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27D.2 Warteschlange, Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswert


CC-BY-NC-SA 3.0

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eine – schöne Anwendung für die Zufallsgrößenwarteschlangen – besitzen gesamte Theorie dazu Warteschlangentheorie – wollte man ein ganz simples Modell vorführen – wie man Warteschlangen – dann mithilfe der Stochastik behandeln kann – ?? direkt an Zahlen stellt sich die Warteschlange vor – einer Kasse im Supermarkt – oder bei der Zollkontrolle – oder im Rechner – es werden Daten verschickt und die Datenpakete müssen erst schlangestehen bevor sie über die Leitung kommt oder ins Funknetz kommen – Komma folgendes – als überflüssig soll sein wie viele Leute gerade in der Warteschlange stehen – dann natürlich spannend gleich den Erwartungswert auszurechnen – wie viel Leute stehenden im Mittel – in der Schlange – Komma mal paar Zahlenangaben – über Grundannahmen – ich noch mal folgende – Annahme – das die Welt im Sekundentakt – läuft das eine wesentliche Modellannahme – bei mir – dazu jede Sekunde für viele was dann passieren wird – Punkt so kann ich es sinnvoll ausrechnen – wenn im Sekundentakt nicht reicht zumeist wieder bei Datenpaketen – die Schlange stehen daneben sieben Pikosekunden – oder Nanosekunden – dezimal im Sekundentakt – das müsste für die übliche – Schlange an der Kasse reichen – und jetzt soll jede Sekunde – folgendes passieren jemand kommt dazu – oder jemand ist fertig – und dafür Gewichtswahrscheinlichkeiten – an – also jemand kommt dazu – in der nächsten Sekunde dazu stellt sich in der nächsten Sekunde an die Schlange – das soll die Wahrscheinlichkeit – drei Prozent haben – null Komma null drei – und – jemand ist in der nächsten Sekunde zu Ende bedient – da vorzugehen – die Wahrscheinlichkeit – dafür sollte sinnvollerweise größer sein als für die Schlange ins unendliche wachsen – die Wascheinigkeit dafür soll fünf Prozent sein – ?? sagen wenn überhaupt einer Schlange steht Fußnote – wenn überhaupt jemand in der Schlange steht natürlich niemand in der Schlange steht dann wird auch keiner fertig werden – Komma schon mal Zahlen seine Grundannahme – die weltweiten Sekunden Takt – geht Sekunde – begrifflich sozusagen gucken was passiert kommt jemand rein in den Laden geht jemand raus aus dem Laden – es kommen pro Sekunde mein Modell nicht zwei Leute in den Laden des Gen auch nicht zwei Leute raus – müssen dann Sekunden mäßig ineinander gehen sollte keine so große Einschränkung sein wenn die Frequenz zu dicht ist der muss sich eben nicht auf die Kunden endlich auf Millisekunden – oder noch kleinere Einheiten – und was man auch noch annimmt und das Wort Rechenscan ist das alles voneinander unabhängig – sein soll – ?? den Anführungszeichen unten – mathematischen ?? sicher sagen was denn genau voneinander – unabhängig sein soll zum Beispiel – es hält nicht den Reisebus vor ihrem Laden und dann sind plötzlich hundert Leute im Laden – das wäre nicht voneinander unabhängig – jede Kundin jeder Kunde soll selbst würfeln – wann er sie im Laden erscheint genauso – an der Kasse – möchten nicht – die ganze Reisegruppe ineinander haben mit irgendwelchen Spezialwünschen – dann dauert ewig – das soll an sich passieren – gesagt das Ziel ist was ist der Erwartungswert – dieser Zufallsgröße – wie viele Leute stehen – im Mittel in der Schlange eine Zufallsgröße – Komma zurück soll sein wie viele Leute stehen aktuell in der Schlange – ist Regeln aufgestellt wie die Schlange funktioniert – Gefangene durch mit null Leuten an morgens – trafen sich dazu und mich interessiert der Erwartungswert – wenn sie dann nachmittags – den Laden kommen und Komma wie viel Leute der Schlange stehen was erwarten Sie was passiert wenn sie tausendmal nachgucken irgendwann nachmittags – und den Mittelwert bilden das wäre Daniel Erwartungswert – viele Leute stehen im Mittel in der Schlange – das ganze eingependelt hat nicht zwei Minuten nach der Öffnung – endlich die Schlange noch fühlt sondern wenn sich das ganze eingependelt hat das möchte ich aus – könnte man anfangen mit – einem Baumdiagramm – schreibe mal Baumdiagramm – Fragezeichen – Museen werden das ist an dieser Stelle vielleicht möglich aber eklig – sie könnten sagen okay meine Welt läuft in Sekunden – erste Sekunde – und dann kommt die zweite Sekunden und dann kommt die dritte Sekunden und es kommt die vierte Sekunde – und es kommt die fünf Sekunde – und so weiter – versuchen Sie mal einen Baumdiagramm zu zeichnen mich interessiert diese Zufallsgröße – wie für Leute Schlange stehen – unbefangen morgens mit niemanden der Schlange an wie müsste ein Baumdiagramm aussehen probieren Sie mal man kann es sich insgesamt zeichnet es wird habe ich aber ✂ probieren Sie mal – in der Schlange ist mehrdeutig – die Person die gerade bedient wird ist die in der Schlange – und nicht mehr in der Schlange ich schreibe mal an der Kasse steht – als die Person die gerade bedient wird soll hier mitgezählt werden ?? schaffen wir mit dem Taxi angemerkt das wird doch eher groß Mannes versucht – gefangen an damit das unsere Zufallsgröße – null ist zu Beginn die null Sekunde – morgens wird der Laden aufgemacht – jetzt kann eine Person reinkommen in der ersten Sekunde das ist nicht wahnsinnig wahrscheinlich drei Prozent – und es kann keine Person reinkommen sieben neunzig Prozent – keine Person reinkommt stehen weiter nur Leute an der Kasse – wenn eine Person reinkommt steht jetzt eine Person an der Kasse – ?? mit den Nullen weiter dass es leichter – wenn ich in der ersten Sekunde immer noch oder beim Glockenschlag erste Sekunde immer noch nur Leute habe denke das natürlich so weit es kann einer reinkommen in der nächsten Sekunde – der zweiten Sekunde mit drei Prozent Wahrscheinlichkeit – oder es kann keiner rein kommt mit siebenundneunzig – Prozent Wahrscheinlichkeit – wenn ich aber jetzt eine Person habe an der Kasse – kann noch eine Person dazukommen – oder diese eine Person nicht fertig werden – oder eine Person fertig werden eine dazu kommen das ignorieren ?? muss ich gestehen – das passiert nicht gleichzeitig das endlich bei den Bedingungen oben dazu sagen soll das wäre extrem selten – ?? sie vor mit dreißig Prozent kommt jemand rein mit fünf Prozent wird jemand fertig das beides gleichzeitig passiert drei Prozent mal fünf Prozent das schmeiß ich raus also die beiden sollen nicht gleichzeitig passieren – insofern – ist das mit alles voneinander unabhängig – diese einen Einschränkung das soll nicht gleichzeitig passieren – Tick diese eins kann jetzt kommen indem diese Person noch nicht fertig bedient ist diese Person bitte nur mit bestimmten Wahrscheinlichkeit – bedient auch nicht zu schnell und es kann passieren das sie noch nicht fertig bedient ist wenn diese Person fertig bedient ist dann aber kein mehr und das waren in fünf Prozent der Fälle das sie fertig bedient ist in drei Prozent der Fälle kommt noch eine weitere Person rein und number – Kopfrechnen zwei neunzig Prozent der Fälle in denen ist die eine Person – bleibt weil wir noch nicht fertig sind mit bedienen – sich mit drei Möglichkeiten – eine Person ist fertig bedient nicht so schnell aber könnte passieren – sie noch nicht fertig mit bedienen oder es kommt noch eine rein – es soll nicht gleichzeitig passieren dass die Person fertig bediente so noch eine Reihe kommt ?? den ganz kleinen Zeitintervallen machen es wahrscheinlich Karte für winzig ignorieren – und den Rest – erspare ich uns die Siemens wird fürchterlich weil die Anzahl diese jetzt jeweils Kriegen der verschieden ist je nachdem wo wir gerade sind bei null Startwert – gibt sich minus eins das wäre einfach unsinnig ?? eins gäbe entweder symmetrisch werden aber es wird so asymmetrisch an der null ?? das hier wird sich weiter verzweigen – drei Möglichkeiten bei der zwei drei Möglichkeiten bei der eins bei der nur wieder nur zwei Möglichkeiten – des Bartholomäus – wird eins bei der einst drei Möglichkeiten null eins zwei ?? bei der nur wieder nur zwei Möglichkeiten und so weiter – lasse das Baumdiagramm absolute Katastrophe – das Eisenmann nicht als Baumdiagramm – sondern besser – als Zustandsdiagramm – mit Übergangswahrscheinlichkeiten – es gibt Zustände – null dreiundzwanzig – ?? die Leute vor der Kasse eben – mit X meinte natürlich auch sicherheitshalber – verbrennt aber ein ich meine wie viel Leute an der Kasse stehen – ein Zustandsdiagramm – mit Übergangswahrscheinlichkeiten – jede Sekunde passiert was – und ich mal jetzt Zustände auf und Übergangswahrscheinlichkeit – mit welcher Wahrscheinlichkeit was passiert – der erste Zustand wird sein Null mit dem fange ich an dem Fall dran machen zusammen mit dem fangen sie an – eine Person stets an der Kasse zwei Personen stehen an der Kasse drei Personen – und so weiter bis ins unendliche – so wird es übersichtlicher – wenn ich jetzt nur Personen an der Kasse habe dann – habe ich nach der nächsten Sekunde – mit drei Prozent Wahrscheinlichkeit – eine Person an der Kasse mit siebenundneunzig Prozent Wahrscheinlichkeit – bleibe ich hier – ?? man so dreimal – jede Sekunde nämlich ein File – mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit – wenn ich im Zustand null bin nämlich einen der Feinde die rausgehen aus der null – sieben eins Prozent Wahrscheinlichkeit – den Fall der mich wieder zurückführte mit drei Prozent den Fall der weiterführt – wenn ich im Zustand eins Beben eine Person steht an der Kasse – habe ich drei Pfeile – mit drei Prozent Wahrscheinlichkeit – habe ich in der nächsten Sekunde zwei Leute stehen – zwar neunzig Prozent wahrscheinlich hat bleibe ich im Zustand eins – eine Person an der Kasse mit fünf Prozent Wahrscheinlichkeit – gehe ich zurück – dass man nur Leute dastehen – damit habe ich den oberen Teil hier diesen unteren Teil ich habe – nur Leute an der Kasse – drei Prozent sieben neunzig Prozent drei Prozent Simons Prozent schon eingezeichnet – die Musik kann ich noch mal ein Zeichen des ganzen ?? beim null – habe ich davon schon – das es immer wieder dieselbe Verzweigung bei der null muss ich noch einmal einzeichnen – die Verzweigung bei der eins da kam sie sie eingezeichnet – da kam sie kommt endlich auch wieder die muss ich hier nur einmal einzeichnen in dem Diagramm – und es geht jetzt so weiter wenn ich zwei Leute an der Kasse habe – dann geht's in drei Prozent der Fälle bei der nächsten Sekunde weiter zu drei Leuten jemand kommt dazu – in fünf Prozent der Fälle geht's zurück – weil erste Person fertig bedient ist in zweiundneunzig – Prozent der Fälle bleibe ich bei zwei Leuten und so weiter und so weiter sowie das ins unendliche – das Diagramm ist deutlich freundlicher – muss bei solchen Prozessen wird man so ein Diagramm – aufzeichnen es gibt Zustände – unter Übergangswahrscheinlichkeiten – zwischen den Zuständen wenn sie in einem dieser Zustände sind – haben gerade zwei Leute an der Kasse – gucken sie sich an welche Pfeile rausgehen aus ihrem Zustand der Fall und der Fall der Fall – Punkt die Wahrscheinlichkeiten – an entsprechend Würfen siebenundsiebzig – dann zwei sind würfeln sie so dessen drei Prozent der Fälle zum Zustand drei gehen in zwei neunzig Prozent der Fälle beim Zustand zwei bleiben und in fünf Prozent der Fälle zum Zustand eins gehen sofort zu mir dieses Diagramm – sollte noch ein Zeichensystem natürlich dann entsprechend weitergeht bis ins unendliche – Netzgemahls über Wahrscheinlichkeiten – Gedanken machen und vereinigen dann über den Erwartungswert – Gedanken machen ?? bin ich denn typischerweise – in der Anzahl – der Leute vor der Kasse – wenn man – dieses Experiment – hier – tausendfach wiederholt stellt sich vor sie haben ganz viele von diesen parallel – zu betreiben ein Riesenkaufhaus – mit Dutzenden – einen Schlangen zwischen den man nicht hin und her springen kann ganz viele davon parallel – und jetzt gucken Sie was denn im Mittel passiert – wenn sie dabei Wahrscheinlichkeiten – also ganz – so als ob sie eine Münze tausendmal werfen – tausend von diesem Schlangen – parallel – und dann fangen sie an Mittelwerte zu bilden als sie haben ein Riesenkaufhaus – mit hundert parallelen Schlange zwischen den man nicht hinterherspringen – kann – und jetzt gucken Sie – wie viele von den Schlangen sind im Zustand null – es sind keine an der Kasse wie viele sind im Zustand eins – steht einer – an der Kasse und so weiter und so weiter – das sind plötzlich bei Wahrscheinlichkeiten – von den hundert Schlangen die sie haben sind – Business gleich weicht die Hälfte – im Zustand null besteht keine an der Kasse diese wahrscheinlich keine nicht an die null und die Wahrscheinlichkeit – dass eine an der Kasse steht nämlich B eins B zwei – P drei – und so weiter – das sollen die Wahrscheinlichkeiten – dafür sein – ich stimme das Formel zu einem monströs großen Kaufhaus – die erste Kasse seit dem Zustand zwei und die nächste Kasse ist im Zustand eins Udinese Calcio – statt drei – und so weiter und so weiter und dann gucken sie insgesamt wie viel Prozent der Kassen sind im Zustand null das nennen Sie die null die Wahrscheinlichkeit im Zustand null zu sein ?? Prozent der Kassen sind den Zustand null Öffnen siebte null samtene Wahrscheinlichkeit – dass niemand an der Kasse steht wie viele sind im Zustand einen sie wahrscheinlich gar das einer – an der Kasse steht prozentual wie viel Prozent der Kassen sind in diesem Zustand und so weiter und so weiter – dann kriegen sie Wahrscheinlichkeiten – des machen sich Gedanken über diese Wahrscheinlichkeiten – scrollen noch ein bisschen rauf wieder – mathematisch müssen sich einzig erst mal Gedanken zu machen gibt es Wahrscheinlichkeiten – Fußnote – das ist nicht auf Anhieb klar – man strenge Mathematik betreibt das Mini wahrscheinlich Karten angeben kann aus dem Bauch heraus – und nehme sie ist das Gleis muss und Wahrscheinlichkeit gegeben Minimesser Komma ganz dreist an mir zu so etwas herauszufinden über diese Wahrscheinlichkeiten – ist Koffer Klammer auf zu diesem Bild wir sind in der bestimmten Wahrscheinlichkeitszustand – null ?? bestimmt wahrscheinlich gar den Zustand eins – was können Sie dann über diese Wahrscheinlichkeiten – sagen ?? null und P eins ✂ Zimmer gerade nach – Mustern – rauslesen Wahrscheinlichkeiten – sagen meine Idee ist ja dass diese wahrscheinlich katt nicht von der Zeit abhängen – es soll eine Ahnung in dein fünfzig Prozent für Single was rauskommen wird kein fünfzig Prozent der Fälle stelle ich fest es steht niemand – an der Kasse in Germersheim zwanzig Prozent der Fälle stelle ich fest steht einer an der Kasse und so weiter und so weiter – das soll nicht von der zeitabhängigen ob ich um vierzehn Uhr nach Kuckuck oder um fünfzehn Uhr alles zur Zeit konstant sein statt dass man dazu – nicht zeitabhängig – es wird sich ein Gleichgewicht einstellen das ist der Gedanke – bei der einzelne Kasse wird es strukturieren – stehen zwei Leute da drei Leute eine Person steht da und so weiter und so weiter eine einzelne Kasse würde strukturieren – wenn ich jetzt aber ganz viele Kassen parallel habe die alle unabhängig voneinander arbeiten des wirklichen und her gesprungen – dass das Gedankenexperiment – mache dann wird sicher höchst wahrscheinlich in der Summe – zu eine zeitunabhängige – Wahrscheinlichkeit – einstellen – das soundsoviel Prozent dieser Kassen niemanden haben soundsoviel Prozent dieser Kassen einen haben jetzt und in einer Sekunde und in zehn Sekunden und in einer Minute – Zeit unabhängige Wahrscheinlichkeit – welche Zustände – wie häufig jeweils auftreten – wenn sich jetzt vorstellen das T null – der Anteil P null aller Kassen im Zustand null ist und der Anteil P eins aller Kassen im Zustand eins ist eine Sekunde später muss es aber genauso sein sind wahrscheinlich Karten soll nicht zeitabhängig sein eine Sekunde später muss das genauso sein – Beistrich dass ein noch mal etwas deutlicher also ich hab den Zustand nur ich hab den Zustand eins – aus dem Zustand null gehe ich mit drei Prozent Wahrscheinlichkeit – in den Zustand eins – und so weiter – da kommen auch wieder rein – und aus den Zustand eins gehe ich mit fünf Prozent Wahrscheinlichkeit – in den Zustand null und wenn ich in Zustand null bin gehe ich mit Kopfrechnen sieben neunzig Prozent Wahrscheinlichkeit – in den Zustand zurück – der Anteil für Null aller Kassen ist den Zustand null der Anteil T eins aller Kasse sind Zustand eins – nach einer Sekunde – muss das so bleiben – müssen sich ein Gleichgewicht eingestellt haben alle Kassen gerechnet diese wahrscheinlich Karten soll nicht zeitabhängig ✂ sein was lernen sie dann über Bindungen und über PALs – soundsoviel – Kassenzustand – Häuser entstanden nach der nächsten Sekunde – drei Prozent – Weg aus dem Zustand null aber ich kriege welche dazu aus den Zustand eins sowie fünf Prozent aus den Zustand eins – über die tausend zwei hundert – vierunddreißigste – Sekunde – dann habe ich vielleicht – zweiundvierzig – Kassen – in Zustand null und dreiundzwanzig – Kassenzustand – eins – aber in der tausend zwei hundert fünfunddreißigsten – Sekunde – muss das genauso bleiben sie Wahrscheinlichkeiten – hier zwoundvierzig aus soundsoviel – dieser gleichbleibende – tausend zwölf entgleisten Sekunde müssen es auch immer noch zweiundvierzig – dreiundzwanzig – sein bevor sie Wanderungsbewegungen – gegeben hat von diesen zweiundvierzig – gehen ein paar in den Zustand eins – aber es kommen ein paar aus dem Zustand eins zu den zweiundvierzig dazu es gehen welche weg und es kommen welche dazu was lernen sie jetzt wenn diese Zahlen – immer gleich bleiben müssen muss die gleiche Zahl – im Zustand null sein – Kassen hat die gleiche Zahl an Kassenzustand eins bleibt was lernt man jetzt daraus wenn diese ✂ Zahlen diese Wahrscheinlichkeiten – von Sekunde zu Sekunde konstant sind – die drei Prozent die hier verlieren Zustand null – die müssen wir zurückkommen als sie fünf Prozent von Zustand eins – Satz habe ich im Zustand null nicht genauso viel wie vor das ist der Gedanke – damit diese Wahrscheinlichkeit wird die null gleich bleibt von Sekunde zu Sekunde – muss ich mit den drei Prozent genauso viel verlieren wie ich hier mit den fünf Prozent – Gewinne – und damit kriege ich ein Gleichgewicht hingeschrieben – die drei Prozent – also null Komma null drei mal P wohl die drei Prozent von der P null ich verliere besonders selbs sein wie die fünf Prozent von B eins nicht gewinnen – das heißt wenn ich denn nun habe kann ich B eins ausrechnen – bin ?? zwar nicht aber ich kann zumindest B eins mit null Ausdrücken – mit anderen Worten T eins ist also – null Komma null drei – durch null Komma null fünf mal T null – wenn sie soundsoviel Kassen im Zustand null haben dann wissen Sie drei Fünftel davon haben den Zustand einst – das kann dieses Gleichgewicht – nicht funktionieren ich verliere jede Sekunde drei Prozent von den null ?? ich gewinne fünf Prozent von den einzelnen Zustand nur damit die Anzahl über alle Schlangen konstant bleibt müssen wahrscheinlich Karten super taxiert sein – Komma zu vertiefen gucken wir uns mal T eins an der Zustand eins der wird gefüttert – aus dem Zustand null verliert aber auch eine Zustand nur teilweise mit dem sie selbst überführt – er verliert – an den Zustand zwei und damit gefüttert – gespeist soll ich sagen aus dem Zustand zwei drei Prozent – Prozent – Prozent – fünf Prozent und war – Kopfrechnen fünf und drei Januar zweiundneunzig – Prozent Rest – versuchen Sie das jetzt noch mal – für P eins und P null und P zwei hinzu bauen welche – Gleichgewichtsbedingungen – können jetzt hier ablesen – in Ultra einfacher – weil ich nur verliere eine Zustand eins und ?? gespeist werde aus den Zustand eins T eins ist schwieriger – werde gespeist aus Zustand null und Zustand zwei und ich verliere – an Zustand zwei Zustand ✂ null schauen Sie mal die Gleichgewichtsbedingungen – für B eins – wieder die Bilanz wie viel kommt dazu aus dem Zustand null bekommen Sie was zu eins Zustand zwei bekommt sie was zu ein Ziffer kommt dazu das muss dasselbe sein wie das was weg geht sie verliert fünf Prozent und drei Prozent aus den Zustand eins – das muss gleich groß sein wie die Bilanz hier bei der null diese Gateway Krise kommt dazu auch hier sonst kann die Wahrscheinlichkeit nicht konstant bleibt das haben sie nach einer Sekunde nicht genauso viel Kassen wieder in Zustand eins – der Belange von mit dem was weggeht drei Prozent den Weg kommt es ja auch mal Wifi geht weg fünf Prozent und drei Prozent den Weg ?? ich schreib das doch wirklich mal nicht als acht Prozent sondern wirklich als null Komma null drei plus null Komma null fünf mal P eins – das ist was ich verliere – in der nächsten Sekunde fünf Prozent nach links drei Prozent nach rechts das muss derselbe sein wie das was ich Gewinn in der nächsten Sekunde sonst habe ich keine Konstante Wahrscheinlichkeit – hier in der Mitte ich gewinne drei Prozent von null also null Komma null drei mal null und ich gewinne fünf Prozent von zwei also null Komma null fünf mal P zwei – das ist das Gleichgewicht hier für den Zustand eins – B eins habe ich ausrechnen können aus P null – zehnte null ?? T eins B eins kann ich ausrechnen aus Pin null damit kann ich jetzt P zwei bestimmen – ich handele mich so durch – also was lerne ich die zwei – ist – die null Komma null drei T null nach links und ?? durch null Komma null fünf – Komma drei plus null Komma – fünf – eins die null Komma null drei vier null – ?? gebracht – und ich teile durch die null Komma null fünf damit habe ich jetzt P zwei ausgerechnet wie viele sind im Zustand zwei – dabei das Gleichgewicht hingeschrieben für eins – und kriege absurderweise – raus wie für den zwei sein müssen – das B eins kann ich noch einsetzen – nutzen Linie für B eins – und dann steht hier das ist null Komma drei plus null Komma null fünf durch null Komma null fünf – mal null Komma null drei – minus unsere null Komma null drei – P null muss ich noch unterbringen – durch null Komma null fünf – aber normal hier für B eins setzt sich ein null Komma null drei ?? Komma nur fünf Komma null drei durch null Komma null fünf – ?? drei Damen bekommen nur fünf mal T null – aber da steht auch bin nur ich kann insgesamt ?? null dahinter schreiben P zwei ist eine gerade etwas fürchterlich aussehende Zahl mal T null ✂ die etwas auseinanderbuchstabieren – wird es übersichtlicher – den – Zählerstand Firmen-und – also O Strich – P null ?? Inter null Komma null fünf Männer und jetzt in circa null Komma null drei durch null Komma null fünf mal null Komma null drei – Komma null drei durch null Komma null fünf mal null Komma null drei – null Komma fünf durch null Komma null fünf mal null Komma null drei – also einfach einmal null Komma null drei – hundert sich diese null Komma null drei gleich wieder – das wird sich also weg ist er der erste – unter sich Beistrich und ergreifend – süßes Quadrat von null Komma null drei durch das Quadrat von null Komma null fünf – mal T null natürlich die wahrscheinlich hat es keiner – an der Kasse steht – und das geht jetzt natürlich so weiter – für B zwei kriegen wir das Quadrat – man rechnet entsprechend nach – mit D zwei – T eins P drei – Überraschung für P drei kriegt man hoch drei und so weiter und so weiter – es ist offensichtlich – allgemein – habe ich dann das PN – die Wahrscheinlichkeit des Edelleute – an der Kasse stehen – hast das ist die Entepotenz – von null Komma null drei durch null Komma null fünf – mal T null – zu Weißrussen mit den Werten null eins zwei drei und so weiter – alle natürlichen Zahlen durch null aufwärts – und ich kann Wahrscheinlichkeiten – angeben fast – T null kenne ich nicht – aus weil ich bin null kenne – kann ich alle anderen wahrscheinlich können auch angeben B eins – wird – drei fünftel Martin und sein P zwei wird drei fünftel – ins Quadrat ?? sein und so weiter – und so weiter – eine Zufallsgröße – von der ich die Werte kenne – und die Wahrscheinlichkeiten – kennen – XP null noch nicht – ?? stellen sich vor sie würden jetzt rauskriegen – Wahrscheinlichkeit – für null vom Jus Klammer auf fünfzig Prozent – und sie fing für die nächsten raus drei fünftel von fünfzig Prozent dreißig Prozent des durch keinen Kopf gerechnet – jetzt wird's heikel drei fünftel von dreißig Prozent sechs – Zehntel – von dreißig Prozent sind achtzehn Prozent – und so weiter ✂ und so weiter – könnte das stimmen – was muss hier für die Prozentzahlen – gelten – so die müssen sich zu hundert Prozent ein ?? das ist die große Frage addieren die sich zu hundert Prozent – das war jetzt rückwärts die Summe ausdehnen – muss eins ergeben muss einen dieser Werte haben irgendwo muss die Schlange sein bei irgend einem Wert so soviel Leute müssen anstehen – die Summe dieser wahrscheinlich Karten muss eins sein muss man ?? schnell wieder weg ist für die fünfzig Prozent sein glaube ich zumindest mal sehen – die Summe dieser Parteilichkeit muss eins sein – und tatsächlich zurück was deshalb die null gewesen sein muss das gucken uns jetzt an Ausrufungszeichen – eins – muss sein T null – plus – null Komma null drei durch null Komma null fünf mal T null plus – null Komma null drei durch null Komma null fünf ins Quadrat mal T null plus – drei – mal T null plus und so weiter wissen zu etliche – bin nur kann ich ausklammern – besteht also P null mal – eins Plus – Komma drei – null Komma fünf plus den Bruch ins Quadrat plus Info – drei plus und so weiter – bis ins unendliche – und damit kriege ich es bin null raus wenn ich es schaffe ihr auf zu summieren – Punkt ein Trick der offiziell das nächste Semester dran kommt sie nicht zu mir sich hier alle Potenzen – rechnen diesem Buch aus drei fünftel ?? summieren alle ganzzahligen Potenzen ab null aufwärts der Bruch null der Bruch eins der ?? hoch zwei – ?? hoch drei – ersten null mal eins das auch so wird kleiner Einschub – wirft man das aus – das ist die geometrische Reihe – offiziell – die nächste Semester – diese Situation eins Plus X plus X Quadrat plus X hoch drei – ?? weiter – ist gleich – herzliche besitzen endlich auf somit ist den offiziellen Grenzwert machen – am Beispiel des am leichtesten zu sehen gibt ein ganz banales Beispiel nehmen Sie X gleich ein Zehntel – kriegen sie das hin – eins plus – ein Zehntel – plus ein Hundertstel – plus ein Tausendstel ✂ Plus und so weiter – was kriegen Sie als Dezimalzahl – raus – ?? also eins Komma eins eins eins eins Komma die zehnte Stelle ist nur eins die Hundertstelstelle – ist der einzige aus Tischtennis – Neins und so weiter eins Komma Periode eins – das ist eins plus ein neuntel – Komma dass es einst ein neuntel eins bis erneute zehn neuntel sind das und sie keine Formelsammlung oder was und auch keine hochtrabenden Begriffe von wegen geometrische Reihe wenn sie ein Zehntel – aufzunehmen in alle Potenzen ab null aufwärts – in ein ganzzahligen Potenzen ab null Aufwärtsansiedlung – null eins sind Locheisen sind so zwei hundert und zehn neuntel raus – die Comet schon sehen was die allgemeine Formel sein muss versicherter Wanderer mit ein halb aber ein Garten das im Hinterkopf wenn sie die ganzzahligen Potenzen ab null aufwärts von ein halb aufs Linien eins plus ein halb plus ein viertel ✂ plus ein achtel plus ein sechzehntel und so weiter – dann kriegen sie – zwei das könnte man im Binärsystem wunderschön begründen was sie kriegen ist nämlich im Binärsystem – eins Komma eins eins eins eins eins und so weiter – binär – ein Halbeinfälle – und das ist eine andere Schreibweise für die Zahl zwei – sie nehmen ein ganzes – und dann nehmen Sie eine halbe ?? des Unternehmens ein viertel unternehmen sie ein Pachtunternehmen – sie ein sechzehntel – und so weiter und so weiter – zum Schluss haben sie zwei – im Grenzwert – was sie mit dem Pünktchen gemeint ist das in geometrische Reihen – muss sich allgemeine Formel herleiten – die Herleitung kommt nächstes Semester ziemlich banal aber es kann bis in wenig Zeit was rauskommt ist folgendes einzig eins minus X können es gerade mal zumindest – beim Beispiel vergewissern das völlig schief liegen – mit ein zehnte wenn Sie rechnen – einst durch eins minus ein Zehntel – erweitern sie mit zehn – Komma zehn und neunzehn entweder zehn durch – zehn – minus eins zehn durch neun C neunte okay die zwei einst durch eins minus ein halberweiternde – Bruch mit zwei oben mal zwei und mal zwei der Schüler zwei minus eins okay – sind zumindest eine beiden Spezialfällen – wird es die Form bestimmt einzig eins minus X ist die Summation der geometrischen Reihe banal aber die fünf Minuten für die Klärung habe jetzt gerade nicht sie sehen zu müssen in beiden Beispiel Video funktioniert – ?? muss noch eines Angabe jetzt aber machen wenn – der Betrag von X kleiner ist als eins – NX zum Beispiel gleich zwei ist eins plus zwei – plus vier plus achten wir das Internet explodieren – und nicht funktioniert sieht sie nicht aus eins durch eins minus zwei das wird nicht funktionieren ?? es gibt auch diese nicht unwesentliche Bedingung – das dürfen sie nur dann tun wenn der Betrag von X kleiner ist als Einzel mit ist gleich eins haben ?? gleich als ?? eins plus eins plus eins bis eins bis eins ?? ?? fusioniert – ist gleich minus eins ist eins – minus eins plus eins minus eins plus eins das sieht auch nicht sehr plausibel aus also diese Familie nur wenn der Betrag von ?? kleines als ein Beitritt die dreißigstes Semester zu sehen sieht so aus als ob stimmt das auch ?? jetzt die geometrische Reihe als seine Zutat hier – genau – das passiert hier hinten – hier sehen Sie die geometrisch reinsten – X auch null X eins X hoch zwei X hoch drei und so weiter – das ist was ich hier brauche also das ist einst durch – eins minus null Komma null drei – Komma null fünf – Sie sehen die Bedingung ist erfüllt – Komma nur drei durch null Komma fünf ist im Betrag kleiner eins – was für den Bau passieren – wenn sie jene Zahlen haben den Betrag gleich oder größer eins ist was für ?? Situation wäre das – wir hier nicht null Komma null drei durch null Komma null fünf hätten sondern etwas das ✂ gleich eins oder größer als eins es Facetten für die Situation in der Kasse – genau – wenn das hier eins ist oder größer – dann heißt das dass die Kasse so gerade mit kommt gleich eins oder – dass die Kasse nicht mehr mitkommt das heißt die Schlange wird ins unendliche wachsen und dann ?? natürlich keine Chance mit Wahrscheinlichkeiten – in die Schlange ins unendliche wächst – also für alle vernünftigen Fälle in den ?? mit Wahrscheinlichkeiten – arbeiten können ist der Betrag von unser mit sehr kleiner als eins und damit kann man jetzt ein Schritt zurück hier damit kann man jetzt sagen was bin null sein muss jetzt gerade – nebenbei erledigt eins ist P null mal eins durch eins minus null Komma null drei minus null Komma null fünf damit aber gerade T null bestimmt – T null muss also sein – eins minus null Komma null drei – Komma null fünf – eins minus drei fünftel – ?? zwei fünftel sind zwei fünftel zwei fünftel ist das ?? bei Dezimalzahl – zwei fünftel sind vierzehn also null Komma vier – mit vierzig Prozent wahrscheinlich fünfzig Prozent Wahrscheinlichkeit mit vierzig Prozent Wahrscheinlichkeit – steht keiner an der Kasse bei diesen Zahlen drei Prozent fünf Prozent – Punkt – das gerade noch mal hin also in unserer Situation – vierzig Prozent der Kassen sind leer in unserer Situation – drei Fünftel davon – vierundzwanzig Prozent – an vierundzwanzig Prozent der Kassen steht eine Person – einschließlich – der Person die dann bedient wird – somit Weingärten vierzehn Komma vier Kinder das Essen und so weiter und so weiter – es kann also wirklich Zahlen geben mir für meine Zukunft wenn man zufallsgroße Zahlen angeben siehst null mit einer wahrscheinlich Guide von vierzehn Prozent sie ist einzelne Äußerlichkeit von vier zwanzig Prozent sie ist zwei – mit Wahrscheinlichkeit – von vierzehn Komma vier Prozent und so weiter und so weiter – und damit kann ich jetzt anfangen den Erwartungswert – ausrechnen – wenn sie jetzt die Zahlenangaben – hätten wie würden Sie ein Erwartungswert ✂ ausrechnen – Erwartungswert – der Anzahl an Leuten die an der Kasse stehen – also – genau was Heiligkeit mal Wert null Komma vier mal null plus – null Komma zwei vier mal eins Plus – null Komma eins vier vier mal zwei Plus und so weiter – Wahrscheinlichkeit mal wird wahrscheinlich Guide mal wird und so weiter durchexerziert – wenn das eine diskrete Zufallsgröße – ist er abzählbar viele Möglichkeiten messen stetige Zufallsgröße – mit Wahrscheinlichkeitsdichte – Weideland bildeten integral und haben dann etwas von X – Kleinigkeit – dichtete X keine Summe – das erste diskrete Zufallsgröße – wir summieren wahrscheinlich Datei wird Wahrscheinlichkeit mal wert und ich hätte dafür gerne noch das allgemeine Ergebnis – das können Sie jetzt als Zahlenwert ja ausrechnen zumindest näherungsweise ausrechnen ?? des Marktes beziehen oder so – aber spannender wäre das als Formel Komma vielleicht noch mal Ware in den letzten fünf Minuten um Andererseits Formen hinkriegen kann das die ganze Zeit mit konkreten Zahlen gerechnet habe ist er nicht fürchterlich professionell – diese Wahrscheinlichkeit – mit der jemand dazu kommt – die Nan war Komma Lander – und die Wahrscheinlichkeit – mit der jemals wieder weggeht denen wir Mühe – und in der ganzen Rechnung ersetzen sie null Komma null drei durch Lander und null Komma null fünf durch Mühe – hätte sehr geschickt gemachter Pässe immer ausbuchstabiert – gelassen – ist immer Lander durch Mühl andere Glühlampe und so weiter – P null eins Minuslander – durch Mühe – und – PN – Bagger dann die Potenz – aus Lander durchwühlt null Komma null drei durch null Komma null fünf war das ebenende – Potenz – mal P null null sehen Sie das S eins Minus an der durch mir das mehr die offiziellen Formen und der Erwartungswert – ?? bisschen strenger hingeschrieben der Erwartungswert – ist über alle zu summieren – alles zu summieren das auskommen kann ich schreibe mal ähm gleich null bis unendlich – Miese über alle Fälle nicht haben kann unendlich viele Fälle und dann kommt jetzt wahrscheinlich Guide Mall wird Wahrscheinlichkeit mal wird hier steht die Wahrscheinlichkeitslander – durch Mühe auch in – einzelnen Slum – will das die Wahrscheinlichkeiten – mal der Wert der ist ähm – Komma gerade noch versuchen aus zu buchstabieren – ?? erste Vereinfachung – hier sehen den konstanten Faktor in der Summe Punkt zu viel und NSN hängt von jemanden nach hinten enden vom Nummern ab es ungeschickt aber den Faktor in der Mitte den kann ich ausziehen aus der Summe – etwas hübscher ?? noch nicht richtig hübsch aber etwas hübscher als besondere ich mir jetzt kommt die Summe – gleich null bis unendlich – lang dadurch – Mühl hoch ähm mal ähm – es kommt zur allgemeinen Freude noch bei der Ableitungstag – an dieser Stelle kommt immer bei allen möglichen Verteilungen dieser fürchterliche Ableitungstrick – wie kriege ich das Ender bloß zu Stande – mit einer passend gewählten Ableitung – also was ich gerne ausrechnen möchte ist folgendes – Einschub was ich ausrechnen möchte ist die Summe – aus N gleich null bis unendlich – kein X hoch ähm mal in die möchte ich gerne ausrechnen – und der Trick ist jetzt hier wieder das zu schreiben als Ableitung – X hoch N abgeleitet – nach X – wieder ähm mal X hoch ähm minus eins – schrammte noch in X dazu – bestimmt wieder – also nur ein Taschenspielertrick – um X noch einmal in anders zu schreiben in dem die Ableitung von X hoch ähm und modifizieren mit X es geht auch wenn ?? gleich null ist oben steht null – wenn ?? gleich null ist wenn sie zur ?? arbeiten diese auch nur raus – also diese Summe ist die Summe von gleich null bis unendlich – schreibe ich hier X mal die X hoch N nach TX – wickeln Sie diese Summe jetzt vereinfachen – ihr steht X mal die Ableitung der Notenpotenz – plus X mal die Ableitung der ersten Potenz plus X mal die Ableitung der zweiten ✂ Potenzplus – und so weiter wie können Sie das hübscher als Summe schreiben – Klammer zu – X aus und sozusagen das Abgleiten – X mal – mit Wochen abgeleitet – groß X bereits insoweit abgeleitet X mal die Ableitung – von X hoch null plus X ?? eins plus X hoch zwei plus und so weiter das steht da eigentlich – ich klammere X aus und ich klammere sowohl die Ableitung aus – jetzt wissen wir aber was hier im Zähler steht den kennen wir schon das ist X Mal geometrische Reihe – eins durch eins minus X abgeleitet nach X die Summe der Potenzen ganzzahligen Potenzen ab null aufwärts war einst durch einzelne sexy kommt lustigerweise – vor ✂ die können wir ableiten – ?? war das Ergebnis X mal was ist das Ergebnis dieser Ableitung – ihr – steht eins minus X hoch minus eins – und dann wieder ?? der Kettenregel weiter sie kriegen eins minus X hoch minus zwei – mit einem Minuszeichen – den Exponenten um eins verringert also minus zwei den Exponenten nach vorne minus eins mal das mal in der Ableitung – minus X Arbeiten innerhalb eines minus und damit sind es Minuszeichen wieder los was sie rauskommt ist also X – durch – eins minus X in Klammern ins Quadrat – Komma oben zu Ende rechnen – auf die Schnelle noch etliche und den Erwartungswert – das kam Erwartungswert vor – ?? bitte mal – was hatten wir also Erwartungswert – von der – Zahl der Leute an der Kasse der war über Umwege – diese Summe – der Faktor vorne bleib stehen eins Minuslander durchwühlt die Summe aber gerade – diese Tücke ausgerechnet – wenn sie rechnen – X noch einmal in aufssummiert – ab in gleich null aufwärts kriegen sie X durch eins minus X ins Quadrat – also steht hier mal – X ist dann dadurch Mühl Mallander durch Mühl durch – eins Minuslander – durch – ins Quadrat – das sie eingesetzt – wird Komma den Kürzen und ein Quadrat kürzen – und dann steht da das System lang dadurch – Mühl – durch eins minus – Mühe – also bei uns jetzt wieder zurück zu unseren Zahlen wie das bei uns aus gesehen hätte – bei uns ?? Dagestan drei fünftel – durch eins minus drei fünftel – drei fünftel durch zwei fünftel drei halbe basteln mit den Mitteln einer der Leute an der Kasse stehen – also bei diesen Zahlen – die wir hatten wäre ähm vierzig Prozent der Kassen – leer vier zwanzig Prozent der Kassen – wieder eine Person stehen und so weiter und so weiter – und wie viele Personen – im Mittel – an der Kasse stehen anderthalb – bei diesen Zahlen – und Marken überhaupt allgemein noch feststellen – was sie aus dem Erwartungswert rauskommt – ist sie auch an das Schreiben mit der Wahrscheinlichkeitszustand – ?? zu sein ?? unten steht ?? die Wahrscheinlichkeit den Zustand ?? zu sein ?? Medium steht eins minus diese Wahrscheinlichkeit – das heißt Erwartungswert ist eins durch die wahrscheinlicher den Zustand null zu sein minus eins – Komma sich noch den Spaß machen und das Rückwärtslesen – was ist die Wahrscheinlichkeit – für eine leere Kasse die Wahrscheinlichkeit für eine leere Kasse ist eins durch – wie viele Leute üblicherweise – an der Kasse stehen plus eins diese Gleichung rückwärts gelesen – wenn zum Beispiel – typischerweise – vier Leute an der Kasse stehen dann ist die Wahrscheinlichkeit – dass die Kasse leer ist eins durch fünf – zwanzig Prozent