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21.2 Tangentialebene, Gradient, totales Differential


CC-BY-NC-SA 3.0

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als – Gäste mathematisch background zum Gradienten – einfach nur Ableitung ausreichendes – Jahr – Schema F das ?? mit Mathematik zu tun warum mache ich das – der – Stichwort ist die Tangente neben – Dieter Initialebene – die drängenden Ebene – erst mal zur Erinnerung wie war das bei Funktionen – einer veränderlichen – die Tangenten – gerade – zu – ähm – gerade – da habe ich also eine Funktion – einer – veränderlicher – Sauce das aus Y auf der Tangenten gerade ist – Mike tatsächlich mal das übliche Bild wieder auf – eine allgemeine Funktion – kleines F so – einen – Irgendwo ist die Stelle an der ich die Tangenten gerade anlegen will – der Hammer so vielleicht – wirklich der die Tangenten gerade das ist der Funktionswert – an dieser Stelle X null los – jetzt baulich etwas was mit der richtigen Steigung – aus dieser Stelle raus geht die richtige Steigung ist die Ableitung – der Kamera die Ableitung ins Spielableitung – ?? X minus sechsten – das war die – klassische – Formel für die Tangenten gerade bei der Funktion – einer veränderlichen – wenn sie hier X null – als X einsetzen – X genau auf dieser Stelle wählen Städte eher von X null plus Ableitung mal null ?? es kommt genau von Excel aus dieser wert – und wenn X – aus dem x-ten Urlaub rausläuft – ?? zum eins nach rechts geht – das um eins größer und Epson wird wird die Ableitung größer – diese gerade hatte ich die gesteigerte gerade hat die Steigung – meiner Funktion – an dieser Stelle die Ableitung einer Funktion an dieser Stelle – das will ich jetzt verallgemeinern – das es eigentlich der offizielle Schlüssel dann – zum Gradienten wie kann ich – diese Idee der Tangenten gerade verallgemeinern – jetzt habe ich keine Kurve mehr sondern mit zwei veränderlichen den fliegenden Teppich – auch eine Tangenten eben einen Flickenteppich – lediglich eine – Ebene dran – Initialebene – ich mach die Kanten auf die man gucken kann Vetter – also dass sie wirklich Außenstück Metall an – ?? geschnitten wären – üblicher Trick – Berg wahrscheinlich – aus Komma so – das jetzt mehr so aus für die Erdnuss von eben sondern – nach – einer Fläche die Raum – so – nun habe ich irgend einen Punkt gegeben – habe ich mal einen über das habe ich jetzt verbindlich hätte ein Mahlen soll den deutlichen – Hügel darüber hat so – hier ist ein Punkt – darunter – hier drunter – liegt ein Punkt – ?? null Y null – er willige sich die Tangenten gerade dran haben die vorhin sondern ich möchte deine Ebene dran haben – eine Ebene – die bestmöglich – eher – an den fliegenden Teppich legt – kann sein das die Funktion der durchguckt durch die Ebene – die Ebene muss nicht wirklich sauber an der Funktion dran liegen das hatten wir auch schon – bei den Tangenten traten bei der Tangenten gerade kann mir auch passieren – das an der Stelle an das sie denken gerade hier dadurch die Funktion durchsticht – an dieser Stelle die Tangenten gerade – mit von der Funktion her durchlaufen – waren – dagegen gerade heißt nicht dass die Funktion überhaupt nicht – für die dieser Termin gerade an einem Stelle berühren muss genauso bei der Initialebene – lange Zeitebene heißt einfach unter dem Mikroskop – unter dem Mikroskop sieht die Fläche aus wie diese Ebene – genau wie diese Kurve hier unter dem Mikroskop aussieht – wie die Tangenten gerade interessiert mich fast zwei Meter daneben passiert – das ist die Idee der – Tangentialebene – dass es für zwei veränderliche – bei drei veränderlichen – ?? ist das einfach nicht mehr ordentlich zu zeichnen – und stellt sich weiterhin – die Situation – so vor – und tut so als ob man dann verstanden hätte mit seinen zwei Dimensionen – mit Komma die Gleichung – passt für die Tangentialebene – wie kann ich denn die jetzt in Formen angeben – das muss ja so aussehen wie eben – zur Richtlinie noch mal kopieren – den – in Kopie – ?? gleich – das war – in der zweiten Tangenten – anderen – ordentliche – Tangentialebene – waren – das soll ja wohl offensichtlich nicht so verschieden sein – ist nicht mehr Y raus sondern es kommt – Fett raus – X und Y sind sich eines kommt Z raus – aus der Gleichung – der Funktionswert – naja das ist der Funktionswert – an der Stelle X – X null Y die Stelle an der ich die – Tangentialebene – hier aufsetzen will den Funktionswert – hier nämlich erst mal – Schluss – kommt der spannende Teil – was wird aus der Ableitung – und was wird aus dem X minus X null – besonders – persönlich eins zu eins übertragen von der Tangenten gerade vorne muss der Funktionswert – steht an der Stelle – jetzt ✂ X null Y null – an der ich die dringend ?? Ebene darauf stützen will – die Ableitung – wird ersetzt durch den Gradienten der Gradient – ist einfach die Ableitung nach X oben die Abwärme Y unten die partiellen Ableitungen – wieder zum Gradienten – X minus X null – das war – vorher nur sie wie weit ich rausgehe – mit dem Punkt an dem ich die Tangenten gerade bestimmen will – wird nun zu X ?? sechs hundert fünfundsiebzig – ein Vektor – und die beiden stehen ganz dumm – Skalarprodukt – das ist die Tangentialebene – der Gradient – ist die wesentliche Zutat zur – Tangentialebene – nun – ich schreib das noch einmal Anlass sein Komma sich relativ leicht erklären warum das so sein muss – wenn ich den Gradienten Aus buchstabieren – sie einfach nur – partiell Ableitung nach X nach Y Übernahme genommen oder in zehn Dimensionen nach der erst nach der zweiten nach der zehnten Koordinate ableiten allem an einer genommenen sie auch zehn und es wird wieder Skalarprodukt – zehn mal zehn – dann – geschah das noch einmal um für die Nummer zwölf ?? die partiellen Ableitungen – hier steht dann also – der Funktionswert – an der Originalstelle – plus – hieraus – die Ex Komponente mal die sechs Komponente das ist dann also die partielle Ableitung einer Funktion – nach X – an der Stelle – X null Y null – oder schreibe ich das nicht wahrscheinlich so ?? tausend ?? verweisen dafür schreibt also – X null Y null bildete – partielle Ableitung nach X eine Stimme X null Y null – mal – sechs minus X null – plus Zweitligist Komponente und jetzt kommt die Y Komponente übrigens – Skalarprodukt – Y ?? Y unten das dazu addieren – also – der Song wurde zum Gradienten – ist die Ableitung nach – Y – an der – Stelle an der ich arbeite – Klammer auf Malgesetzes – hier in große Klammern damit das nicht sogar so komisch aussieht wie die beiden – Klammern dahinter so aufeinander stoßen – eigentlich bräuchte man die große Klammer ?? mich aber – etwas unübersichtlich Doppelpunkt groß X ?? noch – mal Y – minus Y – das heißt das eigentlich was versteht ?? zum Gradienten – und an der Stelle hoffentlich ist das – auch erkennbar warum das funktionieren – muss – ich brauche – eine – Gleichung für die Tangentialebene – brauche ich eine Gleichung von diesem Schlage – eine Konstante – plus eine Konstante mal X minus X null plus eine Konstante matt Y minus Y – so musste Gleichung für die Tangentialebene – aussehen irgendwie muss das so hinhaut mit ABC Units kann man sich im Nachhinein überlegen okay was müssen denn ABC seien – arm muss der Funktionswert – sein – denn wenn sie X Beistrich so nahmen Dutzende Stöpsel haben musste von sonst rauskommen – ist das sie erledigt haben muss der Funktionswert – sein sowie das haben – wenn ich nun – groß B an wenn ich nun – Y festlassen – Y auf der Höhe Y null Festlands – und ich laufe nur in X Richtung – lasse – Y – auf der Höhe Y null fest – hier bin ich dann – ?? null Klasse Y auf der Höhe Y – null fest – und marschiere dann mit meinen X werden – diese dann mit meinen X werden – dann möchte ich gerne aus meiner Tangenten – Tangentialebene – eine tangential – gerade haben diese hier eine Tangenten gerade möchte ich gerne an diese Kurve die sich ergibt wenn ich – jede Sekunde Cisco Stückchen laufe – ?? das ist aber der zweidimensionale – Fall – da muss ich nur wissen was denn die Steigung – dieser grünen Kurve hier ist bei konstanten Y null was ist Steigung der grün Oberklasse – Y null – die partielle Ableitung nach X genauso ist er die partielle Ableitung gebaut – Y fest lassen – also kann den nur das sein Wasser steht die partielle Ableitung nach X genauso überlegt man sich das C nur das sein kann was da steht die partielle – Y – also muss das sie dank der Liebe gewesen sein was hier steht – das wäre die kurze Begründung warum das so sein muss – was man sich auch einfach durch Analogie – so hin malen kann – ?? überlegen sich einfach die allgemeine Form der Tangentialebene – mit ABC – geschrieben haben und stellen fest – das ABC genauso sein müssen an das kanns nicht sein – an – diese Schreibweise hier der – Tangentialebene – gibt's auch noch etwas formaler – das nennt sich das sogenannte totale Differenzial – schreiben die Physiker gerne hin – in der – ähm Thermodynamik zum Beispiel – totales – äh – Real – wie ändert sich – wie ändert sich der Funktionswert – in den Jahren mehr Punkt wenn ich mit dem X werden Stück zur Seite Guillaume mit dem Y wird ein Stückchen zur Seite gehe – und das ganze dann – noch mit dem Wörtchen unendlich klein – verziert wie ändert sich der F – Funktionswert – wenn X einmütig ein Stückchen zur Seite geht und wenn Y einen – Seite geht das ist eine lange Zeit eben ab – an – der Funktionswert – ändert sich DF – hat man dann der Funktionswert – ändert sich um was – die partielle Ableitung – nach X mal die Änderung des X Werts – plus die partielle Ableitung – nach Y mal die Änderung des Y Werts – die – an Physiker und Ingenieure stellen sich dann tatsächlich darunter vor das ich X ein nicht kleines Stückchen Änderung zu beseitigen ändere und hier steht eines der Funktionswert ändert – äh die Mathematiker stellen sich das meistern als lineare Näherung vor in der linearen Ehrung – gehe ich unseren soviel zur Seite X Ausrufezeichen – Y und gucke auf der – lange Zeitebene nach Wasser passiert ist – das bisher – endliche Größen – das sagt Ihnen zum Beispiel was – zur – Fehler Fortpflanzung – wenn sie den X wird nicht genau haben – sondern ein kleiner Fehler drin ist über den Gibson wirklich genau haben sondern kleine Fehler drin ist – wissen Sie – was die Funktionswerte passiert es ?? Punkt die partielle Ableitung – so massiv bei der – Fehlerrechnung vor wenn man denn dieser Lineal Ernährung trauen kann sobald die lineare Näherung nicht mehr Geld muss natürlich vorsichtig sein