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05G.1 Kenngrößen einer Matrix; Spaltenrang = Zeilenrang


CC-BY-NC-SA 3.0

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verschiedenen Kenngrößen – einer Matrix und zum Schluss für dich auch auf spaltenrang gleich zeilenrang – warum diese beiden Kenngrößen gleich sind – Determinante und Rang und so weiter – an mit dem – Bild einer – das – ist anschaulich – Menge an Vektoren die aus der Matrix rauskommen – können ich schreib das jetzt nichts Universitäts – mathematischen – ich schreib jetzt wirklich so in Wörtern hin Menge an Vektoren – aus der Matrix rauskommen – können – wenn die matrix folgende Matrix ist 123100 – wenn ich folgende Matrix habe – dann ist das Bild von dieser Matrix schreib – das mal so was nicht ganz korrekt ist ich müsste eigentlich sagen das Bild der linearen Abbildung – die zu dieser Matrix gehört aber ich habe jetzt trotzdem mal auf diese Art – ist denn das Bild – dieser Matrix ✂ Bild ist auf jeden Fall eine Menge ich mache mich schonmal mengenklammern – drum eine Menge von Vektoren – können z.b. 123 – rausbekommen – habe ich gerade gesehen – der – einfachste die man rausbekommen kann den bekommen sie raus indem Sie rechnen 1132 – 02303 – Matrix – mal 100 – g – Matrix m mal den Weg zu 100 gibt 123 die erste Spalte Überraschung – kriegen sie raus der – gehört zum Bild – könnten auch aus – dem Haus bekommen wir – X – 10.2.3 – wie – könnten sie – Vektor rausbekommen was habe ich da gerechnet um 10.23 – rauszubekommen ✂ du diese Matrix 1132 – 02303 – unten die 23 sehen das wird man auf Melaten kriegen – mache mal folgendes dass ich hier oben mal 13.1 rein Schreibe – können Sie das jetzt retten oben – hätte ich gerne eine Eins über – ich jetzt gesehen habe dass es funktionieren wird oben hätte ich gerne eine Eins was schreiben Sie dann an die zweite Stelle was schreiben sie dann in die dritte Stelle damit 10.23 – rauskommt ✂ 9 und 0 wäre – Chance – Sie – rechnen Einmaleins + – 1 x 9 + 3 x 0 1 + 9 + 19 da steht mit X rechnen – 2 – x 1 + 0 x 9 + 2 x 0 sind 2 und Sirene 3 mal 1 + 0 x 9 + 300 003 wäre eine Art es gibt noch andere Arten – so weiter das meine ich mit dem Megane Victory aus der Matrix raus kommen können professionell würde man von der linearen Abbildung – diese Matrix hat und – die Bildmenge dieser Abbildung dann damit mein – das ist mir zu hochgestochen an dieser Stelle – ist das Bild der Matrix – Bild der linearen Abbildung mit dieser Matrix angeschrieben – alle möglichen Vektoren diese von rechts dran multiplizieren können Sie – alle Vektoren aus dem Meer 3 alle – möglichen diese von Restaurant modifizieren können und Tragen Ergebnis zusammen das – ist das Bild was kann rauskommen – welche Ergebnisse sind möglich aus dieser Matrix das – sind natürlich ist unendlich viele Vektoren das nervt – können das für metrisch beschreiben diese Menge an Vektoren könnte – geometrisch beschreiben was ist das hier für diese Matrix geometrisch ✂ also eine Ebenengleichung – Ebene – habe es noch nicht im Becken aber – dafür mal ausführlicher – an – auf. – Der Ortsvektor eines auf. Diese Ebene Tiere ich rauskriege – geht durch den Ursprung den – wir haben den Nullvektor drin sie können mit 000 mit Offizieren – habe ihm ausdrücklich dazu ein – Vielfaches von 123 – ein Vielfaches von 100 – wird die Ebene aufgespannt III ist überflüssig – den ganzen nämlich auf den ersten beiden Bergen deshalb ist es überhaupt eine Ebene und – nicht der gesamte R3 – hier kriegen sie raus ist eine eben da wäre dann eine Art wie ich dich unendlich vielen Vektoren schreiben würde und natürlich wird normalerweise ihr das 0 plus einfach weglassen die Ebene ein Vielfaches von 123 plus ein Vielfaches von 100 – nicht unnötig viele Vektoren aus – jetzt haben wir das Bild – Begriff den ich nie scharf davon unterschieden habe – der Begriff des spaltenraums – ist die Menge an Vektoren die sie aus den Spalten der Matrix bilden können – gerade gesehen okay das ist das Bild das ist kein Unterschied im Verständnis gestern – habe ich die beiden nie so sauber Unterschieden der spaltenraum ist die Menge an Vektoren – sich aus dem Spalten der Matrix bilden lassen genauer gesagt die Menge die – sich als Linearkombination der – Spalten schreiben der ist aber ich will's nicht so fürchterlich formell haben – an Viktor und die sich ausziehen – alten der Matrix bilden lassen – keine große Überraschung das Bild und spaltenraum sind identisch wenn sie mit XYZ – multiplizieren – kriegen sie x-mal die erste Spalte im Zimmer II check mal die dritte Spalte zusammenaddiert – diese – beiden Mengen – identisch das – Bild ist identisch mit dem Spaten – habe ich doch nicht so großen Unterschied gemacht habe – können wir zu – komm da krank – Rang der Matrix Englisch nur – mich mit K nicht mit reigns verwechseln – Rang der Matrix – Dimension – Bild ist ein eigentlich – der Rang einer linearen Abbildung aber – wir das so Rang der Matrix die Dimension des Bildes – zwei es – ist eine Ebene – ist das Bild – das Bild ist eine Ebene zweidimensional – hier jetzt aus Vektoren die im R3 Leben – haben ein Volumen in dem Volumen unendlich ausgedehnt natürlich in dem Volumen haben sie eine Ebene – deshalb sagen wir die Dimension ist 2 die Dimension dieser – Menge ist 2 es ist eine Ebene aus Vektoren die im dreidimensionalen leben – aber diese Mängel selbst hat die Dimension 2 es ist eine Ebene 2 – dimensional das – ist hier mit dem Rang gemeint – Dimension hat das Bild – dann gibt es – spaltenrang – und das ist nichts anderes als die – Dimension vom spaltenraum – gespalten Raum ist aber dasselbe wie das Bild das heißt die beiden sind gleich – das ist ein Beispiel auch zwei habe – ich nicht dazu klar – offensichtlich müssen – die beiden gleich sein weil du spaltenraum – sind lang = spaltenrang – kann – jetzt noch etwas anders formulieren die – Dimension vom spaltenraum sie gucken sich die Spalten der Matrix an die – gucken sich die Spalten der Matrix an und – fragen nach der Dimension vom – spaltenraum die Menge aller Vektoren die sich damit aufspannen lässt – Dimension wie – können Sie das anders formulieren mit Hilfe von – unabhängig oder informell – gesprochen dass – Vektoren über sind oder nicht über – sind wie kann man das damit formulieren ✂ gucken sich also die Spalten – an und fragen sich welche sind überflüssig – sind linear abhängig von den andern welche Spalten können sie streichen ohne – was zu verlieren am Bild oder am spaltenraum und – dann gucken sie wie viel übriggeblieben sind die – können z.b. die letzte Spalte streichen zwei bleiben über und dann können Sie keine mehr streichen ohne das – Bild zu – gesprochen wie – viel linear – unabhängige spalten lassen sich maximal finden – ist die übliche Vorstellung vom spaltenrang – sie gucken – viele Spalten wirklich nötig sind und – wie viele sie streichen können streichen – alle die sie streichen können – nur noch – Satz an Spalten die voneinander linear unabhängig sind so – viele Spalten wie sie dann noch haben so viele brauchen sie und mit spaltenraum und damit das Bild zu bauen – das ist der spaltenrang gerade – zurück also sie sehen z.b. dass sie die letzte Spalte streichen kann – dass ich das Bild ändert als ich schicken mit den beiden ersten Spalten – letzte Spalte gebaut und damit auch alles andere gebaut was sie mit der letzte Spalte bauen können – können sie nicht weiter streichen – die ersten beiden Spalten brauchen sie der – spaltenrang S2 sie finden maximal – zwei linear unabhängige Vektoren unter – den Spalten – das ist der spaltenrang – wir jetzt – sagen was der zeilenraum – ist – schreibe das mal einfach ganz dreist in magenta – der zwischen was – soll der zeilenraum – sein – soll der Zahlenraum sein die Menge an Vektoren die sich aus den Zeilen – Matrix bilden lassen große Überraschung sie gucken sich die Zeilen der Matrix an und – ich die Spalten der Matrix also – unsere Matrix hier sind eben die Zahlen der Matrix und fragen sich was gönnen Sie den aus den Vektoren – jetzt was können Sie aus den Bergen das – ist der Zahlenraum große – Überraschung – derzeit in rank – ist insofern auch keine große Überraschung die Dimension von Zeit und Raum – habe ich am Anfang schon angedeutet jetzt auch das ist wieder dieselbe Zeit Gegenwart B2RUN – und spaltenrang zeilenrang sind – gleich Arbeiten – der nächsten 10 minuten das man das sieht dass die gleich sind das ist auf Anhieb – ganz so klar zumindest für mich nicht ganz so klar dass das gleiche – gucken sich so eine Matrix an – was da lustigerweise gilt – sie – nur zwei von den Falten brauchen in die hier die dritte Spalte sozusagen überflüssig – ist wenn sie nur zwei von den Spalten brauchen dann – können sie aber auch rückwärts sagen dass sie nur zwei Zeilen – brauchen sie – sich gesagt welche Zeile jetzt überflüssig – ist aber sie brauchen zwei Zahlen und nicht mehr um alle Vektoren zu bauen die sie mit Zahlen Vektoren bauen können das ist erstmal überraschend finde ich da kommen wir gleich drauf wieso das so ist aber – jetzt haben wir schon mal – zeilenrang sowieso – den – Begriff vom Rang – nur so bisschen dahinter zum Schluss auch noch rauskommt Rand = Zahlen an diese drei Gänge sind keine verschiedenes ist immer eine einzige Zahl – dein zu kommen braucht man noch eine weitere kennen – 2 weitere Kenngrößen die – schwere miteinander zu tun haben – Kern – ist der Kern einer Matrix – eigentlich – wieder der Kern der linearen Abbildung mit dieser Matrix aber ich will nicht so pingelig sein der Kern einer Matrix ✂ Menge in den Kern packen Sie alle Vektoren die von der Matrix zu 0 gemacht werden also – die Menge aller Vektoren auch – wieder – mathematisch gesprochen die – Menge aller Vektoren – von der Matrix zu – Nullvektor – gemacht werden – will sagen etwas – korrekter – wenn Sie diesen Vektoren von rechts an die matrix dran multiplizieren kommt der Nullvektor aus – ist der Gegenspieler zum Bild das Bild sagt was rauskommt der – Kern sagt was alles zu null gemacht wird als was reingeht und zu – null gemacht wird – wir uns gleich mal gerade für diese Matrix gucken – Matrix 132023 – 1132 – 02303 – Kern dieser Matrix – Menge ist das – Vektoren sind z.b. drin welche – Vektoren werden zum Nullvektor gemacht von dieser Matrix so ✂ der Nullvektor ist geschenkt ist immer im Kern drin wenn – sie mit 000 modifizieren – für Sie garantiert bitte den Nullvektor aus der ist immer drin – Vektor – -1 – - 21 wenn sie den – rechts an die matrix dran sterben – Matrix x - 1 - 211 – 13202 – 30 31 – - 11 – x - 2 - 3 + 3 sind 0 okay – x - – 10 – + – 2 x 10 – okay 3 x -1 + 9 + 300 10 in der Tat haut hin also – auch dir wird zu 0 – unendlich viele andere die ich jetzt sinnvollerweise nicht hinschreiben die das – ist der Kern die Menge aller Vektoren direkt – an die matrix dran multiplizieren zum Nullvektor werden dadurch – man hier jetzt auch wieder als – ja was denn eigentlich schreiben was ist denn das für ein biometrisches Objekt in diesem Fall ✂ ja eine gerade eine Ursprungsgerade natürlich weil der – drinnen ist eine gerade in diesem Fall für andere Matrizen ganz was anderes sein aber diesen Fall ist es eine Gerade – Ursprungsgerade ich habe jetzt nicht nur – Weg dorthin sondern ich hab sofort in Langendamm AZB – Denia - 1 - 21 – kommt der – Defekt der – defekt ist die Dimension des Kerns – das sind Viktor und die Leben im dreidimensionalen ob – es ist eine gerade im dreidimensionalen – eindimensionales – Objekt also – hier gleich – eins – der – Kerl hat – die Dimension 1 ist eine gerade – war auch schon hatten wie Kern und Rang und – auch – noch mal hinter – Zahl der Spalten – ist – gleich – Zahl der Spalten der Matrix sagt mit wie viel Dimensionen ich reingehe – diese Anzahl Funktion hat Energieerhaltung diese Anzahl bleibt erhalten – kann zu – 0 gemacht werden dann – sieht die Dimensionen im Kern versteckt dann sind sie beim defekt dabei oder die Dimensionen können Zufluss rauskommt dann sind sie beim rank dabei das haben wir auch schon besprochen also Rang und Defekt zusammenaddiert – bis gleich der Zahl der Spalten – der Matrix – positiv mit Spalten und Zeilen mal guck dann ihr für die Existenz von Lösung ruft man sich an auf der Hand gleich der Zahl der Zeilen – erst einmal – das wlan anschalten an der Stelle hier – geht's um die Zahl der Spalten mit wie viel Dimensionen gehe ich rein – Sie dann eben hier auf die rechte Seite etwas – aus dem Meer drei weil sie drei – haben die Zahl der Spalten – Summe aus Rang – wollte zu spaltenrang gleich zeilenrang kommen – Trick ist jetzt dass man den Kern – mal anders interpretiert – wir müssen den Kern Komiker – frittieren – sie wissen dass ein Vektor – der Matrix zu Vektor 000 – gemacht wird wenn Sie das wissen hier steht ihre Matrix – mir aus 1132 – 02303 – der – Vektor wird zum Nullvektor gemacht was – sie geometrisch sagen über diesen Vektor und z.b. – die erste Zeile was – wissen sie geometrisch über die Wahrheiten ✂ so die stehen das ist eigentlich zu ändernde ja 1.13 XYZ – sie Bild sozusagen das Skalarprodukt und bekommen Null raus das sind senkrecht dass – man sie mit dem nächsten genauso 202 die zweite Zeile – mal – XYZ – sida – skalarprodukts mal X + y + 570 – raus – können Sie den Kern auch beschreiben das sind nicht nur die Vektoren – die von der Matrix Symbol Vektor gemacht werden sie können auch sagen – die Menge aller Vektoren die senkrecht zu einer Zeit in der Matrix sind – kann man das auch auffassen – jetzt können wir das noch anders interpretieren – und dann kriegen wir gleich sofort – gleich – die Menge aller Vektoren die senkrecht zu allen – der Matrix sind dann können Sie sofort sagen – die Dimension – vom – Kern – damit der defekt ist – können jetzt ausrechnen die – Menge aller Vektoren die senkrecht zu allen Zahlen der Matrix sind wie rechne sie das aus mit Hilfe von Pfeilen Rang wir – wissen wie viele Zeilen wir sozusagen übrig – lassen müssen viele Zahlen sind essentiell wie viele Zahlen können wir streichen wie viele Zahlen sind essentiell jetzt – möchte ich wissen wie groß ist die – zu diesen Zeilen – kriegen sie raus so ✂ wir haben also gerechnet die Zahl der Spalten – den Zeilen – Rang – viele Dimensionen könnte – ich haben für den Zahlenraum – mit sie sich das überlegt so die Zahlen wie viel Dimensionen könnte ich haben für den Zahlenraum das – wäre die Zahl der Spalten – und jetzt muss ich mir – angucken okay ich streiche alle Zeilen die überflüssig sind wie viele Zahlen bleiben über das ist der Zeilen Rang und – jetzt möchte ich wissen was bleibt jetzt senkrecht zu den Zeilen die noch übrig geblieben sind – wäre der die Zahl der Spalten - der Zahlen lang so – so kommt sie auf den Defekt hier in diesem Fall wäre es eben 3 - 2 – defekt ist 1 anders – haben der – defekt ist gleich der Zahl der Spalten - dem zeilenrang und sich das an der defekt ist gleich der Zahl der Spalten - – den Zahlen ranks ist jetzt in die beiden ineinander 1 – mach das Licht aus für dich ist offensichtlich was es sonst einmal – zu Fuß die sitzen die beiden ineinander ein und finden dass der spaltenrang gleich – dem Rang müssen wir sowieso dass der Spalten Rang – dem Rang ist – hier sitzen das für den Defekt ein und finde na das ist auch gleich den Zeilen Rang – muss einmal über die CD mit Kern – ist die Menge der Vektoren senkrecht zu allen Zahlen – dann sieht man dass das gleich sein muss die Zahl an linear unabhängig Spalten diese finden Maxima – ist lustigerweise auch die Zahl die sie maximal an linear unabhängige Zeilen finden – jetzt nicht erwähnt habe war die – Determinante – das ist ja auch ein Spezial Konstrukt – muss ich überhaupt haben um eine Determinante bilden zu können was muss gelten ✂ also die haben sie nur für quadratische Matrizen das ist eine Sonderausstattung – wenn der Zahlen gleich der Zahl der Spalten ist – doch jemand die Bedeutung – hin so ✂ also das ist der Faktor um dem – matrix das – man im Kreuz in – Faktor um den die Matrix des n dimensionale Volumen – dies verdoppelt ist also die tim hatte zwei oder minus Jacob gleich noch n-dimensionale – schreibe ich jetzt also wenn n gleich 2 ist ist es eine Fläche wenn n gleich 1 ist ist ein länger wenn in gleich 4 ist ist es wenn – Sie wollen ein Raum Zeit Volumen – ändert – es gibt es Vorzeichen dann – noch das Vorzeichen sagt etwas Säugetiere bleibt – eine rechte Hand ein rechte Hand dann ist es – positiv – geht aus der rechten Hand eine linke – Hand dann ist das Vorzeichen negativ das – Determinante – fürchterlich ein Formel dahinter aber das ist erstmal wie ich die das dann weiß was sie denn überhaupt bedeutet – die Determinante – und jetzt kann man noch sagen wenn – die Matrix – quadratisch ist das also die did im Land überhaupt berechnet werden kann – die Determinante nicht – Null ist – können sie dann haben sie ihm schon angefangen was können sie dann über Rang und Defekt sagen ✂ Determinante ungleich 0 hast heißt n-dimensionales Volumen geht rein es kommt aber auch mit und alles tun um wieder raus es – ist nicht so dass sie mit dem Würfel reingehen und – mit einer Ebene wieder rauskommen es – wird nichts Bad gedrückt – gehen mit n Dimension rein sie kommen mit n Dimensionen raus bei – einer einmal – in Matrix das heißt – Rang – = n wie komme ich in Dimension wieder raus – haben keinen Stress mit dem Rang in – der Hand gleich Tennis WG – Dimension wie komme ich in Dimension raus und dann schön dann ist der Defekt gleich null das heißt sie haben keinerlei Stress mit Existenz und – ein wunderschöner Fall also das ist der schönste von allen sie – haben ein Gleichungssystem das wieder unter bestimmt noch über bestimmt ist genauso viele Gleichungen die unbekannte wenn – dann die Determinante auch nicht – gleich Null ist freuen – sie sich weil – es gibt garantiert eine – Lösung und nur eine einzige Lösung