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21.1 partielle Ableitung, Gradient, MATLAB(R)


CC-BY-NC-SA 3.0

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der – erste große Begriff bei Funktion mehrerer veränderlicher ist die – partielle Ableitung was wird denn jetzt aus dem ableiten wie kann ich hier – Steigungen bilden wenn ich zum fliegenden Teppich habe was heißt dann Steigung – bei den – üblichen handelsüblichen Funktionen mit einer veränderlichen – hatte ich immer die Idee – gibt es keinen Text da diese einfache Idee dass mir die – Beteiligung – an einem Punkt sagt was denn ?? ja die Steigung der Tangenten Gratisagenten – ?? wird – zur – Besteigung dieser Graden – soll sein die Steigung einer Kurve in diesem Punkt soll sein die Ableitung – einer – Kurve – an dieser Stelle – ähm – was ist aber nun wenn das hier – Berg und Tallandschaft ist wie lege ich da gerade wirklich überhaupt ?? dran – am ?? das will ich jetzt erzähl ich nicht – ich mir gerade dran sondern richtige Ebenen dran oder – mehr unabhängigen noch – schlimmere – Konstruktion – äh – bevor ich damit anfange führe ich aber erst noch mal offiziell – den Begriff der partiellen Ableitung eine hilft nachher an – die Idee der partiellen Ableitung ich hab zum Beispiel – folgende Funktion zweier veränderlicher – Extraposition – Quadrat – sehr tiefsinnig – sein heißt partiell abzuleiten – heißt partiell abzuleiten – eine von den beiden bis zu lassen – und nach der anderen abzuleiten – was auch immer gleich – um uns zu überlegen was den Ableitung beide Funktionen mehrerer veränderlicher – Weinschreiber – traditionellerweise – nicht mehr DF – nach D X sondern um klarzumachen – dass man hier was – fieses veranstaltet – dieses geschwungene – D an – F nach X ableiten – aber partiell ableiten – mit diesem geschwungenen D – das soll heißen – ich leite nach X ab ich betrachte diese Funktion als Funktion von X und Y die andere Variable die lass ich fest betoniert – Y behandle ich so als ob hier dreizehn fest drin stünde – und dann leite ich nach X – sind gleich warum das hilfreich sein kann mehrere – Dimensionen – wenn sie das hier tun – ?? X ableiten aber so tun als ob Y fest betoniert ist – Y als Konstante betrachten – beim ersten Terex – ableiten und es ist der Sommer schon mäßig zwei Extender nichts passieren – ?? Plus – beim zweiten Term hier – den nach X ableiten und so tun als ob Y fest betoniertes – Ärgernis Gibson Quadrat auch fest betoniert und wenn es ableiten können sie nur – das heißt dass wir die – partielle Ableitung nach X sein von dieser Funktion – analog wenn die Funktion partiell nach Y ableiten – weit ein ordentliches – Symbol der – Symbole schreiben – so – das heißt – X – festbetonieren – und nach Y ableiten zu mäßigen – Pleiten ?? Access betonieren – das heißt der verändert sich nicht in sie ableiten ?? null raus – rülpsen ableiten da steht zwei Y und fertig – das ist bis dahin ist man nur blödes Rezept wie man Funktionen – mehrerer veränderlichen und ableiten kann sie können nach jeder veränderlichen einzelnen ableiten und tun so als ob einer anderen Konstante sind das heißt partielle Ableitung das ist – ein gänzlich billige Angelegenheit – was gemischtes – an wenn ich hier Sinus – von X Y habe – und ich möchte nun partiell – ableiten was passiert wenn sie das nach – X ableiten ✂ also hiermit – Kettenregel – bei den Sinus ableiten Siemens von irgendwas wird Kosinus – von irgendwas – und endlich die innere Ableitung – X ableiten – Y – hundert in Ableitung raus Y beharrlicher wie konstanter Papier stünde Sinus von – X mal dreizehn – zunächst mal dreizehn ableitenden – Kings dem Kosinus – von X mal dreizehn aus Ableitung mal in Ableitung dreizehn – Y – als Konstante behalten – und analog wenn sie das machen – Y – ableiten – dann wieder Sinus natürlich wieder der Kosinus – von dem was drin steht und er sich X Y nach Y ableiten und X als Konstante behandeln – das heißt ?? steht mal – X sofern – auch kein Drama – noch mal drei Variable – drei veränderliche – gut Deutsch – eine Funktion von VW – und sie soll sein – nun mal V Quadrat – groß V – mal die Wehenseite – kann ich drei partielle Ableitungen wählen ✂ was gibt die partielle Ableitung nach oben – ableiten – ?? Bau als Konstante behandeln wie er als Konstante behandeln der steht hier hinten – was konstantes – hier steht was Constanze Leitner – ?? sieben – V Quadrat – partiell ableiten – ?? – V – das U als Konstante behandeln – schönen Wetters stehen – sie ableiten V werden also zwei ?? V – finden sich aber auch noch ableiten – V mal eine Konstante wie als Konstante behandeln – Formalkonstante – wird – wie hoch die – Form eine Konstante nach ?? ableiten das V fliegt raus ✂ mal einschreitet – und dann aber noch die Ableitung nach – W – es wird das – erste ist Konstante schlichtweg weniger weh ableitet partiell nach W ableitet – behandle ich Uhr als konstant V als Constant der erstes Konstante fliegt raus – plus – U als konstant vorausgegangen – war ?? hier steht was wie die Zahl zwoundvierzig mal die UKW abgeleitet nach – W – wieder weiterhin zwei vierzig mal – V mal – die hoch – wie – das partielle Ableitung – ?? den ersten Begriff – Arm – ist das etwa mit der partiellen Ableitung – ein Vektor mit den partiellen Ableitungen einen Vektor – sie nehmen einfach diese Zahl und diese Zahlen stellen über einander – dann haben Sie ein Vektor toll – waren – diese und diese stellen die Bahnanlagen ein Vektor hier bei drei veränderlichen – den den den Übernahme haben einen Vektoren – der Vektor heißt Gradient der Funktion – wird sehr gleich was das denn dann mit Steigung und so weiter zu tun hat erst mal rein formal – logisch hattest ?? jeweils zu – ?? Platz gelassen ja – schon des jeweils dazu – eigene – Felder – gehören – also Nummer vier der Gradient dieser Funktion – können so schreiben Grad F – an der Stelle X Y es gibt diverse Schreibweisen dafür – das hier wäre eine – andere wäre – nach Plan – nennt sich dieses hier nach – irgendeinem antiken Musikinstrument – was anscheinend Dreiecksform hatte – nach Plan – F schreiben einige Leute weil das Ding ein Vektor ist schon ein Leute einen Vektorfall drüber oder – im Druck machen Sie dieses Dreieck – fett – den sie tausend Arten – das zu schreiben – in jedem Fall ist es der Gradient – zur – der Gradient wie gesagt ?? Jensen einfach sein sie neben die beiden partiellen Ableitungen schreiben die Übernahme und fertig – zwei X zwei Y das ist alles – was ist der Gradient dieser Funktion oben die partielle Ableitung nach X und die partielle Ableitung nach Y – ein Vektor – der von X und Y hat – für jede Stelle an der sie jeden Punkt soll ich sagen für jeden Punkt Y – an denen sie diese Ableitungen bilden kriegen sie nun einen – Vektor – X und Y – ich hänge an jeden Punkt an dem ich die Ableitung bildet einen Vektor das ist der Gradient – Beistrich ein Vektorfeld – der Gradient verwandelt – eine Funktion – in ein Vektorfeld – und das wird nachher was mit der Steigung – in Anführungszeichen – zu tun haben – dasselbe hier beim nächsten Insel mit dem nächsten machen – fünf – sind sie dass der Gradient dieser Funktion hier Gradient F an der Stelle Gibson – schreibe das wahrscheinlich billiger als alle anderen Leute hier drum noch Klammern mache – Beistrich die mir eigentlich den Patienten – ist ja nicht das ich erst die Funktion – ausrechnen dann den Gradientenstimme – sei einige stimmig erst den Gradientenunternehmen – an der Stelle – Beistrich sind sehr pingelig – das konform – Programmieren das lässt ein bisschen – ?? sagen – die Gründen – suchen – ähm – also oben muss stehen – der Kosinus – X Y – mal Y – und unten muss stehen – der Kosinus – X Y – mal X – wieder ein Vektorfeld – für jedes X Y – kriege ich einen Vektor raus – malen sie den Vektor des elektrostatischen – Feldes ein – oder für eine Flüssigkeit ?? sie bewegt Mainz in jedem Punkt der Flüssigkeit ein was die Geschwindigkeit – gerade ist mit der sich die Flüssigkeit an dieser Stelle bewegt ?? nicht als Rektor sagen – ein Vektorfeld genauso liefert der Gradient ein Vektorfeld – der letzte – was man bisher – zwei D Vektorfelder – zwei – veränderliche – der Gradient lebt im zweidimensionalen – drei veränderliche – ?? der Gradient lebt im – dreidimensionalen – an drei Direktoren – hier wird der Gradient – der Funktion – an der Stelle nun VW – VW werden – die drei stapeln – V Quadrat – zweiten V – plus Ego weh – und Formalfehlers – wird hier der Gradient werden – das ist das man die billige Idee vom Patienten – an den können Sie auch in den Wolfram Alpha direkt haben sie die Java Grad – und dann die Formel für ihre Funktion – ?? Skript persönlich vorführen versteht sich von selbst ?? Verwalter zeigt leider nichts – grafisch – ich kanns jetzt aber mit matlap mal wieder – grafisch – zeigen was heißt denn das eigentlich was für ein Vektorfeld – habe ich denn da berechnet – wenn ich die partiellen Ableitungen übereinanderstapeln – komme ich hiermit viel an du – zu der Situation von den zurück – ?? – zwischen ?? gespeichert – ?? okay das sieht gut aus – das war meine Funktion – von eben gehe ähm – ?? Komma einer Schritten von minus zwei bis drei fix – und für Y – baue die ganzen Kreuzungspunkte – rechne die Funktion aus Platte das – zum Beispiel das Kulturblatt – als halber – das war das Ergebnis diese Rutsche – hier oben ist das hoch – von Steve – dann schätzt die Kreditfunktion – den Gradienten daraus – auf mein Gitter ist sie die Fusionsweisen – bekannt die stecken Zentren – und Regen schätzt – die Werteableitung – daraus muss ja wissen wie weit die Gitterpunkte voneinander entfernt sind deshalb die null Komma fünfter hinten – das ganze Musik wieder speichern es Komma wieder zwei Sachen raus – die nämliche zwei GX Y für Gradient – ich Platte das ganze mit den Konturen keinen Unterschied zu eben hier sondern Semikolon bitte machen Sie sie mit der ?? weist mich auch vorsichtig darauf hin – dass das keine gute Idee bis – dahin kein Semikolon zu haben da kann Semikolon hinter setzen – die das Ergebnis auch hier unten aufs – Zeilenweise – es wird etwas länglich – ist das – durchaus sinnvoll sein oder hinter zu setzen um diese Ausgaben zu unterdrücken dass die Spezialität von matlap Semikolon Trend nicht wie in anderen Sprachen – ?? Java oder C für das Semikolon nicht einzelne – Seite Sitz geschickt Zeilen sei vorsichtig ?? Kinder Semikolon nicht einzelne Zeilen voneinander sondern sagt keine Ausgabe – ?? – XXL erhält dem – Aliens – kann ich sagen okay zu meiner Konturplatte – noch was weiteres rudern – sollte noch was weiteres – das nennt sich dann clever – inzwischen gelernt Klüver ist der Köcher – das wo – die Feile drin hat der Köcher – ähm aus dem Köcher bitte – die Exposition – der Y Positionen – und die Gradientenwerte – die wir eben hatten GX G Y – kann Semikolon beständig übergibt nichts aus außer grafisch – ist das ich sie jetzt gleich den – Konturplot – die Berlin heißt das plus – Pfeiler den Gradienten – mit Feilen eingemauert als Vektorfeld das macht dieses privater Köcher – zum Beispiel Magnetfeld oder ?? Startschuss fällt auf mal mit Feilen an jedem Punkt – in jede Koordinate – X Y hänge ich jetzt einfach den Gradienten – an dieser Stelle jetzt zwei – zwei – geht der Gradient wohl so – fünfundvierzig Grad nach oben – und es so zu lang und so weiter hier in der Mitte scheint der Gradient ziemlich kurz zu werden – ihr Zeichner – direkt nach oben ?? in jedem Punkt des Definitionsbereich – hänge ich den Gradienten dran – damit sich dieses Vektorfeld – an und es kann man die ersten – Beobachtungen zumindest meine jetzige gleicher Form das dann sein muss aber sie können sogar Beobachtungen – machen – ähm sie kann zum Beispiel – sehen dass diese Linien hier – zwei ?? minus fünf und – null und fünfter Sie Höhenlinien – senkrecht durch den Gradienten durchgehen oder sollte andersrum sagen dass dieser Gradient – ähm wiesen – wie die – in den Adern eines ausgestreckten Igels senkrecht – auf den Hölderlin stehen das dessen rechter Winkel das ist nicht ganz rechtwinklig – daran das versonnen grobe Auflösung haben diesen rechten Winkel das ist auch ziemlich gut rechter Winkel – da kommt das nicht so ganz in diesem Jahr knickt offensichtlich – dann Auflösung – was wieder recht guten – Accounts auch recht gut – man sauber macht höheraufgelöste – ?? sind das muss im rechten Winkel – der Gradient – verläuft senkrecht – zu den Höhenlinien – gleich kommt die Erklärung aber das sollte man mitnehmen – und sie sehen – das des Patienten bergauf zeigte um wann die beiden Zipfel von der Rutsche – dass man die beiden höchsten Teile der Gradient zeigt den Berg Rauftickets – auf – jeden unten auf der Rutschetages – rauf igitt schräg zu den Seiten auf an jeder Stelle zeigt der Gradient dahin – muss hier lokal – eine Ameise am Stanzen auf Zeit – ähm – sieht man das mal – einigermaßen ?? Klammer zu an der Stelle sieht man es der Gradient zeigt hier so schräg aufgezeigt – nicht zur höchsten Erhebung gezeichnet oben in die Ecke oder so – Leerzeichen dahin wo's hier an dieser Stelle stolz drauf geht dabei mit Bezug zur – Steigung – die Länge des Patienten scheint was über den Grad der Steigung zu sagen – die Steiners wird – die Königin liegen dicht aneinander ?? Stalles wird es zu länger wird der Gradient – hier mitten auf der Rutsche ist es flach – und der Gradient wird praktisch der Nullvektor – gelänge sagt was über die Steigung – und die Richtung des Gradienten sagt wo ist denn an diesen Punkt – am stärksten aufgeht – an dieser Stelle am stärksten den Berg rauf wenn sie Ameise sind – sich die Ameisen sind an – und wollen den Hügel erklimmen gehen sie in Richtung des Gradienten – nass ist die anschauliche – Idee hinter den Gradienten – ?? – ich mal das Klammer auf – nun – wie das im Prinzip aussieht – Punkt – schwarz – also wenn ich Höhen ihn einmal alle meine Funktion – hier zum Beispiel – F von X Y ist gleich was war gleich null – Punkt hier bräuchten andere Höhenlinie – F von X Y Y WF von – X – Y ist gleich – vierunddreißig – zehn – und hier noch ?? Höhenlinie – F von X Y – ist gleich – zwanzig – wie auf der Landkarte null Meter zehn Meter zwanzig Meter – mehr so – Niedersachsen oder was – an – der Scheinberg zu sein – ein Übel zu sein mit zwanzig Meter Höhe einzelne Mittel von zwanzig Meter – in der Geographie auf der Landkarte – können Sie einzeichnen – in der Y Ebene – alle X Y an den die Funktion null ist alle X Y an die Funktion zehn ist Alec Simpson in die Fusion zwanzig – das sind diese an – grün roten – Tier hellblauen Türkisfarben – wie auch immer orange und königsblauen Linie – Höhenlinien – isolieren – Ecke Potenzial – und man weiß jetzt schon wieder Gradient – ungefähr – laufen muss – er muss auf jeden Fall wenn sie hier zum Beispiel gucken – muss er senkrecht – auf der Höhenlinie stehen – dieser Stelle den Gradienten – ausrechnen – muss er so senkrecht – stehen – ahnen – was ist wenn ich an dieser Stelle den Gradienten ausrechnen – eine Lektion eine Stelle nicht nur senkrecht – auf dieser Linie sondern auch länger als der andere – länger – länger als der andere – sie Leerzeichen doch locker über den Berg hinaus – ähm – es geht ja bei der Länge nicht darum die weite ✂ Berg entfernt ist sondern wie steil – es an dieser Stelle ist an dieser Stelle ist es ziemlich steil – auf dieses Stück auf diesem Stückchen hier kommen sie von zehn Meter bis zwanzig Meter – auf dem Stück von zehn bis zwanzig Meter hier brauche ich – so ein Stücken von zehn bis zwanzig Meter zu kommen ist es deutlich weniger steil ist es flacher – als es steil ?? steiles wird umso länger ist der Gradient – an ?? muss der Gradient viel länger sein – er zeigt – senkrecht zur Höhenlinie das ist die Richtung – des sogar stolzen Anstieg senkrecht zur Hündin natürlich in Richtung Berg nicht ins Tal – in Richtung Berg den Berg rauf – an – aber er hat nicht direkt was mit dem – mit der Bergspitze zu tun hat da nicht irritieren lassen der Zeit jetzt nicht hier zur Bergspitze – davon weiß der Gradient – der Gradient weiß was von den Ableitungen – an dieser Stelle – weiß überhaupt nichts davon was sie auf der Bergspitze passierte sie nur – schon gesagt habe mit den Augen – in den Augen einer kurzsichtigen Ameise – aber sehen kann weiß ich gar nicht – der weiß nichts von der Bergspitze der Gradient – am – das heißt hier müsste der sogar noch kürzer sein sind wir brauchen sie für zehn Meter Sohn Stück hier brauche ich für zehn Meter noch viel mehr das ist ziemlich ebenes Gelände – müsse sogar noch kürzer – immer den Berg rauf senkrecht zur Höhenlinie – und die Länge sagt uns etwas über – die Steigung – was oft – verwechselt wird ist – der Gradient lebt in – zwei dimensionale ?? zwei veränderliche haben lebt der Gradient in zweidimensionalen – in dieser Karte – der Wegskomponente – unliebsame Komponente – in drei veränderliche haben – klein Z – hatte drei Komponenten – aber zwei feindlichen hatte Gradient – zwei Komponenten – der lebt in einer Ebene der zeigt nicht den Berg rauf – lebt in der Ebene des ?? meine matlap – alles gerne durcheinandergeht – ?? hier mal nicht Kontur nehmen – sondern sondern sondern – surfen – Service – nun – das man alles zusammen siebzehn jetzt alles auf einmal steckt ein bisschen das ist zu viel des Guten – da kann man jetzt irgendwas ablesen aber – zur Veranschaulichung zeigt das jetzt mal – Rutsche – ?? und hier liegt der Gradient – der Gradient bleibt in der Ebene der zeigt nicht den Zipfel hoch der Gradient hat zwei Komponenten – X und Y – der hat keine Höhenkomponente – das Semester nicht durcheinanderbringen – er der Gradient – für zwei veränderliche lebte mehr zwei der Gradient für drei drei und so weiter – an – der in dem entsprechenden Raum der zu der Definitionsmenge – gehört – dazu Komma drehen oder dass der Rechner völlig überlastet ist – ?? – nur mit Vorsicht – an – also – der Gradient – lebt hier in zweidimensional – Lichen dreidimensional – bei zwei veränderlichen – ?? eigentlich müsste man sich noch folgendes überlegen – wisse habe ich ja nur – in Längsrichtung abgeleitet – und in Y Richtung abgeleitet – irgendwo gibt's meiner – Funktion als – Dinge Teppich zwar schon gemacht meine Funktion als Flickenteppich – so – zu ?? Teppich – nehmen – bisher habe ich nur in X Richtung abgeleitet und in Y Richtung abgeleitet was ist denn mit den ganzen Richtungen dazwischen – netterweise fusioniert alles automatisch – für Funktionen die nicht allzu übel sind – will ich gar nicht drauf eingehen – weil die Funktion die sie dann tatsächlich sehen haben damit keine Probleme – bei den Reiches tatsächlich die Ableitungen X und Y Richtung – zu wissen und in drei Dimensionen entsprechend – haben – ohne Ärger – an – die heißen dann total differenzierbar – und – man zweimal ableitet das will ich auch nicht ?? freundlich vor ?? partielle Ableitungen – zweimal miteinander bildet – sie folgendes bellen sie leiten ihre Funktion erst nach – Y ab – und danach dieses Ding – ist ?? Funktion von X und Y danach leiden sie nach X empfing – sie netterweise bei den handelsüblichen – Funktionen das selbe raus – als wenn sie erst nach – X ableiten – und danach Y ableiten – kann – Fälle konstruieren in dem das nicht funktioniert – ?? – an – die kommen aber praktisch nie vor – das erste wird man schreiben als – die zweite Ableitung von F – partiell nach Y – dann X – und das zweite wird man schreiben – als die – zweite Ableitung von F partiell nach X – Y aber netterweise muss man sich für die üblichen Zungen gar nicht drum kümmern das ist – dasselbe – dürfen Sie also Folgen davon ausgehen dass jeder selber rauskriegen unabhängig von der Reihenfolge – zu das man circa ?? Komma müsste dies eine Y erst abgeleitet und danach X – oder anders – das klappt mit den üblichen Funktion – das noch als Anmerkung zum – Gradienten allgemein – ist habe ich ihn jetzt also erzählt – bisher Chinas erzählt was heißt partielle Ableitung gewöhnlich ein Gradienten – und was passiert ähnlich anschaulich mit den Gradienten jetzt wie das noch erklären – was das nun mathematisch zu bedeuten hat tatsächlich warum ist das denn so warum sagt der Gradient was über die Steigung