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09C.1 Beispiele für monotone, gerade, ungerade, periodische Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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sechs – Beispiele von Funktionen – und ich wüsste jetzt für jedes der sechs Beispiele gerne – ist die jeweilige Funktion monoton – fallend monoton steigend – wachsen – streng – vielleicht sogar – wenn sie monoton ist es streng monoton ist die jeweilige Funktion gerade oder ungerade – oder nichts davon und ist die jeweilige Funktion periodisch – oder nichts – um diese – Begriffe Klammer zu wiederholt – so die erste Funktion – folgende – Abbildung Vorschrift haben – X Schulen ?? X wird abgebildet auf – sonder ?? von X – gleich soll die erste Funktion aussehender – einmal – Sinus von – vier X – plus eins – Definitionsmenge – sollen – Zahlen sein ?? ist die monoton streng monoton – gerade ungerade – periodisch – die zweite Funktion – soll sein dreimal Sinus von vier X plus – fünf – plus eins – auch wieder über den reellen Zahlen – ist die – und so weiter und so weiter und die dritte Funktion soll sein – dreimal – der Betrag aus vier X – plus eins – Punkt wieder – Definitionsbereich – zahlen – vier soll sein drei – durch X – plus zwei – X darf ich nicht durch null teilen also als Definitionsmenge – die Zahlen ohne die Menge mit null – ?? Nummer fünf – Betrag X – minus zwei Klammer zu Quadrat – für – X kleiner gleich – minus zwei – und – für X – größer gleich – minus zwei ?? gesagt – kleiner gleich minus zwei – gleich minus zwei und für X größer gleich zwei – diese Gleichung – ansonsten – Null sein null – für – alle anderen X hatte einfach nur sonst – alle noch nicht behandelten Fälle – und der letzte – folgender sein sechs die Funktion – Rechenvorschrift – ist – die Wurzel – aus den Kosinus – von X – plus zwei – das wieder mit – Definitionsmenge – ist die Menge der reellen Zahlen – davon – sollen sich jemals überlegen – ist die jeweilige Funktion monoton streng monoton – wachsende Fall – ist die Tradition – gerade – ist sie periodisch ✂ ich meine jetzt nicht intervallweise – auf die Funktion auf irgend einem Intervall – ein Teilintervall des Definitionsbereich – monoton und so weiter sondern insgesamt – ist die Funktion insgesamt – monoton – und so weiter – alles andere anderen bisschen viel Arbeit ✂ muss aber sagen was ich hiermit meine eine stückweise Definition – zunächst das eine stückweise Funktion die Funktion wird stückweise definiert – auf diesem Stück hier X gleich minus zwei X größer gleich zwei soll das gerechnet werden – und ansonsten – für die übrigen X soll das null einfach – zur Null rauskommen für die übrigen ?? könnte auch – seine übrigen soll von mir aus dem Prozess auskommen oder sowas in ein Licht ?? möchte vierten null raus Punkt für die übrigen – stückweise – Definition – so ✂ die aller erste – ich nehme den Sinus – aber etwas schneller viermal X ist es nicht das Original X einzelnen Firma legte sie schneller durchlaufende – Ausgabe wird vom sieben mal drei genommen die Amplitude – ist das ?? vorne Amplitude mal drei – hundert das ganze noch plus ein Verschieben einzelner oben – auf jeden Fall schon mal ?? – gescheite Sinus ist periodisch mit den Sinus viermal so schnell durchlaufen – weiterhin periodisch – mit Ute Hernández nach oben verschieben es bleibt periodisch – die dazu ganz kurz zu sagen ?? periodisch – die ganz aufdringlich nachrechnen – wenn sie mit – X – O müssen sich überlegen wenn sie X um Pi halbe weitergehen – wenn sie mit X um vier halbe weitergehen geht vier X um vier mal die halbe Reiter will sagen wird um – zwei Ki weiter unter Sinus fängt von vorne an – dieses Ding eine Periode von – ?? die halbe – bei der Sinus nach die halbe dieser Sinus vier X nach Jahren wieder von vorne anfängt die die halbe Welt zu Firma B aber zu zweit die es auf jeden Fall periodisch – deshalb ist es nicht monoton – wenn sie eine periodische Funktion haben – sie keine Chance – hast ?? Chance haben – keine Chance die – monoton zu machen Sie musste die alten Werte wiederholen – funktioniert das ist nicht monoton scharfes S ?? Supercup so nicht monoton – gerade und ungerade – die sollten – jetzt schon wissen was der Sinus ist – gerade oder ungerade sind hier Symmetrieeigenschaften – Funktion – den ganz normalen Sinus nehmen – meinen bewusst nicht auf der linken Seite gerade oder ungerade – Sinus Punkt symmetrisch am Ursprung – also eine ungerade Funktion – der Sinus vom positiven – Winkel ist minus des Lebens von negativen – an diese Symmetrie – eine Punktsymmetrie – eine ungerade Funktion – der Sinus als solcher wäre ungerade – mit der vierfachen Geschwindigkeit laufen bleibt ?? gerade – mal drei Seite auch – wenn sie für X das negative einsetzen hier – die sie insgesamt das negative aus von den positiven – X dieser Zeile vorne allein wäre ungerade – installiere ich aber eins drauf – sie haben so eine Funktion – verlieren eins drauf – und dann ist Feierabend es ist sicher ?? Punkt symmetrisch – sie können nicht am Ursprung spiegeln den Ursprung spiegeln – geht nicht mehr durch dieses Plus eins ist nicht nur ungerade und geradezu schon mal gar das ist wieder gerade noch unklar – ganz – was so wieder gerade noch ungerade – die meisten Funktionen – das ist die Decke will Message die meisten Funktionen sind weder gerade noch ungerade sind wieder Punkt symmetrisch am Ursprung noch Achsen symmetrisch an – sie irgend eine Kurve hin malen – sie irgend ein Original – wäre das doch höchst überraschend – das Deliktsrecht – ist gerade – wurde sie Punkt symmetrisch ist – ungerade ✂ als die allermeisten Funktionen sind weder noch diese Zelte zusehends wieder gerade noch unklar – okay was sie sagen könnten ist das Essen eines Mitglieds – das hier wäre jetzt ein Symmetriezentrum – null eins – ?? bei gerade ungerade – keine Bedeutungfunktion – wird dadurch wahr oder unwahr – beim nächsten hier – wird es nicht besser – was hier passiert ist es der Sinus als solcher noch verschoben wird muss – ein – ?? Wochen Komma genauer Anbieter wie verschoben wird – das ganze linke versuchen es bleibt periodisch – aber alles andere – wird nicht besser ist periodisch – aber immer noch nicht gerade – ?? ist auch nicht ungerade und nicht monoton – zu verzieren Sinus – bei den dritten ganzen Verdacht auf eine gerade – wo sich wenn sie einfach Werte einsetzen ist nicht das einzig gleich zwei – rein setzen Platten dann sagen Sie uns gerade – ähm – leider nein wegen des Betrags negative X Werte werden gebogen – es ist keine gerade – der Betrag – wiegt ihn ja – ein negatives X auf ein positives Ergebnis um – bis zu eine V förmliche – Kurve – Ausrufezeichen – klein V Vermittlergraph – einer – Funktion – die Betragsfunktion – viermal so schnell durchlaufen also ein – steiles V – die negativen Werte – nach oben gebogen – Betrag minus drei plus drei – mal drei wird noch schlimmer – noch steil ein noch steiles V plus eins das Ergebnis so weit nach oben geschoben an ein Stillstands – V nach eins um eins nach oben geschoben ✂ weil es eigentlich klar monoton Komma vergessen – es geht unter SE drauf – insgesamt ist es nicht monoton – die könnten seinen Gewinn jetzt nur Texte ab null aufwärts Einzelzellen zu beschränken monoton – und wollte insgesamt wissen insgesamt – nicht monoton es geht unter – ?? irgendwie darauf – was halten Sie von gerade ungerade – eine gerade Funktion ja sie nehmen dieses V sitze an der Stelle null – eine gerade Funktion ist dies klingt recht symmetrisch – kann es auch strikt angucken – wenn sie für X das negative einsetzen – viermal das negative X und dann der Betrag ?? ist das Minus wieder weg ist und das überaus vor – die Eigenschaft der Warnfunktion männliche ✂ negative Zahl einsetze ?? ich dasselbe raus liefern positive Zahlen direkt – als sie gerade – dies offensichtlich nicht ungerade – und sie ist offensichtlich auch nicht periodisch – in dem Sinne mache weiter mit den – drei anderen wesentlichen komplizierteren – ?? wird die Kurve der Agrarerbe – zu tun haben – sie einst durch X nehmen – wir diese per bereits Graf das wäre eins durch X – naja ich nehme das dreifache davon – was heißt sich – Strecke das ganze von der x-Achse – weg und schiebe ?? zwei nach oben – ?? Offensichtlichkeit – nach nicht periodisch gar keine Frage der wiederholt sich nichts bei dieser Funktion – von wegen monoton das es verlockend – von den monoton – sie fällt sie fällte Versicherte fällt – und sie fällt sie fällt sie fällt sive sieht so aus als ob sie streng ?? von Feldmann – würden sie trotzdem nicht insgesamt als streng monoton fallend Leerzeichen – auf die negativen Bereiche sie streng monoton fallend auf den positiven Bereich allein sie streng monoton fallend einverstanden – und nicht insgesamt – mit sagen eine Funktion – fällt – streng monoton – dann heißt das wenn ich mit X – nach rechts gehe – sind die Werte immer garantiert kleiner das heißt streng monoton fallend wenn ich mit X – wachse – muss selbst dann wird kleiner werden sie sehen wenn sie mit X wachsen uns – bitte – Y wird je größer – die sich monoton fallend hier bitte gesondert größer – sie von da nach Tagen – groß größer – nur Links für negative X Jahr sind nur rechts positives – Haus brauchen aber wenn ich beide Bereiche nehme ich den Effekt – dieses X hat einen kleineren Epson wird als dieses X das wäre meine streng monoton Warnfunktion – verboten das ist die Definition – eines X sechs – Fußballer streng monoton fallenden Funktion des Y – sinken – zwangsläufig darf nicht wie hier größer werden als sie ist nicht monoton – monoton – und – diese plus zwei Nacht mal wieder die Symmetrie kaputt – ohne diese plus zwei – ungerade Funktion sie setzen – ein negatives X eine – negative raus das wäre ungerade Funktion – Punkt symmetrisch am Ursprung des Users sich um zwei nach oben damit es das Symmetriezentrum – nicht am Ursprung ist nicht nur ungerade – und gerade – das ist gar nicht ✂ ?? Punkt symmetrisch – etwas ausführlicher hin – Funktion – hier wird jetzt durch das Verschieben und zwei nach oben Punkt symmetrisch – um diesen Punkt sein – Komma dann sie dadurch nicht unwahr oder gerade sie müsste um den Ursprung Punkt symmetrisch dann wäre sie ungerade – sie ist das also richtig gemerkt ist und er war zumindest im ingenieurmäßigen – sind sie umkehrbar – sie können eindeutig zurück ?? ganz gut gemalt ?? können eindeutig zurück dies Umkehr war eine ungerade Funktion muss nicht unbedingt monoton sein oder streng monoton – sind daran – das muss sie nicht sein – das ?? nicht zwangsläufig miteinander zusammen wenn sie eine streng monoton Funktion haben – sie eine Funktion haben die ganze Zeit nur wächst – das wäre eine – streng monoton Funktion – monoton wachsende Funktion – die ist – umkehrbar – im – mittelmäßigen – Sinne mathematisch wie tief man kann zudem gegeben Y sich jeden gegeben Epson eindeutig zurück zurückrechnen – Punkt nicht nur diese Funktion ?? Punkt er war – auch – diese Funktion hier – wäre umkehrbar – das sehr genau der Höhe passen – auch diese Funktion wäre umkehrbar – sie können sich jeden Y – eindeutig – zurückrechnen – als es muss eine ungerade Funktion nicht notwendigerweise – monoton oder sogar streng monoton sein – die beiden Begriffe sind nicht zwangsläufig aneinandergekoppelt – es gibt Funktionen – die sind nicht – monoton – wie diese hier sind trotzdem umkehrbar – Fußnote dazu – davon irritieren lassen ?? Begriffe sind so eng aneinander – Komma diesen sehr lose – wenn es eine nicht jeder das andere vielleicht doch – die mal mal diese hier auch noch als Übung zu einer stückweise Definition – und hier unten – man sich überlegen ob wir den Posen zum zwei nach oben schieben – was passiert ?? nicht – immer ✂ darum – die grobe Form – diese stückweise Definition war klar was ich damit meine – wenn X das hier erfüllt – soll das gerechnet werden – und sonst – soll das gerechnet werden ist einfach nur Null genommen werden – also wenn X größer gleich zwei – soll das gerechnet werden X größer gleich zwei der Macht der Betrag nicht die Zeit ist positiv der Betrag liefert die Zahl wieder – wichtiger eine Parabel – sie sehen wenn sie zwei Einsätzen null ins Quadrat die Parabel startet ?? gerade im Scheitel – an der Stelle zwei – wie diese Parabel im Scheitel starten somit das aus – erstattete die Parabel bei X kleiner gleich minus zwei – zwei klein X kleiner gleich minus zwei – der Betrag – nimmt das Vorzeichen weg – und dann geht sie wieder los mit der Parabel – das so aussehen – symmetrisch – Leerschritt bezeichnet – lassen symmetrisch aussieht und zwischendurch – das jetzt diese Fallunterscheidung – stückweise Definition – ansonsten für die Echse die das nicht erfüllen ansonsten soll nun auskommen – ansonsten soll nun aus gerichtlich auf Punkt so soll das Aussehen eine Parabel – in die ich noch eine gerade hier eingebaut habe – und dann sehen Sie okay mit monoton ist davon nicht insgesamt – ist er nicht mit monoton – stückweise schon – auf der linken Seite oder sogar bis zu zwei hin bis zu plus zwei hinderlich sein Punkt fallen aber nicht streng – ab der minus zwei aufwärts könnte sagen monoton steigend aber nicht streng – ab der zwei aufwärts Gesangs – monoton steigend und sogar streng – aber insgesamt – habe ich keine Chance gibt auf der rechten Seite werden kleiner als auf der linken Seite – des ?? auf der linken Seite werde diesen – kleiner als auf der rechten Seite kann insgesamt nicht monoton sein – was es überhaupt – Zunge zergehen lassen muss nicht ungerade heißt nicht unbedingt gerade – bei Zahlen ist das so wenn eine Zahl nicht ungerade ist ganze Zeile sie gerade – mit und so ist es nicht so eine Funktion die nicht unwahr ist muss sich ?? gerade sein diese hier ist gerade nicht ungerade – Beistrich sozusagen ausnahmsweise mal – sie können das mit dem Grad auch direkt sehen wenn sie das mit den negatives X einsetzen – nimmt der Betrag – das Minuszeichen weg – dasselbe raus und positiv – das macht die gerade Funktion und negative X kommt das überaus – positive X – so der letzte – für den letzten nehme ich mir den Kosinus – für sicher eine gerade Funktion ist – Kosinus vom negativen Winkel ist der große vom positiven Winkel Kosinus ist symmetrisch zur y-Achse – Kosinus wir da steht den schiebe ich um zwei nach oben – Beistrich geschickt veranstaltet weil das jetzt zu weit oben um das zu tun – ?? Platz schaffen – so den großen sie sich um zwei nach oben – da ist die eins groß X von null eins zwei nach oben damit irgendwie liegen minus eins wird zu – zwei nach oben schieben zu Croissants werden somit Kosinus laufen wenn ich in zwei nach oben schieben – kann ?? von Alpha deutlich besser als ich sie an die ein Kosinus aus zwei nach oben geschoben worden sein soll – und daraus will ich jetzt die Wurzel – angucken – die Umkehrung der halben Parabel sind in die Normalparabel – spiegeln die Normalparabel – nehmen Sie die Normalparabel ?? Spiegel die eine fünfzig Grad Achse – dann haben sie die – Wurzelfunktion – der Hälfte der Normalparabel – eine fünfundvierzig Grad Achse gespiegelt – wenn sie jetzt diese Serie durch die Wurzelfunktion – schicken – was wir grob anschaulich passieren ✂ ja verkraftet runtergedrückt – quasi gestaucht aber nicht linear gestaucht die hohen Werte hier sind da irgendwo – werden zu nicht ganz so hohen Werten und die niedrigen Werte naja die sie sich ganz dramatisch betroffen – was die hohen Werte werden deutlicher – zusammen gestaucht als die niedrigen Werte – werden unter eins eingehen übrigens ist es umgekehrt ?? sich mit dem ?? eingehen – muss was größeres Ausrufezeichen keine Werte unter eins – das Ding wird insgesamt von oben – runtergedrückt – so was hätte passieren das heißt es ist – kein Fall monoton – es ist – periodisch – weiterhin – das sind sie ja auch mit DivX ?? im Jahr des großen ?? wieder raus selben – Ergebnis das Ding ist weitgehend periodisch – keine Frage – es ist – gerade – ?? und – es ist nicht ungerade ist weiterhin so symmetrisch – das man links und rechts spiegeln kann wenn sie für X was negatives einsetzen – frisst der Kosinus das Vorzeichen der großes S gerade Funktionsfinger – selber raus ✂ ich wollte – das ?? hinter Gedanke dass sie an diesen Stellen tatsächlich – näher vorstellen – Intuition – entwickeln was den hier eigentlich – technisch passiert wie die Kurven aussehen was durch den Funktionen an ist der Verlauf insgesamt – sie können natürlich diese Dinge einfach in Wolfram Alpha eintippen oder was auch immer sie auf dem Smartphone ?? finden – und sie in die Kurve – das ist aber so als ob sie – in Englisch jedes Buch im Wörterbuch nachgucken man muss – diesen Ausdruck angucken können und muss die Idee haben was da passiert – ist das Ding periodisch ist es monoton – wie schnell ist es was die größten Werte geht ins unendliche – also was muss man diesen Ausdrücken direkt ablesen können ohne – Unterstützung – das wäre schon mein Ziel für das Ende des ersten Semesters das System wirklich sitzt – angucken und sofort wissen was passiert – wenn sie das mit jeder Form erst machen – müssen Sie den Rechner eintippen – zu tun ✂ wenn sie den Betrag auf Wolfram Alpha suchen wenn sie es wahrscheinlich tatsächlich die Striche schreiben bestimmen unser kleiner typischerweise auf der Tastatur – über sie unterworfen ?? Bindestrich ?? Schreiben – auf einer System werden sie abschreiben – müssen – Absolutbetrag – Value ABS als Funktion – hier ✂ gerade ungerade bei Sinus und Kosinus – der Sinus – Sinus – ist ungerade – der Sinus einem – Somali das auf der Sinus vom negativen Winkel ist das negative – vom Sinus – des entsprechend positiven Winkels – des Sinus ist nicht – gerade – dann müsste ja so weitergehen – ?? gerade während eines der symmetrisch ?? y-Achse – sein der Sinus ist ungerade – aber nicht gerade – der Kosinus genau umgekehrt – Komma sie Anschreiben der Kosinus genau umgekehrt – ?? ganz leicht an – der Kosinus hat für einen negativen Winkel dasselbe Ergebnis wie für den positiven Winkel der Kosinus ist symmetrisch an der y-Achse – Besserwisser gerade – der große Mann nicht ungerade – ?? ungerade wäre mit müsste vom symmetrischen Ursprung sein Punkt müsste ein Punkt auf der Seite unten entsprechen – sie beim Sinus – dieser Punkt – wird nach ?? gespielt ?? Kurses könnte das nicht diesen am Ursprung spiegeln jedoch ?? ist nicht der Kosinus ist nicht ungerade ist gerade – nicht unwahr – den gibt's Funktionen – gibt's Funktionen die beides sind – das bringt mich gerade auf diese Fragen – Sie mal mal alle eine Funktion – auch versuchen meine Funktion auf zumal die gerade – und ungerade – ist – in dieser – Funktion sind weder noch ?? sind weder gerade noch ungerade – probieren Sie mal ?? Funktion auf zumal die gerade und ungerade ist – kann man das tun ✂ einige haben seine Lösung gefunden eine Funktion die gerade und ungerade – bekanntzumachen Punkt was bedeutet das was bedeutet es wenn ich von einer Funktion verlange dass sie gerade und ungerade – gleichzeitig – deutlich absetzen – ?? sich die Kosinus ich meine Funktion die ich jetzt neu bauen soll gerade und un sein – wenn – die Funktion – diesen – Punkt enthalten würde wenn die Kurve diesen Punkten halten würde – wenn es sich bei einer geraden Funktion ist muss auch dieser Punkt das können sein – Spiegel symmetrisch – eine ungerade Funktion wüsste ich es müsste auch dieser Punkt drin sein Punkt symmetrisch – sind das es jetzt blöd – das wird keine Funktion werden können – alle Funktionen gleichzeitig gerade ungerade ist – kann keinen Wert irgendwo haben wir von null verschieden ist es kann immer nur Null rauskommen – sonst könnte es keine Funktion sein – wenn sie spiegeln würden sie hier zwei Werte kriegen – eine Funktion die gerade ungerade ist muss immer den Wert null haben – Sie mal irgendwas hin – mit symmetrischen Definitionsbereich – was immer null ist das einfachste wäre – das – ständig – die auf die für alle reell sein X definiert ist und ständig nur lässt – ist gerade und ungerade – eine ziemlich blöde Funktion aber in der Mathematik zieht man solche Definition – durch – diese Funktion ist gerade weil sie diese Funktion sammelt minus fünf ausrechnen – wie dasselbe raus das was über fünf hatten die bei minus fünf nachgucken was Funktion liefert dasselbe Plus fünf ist also symmetrisch – y-Achse – ?? Punkt – fünf minus fünf eine Stelle fünf minus fünf und auch ansonsten ist gerade – dies aber auch und gerade – wenn sie Beistrich wie das ?? gucken – und vergleichen diesen Wert mit dem lediglich eine Stelle fünf hat sich das Vorzeichen – minus null wird plus null – null ist gleich minus null ?? zusätzlich – stellt sich sowohl gerade auch um – sie behält ihr Vorzeichen – und sie wechselt ihr Vorzeichen war nun gleich minus – dass es sich in den Haaren herbeigezogen – aber sie sehen damit dass diese Begriffe sich nicht ausschließen – gibt – es gibt gerade Funktionen die sind obendrein auch noch ungerade die meisten Funktionen sind weder noch ✂ okay könnte nicht auch ein Kreis – im Prinzip ja aber wenn sie den Einheitskreis – Nebenrates – eins Mittelpunkt ist der Ursprung – soll der Einheitspreis sein – könnte natürlich sagen okay der ist in beide Richtungen symmetrisch auf beide Arten symmetrisch – ist symmetrisch an der y-Achse – und S Punkt symmetrischen Ursprung – schön – ist das also ein – Ding das gerade ungerade – als es vielleicht ein Ding das gerade und ungerade ist aber sonst keine Funktion dass der Ärger – keine Funktion – wenn es eine Funktion wäre dann wär's schön – aber ?? ist ja keine Funktion sie haben zu einem – X wird hier zwei verschiedene Ozonwerte