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20.01 Ableitung, Tangente, Sekantensteigung

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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Ableitung – hatten wir eigentlich schon mal – ?? schon zweimal mit dem Focus – an dieser Stelle noch mal offiziell – ich möchte sagen was denn die Steigung – einer Funktion ist – an genau einer Stelle in der Physik anders als momentan Geschwindigkeit – sollte sie auch – Komma vorgestellt – in der Mathematik baut man gerne sowas wie eine Steigung – an einer bestimmten Stelle – was ist die Steigung einer Funktion – an dieser Stelle – nicht – über soundsoviel Zentimeter nach links oder rechts sondern an genau dieser Stelle – die Steigung einer Tangenten gerade – nicht weitergehen kann nur eindringen – ?? – so – die Steigung der Tangenten war der Gedanke was soll das sein – ?? mit Agenten gerade sein – eine gerade die die richtige steigen – danach hervor – und man sich an – dieser schon tausendmal gesehen – Punkt – an – den jetzt hier so ein Steigungsdreieck – aussehe – genährt – wenn ich es noch – zwei verschiedene – Punkte auf meiner Kurve angucke – ?? eines ist an der Stelle X ein anderer sitzt eine Stelle X plus Haar – heißt in diesem Spiel immer so – eine kleine Differenzger – bis hin zu Seite kann auch negativ sein – wissen müssen und ?? Und-Zeichen – H darf negativ sein – ?? Hardy ?? ein bisschen auf Augenhöhe – was auch nicht ?? ist es ja auch mich hat es eine – um – und ich gucke mir die Steigung nicht von den Agenten gerade erst mal andere die Steigung in diesem Dreieck hier die Steigung – die Steigung – dieser Seite des Dreiecks – deren Steigung guck ich mir erst mal an die sogenannte Sekantensteigung – Kung – Punkt – okay was ist die Steigung einer geraden – wie Philipp Sonnabend gewonnen durch wie Felix nicht zur Seite gegangen – ?? nicht gewonnen habe hier unten auf dieser Höhe sitzt der Funktionswert – an der Stelle X – war ich das denn mal – ähm – glaube ich widme die Websites etwas verlängern – kriegen – so – hier unten auf dieser Höhe ?? Y – ist – F von – X der Funktionswert – an der Stelle X – auf dieser Höhe Y – Schlagseite – auf dieses Öl hilfsweise Funktionswert – an der Stelle von X plus Haar – was macht die Funktion an der Stelle – X plus Haar – das heißt diese Seite hier ist die Differenz von beiden – zu ?? Beistrich muss ?? minus Fusion wird eine Stelle X das es diese Seite – stellt groß H – minus Funktionswert an der Stelle X – und wie weit bin ich zur Seite gegangen einfach um H von X eins Pluszeichen – H zur Seite kann – dass es für die – Allerweltsformel – für die – sie kannten Steigung – Beistrich der bedrohlichen Lage rein – und – die Tangentensteigung – soll dann einfach das sein was ich bekomme wenn ich Haar immer kleiner werden lassen ?? das ist nun ein Grenzwert von Funktionen – des ?? überhaupt das ganze Symbol vorher – ?? ich gucke mir einen Grenzwert an den Grenzwert dieser Steigung – je ein Stückchen zur Seite minus – was ist der Original wird durch das Stück hinter sich zu Seite gegangen – dieser Grenzwert in oben steht eine Funktion von H und steht eine Funktion von Haar – was hier steht ist nicht definiert für H gleich null Beistrich null Teilen würde aber ich möchte gerne wissen was denn für ?? gleich null sein sollte – was sollte die Steigung sein sinnvollerweise – wenn ich ?? gleich Null setzen könnte was ich nicht kann mit dieser Formel – auch mithilfe dieses Grenzwert Begriff Grenzwertbegriffes – kann man uns – das interessiert – existiert dieser Grenzwert oder nicht – Wände existiert heißt die Funktion – differenzierbar – ableitbar – differenzierbar – an dieser Stelle – und der Wert des Grenzwerts – heißt dann die Ableitung – die Ableitung an der Stelle X ist also – die Tangentensteigung – an der Stelle wenn es denn eine Tangente gibt Punkt will sagen wenn es denn – wenn dieser Grenzwert hier konvertiert der muss nicht korrigieren – ähm die Frage ist also – schreib ich das mal – wenn dieser Grenzwert existiert – Beistrich das im Text müssen die abschreiben – vollständigkeitshalber – wenn dieser Grenzwert existiert – denn – dieser Bruch konvertiert – heißt die Funktion – F – differenzierbar – an dieser Stelle – sachliche keine ableitbar – Beistrich noch ableitbar sagen können differenzierbar – Differenzschimmel – auf Englisch Differenz – hier war – an dieser Stelle – an – und der Wert – von dem Grenzwert – und der Wert – einen – von den ganzen Kram schafft immerhin – wird – ?? genannt die Ableitung Beistrich – an der Stelle X – Beistrich von X die Ableitung Erstableitung – wird definiert – als der Grenzwert – wenn dieser Grenzwert ähm existiert – das kann ich an allen Stellen machen an denen die Fusion differenzierbar – ist und dann wird aus der ursprünglichen Funktion F eine Funktion im Strich – aus einer Funktion eine neue Funktion die neue Funktion F strich Ableitung der Originalfunktion – ist an allen Stellen definiert an den Georgina Funktion ableitbar – war und der Wert ist jeweils – die Tagentensteigung – ordentlich – in das ?? noch mal ordentlich hin und zurück – noch mal – also was soll das sein F strich – die Ableitung – soll sein X wird abgebildet – auf diesen Grenzwertes – ganz streng haben auf diesen Grenzwerts – gucke ein bisschen daneben Minusprogramm – der Originalstelle – durch – wie weit ist es daneben – für immer kleinere Abstände – zwischen den beiden – unter Definitionsbereich – darf von der Definitionsbereich – Leitung die – Munitionsbereich – nach – von F strich – ist die Menge – Pommes großes A – gar nicht – alle – Zahlen aus dem Definitionsbereich – von elf – für die die Funktion differenzierbar ist alle Zahlen aus dem Definitionsbereich – F – nach von F sondern von – F – für die – Originalfunktion – differenzierbar ist – als die Ableitung als eine neue Funktion – berechnet Tagentensteigung – nicht irgendwo – an einer – einzigen Stelle und in den Befürchtungen Komma sofort es den gesamten Verlauf an – differenzierbar – ist – wir sagen für die dieser Grenzwert existiert – Jammerschein schon inzwischen zehn verschiedene Schreibweisen dafür gesehen – ?? alle zusammen – erste Schreibweise hatten wir F strich einfach der Name einer Funktion mit einem Strich dran soll heißen – Ableitungsfunktion – Namensableitung – dazu – ähm in der Physik – denke ich habe inzwischen häufiger gesehen bei Zeit Ableitungen – steht ein Punkt – und das ohnehin zu schreiben ?? eines Wissens – schon an der zwischen – die klassische Art – ist dieses hier DF nach TX zu schreiben – das sie sieht ja aus wie eine Differenz – von Funktionswerten – durch eine Differenz von X werden – genauso sieht Geld ?? F durch Täter X stattdessen – anzudeuten wo's herkommt – DF – D X dann aber gesprochen DF nach – TX – aus historischen Gründen nicht ?? durch Dixon DF nach soll nicht anders heißen als F strich – Leite F – abweisende – Form sehr ähnlich aussieht eine kleine Differenz in finden die sie mal als sie dann gerne – kleine – undicht sein wie sie die Mark eine Differenz von F und Sohns werden durch einen Infiniti mal Kleindifferenz – von X werden – die F nach X finden wird so jetzt aber dann – die Physiker weisen zwar bei Zeit Ableitungen ein Punkt – F Punkt und meinen damit – die F nach DDT – wobei die Funktion dann zum Beispiel sowas ist wie – in einem Sinus von drei T der Wasser über die Funktion T geschrieben – wenn sie irgendeine Größe haben – die von der Zeit abhängt und sie leiten die Zeit ab – Doppelpunkt geschrieben – war ?? noch einen – können nicht nur die erste Ableitung bilden – die Ableitung ist wieder eine Funktion diese Funkturm noch mal ableiten – und spätestens über das Thema gemacht hat sieht nervig aus – zehn Striche stehen dafür gibt's noch ?? andere Schreibweise – ?? F – hoch in Klammern – eine Zahl – F hoch in Klammern sehen würde heißen zehnmal ableiten – die erste Ableitung normal ableiten die zweite Ableitung achtmal arbeiten und so weiter – die Funktion immer wieder – ableiten das wäre zehnmal ableitenden Definitionsschreibens – schreiben F hoch in Klammern eins – Funktion einmal ableiten dafür sieht natürlichen bisschen – übertrieben aus – Evolution einmal abzuleiten das ?? zu schreiben und später kommt das dann mit – höheren Ableitungen – in der Klammer auf – grafisch – ist das wichtigste überhaupt ist das meine Idee hat was denn da jetzt im Verlauf passiert – gegeben irgendeine Funktion ?? gegeben irgendeine Funktion – F – kreativ – gucke ich mir die Ableitung – an – gerade – was – die Ableitung an der Funktion ?? ich mal die ausdrücklichen ein anderes Koordinatensystem – die Ableitung der sie sich spätestens in der Physik – an das Problem ist das die Funktionen der Ableitungen – andere Einheiten haben – an – nennt jetzt sinnig sowie in der Mathematik immer nackte Zahlen haben ständig Punkt vor die Funktion hängt von der Zeit ab Position zum Beispiel Positionen Abhängigkeit von der Zeit – die Funktion liefert Meter – und X ist in Sekunden dann haben sie oben Meter – und und nahm Sekunden – keine weiteren zickigen Geschwindigkeit – aus – an – als in der Physik hat die Ableitung – wenn ich nicht rein aus einfallslosen ableiten – andere Einheit als die Funktion selbst – kommt durch die Ableitung der durch die – durch die Einheit der Variable durch die Teile aus Metern – Innerlichkeit von Sekunden werden Meter pro Sekunde wird eine Geschwindigkeit – deshalb bin ich kein Fan davon die – Funktion ihrer Ableitung in ein Diagramm ein zu malen das hier wären dann Mieter – und das sie werden Meter pro Sekunde – die gehört für mich nicht in ein Diagramm – des zwei Diagramme – was vielleicht – auch was zeugt aus Sicht der Mathematik etwas – übertrieben ist aber Vorsichtsmaßnahme – und Maßnahme dann in der Physik und Elektrotechnik Punkt immer – Ableitungen – und Fusionswerte – sollten – nicht vermischt werden sonst – zu leicht – und – geometrisch ableiten kann sofort die Ableitung an einigen Stellen einzeichnen ✂ genau ähm – an dieser Stelle – lokales Maximum – kommt gleich noch oder nächste Woche – muss die Ableitung null sein – offensichtliches die Tangente mit Steigung null hier ebenso die Tagentensteigung – nur die Ableitung muss Null sein hier ebenso – Tagentensteigung – null Horizontaltangente – steigt nun also muss die Ableitung null sein – ?? – zwischendurch – ist die – Steinchen – negativ – diese Tangenten dran mal haben die offensichtlich alle eine negative – Steigung – das heißt – hier muss die Ableitung im negativen – stattfinden – hier zwischen – den sieben die Tangentendran – Mani haben eine positive Steigerung der Musikableitung – im positiven – stattfinden – Tickets wieder unter – deines rauf – am Mann könnt ihr tatsächlich sogar noch genauer gucken was die Krümmung angeht das wird – dort teilweise mein ?? drauf – zu sprechen kommt am ?? könnte gucken hier geht's Rechtsruhm – hier geht's rechts rum und ab dieser Stelle geht links rum – dann ist hier – die Tagentensteigung – an negativen – gewesen – das wirklich mit einzeichnen ?? ich zwar nicht vor Komma dass vielleicht – das hier wäre eine Wendestelle – lege die Kurve rechtswidrig – zu ?? sie Vorsitzende im Auto auf der Kurvenfahren – das Lenkrad des Rechts um eingeschlagene – Richtung eingeschlagen – Leerzeichen das Lenkrad geradeaus – und hier zeigt das Lenkrad – nach links – das nennt sich dann – Doppelpunkt es Einwände Punkt diese stellt es eine Wendestelle – Beistrich an der Stelle bringen aber sei so das heißt an dieser Stelle – ist die Steigung – an negativen – es geht abwärts abwärts abwärts an dieser Stelle sich deiner negativen jetzt länglicher wieder rechts rum das heißt meine Kurve die Tangente – ich dich wieder in die andere Richtung da ist die Steigung an negativ – das muss ein – Minimum – an lokales Minimum zumindest sein der Ableitung – ?? – und ich einmal – sowas – und hier analog – hier geht's – ?? hier schon – so Pi mal Daumen Linksrumgegenstände – gefielen die Rechtskurve ab da – die sitzen im Auto – hier zeigt das Lenkrad geradeaus und hier zeigt SDK schon ?? bisschen nach rechts gezeigte sie einerseits das Lenkrad das heißt – an dieser Stelle hier – ist die Tangenten gerade am steilen wir sie dann den gerade am steilen und dann denke ich ja wieder nach rechts – habe – ich also wieder lebendig – Innenwände Punkt das X – stelle – Punkt – Y – welche Stelle ist das X eine Wendestelle aber nun ist die – Steigung eines erstell am größten danach wird sie wieder flacher – sowas – sind aber schon ziemlich viel – von dem Verlauf – der muss wohl so gewesen sein – muss wohl – von der Art her so gewesen sein gewiss wieder negativ – da kommt's aus dem – positiven so ungefähr – hätte wohl die – Ableitung aussehen müssen Klammer zu richtig berechnet hätten – ?? kann man sich auf Anhieb schon meine Idee machen ?? Ableitung aussehen müsste – hinaus – könnte sogar noch Werte angeben jetzt hier rein streng – mathematisch – gesehen hier hat die Funktion – das hier fünfundvierzig Grad sind – in das ihr fünfundvierzig Grad sind sollte auf dieser Höhe – der Wert eins liegen – bei vierzig Grad Steigung – das – fünfundvierzig – Grad Steigung – heißt – Steigung von hundert Prozent auf dem Verkehrsschild – wenn sie um einen Millimeter nach rechts gehen wenn sie eine Millimeter nach Obenverhältnis – ist eins – ?? muss einzeln auch das könnte man es dennoch einmal – als absoluten Maßstab – überall wo sie ihr von vierzig Grad haben ?? machen – Komma muss die Ableitung eines sein wo sie minus fünfzig Grad haben – Punkt hier – muss sie minus vierzig Grad ?? muss die Ableitung minus eins ?? könnte sich ganz viele Punkt zu Fuß schon konstruiert – ?? ?? bleibt – ein grafisch – wenn eine Funktion – an einer bestimmten Stelle – abzuleiten – ist – ist die netterweise dort automatisch – stetig – aber nicht umgekehrt – ?? – also wenn ich so eine Funktion ?? – Komma wenn ich so eine Funktionspräventionsverlauf – habe – und das wäre eine Funktion dann sieht man sofort ?? kritische Punkte an denen es schief gehen muss – Komma der er die erste Hälfte – wenn eine Funktion abzuleiten – ist – wenn ich diesen Grenzwert bilden kann – in was dann passieren muss wenn ich diesen Grenzwert bilden kann an der Stelle X – an kann das nur so funktioniert das im Grenzfall null durch null steht – wenn das was Jens Zählern steht nicht gegen null geht und ich teile durch Null und bildet einen Grenzwert – wird ein kleines Problem haben das kann ich funktionieren dies kann nur funktionieren wenn oben – die Differenz der Funktionswerte – gegen null geht das die vierzehn Fusionswerte gegen null geht heißt aber dass die Funktion – stetig sein muss – der Funktionswert – F Beistrich da muss gegen ?? von X – Ableitung kann nur dann funktionieren – anstellen – kann nur dann versehen wenn dieses X eine Stelle ist an der die Funktion stetig ist – aus der ?? differenzierbar – Guide folgt die Stetigkeit – aber nicht jede stetige Funktion – ist differenzierbar – ?? ich habe noch ?? Person – waren – entsteht ein Text in eine Funktion differenzierbar ist die – äh – hierbei – ich weiß dass sie diese – Ziereis – weiß sich – dass sie stetig ist aus der die Finanzierbarkeit – folgt die Stetigkeit – sonst würde – in diesem Grenz etwas schief gehen differenzierte Filterdifferenzzieracker – zur – Arbeit geht leider nicht – umgekehrt – dazu hier das Beispiel – wenn sie nur haben dass eine Fusion stetig ist es noch lange nicht differenzierbar – ?? wenn sie stetig ist sie ja nicht stetig diese Funktion stetig – knickt es okay – ist stetig an diesem Knickwitz nicht hinhaut – an wenn sie – von – Francis Steigungsdreieck – auf der – linken Seite anlegen – kriegen sie das hier wahrscheinlich als Tagentensteigung – raus – ?? auf die Tagentensteigung Resistance zeigt so ein wegen positives H finden Sie das raus – das kann zusammen nichts werden das es noch ?? guter Fall es gibt Funktion Komma so relativ einfach Beistrich es gibt Funktion diesen zwar stetig – sind aber so – gruselig – so rau – das sie trotzdem ich abzuleiten und zwar an keiner Stelle – den Schülern – schöne Google Aufgabe – eine – überall stetige – nirgends – ableitbar – nirgends differenzierbar – Funktion – kann man relativ einfach bauliche ziemlich vorführt das kann also passieren sie stetig aber an keiner Stelle gibt es nur – Tangente also gefährlich ist trotzdem – es mit dem pathologischen – ingenieurmäßig kommt den ich vor – sowas hier Komma ich nehme sie schon mal haben ein Knick – da ist definitiv – diese Funktion nicht – abzuleiten – differenzierbar – ein Knick – de differenzierbar – an einem Sprung schon mal gar nicht wenn sie hier Steigungszweige – bilden – Stammes – ?? – an dieser Stelle will ich setzen Steigungsdreieck – ich dir ein Stück nach ?? – und Weinrot mal – überraschend wieder Steigungsdreieck aussieht als an dieser Stelle möchte ich die Ableitung bestimmen – was machen Sie sie gehen – um ein Stück Haar zur Seite – verbinden diese beiden dann gucken sich dieses Dreieck an – und gucken sich dann an was mit der Steigung passiert – dieses ist – das Y was sich Verlierer über diese Strecke das Verhältnis dieser beiden interessiert mich – das Welt ist dieser Weiden – ist das ich Haar immer – dichter an Null gehen wie was passiert wenn Sie diese Seite durch die Zeilenseite – teilt die Gesinnung und die Ohren deswegen endlich werden – halt auch nicht – als ein Spiel einem Sprung schon mal gar nicht – eine Funktion die nicht stetig ist kann schon mal gar nicht differenzierbar – sein klar – folgt hieraus direkt – wenn sie differenzierbar wären müssen sie stetig gewesen sein – hier also auch garantiert nicht – differenzierbar – an Sprungstellen wieder anklicken – Punkt – nun – ?? und dann gibt's noch einen Trick – in diesem Abschnitt – wie man denn – diesen unsäglichen – Grenzwert vermeidet – das Machtwort ein Sparten solchen Grenzwerten zu rechnen ?? man versucht diese Funktion einfach anders hinzuschreiben – und zwar so – was muss meine Funktion sein an einer etwas gestörten Stelle – jetzt kommt wieder die Tangenten gerade – schreibe die gleichen Gedanken ?? Funktion irgendwo hier ist – X plus H hier ist – X meine Funktion – Y – X – was ist mein Funktionswert – an eine etwas gestörte Stelle wird diese Höhe interessiert mich – Funktionswert an der westlichen Stelle das ist der Originalfunktionswert – das ist Originalfunktionswert – plus – was die Tangenten gerade sagt – die weiteste Seiten gehe weiter oben die hier kommt jetzt die Tangenten gerade – ins Spiel schwierig gestaltet ?? gerade hat dagegen gerade wird dann – dieser Versatz sein plus das was aus der Steigung der Tangenten gerade kommt die Steigung der Tangente ?? Beistrich von X die Ableitung an der Stelle mal – seine weiteste Seite gehe Haar – das Hammer davor sieht schicker aus – Beistrich von X – mal weil ich zur Seite gehe das hier ist Haar – das ist es unterstützender – noch dazu – schwarze Stückchen der Originalfunktionswert – das rote Stückchen – wie weit die Tangenten gerade noch nach oben geht steigende Tangenten gerade mal – weit zur Seite gehen – und plus – was jetzt noch fehlt die oben – fehlt noch was das ist der Ärger – meine Kurve kann sicher weg kommen von der Tangentengral – wird sich typischerweise auch weg und dieses letzte Stückchen Punkt – das ist der Ärger wenn ich das in einer Formel hinschreiben könnte da nicht eine schöne Gleichung – und müssen keine Gedanken über Grenzwerte machen und für dieses blaue Stückchen der oben ?? findet man einfach was ich schreibe plus klein U – von H – das hat sich der Landau ausgedacht – lassen sich das Landau klein O ist auch in anderen groß O das kommt häufiger vor – meinen Informatik sie im – dritten oder vierten Semester das ist das Landau klein U – einfach ein symbolischer Name für – den Rest der dann auch bleibt – dann – allgemein steht wovon H für eine Funktion folgender Art – eine Funktion – so das der – Massen ?? klein O – sodass dieses Verhältnis gegen null geht – das soll das heißen – ?? – dahinten steht als Rest eine Funktion mit dieser Eigenschaft – und die Funktion – benennt man nicht irgendwie – Sinus oder Kosinus – überschreiten Formeln sondern sagt nur pauschal – das hier nur den Teppich nennen das klein O von H – und merken uns klein U von heißt eine Funktion in dieser Eigenschaft – O von A wird so schnell klein dass sie sogar durch Haarteilen kann – und das Ding – gegen null geht wenn H gegen null geht – sie einen Grenzwert erinnern wir da stand der Stand von X plus ?? – und jetzt schreibt er von X plus Harnessay von X durch H – der Nenner passiert Beistrich was sie ohne Zähler übrig bleibt muss von dieser Sorte sein klein U von H – nicht das durch Haarteilen den Grenzwert Wilde muss nun aus – das es ?? schreibt Rick – das Landau klein O – mit den kann man dann – diese – verschiedenen Sätze über die Ableitung sehr schnell hinschreiben – schreibt es in den Jahren her und hin gefahren ?? das ist die Tangenten gerade – und schreibt dazu Vorsicht – es kommt noch was dazu was aber sehr schnell gegen null geht – in diesem Sinne gegen null geht – nicht durch Haarteilen eine Zeit gegen null geht sogar dann geht es gegen null – von der Qualität ist das ?? hinten stehen