Funktion F nehmenund um diex-Achse drehensoll ?? gar nicht F nennt man Funktion sondern Radius eigentlich habe ich für jedes Xeinen Radiushabe weil ich den jetzteinen Radiusabhängig von X das ist ein ?? was ich habemal was meine Funktion angibtzudem warder Radius an der Stelle Art zu den Bäderradesbestelle Bund so weiter zu jedem Xeinen Radius in Abhängigkeit von dem Xdie FlächeQuatsch das Volumenvon diesem Körpergibt es praktisch gratismit dieserBierdeckelmethodeoder Salamimethodestellen Sie die sich das zerschnittenvorin einen als ein Stapel von mehr oder minder kleinen Deckeln oder mehr oder minder kleinen großen oder kleinen Salamistückchensie summieren einfachderen Volumina aufwasein Integral werden musseine unendlich feine Summe an integral von A bis Bund jetzt das Volumeneines solchen Teils hier einer solchen Scheibe das Volumen einer solchen Scheibeer hatdiese Scheibe nicht nicht er sondern sie diese Scheibe hat die Dickedie X sinnvollerweise?? das Volumen rauszufindenbrauche ich jetzt noch diedie Flächedieser ScheibeKreisverbandder eben Pi mal R QuadratPi mal den Radiusden Querschnittsradiusdes Rotationskörpersan der Stelle X Pi maleher von X in KlammernQuadratdamit habe ich das Volumendieses Rotationskörpersdas Prinzip natürlich rausA bis B Deliden Radius insQuadratintegriertso grimmigdas Volumeneines Rotation Körpersdas ist in der Tat das Volumenals Summe von lauter Bierdeckelnsie nehmen denBierdeckel dann kommt der nächste Bierdeckel CD mal auseinander die einzelnen Bierdeckelsowie die Münzen oder sowas wie ein Stapel von Münzen vielleicht auch alle Mal auseinandergezogenauseinandergezogendas Volumen von jedem Einzelnenist die Flächemal die Dickeund die Ingenieure und die Physikerstellen sich dieses dann jemals die dicke vorderste Xda steht die Fläche da steht die Dicke das heißt insgesamt ist das Volumen was dazu kommtan die Mathematiker müssen sich immer nur weiterdenken so ist eben schon vorgeführt hatte hier das wäre die üblichePhysikalischingenieurmeßingenieurmäßigeBegründungin Streifen schneidenund fertig ähmdiese Begründung hier die Fläche unter der Kurve die Fläche unter der Geschwindigkeitist die gesamte gefahrenen Strecke das wäre so eher mathematischund das in Streifen geschnitten hat?? das ist ?? bei den eher mäßigen Begründungdie Fläche mal die Dickeist das Volumen des jeweiligen Teilstücks und das auf summiertdamit aber das Volumen des ganzen Rotationskörpersbei Drehung um die x-Achse nicht bei Drehung um die Zeitachsean?? geht ähnlich aber ich fürs nicht vorslohnt sich nichtdafür gibt's eine Faustformeldas geht noch anders man die Formel als solches schon relativ billig aber es geht sogar noch billigerund zwar so?? ich überlege mirwas die Höhe des Schwerpunktsdieser Fläche sich mal das noch mal ineinen für die NummerachtzehnNummer achtzehnalso noch mal diese Kurve hierhin gemaltZeitachsedie y-Achse malgenauin die Zeichnung rein x-Achse zur Seitehier ist meine Kurvevon A ist BSA lesen kann von A bis Birgendwo ist man X irgendwo ist man eher von X ihr das diese Kurve ist der Radius abhängig von X ist man nicht perspektivischsondern platt von vorne draufgegucktRotation Körper wird sich jetzt hier soausdehnenin?? wird in die Ebene reingehen aus der Ebene raus Kommawenn ich mirdiese Fläche anguckePunkt ich frage michdiese Flächeund ich frage mich wenn ich diese Fläche aus Karton Ausschneidenführtin der Mittelstufewo manalles auch gemacht Komma Normalparabelaus Karton Ausnahme du das was sie sich vor sie würden diese Fläche aus Karton ausschneidenund müssen dann beantworten auf welcher Höhe der Schwerpunkt ist wohl nicht schwer Punkt wenn Sie diese Fläche ausgeschnitten hätten diese rote Fläche hier und müssen die auf ein Lineal balancierenmuss überlegen wo das Lineal so in der Höhe ihrerzu und erhöhe hierin sie Darling jada Lineal drunterlegen würden in der Höheihr dasrestliche malwenn sich die Fläche so vordie Fläche jetzt hier von der Seite gesehen dir jeglichen Inhalt untergemaltlediglich ein Lineal druntersoauf welche Höhe hier muss ich das Integral dass das nicht endlich das integral auf welche Höhe muss ich das Lineal legenso das das in der Balance istsodass der Schwerpunktmeiner Fläche des Stücks paarweise ausgeschieden hat und welche Höhe muss ich dasim Jahr legensodass der Schwerpunkt meiner Fläche dadrauf dich das interessiert mich die Höhe des SchwerpunktsdesSchwerpunktsund wenn man den hat kann man netterweise direkt damitsagen was denn das Volumen istdes Schwerpunktsder Flächedie sicherheitshalber zu schreiben nach ?? im Innern anderen Schwerpunktjüdische grundsätzlich und inhaltlich genannteinfallsloshabeneher oben quert ich den genanntso das soll die Höhe desSchwerpunkts der Fläche seinwie kriegen wir den hinnunein sie sich dieKurve wiederich die Kurve die für diese Flächeaus kleinen Stückchen zusammengesetztdenkendann glücklicher den Schwerpunktdes gesamtenindem ich die einzelnen Teile anteiligzusammen addierendieses Flächenstückchenzum Beispiel wirkt sich auf den Gesamtschwerpunktweniger aus als das FlächenstückchenDavid Wichtjahrdas anderthalbfachehat die anderthalbfachen Masse dieses Ding diese Latte ja die anderthalbfachen Massevon dieser Lattedie Renten wird auf den Schwerpunkt auch die anderthalbfache Auswirkung haben von der??Punkt einsalso dieFläche jeder dieser Latten wird sichwird als Gewicht eingehenPunkt zweiwie hoch ist der Schwerpunkt einer Latteder Schwerpunkt jeder Latte ist auf deren Mittejetzt kann ich aber nicht einfach denden mittleren Wert aller dieser Höhen bilden denn diese Latte hat weniger Gewicht als dieses das wäre noch heftiger wenn sie Sondersituationhabensichdas vorund dasssie können um den Gesamtschwerpunktzu bestimmen nichtdiese Höhe mit der Höhe mit denn das hier ist ja der Sitz in Bonn und fliege drauf das macht keinen Unterschied auf den Gesamtschwerpunktdieses hier ist sie wichtiger für den Gesamtschwerpunktdie Flächejeder dieser Latten muss noch eingehen wie die Auswirkungen auf das gesamte sind proportionalzur Fläche jeder dieser Lattenso wirklich das also damit habe ich das ist insgesamtderjeweiligeRadiushalbedas ist die Höhe des jeweiligen Schwerpunkts A bis BTXjetzt muss ich aber noch diese Gewichtung habenwas ist das Verhältnisim Gewichtin der Massederdieser Latte zur Gesamtmassediese Latte zur Gesamtmasseda steht dann einfacheher von X durch die Gesamtflächedas wiederphysikalisch ingenieurmäßiglesensteht daeher mal die Xdie Flächeeiner dieser Lattendie ist er hoch TX breitim Verhältnis zur Gesamtfläche ?? die Gesamtfläche unter dem unter der Kurve soll aha seinPunktso habe ich das die Höhe der Schwerpunktes jeweils die Hälftedes Radiosund hier steht meine Gewichtungdie jeweiligeFläche dereinzelnen Latte im Verhältnis zur Gesamtflächedas machtdas zwei kann ich die zwei kann ich raus ziehenhier steht er Quadratvon A bis BR QuadratD Xdie zwei habe ich rausgezogengroß A muss ich noch aussehen das ganze durchdie Gesamtfläche unter der Kurve diese Gesamtfläche unter der Kurve wäre eigentlich das integralaber ist es raffinierter als das integral über die Fusion Erbes raffinierter das sogar so stehen zu lassenund jetzt kann ich sagenwas denn das Volumenvom Rotation Körper istbezogenauf den?? auf die Höhe vom Schwerpunktdas Volumen ist Pi mal das integralvon er Quadratund sie sehen auch ?? habe ich auch was mit dem integral von er Quadrat sitzt aber ein bisschen anders drinalso das Volumen war Pi mal das integral von A bis Bnuneher von Xso Quadratdas war das Volumennun habe ich aber eine andere Formel für dasintegral vom Quadrat des Radius das integral vom Quadrat des Radiusist bringen die zwei rüber bringen sie die ?? die Fläche rüberdas integral von Quadrat des Radius ist zweimaldie Fläche unter der Kurve mal die Höhe des Schwerpunktsalso habe ich hier das ist Pi malzwei maldas die die Fläche unter der Kurve maldie Höhe des Schwerpunktsdas kann man noch anders zusammenfassenzweimalPi maldie Höhe des Schwerpunktsmal die Fläche unter der KurvezweimalPi mal die Höhe der Schwerpunktsliest sich so wie der Umfang eines Kreisesund da steht einfach die Fläche unter der Kurvedass es plötzlichen anschaulicheInterpretationdes Volumens von dem Rotation Körperwenn siesich folgendes anguckeny-Achsedass dieSetaxemein Rotation Körperganz gelungen heutesoAx unterbrechen müssenwas soll man Rotation Körper seinwie kann ich also das Volumen von meinem Rotationskörperbestimmenich bestimmedie Flächeunter der Kurveals wäre diese Fläche hierdas wäre die Fläche Aund dann bestimme ichdenWeg des Schwerpunktsder Flächebei der Rotationdieses hier ?? groß er quersolldie Höhe des Schwerpunkts sein?? auf welcher Höhe sind der Schwerpunktdawarin schlechtem schätzenerreicht man da lange weiter auf dieser Höhe sitzt der Schwerpunktentweder des hier groß eher querwas hier steht istder Umfang eines Kreisesmit dem Radiusdas ist nicht anderes als der Weg des Schwerpunktsbei der Drehungdas ist dieanschauliche Interpretationdafürwas das Volumen istdie sie multiplizierendiesen Kreisumfangden Weg der Schwerpunkt der Fläche bei der Drehungmal die Flächedas ist das Volumen anschaulich?? geht in das geht in vielen Fällen ohne dass mansoll integral hin schreibt und uns die Krise kriegt man es integral lösen wird ganz vielen Fällen können Sie diese Fläche hierdiese Querschnittsflächeausrechnenund haben auch eine gute Idee wie hoch der Schwerpunkt liegt ?? das allein aus geometrischen Überlegungen haben sie die wo der Schwerpunkt der Fläche istdann müssen Sie nur nochden Weg der Schwerpunkt bei der Drehung brechen also zwei Pi mal dessen Abstand von der Kanteund diese Weg des Schwerpunkts mal die Fläche nehmen und sie sind fertig das ist das Volumendas geht ohne integralnebenbeidurch übers überflüssige Zelt abgenickt mit den Einheiten die Höhe des Schwerpunktsist natürlich in Metern gemessen und in Zentimetern oder Lichtjahrendie Flächein Quadratmeternoder in Quadrat Lichtjahrenoderin QuadratAngst rim oder was auch immer gemessen sie fliegen zum Schluss ein Volumen rausund sogar das richtigewasan dieser Überlegung hier liegt wenn sie an sich eingewilligt haben auf welcher Höhe der Schwerpunkt liegtkommt das also hin tatsächlichdiese Formelmuss hinhauen sie ist nicht nur von den Einheiten richtig sondernbestimmtauch exakt