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18A.1 Eulersche Identität, Polardarstellung, Sinus hyperbolicus

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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wo – die Eulersche Identität herkommt – am – soll ich das in den alten Videos erklärt und guckt sich folgendes an eins Plus ihm mal – einen Winkel durch eine große Zahl – mal eine komplexe Zahl – was wird passieren – das meine komplexe Zeit hättest – ?? – imaginäre Achse relaxen – wenn das hier meine konvexe Zahl Z ist was wird passieren sie kriegen – die Zahl – Z ungefähr – wieder – aber sie kriegen auch niemals ?? ist um neunzig Grad gedreht ?? eine um neunzig Grad gedrehte Kopie – von Setmale – Fi – durch ähm – Wasser zum Schluss rauskriegen – ist sowas ?? sich das genau überlegt sie dabei folgendes – die Zahl Z ist um den Winkelvieh im Bogenmasken – wie durch ein Schritt ist ?? linke Vieh durch einen im Bogenmaß gedreht worden – was passiert dabei – diese Zahl mit der Modifizierung – habe ich das Original EZ ungefähr wieder einmal – setzt unendlich aber noch quer dazu Bifi durch MAZ – ihm mal eine komplette Zahl heißt ja sie um neunzig Grad zu drehen wenn das ZS ist das immer Z das ?? leicht nach Rechnung ?? alter Imaginärteil – die vertauscht werden beziehungsweise Vorzeichen ändern mal die heiß neunzig Grad drehen – als ich Original – das Original von der Zahl Z – und ein bisschen – quer dazu – soll ich das erzählt – das wird – also – die Zahl Z – in guter Ernährung die Zahl Z um den Winkel – Phi durch N gedreht – wenn ich jetzt aber nicht um den Winkel – Phi durch N – ein Fi durch zehn tausend drehen will sondern wenn ich um einen echten Winkel – dreizehn Grad von vierzig Grad drehen will – man sieht das anders anfangen – ?? dankesfolgender – wenn das um Vieh durch N dreht eins Plus Mifi – Beistrich denn – das ist die Zeit selbst gedreht um diesen Winkel Phi durch N – dann nehme ich dieses Ding hier und drehst noch mal ein bisschen – und dieses Ding nämlich und dreht das noch mal ein bisschen – und so weiter – das mach ich en mal – das mache ich en mal – und habe zum Schluss – einmal – habe zum Schluss die Zahl Z um Vieh gedreht nicht mehr um Vieh durch N sondern um viel gedreht – das muss sein – wenn hier – das muss seien – die Zahl Z – um den Winkel – Phi gedreht in guter Näherung – das dreht um Vieh durch ähm bin ich dann diese Zahl modifizieren damit habe ?? gedreht um Vieh durch ähm schon zwei Vieh durch N gedreht – wenn ich diese Zahl damit modifiziert habe ich sie noch mal soviel durch N gedreht also insgesamt um drei Vieh durch gedreht und so weiter und so weiter wenn das einmal mache – einmal um Vieh durch N drehen – schöne habe ich um viel gedreht und was hier steht ist natürlich nicht ungefähr sondern sogar exakt gleich eins Plus ihm Alfi durch N hoch ähm – war meine Zeit Z – dieser Ausdruck hier beschreibt also so etwas wie eine Drehung um den Winkel Phi dieses en muss ich groß machen – damit dieses gerundet hier zum gleich wird – und dann steht hier etwas für eine Drehung um den Winkel Phi komplexe Zahl Z – ist der Ursprung – imaginäre Achse relaxen die um den Winkel Phi drehen – das ist der Gedanke – was dabei passiert – war Komma sich diese Formel an – und erkennt den wieder das Lesen alter Bekannter – und das hier vorn ist ein alter Bekannter – am – Main erinnert sich an folgendes – E hoch X – war – der Grenzwert – hingegen unendlich von Einsplus – X durch einen – hoch ähm für reelle Zahlen X – das hatte ich mal erklärt mit – der – fünfundvierzig Grad – Neigung jedes des – Dax mit der Funktion – wenn sie die Platten der ?? und die Exponentialfunktion – die natürliche Spezialfunktion – wie die hier mit fünfundvierzig Grad durch die – y-Achse durch – ?? Rittersmann erklärt wie diese Formel zustande kommt – und nun sieht man ob man ein verdächtig ähnliche Formen – der steht nicht X drin soll der steht Bifi trennen – und deshalb sagt man ganz dreist – okay das hier nennen wir dann im Grenzwertvergleich – nicht darum ?? das hier für Grenzwert hingegen endlich nennen wir einfach eh hoch die mal Vieh – in sie hier nicht Leo X haben sondern sank hier setzen bei ihm mal Vieh ein und hier setzen wir ihm mal Vieh ein ?? – das Essen gewagter Kunstgriff – extra davon zu und war eigentlich mal was – was mit – dem modifizieren – der Zahl ?? mit sich selbst zu tun hatte E – hoch drei – wäre ehemalige ehemalige ?? – und das kontern im ausrechnen ?? eins plus drei durch eine Million hoch eine Million zum Essen sehr gut Ernährung ausrechnen – und jetzt meine ganz was fieses – ich seh das diese Formel hier weiter gilt wenn ich komplexe Zahlen – einsetze – oder – ausdrücklich möchte das Formel weitergeht – konvexe Zahlen einsetzt auf ?? überhaupt keine Idee habe was das ist was zur E hoch drei I sein – I habe ich die Zahl je dreimal mit sich selbst multipliziert schon immer immer immer lebt – Komma soll heißen Zeit die drei – mal – mit sich selbst zu multiplizieren – das ziemlich – kranke Idee kommen sieht – es ergibt Sinn einfach über diese Formel in diesen Formen hier für die Ehefunktion kann ich einfach komplexe Zahlen einsetzen – und es passiert nichts Schlimmes – und wir haben jetzt sogar eine Idee was das tut – ?? da steht das ja – wirklich eine komplexe Zahl raus – die eine andere konvexe Zahl um den Winkel – Phi dreht – als erster stutzig auf diese Eigenschaft hier nicht konvexe Zahl um den Winkel Phi drehen will dann kann ich das so in sehr guter Näherung machen – umso besser – je höher das N ist – diese Formel hier kommt aber doch verdächtig vor – die stand schon so ungefähr in der ursprünglichen Ex Mensa Fusion für reelle Zahlen X – ich muss jetzt nur für Werkstatt der Wellenzahl X – I mal Vieh – was imaginäres einsetzen – und das definiert man dann einfach so ?? okay – das scheint irgendwie sinnvoll zu sein diese Größe dann definieren wenn es ihm – eh hoch – eine imaginäre Zahl – dass sie auf der rechten Seite sein soll genau dies für reelle Zahlen war – das eine sinnvolle Größe zu sein und obendrein – sieht man was denn das geometrisch bedeutet – das ist die komplexe Zahl – mit der ich modifizieren – kann um jede andere konvexe Zahl um den Winkel Phi zu drehen – und – ?? Fragezeichen schreibt am – wenn ich das weiß – okay dann wird sich doch eins – bei ihr ein was passiert wenn ich zeitgleich Einsätze – nun – als Schramme normal zusammen – eh hoch ihm mal Vieh wird so definiert – das dann folgendes gilt – eh hoch die Phi mal eine komplexe Zahl Z – ist setzt – sie – um den Winkel viel gedreht um den Ursprung – könnte was schöner schreiben um den Winkel – gedreht – mit dieser Definition – dieses Ding wird dann jedoch nie mal Vieh ?? sage oder sie zu verdächtig aus als ob es das sein sollte die Theorie mal Vieh rein formal – Klammer zu diese Eigenschaft des EU Klimaviehmarkt – jede komplexe Zahl – diese komplette Zahl um den Winkel Phi dreht – und dann gilt insbesondere – andere gilt folgendes – die Hochtief – ihm mal die Zahl – Ego rief ihm mal die Zahl eins – eins es auch ?? konvexe Zahl eins Plus normativen – sie wollen – Theorie Phi mal die Zahl eins – ist – die Zahl eins – um – Vieh gedreht – aber Eoevi mal eins eine komplexe Zahl mal eins ist nichts anderes als Ego rief ihn – das heißt Wasser mich gelernt wie hoch die Phi wenn ich so definiere wie eben – muss seien die komplette Zahl eins um den Winkel Phi gedreht die komplexe Zahl eins – imaginäre Achse – reelle Achse – ist Tivoli eins – mit diese komplexe Zahl – und drehe sie um den Winkel Phi – wie sein – dann ist dies hier – eh hoch die – Phi – zusammen erstere – schreiben – dort – diese Wert werden eh hoch ihm mal – Vieh – wenn es so gebaut ist – das Theorie Phi mal Z – jede komplexe Zahl um den Winkel Phi dreht – dann geht es insbesondere – für – diese komplexe Zahl die konvexe Zahl eins eins Plus null Magie – also Theorie Phi mal eins muss sein – diese Zahl hier – diese Zahlen hier um den Winkel Phi gedreht – das muss rauskommen – Theorie Phi mal eins muss – das sein eine Zahl der Länge eins in Komplexen mit dem Winkel Phi und da ist man dann endlich eine – am Ziel angekommen – wie viel muss seien eine Zahl mit der Länge einzigartige – die eins gedreht – muss als die Länge eins behalten – eine Zahl mit der Länge eins – und sie wurde gedreht um den Winkel Phi – eine einzige bisschen Charme hier so Länge eins – eins – und das ist nachher – was man sich unter Ideologie Vieh vorstellt – unter E hoch drei – stelle ich mir vor – eh – mal die Malé – unter eh hoch ein halb stell ich mir die Wurzel vor unter die hoch minus eins stell ich mir den Kehrwert von Ehe vor das ist alles – im grünen Bereich – erstelle ich mir unter Ego rief ie for – eine komplexe Zahl – die den Abstand eins vom Ursprung hat und den Winkel Phi zur reellen Achse bildet – es kommt eigentlich außer ganz anderen Ecke wenn man das von vorne anfängt – an – es gibt Fisch sehr verschiedene Arten wie das in in der Literatur dargestellt wird definiert alle etwas inkonsequent ich finde diese Art hier – am konsequentesten – ich überlege mir was passiert – beim Drehen einer komplexen Zahl um einen kleinen Winkel – stelle fest okay dieses Produkt – erledigt diesen jobkonvexe – Zahl rein kleinen Winkel zu drehen – Punkt so kann ich dann einen großen Winkel drehen und da erkenne ich die klassische Ex Mensafunktion – wieder – bis auf das komische I – deshalb definiere – ich PE Hochbifi – soll genauso funktionieren – wie Eriks funktioniert hat – ?? lassen uns überraschen was dann passiert und dann gucken sich das mit dem Drehen Ian hier steht mehr oder minder Ideologieviehprodukt – mit Theorie Phi wird also ?? denke viel gedreht – was passiert wenn ich jetzt die Zahl eins drehe – ich sie mal eins was die Zahltheorie Phi selbst das ist eins um – Vieh gedreht – muss dieses Ding sein – und an der Stelle – kann man einfach ablesen – rechtwinklige Strike – gegen Kathete von Fi – an Kathete von Fidi – lesen einfach ab – ähm – dieses Stückchen hier ist der – Sinus von Viehweide – über die nur gleich eins ist – dieses Stückchen hier unten ist der Kosinus von Fiwall – über den oder gleich eins ist – denn – der Sinus ist – gegen Kathete durch über sinnlose Sinus durch eins – Kosinus ist an Kathete durch Hypothenuse ?? groß musst du – jetzt schreibt man das alles zusammen – und hat diese glorreiche Formel – Bass ist eh hoch ihm mal Vieh – der Realteil – ist Kosinus Phi – unter Imaginärteil – ist Sinusfi – das ist die grandiose – Orangeidentität – Identität – und da hat man jetzt plötzlich Sinus und Kosinus – und DE Funktion miteinander – verprügelt – mithilfe der komplexen Zahlen – und – ja der Trick ist eigentlich wie definiere ich eh hoch ihm als sie – erst mal gibt es ja nicht allzu viel Sinntheorie – mal Vieh eine Zahl – hat die normale Neo ihm mal drei – soll das heißen die drei – mal mit sich selbst wahrzunehmen – ist ?? komische Geschichte – aber über diesen Umweg hier sieht man wie man es definieren muss damit es sinnvoll ist man nimmt einfach das was man für reelle Zahlen weiß unser okay rechnen für komplexe Zahlen genauso weiter ?? für reelle Zahlen – und haben etwas was sinnvoll ist – dieses Gebilde hier – etwas was Drehungen im komplexen beschreibt – dann an dich hier und ich lande bei der nordischen Identität – und – die ist dann der Schlüssel – weswegen es überhaupt damit – mit konvexen Zahlen hier befassen – denn jetzt kann ich Sinus farbige Schwingungen – durch die hoch was ausdrücken – in die Sinus ?? kommt daher dass der Sinus ja der Imaginärteil – ist – ich gehe nach oben ich gehe um Kosinus – nach rechts und ich gehe um – den Sinus nach oben – und nach oben dreißig Kriege imaginäre Zahlen dazu dass wir ?? hier die Zahl zwei plus das wäre zwei plus I zum Beispiel zwei nach rechts ein – also – das ist gegessen diese Eulersche Identität ist gegessen – wenn sie sich – klargemacht haben das Theorie mal Fifi im Bogenmaß – dass das die komplexe Zahl mit Länge eins und Winkel Phi sein – nicht anders – sinnvollerweise – sein kann – da ist dieses hier – geschenkt – und ab da kann man dann statt mit Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion – Rechner die üblichen Rechenregeln die gelten weiter – das muss man sich natürlich ein mathematisch streng überlegen – warum gelten trotz dieser Setzung hier die Rechenregeln weiter – zum Beispiel das eh hoch – fünf I gleich E hoch zwei – I mal E hoch – drei ist es nicht so – auf Anhieb klar aber trotzdem so recht bringen weiter Produkt von – Potenzen – gibt die Summenexponenten – auch wenn da – konvexe Zahlen stehen – das ?? das ganze super einfach – statt mit Kursen von Sinus rechnet mit der Ehefunktion – und den üblichen exponentiell – gesetzten Potenzgesetzen – Gottesgesetzen – die Fahrt mit etwas Einschränkung immer dann gleich noch wissen – ?? – das ist viel einfacher als das ich hiermit mit Sinus und Kosinus – werde sie mir den Zeit mit den Additionstheorem – von Sinus und groß zu ähnlichen Geschichten – vertreiben das ist – grausam – warm und das ist der Grund weshalb sie hier konvexe Zahlen sehen – die – Ingenieure Rechnen mit komplexen Zahlen um Sinus und Kosinus zu vermeiden man ist faul – und möchte nicht mit sinnlosen Kursen – sehen dann – bei den Kolleginnen und Kollegen zweites Wahl auch sowas wie eh hoch ihm mal hundert zwanzig Grad – dass sie für die Mathematiker – eher – komisch aus aber ist klar was gemeint ist komplexe Zahl der Länge eins – ?? mit ein Winkel hundert zwanzig Grad das es gemeint – reelle Achse das es gemeint wenn Elektrotechnikerdelikte – Viera natürlich ?? zwei hundert zwanzig Grad – dass es gemeint wenn Elektrotechniker – das hier hinschreiben – dann – umrechnet Bogenmaß – musste Mathematiker – und verstehen – so das normale CD zur – ?? löschen – Identität – Raum – und jetzt gucken uns zum aufwärmen folgendes – an minus – fünf plus sechs mal die möchte ich gern in folgender Form schreiben die Polarform – eher mal – E hoch die Phi – dieses eine Zahl der Länge eins mit Winkel Phi – eine reelle Zahl – größer gleich Nullmenge – lassen sich Polarform – Polarkoordinaten – in der Schlüssel für Sek – ich gebe den Winkel und den Abstand an – bestimmen sie eher – bestimmen Sie Phi Ob – Ziel müsste man bestimmen Sie wie – dass ✂ er – es wirklich ganz schlicht und ergreifend die Länge – das Gefährt sogar ohne Skizze – minus fünf Quadrat plus sechs Quadratswurzeln – ?? mit Pythagoras – ist das her also fünfundzwanzig – plus sechsunddreißig – zwanzig – sechsunddreißig – sechs sind – äh – einundsechzig – Wurzel – einundsechzig – ist das er – das vieles ist fieser – in das muss Wasser doch mal auf Malen – die Lage hier – zu erkennen – Realteil – Imaginärteil – fünf nach links sechs nach oben fünf nach links sechs nach oben – zu liegen wir – nach – ich suche also diesen Winkel – die – am – wenn sie die formelsammlungsmäßige – Formen nehmen – Sie – den falschen Winkel wenn sie das hier rechnen – Arcus Tangens – Vorsicht Y durch X – haben – Akkus dann ins Y durch X Alert Arcus Tangens sechs durch minus fünf – sechs durch minus fünf – kriegen wir das ist also – das immer vorführen – in der Klausur das natürlich auch seine sechs durch – minus sechs fünftel der stehen – passiert – armen – Einfachheit halber mal im Gradmaß – daraus – in – ihnen falls das hier so schön – Tangens – so – minus fünfzig Grad – Werk der uns – minus fünfzig Grad – offensichtlich – sind das hier nicht minus fünfzig Grad das für ein bisschen komisch – ?? wie groß ist Vieh – oder andersrum ✂ gefragt wo sind einig die minus fünfzig Grad der – die minus fünfzig Grad verstecken sich hier mit dem Uhrzeigersinn – also mathematisch negativ – was ich rauskriege – ist – das hier das sind meine minus fünfzig Grad unter Arcus Tangens kann eben nicht zwischen dem ?? und seinem Spiegelbild ihren Ursprung unterscheiden – die beiden sind für den Arcus Tangens dasselbe – wenn sie den ihr nehmen und gealtert Imaginärteil – die ganze Zahl mit minus eins modifizieren – sie den heraus – der Arcus Tangens will das Verhältnis der sieht nicht diese – das erweitern mit minus eins – ähm also das hier sind – ungefähr fünfzig Grad – im Uhrzeigersinn des Trinkwassers – als minus fünfzig Grad raus – wie groß ist also dann ✂ Phi ungefähr – ?? Reise hundert dreißig Grad gewesen sein also vorsichtig – das Essen fallen immer zu leicht ab ?? steht auch – absurderweise – in einigen Büchern und Formelsammlungen falsch versteht einfach vieles gleich der Arcus Tangens – Leider nein – in der Hälfte der Fälle nicht – ?? müssen vorsichtig sein sobald sie auf der linken Seite liegen – der Realteil negativ ist oder sich selbst eines Bendix negativ sein – Amt ein Problem mit dem Tangens – Objekt und damit ?? Besitz übersetzt in Polarform – versteht diese komplexe Zahl ist – eine komplexe Zahl der Länge eins mit dem richtigen Winkel – dieses hier – Klammer zu machen sollte ?? – dieses hier ist eine komplexe Zahl der Länge eins mit dem richtigen Winkel – und das multipliziere ich mit der richtigen Länge – dann habe ich den aus – das nennt sich – Polarformular – Darstellung – war – das schon mal gesehen – haben – wird Komma mal – vom letzten Mal muss noch angucken wie deren – großes hyperbolicus – und Sinus hyperbolicus zu Stande kommen – schon immer schwieriger – letztes Mal gesagt dass dieses hier eigentlich der Kosinus hyperbolicus – ist – und dass dieses ja eigentlich – der Sinus hyperbolicus – ist wenn ich in Kosinus und Sinus – imaginäre Zahlen ?? Einsätze – mit den großen Sinus imaginäre Zahleneinsätze – an Sinus außerdem noch durch die Teile – das sollen – groß aus hyperbolicus – und Sinus hyperbolicus – werden – am – ?? das ganze jetzt mal nachrechnen – eintippen – sie vorher noch geben bevor sie das tatsächlich nachrechnen können – ?? Euler sagt mir eh hoch die Phi – ist gleich – Kosinus plus I Sinusfi – jetzt habe ich den großen aus dadurch aber noch nicht alleine und den Sinus noch nicht allein ist es ungeschickt ich möchte – in Kosinus alleine haben und ich möchte den Sinus allein haben – was können Sie hier noch machen – um – die großen Sinus ✂ raus zu extrahieren – der Trick ist eine zweite gleichen zu schreiben E hoch – minus – die Phi wenn ich in die andere Richtung gehe ✂ was ist E Hochminusevi – besetzen Komma – minus Phi ein – Kosinus – minus Phi plus I mal Sinus – minus Phi – was ist der Kosinus – minus ✂ vier und was ist der Sinus minus fiel – der Kursus eine gerade Funktion was es also Kosinus ✂ minus Phi – vereinfacht – das zwischen Reifen Kosinus – Phi wenn sie – den Kosinus von einem negativen – Winkel – haben wollen können Sie stattdessen auch beim positiven Winkel gucken weil es eine gerade Funktion ist anders beim Sinus der Sinus ist eine ungerade Funktion – wenn sie da den Sinus von negativen Winkel haben wollen bauen sie minus den Sinus vom – positiven – Winkel – das heißt hier steht minus – Sinus von – vielen – als eine ungerade Funktion ist – das heißt eh Hochminusevi – ist Kosinus – Phi – minus – I mal – Sinusphi – jetzt kombiniert man diese beiden Gleichungen – an – aus den beiden Gleichungen will ich mal die Summe – was sehen Sie wenn Sie die Gleichung und ✂ die – zusammen addieren – wie hoch die Phi – plus E Hochminusevi – die Summe dieser beiden Gleichungen – Kosinus – plus I Sinus – plus Kosinus – minus I Sinusverlustes – Kosinus – plus Sinus plus Kosinus minus die Sinus – der Sinus Pflicht raus – wird einmal addiert und einmal abgezogen – das heißt die Summe – aus Theorie vier neominus – FIS zweimal – der Kosinus – von – Phi – und jetzt habe ich den Kosinus alleine der Kosinus ist als die Hälfte von dem hier – Weg zum bisschen wie Zauberei – am sich vielleicht auch – einmal die Gleichung für den positiven Winkel – einmal die gleichen für den negativen Winkel – des lustiges für den negativen Winkel kommt das – konnte Sinus jede Menge netter mit einem Minus – und das ist der Punkt an dem ich ansetzen kann – die Stelle an der ich den Hebel ansetzen kann sozusagen – aus der Summe der beiden müsse Summe der beiden fliegt der Sinus raus plus I Sinus minus Sinus mir zweimal in Kosinus also ist der Kosinus die Hälfte dieser Summe – und aus der Differenz der beiden – sich sinnvollerweise dann der Kosinus aus der Ver – eins – wenn ich Bilder eh hoch die Phi – minus – Minussifi – kriege ich – Theorie fehlt die Summe – Kosinus plus I mal Sinus – jedoch minus I vier ist Kosinus minus immer Sinus abziehen minus – zwotens – es – muss – in der V – R – Buchstabe des Hauses Kosinus plus I mal Sinus minus den Kosinus – minus – minus – immer Sinus also plus minus minus plus immer den Sinus – der Kursus richtet raus großes S – großes S bleibt zweimal – ihm mal den – Sinus von Phi – okay das heißt wenn ich diese Differenz durch zwei Idteil habe ich den Sinus man kann also auch den Sinus ganz alleine mit ihren Wifiausdrücken – der Sinus ist diese Differenz durch zwei – das als Vorbemerkung – jetzt müssten sie eigentlich selbst in der Lage sein mal das ja einzusetzen – was ist also der Kosinus – von ihm eiligst die Hoffnung ist das erste – großes hyperbolicus – ist und was ist der Sinus von ihm X durch die Hoffnung ist das das jede Sinus hyperbolicus – ist – Gleichungen ✂ aus – dem oberen hier Dali sich Abbas der Kosinus – ist der Kosinus von einem allgemeinen Winkel – das ist Theorie Phi plus E Hochminussifihall – befreiten sie das normal hinschreiben ausdrücklich – der Kosinus – der Kosinus von einem allgemeinen Winkel ist jedoch die Phi plus E Hochminussifi – halbe – folgt – hieraus Sinus nach Kosinus auf – hier unten was ist der Sinus – die Differenz – durch zwei I – das gilt allgemein für den Sinus der Sinus irgendeines Winkels – jedes Winkels ist wie hoch die Phi – minus E hoch minus wie viel – diese beiden durch – zwei nie – auf diese Weise habe ich den Sinus allein mit E hoch irgendwas ausgedrückt – und jetzt nämlich – diese beiden Gleichungen her – und probier mal was denn passiert – wenn ich komplexe Zahleneinsätze – der Kosinus eines Winkels – ist E hoch I mal den Winkel plus E hoch minus I mal den Winkel halbe – ?? insofern bin ich jetzt ein bisschen hier am – mir einen die Tasche zu lügen weil ich aber nie gesagt was mir der Kursus eines komplexen – Winkels sein soll was soll der Kosinus aus – er – fünfundvierzig Grad mal I sein – großes fünfzig Grad kann ich mir gut vorstellen – rechtwinkligen Dreieck fünfzig Grad und so weiter – aber was ist der Kosinus Untätigkeit mal nie – sehr schräg – was jetzt einfach mache – weshalb ich am Anfang gar nicht gesagt – weil es nachher so natürlich ist das man gerne drüber nachdenkt man nimmt diese Formel – diese Formel funktioniert auch wenn der linke Komplex ist und dann weiß ich plötzlich was der Kosinus – für eine konvexe Zahl ist – was müsste ich mir eigentlich erst mal ?? Definition entwichen schreiben der Kosinus soll bitte ab demnächst immer dieses sein auch für – komplette Zahlen wieder drinstehen das der Kosinus wird sich auch für Compaqs Link funktioniert – dann – ja das hat müsste man eigentlich als Vorbemerkung – machen – und werde immer vergisst – ?? sogar unterdrückt – was so offensichtliches – was man machen muss ich nehme also dieses hier für den Kosinus und jetzt setzt sich ein – I mal X – das wollte ich wissen was passiert wenn der nicht viel drin steht sondern immer X drin steht hier steht nicht Phi sondern ihm eiligst richtig durchstreichen so – immer liegt hier steht nicht Fliesen minimal X – wenn ich den Kosinus so definiere – dann habe ich hier – Kosinus von ihm eiligst ist gleich E hoch I mal I mal X also E hochminus – X Quadrat – X – plus – die hoch minus I – Mali – minus Quadrat ist das minus I mal I mal X minus I Quadrat mal X – Referates minus eins mal minus plus eins klein X also plus X E hoch plus X – plus X Punkt E hoch X – halbe – ?? und das ist – wenn sich jemand erinnert nicht anders als der Kosinus hyperbolicus – von X so weiter definiert – Lyrics ihre minus X zusammen addiert halbe – der Mittelwert – verwehrt von – der fallenden und der steigenden Exponentialfunktion – das hier wird der Kosinus hyperbolicus – ?? das Mannzelt – am und für den Sinus – selbes Experiment – muss ich alles machen ich möchte den Sinus durch – den Sinus von ihm eiligst ausrechnen – sind viel muss ich hierdurch – ihm eiligst ersetzen hier muss ihm eiligst stehen – ich möchte aber nicht den reinen Sinus ausrechnen von ihm eiligst sondern der Trick war den Sinus durch ihr ausreichendes – heiß ich muss sie auch noch durch die Teil auf beiden Seiten – dann sollte die gleichen wieder stimmen wenn ich sage die schwarze Gleichung – soll mit den Sinus für alle Winkel definieren auch wenn sie haarsträubender maßen komplexe Zahlen sind – dann dann kann ich in die schwarze Gleichung auch – ihm eiligst einsetzen – des Winkels – und ich kann auch durch die Zahlen auf beiden Seiten entsteht das da – und jetzt – versucht man hier die – Trümmer wieder zusammen zu kehren E hoch – I mal I mal X das ist eh hochminus – X – X hier steht jetzt minus – E hoch minus – I mal ihm Alexander eben schon SEO plus X minus I Quadrat – macht plus eins – durch zweimal die Magie – durch zwei mal minus eins – zweimal den Vertrag zweimal minus eins – oben schon mal minus eins entweder folgendes – E hoch X hier das Vorzeichen ändern ?? Eriks – minus seominus – X das Vorzeichen ändern und das Vorzeichen einer halbe – ?? und das ist – der berühmte Sinus hyperbolicus – also sobald man erst mal – diese Schweinerein angefangen – hat konvexe Zahlen in der Ex Mensafunktion – einzusetzen – kann man dann auch anfangen konvexe Zahlen in Sinus und Kosinus einzusetzen – und das ist dann plötzlich nicht anderes als zumindest für die rein imaginären Zahlen – als Kosinus – und hier beim Sinus wird als großes hyperbolicus – und Sinus hyperbolicus fünfzehn aufpassen – es Komma dieses eine I – dazu im Nenner – haben – das ist dann plötzlich die Bedeutung von Kosinus und Sinus – man konvexe Zahlen einsetzte haben vierzig was mit großes hyperbolicus – und Sinus hyperbolicus zu tun und dann ist auch kein Wunder Beistrich ihn – letztes Mal erzählt hatte zu sieben Solisten groß hyperbolicus – dass – diese Funktionen – ähnliche Eigenschaften haben wie Sinus und Kosinus – es sind ja Sinus und Kosinus – nur – an der falschen Stelle sozusagen nicht nur für mich für normale Grad Zahlen betrachtet sondern für – imaginäre Kratzertracht – insofern sind Sinus – hyperbolicus und großes hyperbolicus eigentlich keine neuen Funktionen sind einfach nur Sinus und Kosinus – aus anderer Richtung betrachtet – wollen – und der Schlüssel zu dem ganzen ist – weiterhin die – wir bitte geben sie nicht wie schlimm es ist zum Ganzes weiterhin die Orange Identität – hier fange ich mit dem Unsinn an in DE Funktion – komplexe Zahlen einzusetzen – um damit Kursus und Sinus – zu kriegen – aber ?? kann ich auch umgekehrt – wenn ich das verlange dass das für alle Winkel gilt sagen was den großen Sinus für konvexe Zahlen sein sollen – in dem ich jetzt den benutze – die Funktion wieder ?? – als auch das sieht man plötzlich auf diesem großen komplexen Zahl – und schreibt dann typischerweise – damit nicht alle Leute so überrascht sind – dabei typischerweise eben großes hyperbolicus und Sinus hyperbolicus hin – ähm – denkt sich vielleicht auch nur Sinus und Kosinus für komplexe Zahlen