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02C.1 Ableitungen ausrechnen, Beispiele; Kettenregel; Produktregel

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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zu – Übung ein paar Ableitungen – angefangen mit einfachen Ableitungen – und eine schwierigere und danach im zweiten Schritt – mit ihnen machen was Ableitung wirklich bedeutet – folgendes ab X plus drei ins Quadrat – schreibt das mal – so die nach die X das heißt die Ableitung – von dieser Funktion die X – ab Tilde double x plus drei – ins Quadrat davon die Ableitung bilden was ist das – die Ableitung bilden – den Artikel – ähm von Sinus – von Wurzel aus X – ist das und die Ableitung bilden – vorn – die hoch X – mal den natürlichen – Rhythmus von X hoch drei – ziemlich – kranke Ausdrücke – einfach nur mal um alle – Regeln durch zu exerzieren dies bei der Ableitung gibt – das es jetzt ihr fantasielos – aber durchzurechnen – wie gesagt gleich gezaubert künftige Aufgaben – ?? sie – drüber nachdenken müssen was sie Ableitung wirklich tut – wenn sie das in der Schule noch anders gesehen haben können – oder alternativ gesehen haben und genau sowas schreiben F von X ist gleich X plus drei in Klammern ins Quadrat – und gesucht ist F Beistrich von X – so könnte man das aufschreiben so ist es etwas knapper geschrieben – die Ableitung nach links den achte X nicht die durch die XP nach der X gewesen – Ableitung nach der Variable – von diesem Ausdruck – versuchen sie die mal rauszukriegen soweit sie sich erinnern an den Focus erinnern oder die Show erinnern mal gucken wie das geht ✂ diese Schreibweise hier den achte X – die sie zur nach Quotient aus Sicht ein durch X lassen sich davon nicht ins Boxhorn jagen die Braut jetzt sich die Quotientenregel – oder was die Funktion ist das hier eher von X ist X plus drei ins Quadrat der Wind nicht geteilt bei der Funktion diese Funktion will ich ableiten – das nicht falsch interpretieren dieses den achte X ist einfach eine Schreibweise insbesondere die Physiker lieben wenn zum Beispiel Funktion haben die eben von der Temperatur abhängt dann möchten sie – auch klarmachen dass das innere Temperatur ableiten oder eine Funktion von mehreren Sachen abhängt – macht man nicht mehr dieses lateinische D sondern – einziges kyrillisch System – eine Funktion vermehren Sun abhängig vom Druck und von der Temperatur – Thermodynamik und ich möchte nur nach dem Druck ableiten – da kommt dem Strich aber nicht zurande was ist Beistrich mache wonach leite ich jetzt ab deshalb wenn sie bei den Physikern typischerweise – dieses DE nach D irgendwas – davon nicht irritieren lassen – die Funktion steht da oben auf dem Bruchstrich – und auch dahinter manchmal schreibt müssen auch dahinter – den achte X von X plus drei – ins Quadrat – soll heißen – sie nehmen diese Funktion – und leiten die nach X gab – es kein Prozent drin – Punkt Vorbemerkung – kein Prozent drin – das ging es auf zwei Arten – eine – ganz einfache Art war sie modifizierte sie oben aus binomisch X Quadrat plus sechs X plus neun – und leiten dann nach Schema F ab – X Verrat ableiten wird zwei X sechs X ableiten – mit sechs – kriegen sie dann also zwei Expo sechs auf diese Weise könnte man so machen – ?? – ich finde das professioneller – und dass es auch nur Vorbereitung für das nächste – wieder die Kettenregel – entdecken – es gibt eine innere Funktion – X und drei erhöhen und es gibt eine äußere Funktion Quadrieren zwei Funktionen ineinander – um drei erhöhen und danach Quadrieren – eine Verkettung zweier Funktionen wie eine Verkettung unglücklicher Umstände eine Verkettung zweier Funktionen zwei Sachen in der Natur – erst drei drauf und danach Quadrieren – das schreit für mich eher nach der Kettensäge dasselbe Resultat – passiv gegangen – aber schreite mich ihr nach der Kettenregel – Kettenregel heißt – äußere Ableitung ?? innerer Ableitung die äußere Funktion ist das Quadrat – das leite ich ja wieder die ein Quadrat ab Quadrat ableiten ist zwei mal – Sinn in die äußere Ableitung des jetzt was Überwindung kostet an dieser Stelle widersteht X plus drei – Meisternummern auf wie das zustande kommt Punkt – das ist die äußere Ableitung – ist die äußere Ableitung ?? – ich betrachte – dieses hier innen drin als variabel und leite nach der Variable ab und setze zum Schluss wieder X plus drei ein – bla ins Quadrat nach bla ableiten gibt zweimal bla – dann setzen Sie X plus drei wieder ein das ist die äußere Ableitung – steht weit in ihrer Formelsammlung irgendwas von F Strich von G von X – wenn hier F von – G von X steht seit die Formelsammlung hier wahrscheinlich Beistrich von G von X die äußere Fusion ableiten aber die Innere stehen lassen bis drei Männer stehen lassen – ?? mal und jetzt kommt die innere Ableitung – die innere Funktion ableiten besagte Formelsammlung Beistrich von X Dino Fusion ableiten – ?? X plus drei ableiten – an sie glaube ich dann gesehen eins – eine Gerade mit der Steigung eins X plus drei – zu eine gerade die hier in der Höhe – steigen als Geister sagen also – so eine gerade die in der Höhe drei durch die – Büchsenachse durchgeht ist gleich null die die Steigung – eins – einmal X – innerhalb eines einst ?? Wasser mit zwei Expo sechs – dasselbe was sie auf den anderen Weg auf meinen Weg erreicht haben – so könnte man das sollten sich einmal normal sagen – wo die Kettenregel her kommt – die Kettenregel – vielleicht noch mal von der Idee her ich habe eine Funktion – einer anderen Funktion – ich möchte wissen was passiert wenn ich dieses X ein bisschen störe – wenn ich dieses X ein bisschen störe – kommt der Fehler aus dem G von X – mit G Strich aus der Ableitung die Ableitung sagt mir wie stark sich Störungen auswirken – wenn sie Funktion haben – ?? sagt in die Ableitung – diese Steigung hier wie stark sich eine Störung auswirkt – wenn ich hier meine Eingabe etwas störe seitdem die Ableitung – in welchen Faktor – sich die Ausgabe ändert – als die Störung die jedem X antut kommt mit dem Faktor G Strich von X – ihr aus dem geh raus – und dann – habe ich eine Störung in F – hier habe ich ?? Störung – sind das immerhin auf diese Weise – etwas improvisiert gerade ?? ich sage mal das X störe ich um ein bisschen – das X störe ich um – ein kleines Delta ?? X – dann ist dieses G von X – gestört – um – ein G Strich von X mal Täter X die Ableitung hier an dieser Stelle sagt mir wie diese Abweichung – durchschlägt – aufgehen – dasselbe macht man jetzt mit dem F – sich an Punkt wie stellt denn diese kleine Störung auf F durch – die Ableitung von F – an der Stelle leichter Sitze – von G von X – sagt mir – wie stark die Störung durch schlecht mal die Störung groß ist die Störung Beistrich von X – mal – delta X – und dieser Faktor hier vorne muss dann meine Ableitung sein die äußere Ableitung – mal die innere Ableitung – in den alten ?? somit länger vorgeführt – so merke ich mir das wie das zustande kommt ?? ich betrachte ein Störungswachstum – sozusagen eine Fehler Fortpflanzung wie die Physiker die Fehlerrate sie angucken – wie stark ändert sich – je durch das was ich dem X antue und wie schlägt das dann noch zum Schluss auf F durch den kriegen Sie sein Produkt – als ob sie mehrere Zahnräder ineinanderschalten – ?? Übertragungsverhältnis – sozusagen – da kommt dann zum Schluss die – Kettenregel her – dieses Ding hier die Armee noch ausführlichen – Aktionspartner – besser zu erkennen – die äußere Funktion ist der Sinus F ist der Sinus die innere Funktion – ist die Wurzel – sie leiten also die äußere Funktion ab um die Ausarbeitung zu Kriegen des Sinus wird zum Kosinus – in drin steht – die Wurzel – die Stelle an der ich da arbeite – wie stark schlägt eine Störung der Wurzel auf den Sinus durch sie bleiben hier noch bei der Wurzel die Ableitung an der Stelle der Wurzel das ist die äußere Ableitung mal – jetzt kommt die innere Ableitung – einst durch zweimal die Wurzel – einfach nur die Wurzel ableiten – der Schema außer mal innere oder innere mal Äußeres ist dem Produkt egal in welcher Reihenfolge sie modifizieren Hauptsache – äußere Fusion ableiten an der Originalstelle – Wurzel X hier – mal innere Funktion ableiten – und wir unten – noch was hinzu die Produktregel – bla hoch drei – das haben sie glaube ich dann alle so weit hingekriegt bla hoch drei wird dreimal – bla ?? hoch zwei – das ist die äußere Ableitung – das übertragen was in der äußeren Funktion steht er X mal den Logarithmus von X – das Blatt dastehen – das ist die äußere Ableitung – ?? mal – jetzt kommt die innere – da habe ich sie – geärgert mit der inneren Ableitung ?? steht ein Produkt das davon nicht verwenden das ist ein Produkt Wasser in drin stehen sind da noch nicht so schnell fertig – ?? muss ein Produkt abgeleitet werden – wenn der eine Summe abgeleitet werden müsste dann würde ich sagen ?? X ableiten – Logarithmus ableiten und die Summe bilden okay – ?? ist eine Summe abzuleiten ist ein Produkt abzuleiten dazu braucht man die Produktregel – die March auch normal hin – etwas leichter aufzumachen als die Kettenregel – ein Produkt guck ich mir nachhaltig ein Quadrat an ich gucke mein Rechteck an so ich gucke mir ein Rechteck an und frage mich – wenn ich diese Seite etwas ändere und diese Seite was in drei Produkt – die ändert sich die Fläche die Fläche ist das Produkt der Seitenmengen – wie ändert sich die Fläche – wenn ich die Seitenlänge etwas ändere – die Seitenlänge – endlich etwas diese ändere ich etwas und dann sehen Sie das Produkt die Fläche von den ganzen – ändert sich – im wesentlichen wenn ich das hier oben einfach mal ignorieren das kleine – seine Briefmarke hier im wesentlichen ändert sich das Produkt die Fläche von diesem Rechteck um – die eine Seitenlänge – mal die Änderung der anderen – eine Seitenlänge mal die Änderung der anderen das ist sowas wie die eine Funktion mal die Ableitung der anderen Funktion der Buttons etwas zu Änderung – plus – die andere Seitenlänge – mal die Änderung der einen Funktion – mit vertauschten Rollen – die Produktregel das ist die Produktregel wenn sie auf mal geändert sich die Fläche – eines Rechteckskriegen – dieses Stückchen hier – die eine Seitenlänge mal die Änderung der anderen – Plus dieses Stückchen hier die andere Seite linken Seiten immer die Änderung der ein das ist im wesentlichen die Änderung der Fläche des Produkts der beiden Seiten ähm der hier oben den Game unter den Teppich – der wird im Grenzwert dann – null – oder so schnell null muss sie sogar sorgen so schnell nur das für ihn vergessen dürfen – dasselbe die Idee hinter der Produktregel – wenn sie das – gesehen haben sollte das dann keine Aktion sein der eine mal die Änderung des Anderen plus der andere Mal die Änderung des ein – F mal G die Ableitung des Produktes ist die Änderung des einmal den anderen Kloster eine Meinung des anderen oder anderes ungeschriebenes Zyklus egal von mir so geschrieben – erst mal G Strich plus – Beistrich Magie – ob sie die nun so rum addieren oder andersrum – ist egal – da kommt das her – als wenn sie Produkt ableiten Vorsicht – Sie kriegen – eine Summe raus und das muss man jetzt berücksichtigen – dieses Produkt mit dem Blauen Punkt für dieses Produkt muss ich ableiten kann man nicht vergessen bitte – die Klammern dann nicht hinschreiben – hat in Aachen ein so manches einmal vor – den ableiten wie hoch X eo X – ist der Prototyp einer Funktion die einen Ableitung ist in ableiten bleibt er X – den Logarithmus – stehen – los und jetzt andersrum – Eriks stehen lassen und den Rhythmus ableiten – X stehen lassen und den Rhythmus ableiten ?? Rhythmus ist eins durch X in der Ableitung – das käme daraus – das wissen Sie – in einem Monat auswendig das Rhythmusableitung – einzig – können so Bestell auch Radfahrer zeigen – was nützt – das in den Fokus wieder das im Fokus will es auch schon drin ist ?? Beistrich was noch mal ?? zu Produktregel hier – den ersten ableiten wird Wiedereriks – des Weinsteuer lassen ?? – plus – den ersten stehen lassen Eorex den zweiten ableiten – mit eins durch X – und die Klammer nicht vergessen wenn sie hier die Klammern vergessen – was passiert ✂ genau Punkt Beistrich Rechnung wenn ihr keine Klammern schreiben würden sie das Produkt ja ausrechnen – dieses Produkt ausrechnen zum Schluss das Addieren – das ist was anderes – als wenn sie erst – addieren – und dann das Produkt ausrechnen – bitte bitte Vorsicht mit Klammern – lieber eine Klammer mehr als ?? zwei Klammern ?? durch paarweise – über zwei Klammern mehr als zwei Klammer zu wenig Macht zu leicht an unseren – das hatte ich hier auch gesehen ?? diese Klammer hier vorne die können sie auch nicht weglassen wenn sie die klammen davon ?? weglassen – wird der Logarithmus in die dritte Potenz gebracht aber nicht ihre X – mit den Klammern der vorne sage ich erst modifizieren – und dann die dritte Potenz – in Klammern nicht ?? was zu dem einzig X sagen – das es – relativ einfach dass der Logarithmus zu eins durch X wird – wenn Sie sich die Logarithmengesetze – angucken – im – ich schreibe folgendes auf die hoch den natürlichen Rhythmus von X – das sieht ganz – unsinnig aus das man sie ausrechnen was ist jedoch natürlich über das von X ✂ was anderes was ist – zehn hoch der Zehnerlogarithmus – LG – von tausend – ?? ist das ✂ okay – der – Zehnerlogarithmus – von tausend ist – drei – zehn hoch drei – ist tausend – und ?? mich zehn hoch drei – und Kriege war schon wieder tausend ?? aus der Zehnerlogarithmus – LG – von tausend sagt womit muss ich zehn potenzieren damit tausend rauskommt – drei muss sich zehn potentielle mit tausend rauskommt – Punkt es bringt sich zehn – mit der Zahl drei Überraschung ich kriege tausend raus das es eigentlich – wenn sie das fünf Minuten bisschen wälzen total banal was der Städte sieht haarsträubend – aus aber es ist eins die Definition des Logarithmus – sehen hoch den Zehnerlogarithmus von tausend muss wieder tausend ergeben bei der zehn – tausend Sack womit ich den potentiellen – Muster mit tausend rauskommen – was kommt als Sicherung raus ✂ ?? oben X raus gut – und jetzt gibt's den Kunstgriff – den finde ich sehr lustig diesen Kunstgriff – auf beiden Seiten abzuleiten – wenn das links gleich dem rechts ist dann können sie allerdings ableiten und es muss gleich den recht sein – müssen heute sein für alle X für alle X ist das auf der linken Seite alle positiven Zahlen X immer zu übertreiben – für alle positiven Zahlen X ist das auf der linken Seite gleich der rechten Seite dann können Sie auch ableiten dann muss die Steigung links leichte Steigung recht sein und wenn ich das tue – rechts ableiten kriegen sie eins – X ableiten kriegen sie eins Promille – den achtzigster – und ?? dazu machen – wie leiten Sie auf der linken Seite ab ✂ E hoch ist die äußere Funktion ich nehme X da von den Logarithmus – und das Ergebnis stecke ich in die Ex Mensafunktion – äh hoch wird zuletzt ausgeführt – Komma sie um noch mal an Sinus von der Wurzel der Sinus ist die äußere Funktion – die Wurzel wird zuerst ausgeführt – der Sinus steht außen der kommt zum Schluss nachdem ich die Wurzel habe – rechne ich den Sinus aus der Sinus ist die äußere Funktion und es ist hier unten Beistrich deshalb analog ist die unten – eh hoch – die äußere Funktion – und der Logarithmus ist die innere Funktion – ?? ist die äußere Funktion HP hoch bla wird die hochblastak – ist ein das bla war Rhythmus von X – gleich meine Formulierung besteht nicht im Buch – das ist die äußere Ableitung sehr überraschend wie hoch irgendwas wird wieder irgendwas – und es kommt die – innere Ableitung ich musste Logarithmus ableiten – das kann ich aber noch nicht ich hatte einfach hin was ist die Ableitung bitteschön vom Logarithmus schreib es ganz was denn das ist die innere Ableitung kenne ich noch nicht – so und warum ist jetzt die Ableitung vom Logarithmus gleich einzig X ✂ lausig um sich diese Gleichung wieder an ihre X ist X – hier vorne – steht X – Eorennen X ist X X mal die Ableitung ist eins – wenn X mal die Ableitung eins ist habe ich gelernt die Ableitung ist eins durch X – das ist die kurze elegante etwas lächerliche Begründung warum die Ableitung von Rhythmus einzig X – Trick siebzehn – Information sowas dann auswendig – damit hätten wir – irgendwie hätten wir ✂ ja tatsächlich diese drei Sachen ausgerechnet – stimmt – könnte man das noch vereinfachen ja man könnte es auch vereinfachen – ich bin also kein strikter Mensch mir will es eigentlich eine Stelle reichen aber ja schöner wäre – für die allgemeine dieses eo X dahinten rausnehmen – und schreiben Eriks mal den Logarithmus – plus eins durch X – wäre schön aber – ich könnte auch damit leben – wo ich neuerdings pingelig werde – ist folgendes – wenn am Ende irgendeiner Länge Rechnung sowas steht der Logarithmus – zur Basis fünf von der Zahl fünf – in das am Ende übrig bleibt der wenn ich inzwischen dinglichen Ziele ein Punkt ab was ✂ ist das Logarithmus zur Basis fünf hundert Saal fünf – genau das ist eins – das nervt mich inzwischen schon wenn das als Endergebnis der stehen bleibt weil das mir dann sagt jemand der den Rhythmus nicht verstanden – Logarithmus zur Basis fünf – sagt mir – womit ich fünf potenzieren muss damit fünf rauskommt – womit muss ich fünf potenzieren damit fünf rauskommt damit eins fünf hoch eins ist für mich also ist der Logarithmus zur Basis fünf hundert ?? fünf – dieser eins – das soll sie verstanden haben – ?? ist irgendwas mit dem Logarithmus ganz krumm – an der Stelle Beistrich – neuerdings – an – an dieser Stelle würde ich sagen okay das glaube ich Ihnen das in der Lage sind ✂ das Eriks daraus ziehen – sehr schön die Ableitung von der Wurzel das man sie mal gerade selber die Ableitung von der Wurzel nach dieser Idee – Sie wenden diese Idee an und die Ableitung der Wurzel zu bestimmen – viel Glück – Ebit für die ?? probieren sie was anderes zu machen für die Ableitung der Wurzel – ähnlich vorzugehen um selbst herzuleiten was die Ableitung der Wurzel seines ✂ Quadratwurzel – ich schreib das mal analog zu den Logarithmus den ich mir das vorstelle – was kann ich der Wurzel ANTUN – damit wieder X rauskommt wie kann ich die Wurzel aufheben – ich kann die Wurzel Quadrieren dann kommt X raus – das gilt natürlich nicht für negative X Beistrich über die Wurzel bilden klar als das gilt nur für X ab null aufwärts dass sie – bitte auch nur für positive X mit dem Logarithmus – dann – so glücklich aus der Wurzel wieder das X raus – das gilt für alle X größer null – ist gleich null sogar auch und jetzt kann ich beide Seiten ableiten wenn diese Funktion bei der Funktion ist dann müssen auch die Steigungen gleich seien beide Seiten ableiten – auf der rechten Seite des billig eins – und auf der linken Seite brauchen Sie jetzt die Kettenregel wieder das war etwas – was Überwindung verlangt hat – die äußere Funktion ist Quadrieren die innere Funktion ist die Wurzel – ?? ich fange heute also Fusion ein bla ins Quadrat ableiten gibt zweimal – Plan zweimal – etwas drinsteht Wurzel X wollte keine Klammern mehr – runde Klammer auf – zweimal Wurzel X ist die äußere Ableitung – Leitquadrate – zweimal platt – und ist jetzt groß X wieder ein – Mal die innere Ableitung die hat sehr viel – Verwegenheit gekostet die innere Ableitung die schreibe ich jetzt einfach formal hin ich brauche bitte die Ableitung der Wurzel tun so als ob ich noch nicht kenne – dass die innere Ableitung wie hier beim Logarithmus – diene Ableitung – ja zweimal Wurzel existiert leider nicht X wie eben das war sehr einfach zu ?? groß X ist nicht X habe ich ganz einfach rüber bringen – den Ring auf die andere Seite rüber und ich finde das die Ableitung – der Wurzel nach X dieses Ding für die Ableitung der Wurzelfunktion – ist eins durch zweimal die Wurzel – das wäre dieselbe Machart auf die Wurzel übertragen – ?? – wow – es gab noch in anderen Weg mit der Potenzregel – vergisst man diesen hier noch – Tage zierlichen Umbau Fragezeichen ✂ alternativer Weg mit der Potenzregel – wenn sie dieses Jahr schon wissen X hoch ähm – abgeleitet – gibt N mal X hoch N minus eins – um Ixus zwei ?? vierzig abzuleiten – schreibe ich in zweien vierzig ?? zu einundvierzig – und das geht netterweise auch wenn ich X auf minus drei ableite – minus drei malig zu minus vier und wenn ich X hoch ein halb – ableite ein halb ?? X hoch minus ein halb – das habe ich jetzt bei einigen gesehen als insofern – können sie dann auch sagen okay X hoch ein halb Beistrich ausführlichen – die Wurzel möchte ich ableiten – ?? was ist die Wurzel – es ist X auch ein halb – und jetzt kommt – die Potenzregel – hier – wieder die zu ein halb ab das ist ein halb mal X hoch eins abziehen ein halb minus eins ist minus ein halb X hoch minus ein – und was ist X hoch minus ein halb das heißt – Wurzel ziehen ein halb und Kehrwert minus – also ein halb – mal eins durch die Wurzel – das passt natürlich zusammen das – so geht das auch – dazu müsste man aber eigentlich erst mal nachweisen – dass diese Potenzregel – auch Geld wenn er nicht gleich zwei und drei und vier und zwei vierzig ist sondern dass man für dieses en noch was krummes einsetzen kann – aber einerseits sobald man diese Potenzregel hat – der Exponent kommt nach vorne wird um eins vermindert – die das natürlich auch so