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09.4 Variation der Konstanten


CC-BY-NC-SA 3.0

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?? – Trennstrich plus fünf – Y gleich X Quadrat – ein letztes Mal nach Lehrbuch vorgeführt – wie man löst das löst – ähm – eine lineare Verzagtheit – mit konstanten Koeffizienten – ?? steht soundsoviel mal die sonstige Ableitung der soundsoviel mal – die Grundfunktion – eine geniale Fenster Gleichung – erster Ordnung – mit konstanten Koeffizienten auf der rechten Seite die Inhomogenitäten – darf ja von – X abhängen der unabhängigen Variablen – ähm – Jade vorgeführt – wie man das Lehrbuch mäßig machen kann man sucht eine spezielle Lösung – irgend ein Funktion Y irgendeine Funktion Y die Exponate raus kommt – eine spezielle Lösung – dieser inhomogenen – Form – und addiert dazu die allgemeine – Lösung der homogenen Formen schreibt da stellt ?? Homogenität null hin – die homogene Form eine homogene – lineare Differenzialgleichungen – und deren allgemeine Lösung dazu – gibt – dann die allgemeine Lösung der – inhomogenen – Form – das verdächtig vom letzten Mal – es gibt für – Differenzialgleichungen – erster Ordnung einen anderen Zweck der nennt sich Variation der Konstanten aber nur für Differenzialgleichungen – erster Ordnung – kann nur mit Mühe auch noch umbiegen auf höherer Ordnung wenn hier selbst zwei Strich steht oder Ähnliches – Klammer zu bin ich also viel Spaß – ähm diesen Trick hier vom letzten Mal – mit der inhomogenen Form Homogenform – spezielle allgemeine Lösung der Trick funktioniert auch noch wenn hier – die dritte Ableitung die drei neunzig Ableitung vorkommt – was ich jetzt zeige die Variation der Konstanten – geht auf Anhieb nicht mehr mit höheren Ordnungen – aber ?? der ersten Ordnung – und das geht so – ich schreibe die allgemeine Lösung der homogenen – Form hin das war – Ihnen das musste was mit – E hoch XE hochminus X gewesen sein damit die Funktion – abgeleitet ein Vielfaches von sich selbst sein kann brauche ich irgendwas mit Exponentialfunktion – das Standard – als – allgemeine Lösung – der homogenen Form und sie das hier nehmen – einmal ableiten kommt minus fünf nach vorne – und dieses Ding gebe zwangsläufig – nur das ist die allgemeine Lösung – von der homogenen Form – Variation der Konstanten – heißt das – ganz dreist Saft lassen sommerliche Konstante hier nicht konstant machen sondern höchstens die von der – unabhängigen Variable – abhängig machen hier soll ich meine feste Zahl stehen – sondern eine Funktion stehen – und dann sieht man das man damit – tatsächlich eine Lösung der inhomogenen – Differenzialgleichungen – hinkriegt – ?? – ich setze also ein – in meine – inhomogene – Differenzialgleichungen – die Ableitung – plus fünf mal die – fünfmal die Funktion – als solche soll – X Quadrat sein – wenn das Haar einfach nur ein fester Wert ist käme null raus mit ihr null steht – der Trick bei dieser Variation der Konstanten – anschreiben das hier nennt sich Variation der Konstanten sie wird variabel die Konstante war die Reaktion – ehemalige – Konstante als Funktion hinzuschreiben – und das kommt ganz – gut hin – was passiert – hier steht dann natürlich A von X – minus fünf X – hier vorne ✂ die Ableitung was wird beim ableiten passieren mit ?? das ableiten – mit der Produktregel ableiten den einen ableiten mal den anderen Plus den einstehen lassen mal den anderen abgeleitet den einen ableiten – Beistrich – von X das ist jetzt keine Konstante mehr die ehemalige Konstante – Malé minus fünf X – stehen lassen plus – den ersten stehen lassen – bei den hinteren ableiten also mal minus fünf – minus fünf – X – sieht man schon an das geniale Idee ist diese Konstante – als Funktion zu nehmen diese ehemalige Konstante zur Funktion zu machen – in dieser Term hier – muss den Weg eben – der stammt – aus der Produktregel – der zweite Term aus der Produktregel wenn ich den zweiten Jahr pleite – kommt die minus fünf runter und ebnete automatisch den Weg – die beiden heben sich weg – das bleibt der da vorne über – da steht jetzt einfach die Ableitung – von meiner – ehemaligen Konstanten – nichts bösartiges – mehr – besser funktioniert dieser Trick – also ich lerne jetzt okay das funktioniert – genau dann wenn A strich man Dax sieben passt – Beistrich – äh – von X Malé minus fünf X der erheblich Weg gleich X Quadrat ist – kunstvoll – hier ein Term – von der Produktregel – mit – Amazon sowie meine Augen offen zum Paket – ?? gutes Komma auflösen – beide Seiten Malibu fünf X – und dann steht der Anstrich von X ist gleich – X Quadratsmalé – fünf – X – das ist immer noch eine Differentialgleichung – ich suche jetzt – die Funktion A – die ehemalige Konstante – besessener Funktion geworden – und er wird eine Gleichung für die Ableitung – meiner ehemaligen Konstanten – diese Gleichung die sollten Sie auf Anhieb lösen können – sonst müsste Formel angeben können wie die gelöst werden kann diese Gleichung ✂ diese Differentialgleichung – ist doch viel einfacher als die Original Differenzialgleichungen – bei der Original Differenzialgleichungen – steht die Ableitung – und die Funktion und ich muss beide – miteinander verknüpfen – damit das hinkommt – diese Differentialgleichung – hier ist viel billiger da steht nur die Ableitung meiner gesuchten Funktion – ist auch an nicht mehr auf ?? ist auch danach Beistrich auf – eine Ableitung ist gegeben und die Funktion ist gesucht – das Hammer letztes Semester gemacht eine Ableitung gegeben eine Funktion ist gesucht das nennt sich Integration – ich suche – zu einer gegebenen Ableitung die funktiongegebene – Funktion die Stammfunktion – suche etwas – das abgeleitet – X quadratseo – fünf X wird also A von X ist gleich eine Stammfunktion – von X Quadratsego – fünf X – ja und wieder schon bemerkt in der Tat jetzt kommt wenn man wollen würde ich nicht äh kümmern wollen würde Cam jetzt partielle Integration – unwürdigerer – ableiten – und Stammfunktion von fünf X bilden – und dann noch mal das X was dann übrig bleibt ableiten – zu noch offen ihre fünf X Bild ersetzt keine Aktion – geht wie letztes Semester mit partieller Integration – und damit hat man ebenfalls – Differenzialgleichungen – gelöst – werden – ich sollte hier noch – als Anmerkung dann schreiben nicht vergessen hier gibt's eine Integrationskonstante – die nicht verkennen – Integrationskonstante – in der Stammfunktion – Fusion – wird ja sein – ?? Blabla plus eine Konstante – vergessen Sie da nicht die Konstante das wären bisschen problematisch – an dieser Stelle Flächen berechnet – von – A bis B ist das okay aber hier suche ich – eine ?? suche ich jede Funktion – jede Funktion deren Ableitung – das hier ist – natürlich plus eine Konstante damit ich wirklich alle Funktionen – erwische – Punkt das ist – kurz gefasst dieser Trickvariation – der Konstanten ich schreibe die – allgemeine Lösung hin – besser mit der Integrationskonstanten – und mache die Integrationskonstanten – von einer konstanten zu einer Funktionsplätze – ein und gucken was passiert – und es wird gesagt die allgemeine Lösung der homogenen – Form natürlich die allgemeine Lösung der homogenen Form null startet sich ein – und mache da Delegationskonstante – zu einer – Funktion – der Rest geht glatt durch – ähm – aber wichtige Fußnote – drei Tage ?? erster Ordnung im Prinzip kriegt man das auch hin wenn man sich ganz doll einschränkende Versager ?? zweite dritter Ordnung es bisschen unübersichtlich – waren – lieber erstmalig – hatte dieses Verfahren nur für Differentialgleichung – erster Ordnung