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19C.3 Grenzwerte von komplizierteren Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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guckenuns Grenzwerte von zwei Funktionen an die hoch X Quadrat gemeint es erst Quadrieren und danach I hoch X vertrathat es irgend ein Grenzwert oder auch nicht fürX gegen dreiund der andere ist dieFrau minus drei minus einsFraudreigeht das irgendwo gegen ?? doch nicht als divergentfürV gegen dreiund John sehen Siewenn ich V gleich drei Einsätze steht da eh hoch nur minus eins ist nur durch null null durch Null ist keine gute Ideeder Grenzwert wird klassischerweiseso gebaut für Funktionen dass man genau diesen Wert ignoriertalso irgendwann Funktionirgendwo ist die Stelle drei ich möchte wissen was passiertganz ganz nicht an der Stelle drei?? ich möchte nicht wissen was genau an der Stelle drei passiertüblichen Grenzwertbegriffesbedeutet das anders definierenaber den üblichen Grenzwert Begriff ist mir egal was genau an der Stelle drei passiertmöchte nur wissen was sie sagen ein unendlich sind neben der Stelle drei passiert genau den Wert drei blende ich ausdas überlege sichwas passiert bei der ersten bin ich ganz dicht bei treiben was passiert bei der zweiten ?? nicht ganz dichtist jetzt in wohlgemerkt nicht X gegen unendlich oder sowas jetzt das ist der Grenzwert einer Funktionich möchte wissen was macht dieser Ausdruckin die Zahl X immer dichter dichter an der Zahl drei liegtnicht genau gleich der Zahl drei ist aber immer dichter dicht an der Zahl drei istsie können auf jeden Fall sagen was X Quadrat macht was macht X Quadrat mit X immer dichter an der Zahl dreigenau das X Quadrat wird gegen neun gehenmit X dicht an derStelle drei legten sie drei Komma null null null null null eins Quadrieren lassen haben sie praktisch neunund das geht natürlichgenau umso genauer je genauer X an der dreißigsteQuadrat wird mehr und mehr den Wert neun habenFestplattenliegendrei ahnungslose SS Meister persönlich ganz wichtigje dichter mein X an der Stelle drei liegtumso dichter wird mein Ergebnis von X Quadrat an der neuen liegendas es Stetigkeitsstetigkeitdieser Funktion?? Y ist gleich X Quadratdas ist ziemlich banal abereine sehr hilfreiche Eigenschaft ?? diese Funktion stetig istwenn man X wird mehr und mehr zur drei hingehtgeht man Y Fixquadratmehr und mehr zur neuendas ist genau der Funktionswertdann auch nicht der Kläger das macht die Stetigkeit aus der Grenzwert noch wirklich den ?? existiertund wirklich den FunktionswertliefertX Quadrat geht gegen neun können ?? drei einsetzen wie sie neun ausWisconsin auch sagen was Eorexvorratmachtdas ?? so einfach ?? neunE hochirgendwas ist ja auch eine stetige Funktion der Mensafunktionist der auch stetigoffensichtlichdass das jemals bewiesen haben ist es in dieser Funktion auch stetigdas heißtdes maßstabmäßigauch nicht egalwenn das?? sich mehr und mehr der neuen EAs indes legt sich mehr und mehr der neuen Nähr dann nähert sich das Y mehr und mehreeh hoch neunder Funktionswert eine Stelle neundie Funktion ist eine stetige Funktiondas nächtliche Geschenkdes ?? total trivialdabei steckt in die Stetigkeit im Hintergrund wenn X gegen drei geht dann die X Quadrat gegen drei ins Quadratmit X Quadrat gegeneins Quadrat neun jeder ?? Ego X Quadrat gegen jedoch neunan dieser Stelle geht einfach schief bei den üblichen Funktioneneinfach nichts schief das Thema ist durchdie üblichen Funktionen sind alle stetigdas macht es so einfach und das macht es andererseits dann aber auch so schwierig zu erklären ?? Stetigkeit wichtig sein könnteBeistrichzum Beispiel das einfachste sobald ich einen Sprung drin habe in der Funktion habe ich eben ein ProblemFunktion so aussieht ??sich vor irgendwann etwas angeschaltetPunktes ist es außen Dallas vierzig angeschaltetdas wäre eine unstetige Funktionen hatten den Effekt nicht mehrwenn sie gegen diese Sprungstelle gehen Komma Festmahl dar Komma was bei Tagungen ?? wenn sie mit dem X wird gegen diese Sprungstelle gehenkriegen sie einmalnull raus und einmal diesen oberen Wert rausdas konnte geht nichtan Sondersprungstellewenn sie von einer Seite den Sprungstelle gehen dann Jahr sind sie von hier den unteren raus und wenn sie von oben kommt in den oberen rausdas wäre dannhalbseitige Stetigkeitfür ?? richtig veranstaltetaber hierdie übliche Tätigkeit wäre beidseitig FamilienrechtPunkt Inhaber in der Funktion habe ich mit solchen Geschichten er die üblichen Funktionen die manerst mal hinschreiben kann ?? Mensafunktionsrhythmusrationale Funktion die Polynom sowieso diesen alles stetigden hat man den Ärger nichtso das es der Ober hieralles stetig keine Probleme sie können direkt diesenGrenzwert einsetzen für Xder untere??des schwieriger Wallis kann ich nicht einfachdrei Einsätzen steht nur durch null wenn ich drei Einsätzedass es ungeschicktdafür gibt ein Standardverfahrenwas war das ??interessante Idee ähm hatten wir unendlich durch ländlichen Raum versucht so zu kürzen das nicht unendlich durch ein unendlich der steht im Grenzfallkönnte jetzt versucht sein zu sagen ?? erweiternwas ist wenn ich oben und mit Frau minus drei Modifizierungensteht er weiterhin null null ?? Grenzwertwäre nicht ganz unlogisch ausprobieren aber zum Probieren Sie weiterhin nur durch Null Normalformminus drei stehtPunkt unten bleibt es nur durch nulles gab ein Standardtrickaugegenau also ist der Lobbyteiles gibt zwei Schreibweisen für orbitaldas ist dieeinzige Schreibweise wird sich selbst geschrieben hat heute im französischenist es natürlichwie das Krankenhaus orbitalnundas esmit dem französischen zu dem sie komplexdie Frage kommt häufiger ?? das gerade mal also wenn sie das in ihrem französischenDassault mit dem Dach drüber ist das ein Mann wo es gewesen wegen eines dass es im französischen auf das unnotiert worden ?? AGsowie der typischerweise aus oder probieren Sie mal den orbitalokay hier steht also sowas wie scheinbar null durch nullwenn ich genau diesen Werteinsätzenicht seiner Meinung man sich das vorstellen kann?? meine V Achse sozusagenbekommt drei rausPunkt jetzt habe ich zwei Funktionen dicht durcheinanderteilebeide werden nullals die eine sieht vielleicht so auskeine Ahnung wie sie aussiehtund die andere sieht vielleicht so ausMeiser ?? Komma den fasseich will wissen was ist die grüne Funktion durch dieviolette Funktioneines ?? die man ich V sondern weiterhin X damit sich ganze verwirrend es mich wissen was passiert aus diesem Verhältnismüssen Sie mit diesem Verhältnishier kann ich das Verhältnis bilden dabei das Verhältnis bildenan dieser Stelle wo beide null werden damit das Verhältnis nicht bildender steht dann quasi null durch null ?? ich kann versuchen in Grenzwert zu bildenund der Trick ist nun das man sich angucken was passiert in den Grenzwerten Grenzwert kann sie sagenG ist eigentlich wie weit ich aus der drei rausgehe mal die Steigung von G an der StelleundF ist eigentlich weil ich aus der drei ausgeh mal die Steigung von F an der Stelle in sehr guter Näherungals wenn ich die beiden Durcheinander Teile ?? ich eigentlich die Steigung durcheinander ?? F von G durch G von Xist eigentlich dasselbe wie Beistrichvon drei durch die unverbesserlichenalten Videos ausführlicher gezeigtdas ist witzigwenn man nur durch nun hatscheinbarprobiert man Zähler und Nenner abzuleitendrück die Daumen dass dabei dann was zünftigesrauskommtdas heißtwas ich probiere ist folgendesich probiereZähne abgeleitet?? dass meine Mutter also Zelle abgeleitetdurch Nenner abgeleitetan der Stelle drei hierund hoffe dass das funktioniertwas kriegen wir eh hochin ableiten bleibt die hochKettenregelV nach V gleitenmal einsminus nulleins ableiten macht null durchFrau minus drei gerade mit der Steuer fünfundvierzig Grad?? und steht ein ?? soll die drei Einsätzen hier steht drei E hoch drei minus drei Mal eins minus null null mal eins soweit es kommt eins rausdieses Ding wird gegen eins gehen seit orbitaldie beiden Funktionenwie oben und unten stehen haben dieselbe Steigung an der Stelle drei anders als das gemalt habe hierdie beiden haben dieselbe Steigungdes immerhin malenbeide Funktionen ?? jetzt wirklich mal V hin beide Funktionenzählerwie Nennerhaben die Steigung eins an dieser Stelledas Werk der Zähler von mir ausund der Nennersobeide haben Steigung einsund dann ist hoffentlich offensichtlichwenn ich deren VerhältnisBilderganz dicht an der Stelle dreimuss beiden Steigung eins haben nicht deren Verhältnis bildet das Verhältniseinsgenau das was du darausnicht?? das ausführlicher hergeleitet wirklich mit der Tangenten gerade und so weiter aber ich hoffe in dieser Situation sie haben zwei Funktionendie mit Steigung einsdurch diese Stelle drei gehenwenn sie es die beiden Durcheinander teilendieKomma die grüne durch die violette teilen dann kriegen siegenauer und genauer eins raus die Dichter sie eine Stelle drei sindwas ist der Gedanke hinter den orbitalnoch ein von der Sortenun ich wüsste gerne was passiert wenn ich X Quadratminus sechs X plus neundurchX hoch dreiminus drei X Quadratminus neun Xplus siebenundzwanzigRechner was passiert damitwenn mal wieder X gegen drei gehtdas mal andas es immerkomplizierterüber den sich dasman sich also man drei Einsätze der null durch nulldas Ungeschick Wellerständernull durchvier Wetteinsätzedas Geschenkan Beistrich es kämen nur aus dem Grenzwertin der Stelle vier durch nulldann müsste ich Obst das würde explodierendass der ?? auch keinen ordentlichen Grenzwertaber null durch null was ich hier kriege wenn ich drei Einsätze dass es ungeschickt und ?? kommt im mittelorbitalich versuche mal Zähler und Nenner abzuleiten ganz wichtig das ist jetzt nicht die Ableitungdieser Funktionnicht was mit Quotientenregeldas ist ?? andere Geschichteich leite den Zähler ab ?? durch ich leite den Nenner ab ??es ist nicht ?? Beistrich sozusagen das ganze sehr F ist eines dass er sich jetzt ausrechnen nicht Beistrichsondern der Zelle abgeleitet durch den Nenner abgeleitetda bitte nichtswas durcheinanderbringenMargot macht zwei X minus sechs zwei X minus sechs und unten steht drei X Quadratminuszwei Komma vorne sechs Xin neun hundert allein stehen minus neunso wenn jetzt die Welt freundlich wärewürde jetzt nicht mehr nur durch null rauskommen sondern was vernünftigesaber sie sehen Gesetze drei einsechs minus sechs und unten stehtdrei mal drei ins Quadratdreimal drei ins Quadrat minussechs mal drei minus neundas hier sindzwei mal drei ins Quadrat das ist einmal drei ins Quadratbis siebzig Weg zum Schluss später wieder null durch null dass es ungeschicktist will ich also wissen was aus diesem Bruch hier wird quasi null durch null wenn X gegen drei wird also mach ich dasselbe noch mal ich leitet noch mal den Zähler ab und ich leite noch mal den Nenner ab nach dem selben Prinzip was ist als die zweite Ableitung des Zählersdurch die zweite Ableitung des NennerPunktdas macht oben zweiund das macht unten sechs Xminus sechsund jetztfunktioniertwenn ich jetzt drei Einsätze kriegen zweidurchachtzehn minus sechs?? zwei durch achtzehn minus sechssind zwei zwölftel ist ein sechsteund damit weiß ich jetzt Aha das ursprüngliche Ding hier istim Grenzwert ein SechstelKlammer auf mal was der eigentlich jetzt geometrisch passiertebenhatte ich zwei Funktionendie an der Stelle dreibeide die Steigung eines habenjetzt Nummer komplizierterwas weiß ich nun über Zählerund Nenneran der Stelle dreier weiterhin hier ist die dreiunddreißigstenwas weiß ich über Zählerin grün und Nenner in Blaunach meinen ganzen Rechnungen hierüber die Funktionensoll ich sagen über die Funktion den Zähler steht man über diese Fusionen zähle und diese Funktion in Nenner was weiß ich über diese beiden Funktionen nach dem was ich es ausgerechnet habe warum geht das eigentlichwas ich jetzt vorführen Beistrich dass man danach überlegen würde sondern das was was man im Hinterkopf hat um zu verstehen was den orbital ein macht warum das so funktioniert mit dem ableitenwas weiß ich jetzt über Zähler und Nenner als Funktionen nach meinen ganzen Rechnungenwas für Eigenschaften haben wirgenau wissen dass beide bei drei null sindzu Beginn noch einmal überlegt und wir wissen das beide an der Stelle drei die Steigung null haben die Ableitung bis null wenn sie drei Einsätzenin der Telefonzelle und dabei den vom Nenner diese beides mal null rausalsoum zahlreicheZählerich weiß dass diese Funktion so durch die drei läufthorizontal durch die drei läuftdie Zählerfunktionund ich weist es die Nennerfunktiongenauso horizontal durch die drei läuftauf der Höhe nulljetzt habe ?? noch was raus gekriegt die zweite Ableitungan der Stelle drei ist zwei ?? und die zweite Ableitung von Zähler und die zweite Ableitung vom Nenner an der Stelle drei istzwölfwas weiß ich endlich damit jetzt durch die zweitenAbleitungenja sind lokale minimal dieerste Ableitung ist null und die zweite Ableitung ist positiv für Zähler wie für Nennerin der Stelle drei habe ich bei beiden ein lokales Minimumähmalsowenn sie so Funktion haben ist der zweite Ableitung positives gibt eine Beschleunigung nach oben wenn dies ohne Funktion haben ist der zweite Ableitung negativ ?? beschleunigt nach untenals die müssen an dieser Stelle irgendwie so laufenkönnen sogar noch mehr sagenwas können Sie aus diesem Verhältnis zwei zwölftelwas könnte das im Verhältnis zwei zwölftel ein Sechstel schließen über diesebeiden Parabeln?? ich Mama war Funktionen ineinemsowenn ich sage irgendwo hierist die zweite AbleitungKomma minus eins und irgendwo ist die zweite Ableitungplus fünfeins sechs zweivier Fälle bei welchen von diesen vier Fällen würden Sie sagen die zweite Ableitung ist minus eins über welche würden Sie sagen die zweite Ableitungist fürso wenig Schuh draus die zweite Ableitung der ?? in die Physikbeschleunigungzweite Ableitung des Orts nach der Zeit die zweite Ableitung misst was sie die Beschleunigung bis sowas wie die Kraft auchhier sollte beschleunigt groß sein positiv seinhier sollte Beschleunigung nicht so groß sein negativ sein also wenn dann hier minus eins und A plus fünf unter hier vielleicht plus eins und vier minus fünf?? Nummer zurück zu unserem Ding hier ich weiß das die zweite Ableitung von Zähler zwei ist und die zweite Ableitung vom Nennerzwölf ist was sagt Ihnen das über diesegeometrische Situationso die blaue Funktion der Nennerder Nenner hat eine viel höhere zweite Ableitung als Erzähler nämlich um den Faktor sechs höhere Ableitung als der Zähler das heißt der Nennermuss hier die Bildbekommt sein so sieht das ausund jetzt wird hoffentlich klar wenn ich die beiden Durcheinander Teile sie teilen im Prinzip zwei Parabeln durcheinanderund die eine ist immer sechsmal so groß wie andere der Nenner sechsmal so groß wie der andere das macht dieses ein Sechstel mehrals in der Situation wo ich nur einmal ableitedie Situation hierder einigen sich Zähler und Nenner auf irgend eine Tangentialrichtungund ich teile in diesem Fall einst durch einsdie beiden Ableitungen durcheinanderund in dieser Situation wohl zweimal ableiten mussPunkt die beiden keine Zahl Richtung horizontal sindteils quasi zwei Parabeln durcheinanderdie gehen natürlich hier insbesondere der Nenner der wird natürlich sonst wie weiterlaufen keine Ahnung wieder läuft ?? komische Parabelaber hier in der Umgebung der Stelle drei sieht auswie eine Parabeldie eine Stelle drei auf die x-Achse geklebt ist und ich teile diese beiden Parabeln durcheinanderund kriege demzufolge dann das Verhältnisder Beschleunigungenein Sechsteldas hierversteckt hinter dem Luke Teilist es eigentlich nur so bisschen Physik sozusagen bisschen Anschauungwas Ableitung eigentlich messen??ist ein Sechstel heißt die Dichter das X bei der drei ist wenn sie jetzt einsetzen drei Komma null null null eins ins Quadrat minus sechs mal drei Komma null null null eins plus neun durch unten entsprechendirgendwas raus was sehr dicht beim sechsten Licht und wenn sie nicht drei Komma null null eins genommen werden soll drei Komma null null null null null eins wenn sie noch mehr ein Sechstel höchstwahrscheinlichjedenfalls sieht sich das Meer mehr auf ein sechste zusammenich kann bin ich hier drei Einsätzekeinen vernünftigen Wert rauskriegen weil der steht null durch nullaber ich weiß von meiner Funktiondas siein der Umgebung der Zahl dreiungefähr den Wert ein Sechstel hat also wirklich Beistrich wie sie verläuft in der Umgebung aber ich weißganz dicht an der Zahl drei ist sie ungefähr ein sechstel und immer genauer ein sechste Gedicht an der drei fanden die ?? in dieses Lochbeider drei Richter nur durch null rechneich das jetzt auf gemein ?? natürlich wissen sogar sie sehen wenn sie das jetzt wirklich Rechner rationale Funktion hat Meyer schonwenn sie das jetzt wirklichausrechnen würdenman kann offensichtlicheine Polstelle auslösen die keine Polstelle istes gibt ?? Definitionslückediesen Bruch hier kann man vereinfachenman kann sogar zwei soll ich sagen ja Faktoren machen sogar zwei Linearfaktorenraus kürzenund damit das total einfachUnterschiede dazu Schluss noch eins durch Xminusblabladieses lässt sichvereinfachendann sehe man das auchwenn sich noch an die National Fusion zurück erinnern Komma dass auch das Aussehen und Nenner gemeinsame Faktoren Ausrufezeichenaber Hitze gar nicht machen müssen man leidet einfachab und fertig?? ich das gesagt habe wenn sie das hier behandeln wie die üblichen rationalen Funktionenwas wissen Sie jetzt über Zähler und Nenner was können Sie aus Zähler und Nenner an gemeinsamen Faktoren raus kürzengemeinsame Linearfaktorenaus Zähler und Nenner waskann ich kürzenhier nochmals insie wissen das Zählerpolynomhat an der Stelle drei diese Form und das Nenner Polynom hat eine Stelle drei diese Formwas wissen Sie dann über das Zählerpolynomund das Nenner Polynom für das aufgebautesbin ja Faktorenbeiirgend zweifachen Nullstellemindestensdas heißt der Nenner muss irgendwie so aussehen wie X minus drei ins Quadratmal irgendwasdamit diese Verlauf kriegenund Erzähler muss auch so aussehen X minus drei ins Quadrat mal irgendwassequenzielle anguckendes Seins quadratischund erzählerisch verfaultmal ein sozusagen Nenner kommt noch was dazuso könnte man es auch das wenn es bei der Nationalfunktionhatten dann könnte man jetzt Essigminister ins Quadrat raus kürzenund würde dann auchaus dem Wasser übrig bleibt in der ein Sechstel rauskriegenbesonders vor Unsinn was ich hier vorgeführt habe natürlich auch funktionieren ?? jetzt keine Polynom haben etwas für ?? Stunden Sinus mit ähkurzer Exkurs zu den Polynomfunktionenaber gerade nurwenn sie eine Polynomfunktionhaben die so aussiehteinsame hier ist die Stelle minus eins und hier ist die Stelle fünfwas wissen Sie über diese Polynomfunktionenkönnen Sie in jedem Fall schreibengenau eine Möglichkeit wäre X plus eins mal X minus fünf ins Quadratdann haben Sie da die Nullstelle sie haben da die Nullstelle das doppelte Nullstelleeine kubische Parabel die wir natürlich jetzt symmetrisch eine komische Parabel wird so laufensymmetrisch seinwas kann ich noch tun was wäre noch möglich diese beiden null Stellen gegeben deine doppelte Nullstelle deiner einfachen Nullstelle was wäre noch möglich an Funktionendie genauso aussehenthematisch genauso aussehen?? sie können das ganze mal zwei nehmendann haben sie die doppelte Höheimmer noch einfacher Nullstelle da doppelte Nullstelle daraber sie können natürlich noch weitere Faktoren dazu schreiben was könnte noch als weiterer Faktor dazuschreibenund haben keine weitere Nullstelle erzeugtgenau die Standard Antwort X oder plus einsnahm sie weiterhin diese beiden Nullstelle keine neue Nullstelle im reellen zumindest nichtdas platte doppelte das Platten einfach ihr zwischendurch wird der Verlauf durch bisschen anders werden klaraber die beiden Nullstelle die so behalten Sie warMussolini noch ?? wiederholendas mit dem Polynomdas international Funktionist in den ganz anderen Weg plötzlich dasselbe zu machen was er schon mal hattenmit Ableitungensieht irgendwieeleganter aus als Polynomdivisionzu machen