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09D.1 lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, zwei Spezialfälle


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malwieder eine Differentialgleichungund zwar wie folgendedie zweite Ableitung meiner SuchfunktionY minus fünf mal die erste Ableitung meiner gesuchten Funktionsechs Malik suchtSinus von fünfsechsdavongerneeine??machen Sie das mal nach Schema F ist es erst mal und dann gucken uns oder andere Fälle anBeistrich mir ganze Maschinegehtder erste Schritt muss sein sich zu überlegen was denn das für eine Art an Differenzialgleichungenist sie von schon fleißig anzurechnen wahrscheinlich weil's die anerkannt habenabernunich will das ausdrücklich hinschreiben was ist denn das jetzt eigentlich das ist eine gewöhnliche Differenzialgleichungenkeine partielle sondern eine gewöhnliche Differenzialgleichungungewöhnliche Deck ELzweiter OrdnungWasser gereinigt zweite Ordnungzum ?? die allgemeine Lösung geht das Wetter sofort schon sagen zweite Ordnungbei der allgemeinen Lösung erwarte ich dass irgendwelcheSachen einstellbarsind bei einer speziellenLösung erwarte ich dass er stets sowas übersteht wie Y von X ist gleichich verlasse jetzt mal die Hochsinusvonzwei wird sichsowas erwartet eine spezielle Lösung welches nicht mehr einstellbareiner allgemeinen Lösung erwarte ich das da was einstellbar ist pluswar odermal?? oder sowas das erwarte ich meiner allgemeinen Lösung es ist was einstellbaroder irgendwas mitX null oder X Strich vonAnfangsgeschwindigkeitenwas ähnlichessind wählbar das erwartet eine allgemeine Lösung ist irgendwas wählbar einstellbardass das bei der speziellen Lösungallgemeiner Syphilis ist genügend viel aucheinstellbarund zweite Ordnung sagt Ihnenwie viel einstellbarsein musswas ist da der Unterschied zwischen erste Ordnung und zweite Ordnungso ?? sie erwarten das zwei Sachen einstellbar sind wie der PhysikAnfangspositionund Anfangsgeschwindigkeitmit der Physik mit Kräften arbeiten Minutenvon zahlreichen zweite Ordnungdie zweite Ableitung des Orts nach der Zeit ist Planzwei Sachen wie einstellbar sind typischerweise AnfangspositionAnfangsgeschwindigkeitbei erst ?? würden sie ?? erwarten das eigentlich nur einstellen weißdas sagt mir also schon was über die Form der allgemeinen Lösungbräuchte eine allgemeine Lösung mit zwei stellte dann sozusagendie unabhängig voneinander arbeitenzweite Ordnungjetzt sieht man obendreinsie ist linearChipsatz Beistrich?? BeistrichYnicht ?? ?? Beistrich ins Quadratoder durch Ydas linkes Linealsie ist inhomogenweil sie den Jahres kann ich mir zu überlegen ist sie homogen oder heterogensonst wird es nicht viel Sinn ergebenPunkt weil sie den Jahres überlege ich mir okay Hass ist inhomogen hier stehtetwas inhomogen istauf der rechten Seite die sich das gehört genau an der Stelle stets nett auf der rechten Seite unfreundlich zu sein wenn ihr stünde Sinus von fünf X mal Ydann wäre das eine homogenelineareDifferenzialgleichungenoder Y Strich wäre auch ?? homogen aber nein es steht der unliebsame sie haben einen Term oder die gesuchte Funktion ?? ihre Ableitungdas Dingist eine inhomogenelineare Differenzialgleichungenund sehr KonstantkoeffizientenQF schreibe ich immerhin weil ich faul bin einmal Simpsons Beistrich minus fünfseiner Koeffizient plus sechs Prozent der Koeffizienten steht nichtSinus FelixBeistricheine konstante Zahldas also relativ einfach in der Physik hat man gerne wenn's um Kräfte geht solche Differenzialgleichungenzumindest näherungsweiseDifferenzialgleichungenim JahrKonstantkoeffizientbezeichnet Vektorennicht so mit einfachen Zahlen hier aber im Prinzipsieht man gerne solche Versagerleichenin der Physikwas jetzt alle angefangen habenfast alle angefangen haben?? doch andersrum anfangenwas jetzt fast alle angefangen haben ist das sie gesagt ?? okay besuchen eine spezielle Lösungirgend ein Y das das kannich das allgemeine Y sondern eines dass das kannman kann damit anfangen man kann auch andersrum anfangenKomma damit ?? sucheeinespezielle Lösung diese ich hab es jetzt ausdrücklich hinwenn sie einfach als Anfang zu rechnen ist nicht so ganz klar was du denn jetzt eigentlichbeschreibeeine spezielle Lösungbei Zeus jetzt aber auch der ?? zu schreiben noch eine spezielle Lösung der inhomogenenForm versuchen bei noch was anderesinhomogene Form das ist die ursprüngliche Differenzialgleichungenist inhomogendamit starte ich hier auch angefangenund überlegt sich ein Ansatz das habe ich es auch bei Ihnen allen gesehenich wird sogar dazu schreiben lernt was ist mein Ansatzaus diesem Gemisch hier von FunktionenAbleitung mit konstanten Koeffizienten sollten Sinus herauskommendann wird das ja wohl offensichtlicheine Mischung sein müssen aus Sinus von fünf Xplus Kosinus von fünf X Transfers komischmarkant Pech habenden Vergleich wenn ich dran denke aber in neunundneunzig Komma neun neun Prozent der Fälleaus ??bis Y wird wohl eine Mischung aus Sinus und Kosinus seinkann zu solchenTreffens immer weiterdas fertigirgend ein Ywas diese Differenzialgleichungenan speziellen??ausbuchstabierendamit es empfindlich zu schreiben ich würde versuchen daseffizient hinzu schreiben sich vielleicht Sinus fünf X einfach Essen schreibeund für Kosinus fünfzig C schreibewird es etwas übersichtlicherich setze diesen Ansatz einzweite Ableitungvon dieser Funktionwenn sie den Sinus zweimal ableiten ??an den Sinus leiten einmal ab in den Kosinusklein D noch ?? haben sie den minus Sinusoder handliche fünfzigsteKettenregelzweimal ableitenmachte fünfundzwanzigals der Forscher zweimal abgeleitetwar mal minus sieben mal fünfundzwanzigMichelin minus fünfundzwanzigSodervergessen ?? fünfundzwanzig kam alles soin Sinneswandel arbeiten macht minus Sinusvenendurch die Kettenregel Punktfünfund noch mal fünfhundert fünfundzwanzigals Faktordas A habe ich noch vorden ersten zwei ?? abgeleitetezweiten zwei ?? Seiten der Kosinus wird zu minus Kosinus natürlich auch wieder fünfundzwanzigvon der Kettenregel und immer noch und wiees die zweite Ableitung jetzt kommt minus fünf mal die erste Ableitungden Sinus einmal ableiten macht den Kosinusfünf ?? von der Kettenregel dazu also fünf war mal den Kosinusden Kosinus ableiten macht minus Sinuswie fünf von der Kettenregelfünf Des abzusehendas war die einfache Ableitung des noch sechs mal was genau da habe also sechs warmal den Sinusund sechs B mal den Kosinussechs Bsechs B mal den Kosinusund all das zusammensoll?? soll soll sollder Sinus sein einmal pessimistischKomma so essie nämlich etwas freundlicher sind die großen Sinus immer die ganze Zeit ausbuchstabierenihmjetzt die ?? vorsichtig zusammen wie viel sie ?? Kosinus habe ich soundsoviel Sinus plus soundsoviel Kosinusist gleichnullbringe den Einsiedlers auchEffizienz habe ich minus fünfundzwanzigAden?? minus fünf mal minus fünf mal Bplus fünfundzwanzigmal Bstehendann habe ich hier nochsechs wardas alles versichern Sinus hatte alleinden ein auf der rechten Seite über das was die minus eins denKosinusjährlich minus fünfundzwanzig Bhier habe ich minus fünfundzwanzig KBindestrich fünf hundert fünfundzwanzigwarFrontier habe ich noch sechsBPunkt LIdaraus lese ich jetzt ab??beide Klammern müssen wohl seinwenn sie haben das der Sinus mal eine Konstantegroß der Kosinus mal eine Konstante die ganze Zeit nurfür alle X steht er eigentlich was Ingenieur diese richtig hinschreibenein Gemisch aus Sinus und Kosinus soll die ganze Zeit nur sein soundsoviel mal den Sinus plus soundsoviel mal den Kosinusjetzt gerade nichtdas klappt nur wenn sowohl der Sinus auch der Kosinus für sich wegfallen können mit den flüssigen Kosinus aufhebenbeide müssen wegfallenalso weiß sich daszwanzig AHA plusfünfundzwanzigB jetzt zusammenfassen soll zu spät plus sechs A minus eins gleich Null istund für den Kosinus weiß ich dann ähm fünfundzwanzig?? minus fünfundzwanzig Bminus fünfundzwanzig??sechs B ist gleich null ein lineares Gleichungssystemabsurderweisewirdaus der Differenzialgleichungenan der Gleichungssystemwird es wohl zusammen ?? Song zu spät Maus jetztwieder fünfundzwanzigplus sechs Sehens minusneunzehnwarLotusfünfundzwanzigB die einzelnen ?? war damit zu wie üblich aussieht ?? Airlines Systemund hier unten sich die PS zusammenfassenalso minus fünfundzwanzigAminus hundert zwanzig B plussechs B das sind minus neunzehnBist gleich nullführt jetzt einfach verdient fauler Mensch bin das mit Kramer hinschreibenmüsse sofort sagenwenn Vorsicht wenn die offiziellen Determinante nicht null istaber das sieht nicht danach aus als ob sie nur lässtwenn die Koeffizienten Determinante nicht nur das ganze ?? mit Kramer rechnen die Koeffizienten Determinante minus neunzehn mal minus neunzehn also neunzehn ins Quadratminusminus vierundzwanzigmal fünfundzwanzigalso Fluss fünfundzwanzigins Quadratdas ist die Kurve Sendetermin hat und sie ist nicht null gehabtKomma gerade danebenungleich nullsonst wär'sschwierigerdas war Determinante der Koeffizienten Matrixund jetzt kommtdieMatrixdie Determinante hoben für H das heißt ich ersetzedie erste Spalte durch eins nullwas die zweite stehen fünfundzwanzigneunzehnPunktda steht also einer minus neunzehn minus fünfundzwanzigminus neunzehndurch neunzehn Quadrat plus fünfundzwanzigins Quadratklein B stehtderselbe Nenner und oben ist die zweite Spalte durch eins null ersetzt und die erste bleibt stehen minus neunzehn minus fünfundzwanzigDas heißtbei B stetsminus neunzehn mal null minusminus fünfundzwanzigmal eins also fünfundzwanzigdurch neunzehn Quadrat fünfundzwanzig ins Quadratdie beiden Zahlen sollten sein bisschen ekligrichtet Beistrich sie auszurechnenganze ausrechnendamit habe ich A und B und offensichtlichkönnte das jetzt einsetzen aber offensichtlich ist damitmeine Differenzialgleichungenhabe sie offensichtlich samt meine Differenzialgleichungendann gelöstPunkt ich hab jetztnirgends sowasverloren und könnte hier die ganzen Folge Fall auch rückwärts verfolgentraue ich michich trau mich tatsächlich das auch so zu schreiben das alles tatsächlichÄquivalenzfreudeweilhierder Nenner ungleich null ist dasdas dreißig für den zweiteund damit habe ich mein Differentialgleichunggelösteine spezielle Lösung??ich fasse das mal klarmachen einespezielle nicht es gibt nicht die spezielle Lösung ist eine spezielle Lösungeine spezielle Lösung der inhomogenen Formist also folgende Y von X ist gleichdieses barbezahlen minus neunzehn durch neunzehn Quadrat plus fünfundzwanzigins Quadrat mal den Sinusvon fünf XPlusdieses B fünfundzwanzigdurch neunzehn Quadrat Anführungsstriche zuvertrat mal den Kosinusvon Xmein Ansatz war mit A und Bansatzweise mit A und B ich habe A und B bestimmtund rückwärts verfolgen offensichtlich muss das wohl eine Lösung seinwenn das Einsetzenfügen sich die Sinus sammelte genau einen Sinus haben und die Kosinus fügen sich so zusammen das der Kosinus rausfliegtPunktdas wäre Teil einsvon diesem Lösungsverfahrendas wir jetztein TeilKomma mit dem Teil anfängt oder mit dem anderen Teil egal man könnte mit diesem Teil Anfang die meisten von ihnen wird damit angefangen ?? ich suche eine spezielle Lösung der inhomogenen Formdas Hammer jetztdas nächste ist ich suche die allgemeineLösung der homogenen Form ich ersetze die Inhomogenitätennetterweise recht die Inhomogenitätensind durch ?? und suche davon die allgemeine Lösung zu ?? Beistrich mit Unterstrichsechs Yin Chipsatz Beistrichfünf Beistrich plus sechs Yist gleich nullsuchedie allgemeine ?? habe ich jetzt die allgemeine nicht eine allgemeine das wirklich komisch suche hier allgemein eine spezielle aber die allgemeine LösungderhomogenenForm der DifferenzialgleichungenDifferenzialgleichungenund das ist nicht mehr meine ursprünglich DifferenzialgleichungenInhomogenitätendurch null ersetztdas neige schonden richtigen Ansatzwegen der konstanten Koeffizientenversuche ich eine Exponentialfunktioneinzusetzendas es mein Gedankewenn Y eine Kommentarfunktionist es ?? Beistrich ein Ex Mensafunktion?? Beistrich ein Exponentialfunktionnaja und dann bin ich jetzt aber hoffentlichdas so zusammenbastelnkönnen dass der Zufluss null meine Spezialfunktionstehtdas ist der GedankeKoeffizientenin jahrelangen zeitgleichen mit Wasser profitiertenhomogenversuche icheine Spezialfunktioneinzusetzen Y von X ist gleiches reicht tatsächlich hier ohne eineKonstante davor zu arbeitensage ihm Hochlander Matrix typischerweiseeine kleines B geschrieben oder so die Hochland der Matrix wäre der klassische Ansatzum herauszufindenwie man da vielleichtmit Express auf unseren angehen kanndas Setzen Sie eindass bei vielen jetzt gerade eben schon gesehen?? fürs Komma selber vor zweimal ableiten das heißt das Lander kommteinmal nach unten und noch mal nach untensteht einander QuadratEhebruch langsamer Xminus fünf mal einmal abgeleitet als langsamerKomma liegst du sechsmal die Funktion?? Xnullvier ?? der Matrix wird niemals nulldas heißtdadurch teilensound lerne also das es auch hier Macverletzung vom Klang der Quadratminus fünf Mallander plus sechs ist gleich nulldas ist schon irgendwie witzig ebenhierhabe ich ?? lineares Gleichungssystemplötzlich bekommenund hier bekomme ich die quadratische Gleichungalso allesSachen aus der SchuleSachen die man dann locker lösen sich jedoch die PQ Formelnumber ist gleichminus die Hälfte vom PP ist minus fünf minus selbst davon ist fünf halbeplusminus jetzt das Quadrierenmacht fünfundzwanzigViertel den Erfolg verzierenminusQ abziehen ?? sechshundert zwanzig Viertel minus sechste sechstensähmvier zwanzig viertezwanzig Firmen-und vierundvierzig wird also ein Viertel habe ich dahintendass es fünf ?? plus minus die Wurzel aus ein viertelbis ein halbdas heißt einander ist ?? fünf habe plus ein halb ?? sagen drei oder mein Lander ist gleich fünf habe minus eine sagen zwei??hätte man diese vorziehen und fünf bis zwei plus zwei sechs ist drei mal zweiich weiß ?? was das Lander sein muss??also Beistrich was die allgemeineLösungbeschreibt ?? LSGder homogenenForm istdas ?? glaube ich noch nicht so ganz klarwas ist die allgemeine Lösung der homogenen Formso sehnen sich ?? das Rezept ist aber nicht mehr genau warum das funktioniertdas Rezept warähm irgend ein festes Vielfacheskonstantes Vielfaches von I Hochland Xmit dem einanderund einkonstantes Vielfachesmit dem andern Landerund haben dann tatsächlich allgemeine Lösungich schon mit C einsC einsMalibudrei X plus C zweimal ihren Hof zwei X alleswas sie so bilden können ist eine allgemeine Lösung jede allgemeine Lösungder homogenen Form nur darauslässt sich so wildendreizehn Marienhof drei X plusein vierzig maligem zwei X oder nur siebenmal ihre Streiksund nichts dahintenall das würde fusioniertKomma warum das gehtwenn sie in diese Gleichung ?? noch zwei X einsetzenPunkt null aus gerade festgestelltwenn sie diese Gleichung jedoch drei X einsetzen und auch nur rauswenn sich jetzt beliebig mischen wenn sie sagen ich nehme dreizehn Marienhof drei X plus zweiundvierzigMalibuDreiecksfür das Ykönnte sie auseinandernehmenkriegen sie dreizehn mal null Plus von vierzig mal null raus auf der rechten Seite also weil da gleich Null steht kann ich einfach Lösungen addieren wenn ich eine Lösungsfunktiondafür habeganz auf eine andere Lösung zum drauf Ergebnis kommt die Summe der Lösungen raus toll ?? Plus null und wenn ich multipliziere dreizehn mal eine Lösungund das dreizehnfache von null raus das ist der Gedankesie für das Y eine Summe einsetzen könnte sie komplett auseinandernehmenund sie kriegen null plus null also wieder nur als Lösungweildas ein Lineal Differenzialgleichungenist die homogen ist muss das funktionieren?? ich darf Lösungen so überlagernPunkt jetzt habe ich die Lösung insgesamtPunkt ich habe einmal eine Lösungallgemeinfür die homogene Form ich habe einmal eine spezielleLösungfür die inhomogene Formund nichts billigeres als bei zu addierengibt die allgemeine Lösung die ich besucht habe also allgemeineLösungursprünglich Differenzialgleichungenwill sagen inhomogenenFormdas so der ursprünglichenBGLwas aber nicht anders ist als inhomogene FormY von X ist gleichdie Summewird wieder das Rezept zugesagt ?? Komma warum das geht mit dem Rezept also dieallgemeine Lösung der homogenen FormSchluss also Sonnen minus neunzehn durch neunzehn Quadratfuß fünfundzwanzigQuadratSinus von fünfXplus fünfundzwanzigdurch neunzehn QuadratfußfünfundzwanzigQuadratmeter dem KosinusvonXauch Eierdass wir die allgemeine Lösung sein ursprünglich Differenzialgleichungensollte man sagen warumwenn sie die ursprünglich Differenzialgleichungenhaben Y Beistrichminus fünfY Strichpunkt sechs Yist gleich der Sinus von fünf Xund jetzt setzen Siediesen Monster Ausdruck für Y ein nach Y einer Y dafür schon bilden Ableitungendoppelter Ableitungwarum kommt das hin ?? denn wirklich den Sinus von fünf X ausgenau weil das Lineal ?? endlich das auseinanderziehenich gucke mir die linke Seite an ?? fürdas sie mit den Exponentialfunktionnull rauswenn ich das sie mitelektronischer Funktion einsetzenund eigentlich mehr ein was passiert wenn ich diesen Teil einsetzedann kriege ich den Sinus rauswenn ich die Summe Einsätze aus dem Blauen und den Grünen in die linke Seite kriecht die Summe aus Sinus Plus nur genau das was ich habendie sagen leider sowieso nur ist daraus der lächerliche Sinn der Lösung brauchen sie's es schlicht hinweg ?? sie können das hier zur Lösung addierenund im Ergebnis fliegt es weges ist aber in der Lösung trennendenken Sie an die Physik wo sie die Anfangsgeschwindigkeitdie Anfangspositiontypischerweise frei wählen könnendiese freie Wählbarkeit wollt ihr nicht verlierenwenn sie dem Blauen Teil weglassen würdenPunkt hätten sie nicht alle Lösungensie kriegen eben auch eine Lösung in dem sicher dieses obige Zeug mit den Sinus und Kosinus nehmen und dann noch dreizehn mal ihre Streiks dazu addiertes definitiv andere Lösunghier kommtrausaber das ist ja jetzt nicht fertig mit der Lösung zu tun hatder Blauteil gemacht im Ergebnis bei der Differenzialgleichungenkeinen Unterschiedmacht aber bei der Lösungspensionschon unterschied ob jetzt ihre Streiks dabei haben oder nicht diese schon durchauseinen Unterschieddenken Sie vielleicht eine lineare Gleichungssystemeimmer so eins haben einfach nur eine lineare GleichungX Pluszeichen Y ist gleich sechs warsie eine Lösung X Y ist gleichwas machen ??ähmX ist gleichdrei und Y ist gleich eins das wäre eine LösungKommadann wollt doch auchnoch andere Lösung haben sie wollen mich nur diese eine Lösung angeben ist der unendlich viele Lösungen sie könnenX auchpromich reingerittenwas ist wenn ich X gleich sechs Wähler und Absolventendes Einsatzes hinnie ist gleich neuem Wähler so X gleich neun und im Vergleich minus eins wäre auch Lösung heute nicht nur eine angebenich möchte wissen was in alle Lösungenwenn sie selber sagen sie lassen zu Blauen Teil hier weg Punkt nicht alle Lösungen angegebenim Endeffekt ist das sowas wiesie mit dem Kern hattenwenn sie das blaue einsetzenkriegen sie null raus dieses so blaue Auszug beschreibt so eine Art Kerndebattein den Jahren Gleichungssystemhat sich aus der Matrix mal Vektor kommt der Nullvektor rausund ich habe alle gesuchtfür dieKern der Matrix und der Kern der Matrix etwas darüber gesagtwie eindeutig das gleiche System lösbar istdas es jetzt hier sowaswie der homogenen?? die homogene Form der Lineal Differenzialgleichungenetwas mit dem Kern bei den Jahren Gleichungssystemzu tun dass es so was ähnlicheswenn ich da was einsetze kommt null rausund dieser blaue Teilder zu null gemacht wird dersagt etwas über dieEindeutigkeitoder Nichteindeutigkeitbei Differenzialgleichungenmüssen siedie allgemeine Lösung muss immer diese zwei Konstanten drin haben zweite Ordnung sonst kann es sich Punktes muss uneindeutigsein dem Sinnewie die Analogie meines schreibendie Analogie zwischen den Jahren GleichungssystemLDSund Differenzialgleichungenin den Jahren Gleichungssystemwenn sie sowas haben wir X plus Y ist gleich zweiund Xwas mache ichminus drei Y ist gleich eins schon ganz fürchterlich werden mit den Lösungenzu einem Jahres Gleichungssystemund eine DifferenzialgleichungenVerkehr nur erste Ordnung verglichen Vollmensch bin Y Strichist gleichSinus von Xder Kernder Koeffizientenmatrixfür den ich mir ein X plus Y ist gleich nullX minus drei Yist gleichnicht ein sondern nullbei der Differenzialgleichungender linearenDifferenzialgleichungenguck ich mir an was ist die homogene Formwaswäre die homogene FormeinerWette jetzt bisschen banalzu Fanatikergibt Beistrich gleich nullbei den Jahren Gleichungssystemwissen Sie wenn Sie eine Lösung habenfür das ursprüngliche Gleichungssystemdann können Sie jedes beliebige Element des Kerns dazu addierenbei der kommt raus zwei plus nulleins plus nullselbe ErgebnisLineal Differenzialgleichungenwenn Sie eine Lösung haben für die Originalein homogeneLineal Differenzialgleichungenkönnen Siejede Funktion addieren die das ja für jede Funktion addierendie die homogene Form löst zwei als Lösung sie raus Sinus von X plus null?? ich jetzt hier ziemlich banal homogene Form was wir die allgemeine Lösung hier für die homogene Formeiner zwei jetzt irgend eine Konstantein die Ableitung einer Funktion gleich null sein muss dann ist die Funktionirgend eine Konstante das selbst hier die allgemeine Lösungwill sagenwenn sich hier für diese Lineal Differenzialgleichungenirgend eine Lösung haben können Sie eine Konstante addierennoch eine Lösung kleine Konstante fällt weg beim ableiten insofern war das wahrscheinlich bisschen geschickter sich in die erste Ableitung genommen habe ichnimmer die zweite Ableitungdann ist die homogene Formdie zweite Ableitung gleich null istjetzt wird's spannenderwas ist jetzt die allgemeineLösungderhomogenenFormsollte man X plus eine Konstante hier habe ich alsoeinmal X plus B sozusagen ehemalig C genommen ?? C einsMatrix plusC zweibis hinten komisch das Schweizer Funktionen sicherlich in ein Sonderfall erwischt zu haben ?? normalerweise müsste sechs Polizeifunktionsei nicht dieses Jahr eine linearehomogene Differenzialgleichungenkonstanten Koeffizientennormalerweise mit weiser Funktion aber hier sehen sie ?? anscheinend nichtdas warme ableitenist das X weg und die Konzernergebniserst rechtdas heißt wenn Sie eine Lösung haben zu diese ursprünglichen Differenzialgleichungenkönnen Siedas dazuwas man Xplus irgendwasdazu addieren haben wieder eine Lösungund das ist natürlich wichtig dass ich das dazu addieren kann das interessiert mich an vielen Stellen denken Sie an die PhysikAnfangspositionAnfangsgeschwindigkeitberücksichtigen könnte AnfangspositionPersönlichkeiteneinstellenes kommt aus der homogenen von zwei null rausaber ich will trotzdem alle Lösungen mitnehmenjemand Kern natürlich genauso ?? das ganze gern auszurechnensie kriegen beim Kern eben rausder Kernist eine Menge vonirgendwelchen Vektoren und sie können jeden Vektor aus dem Kern zu einer Lösung vom gleichen System addieren haben wieder eine Lösungdass die Analogieeigentlich wollte ich michhiermit wissen um die Sonderfälle kümmernich schreib fast dieselbe Differenzialgleichungeneiner kleinen Änderung schreibt was anderes auf dierechte Seiteist das Beistrich minus fünf Beistrich plus sechs Ystehensuche die allgemeineLösungvon Y zwei Beistrich minus fünf Y Strichpunkt sechs Y aber jetzt gleich die hoch zweiXkriegen sie dassowasnach Schema F machen wie eben suche ich jetzt eine spezielle Lösung?? persönlichen Sucheeinespezielle Lösung der inhomogenenFormals der ursprünglichen Differenzialgleichungengehendazu bräuchte ich einen Ansatzich gucke mir das scharf anund frage mich okay was könntest dufür Y Sinus einzusetzenneben Gemisch aus Sinus und Kosinus ?? für Yeine Potenz einzusetzenerkennen irgendein Polynom Ausgangs auch nicht seinfür eine Spezialfunktiondas sieht gut aus Y sechsten in seiner Funktion vielleicht dazu Beistrichwie sehr der Kommentarfunktionmit einem Faktorübersetzt Beistrich ist sehr ?? und davon zu mit irgendeinem Faktoralso weiter folgendes versuchen ich werde versuchenirgendwasmal die hoch zwei X einzusetzenwelche das ableiten konnte zwei nach vorne jedoch zwecks stehenJan CO zwei Xmit zwei Server nach vorn gekommendesto sich nur dafür sorgen dieses Art soeingestelltist das der Zufluss einmaligemZweig rauskommtwäre der Gedankeschon jetzt fast immeraber leider nicht in diesem Fall den Vergleich also normalerweisewenn ich diese Differenzialgleichungensehe für dich das ansetzenklappt leider nicht immer essein ein Spezialfall in dem es nicht Punkt sind aber normalerweisemüsste das funktionierensoll sowie Mario Zweig für das werden?? Zweig zur Gemeinde zwei X Michelkonstanterichtig einstellenmuss ich sinken das einmalige ?? zweigt in der Summe rauskommtüber das Ausmaß der Insider fest in diesem Fallwie ich es gerade so konstruiert ?? zweimal ableiten die Zweig ?? zwei meinervier Armezwei Xminus fünf mal einer ableiten also minuszehn mal Amadeuszwei Xund sechsmal die Originalfunktionsechsmal armer Leo zwei Xsoll sein I hoch zwei Xwas passiert nunso sie sehen auf der linken Seite hebt sich alles wegDingswitz null vier damaliger Zweigs minus zehn Ahmadi Umweltbus sechsmal einmal CO zweidas wird nur ?? werdenvier plus sechs sind die zehn jetzt mit der Zehnteversteht null ?? ist gleich I hoch zwei X das ist nicht gutdas wird nicht funktionierenwenn es hier links nicht nur bestanden hätte sonderndie mal Amadeus Zweig hätte treffen können aber verständlicherweisenull und ich kann es nicht lassen Spezialfallwird wenn Sie eine einzige Aufgabe lösen nicht passieren aber kann passieren wenn wir zum Beispiel Werte haben sie von der Zeit abhängenund irgendwann?? zackhat das null Durchgang was ich da ausrechnen und dann stehen bei derdas Wasser muss sich über solche Spezialfälle Gedankenstrich?? gibt es ein schlichtes Rezept an der Stelle reicht eigentlich auch das Rezept Komma das es funktioniertwenn sie Spezialfalllandendann ändern sie ihren Ansatz so das sie sagen wir eben noch eine weitere Funktion dazuX maleozwei Xsie nehmen die unabhängigeVariablemal die Funktion ist eigentlich ?? sein sollenund probiert damit noch malwissen oder nicht klar an wie dem sie X Quadrat mal wird also ein neuer Ansatz?? das einmal gesehen hat weiß man dannnach dem analytischen Jahres muss funktionierenkann sich das merken wiralso der Trickkiste schreiben dazu ein Vielfachesvonder Lösung die sie schon haben mal die unabhängige Variable Xalso irgendwas mal X Mark I hoch zwei Xdas heißt es nur Versicherungendie Ableitungdiesen bisschen eklig aus welchen haben sie gemerkt ?? Produktregelhier vorne kriege ich zweiI hoch zwei X plus jetzt die Produktregelein Produkt ableitenF mal die ein Produkt ableitenist Beistrich mal G plusF Magie Beistrichden ersten ableiten einen zweiten plus diverse stehen lassen einen zweiten abgeleitet dashierhinwie mal X ableiten ist einszweiplus Ziffer der zweite Teil B mal X und hinten ableiten zweimalihren Zweigs zweimal die hoch zwei Xdas erste Ableitungund die zweite Ableitunghier vorne Komma zwei nach vorne vier ?? zwei X das auch Schlusshier jetztzwei nach vorne zwei B E hoch zwei Xplusje wieder Produktregeleinmal das X ableiten das macht zwei Bzwei Xund einmal SIO zwei X ableiten ?? zwei kommt nach vorne mittig bei vier B Xzwei Xeinen Mann Differenzialgleichungenwie wardas ?? Beistrich Minze Beistrich plus sechs Y gleich I hoch zwei X sehendiesesDing hiervier A I hoch zwei X plus zwei BE hoch zwei X plus zweiBSchrägstrich zusammenfassen können sehr klug von mirdie beiden etwas zusammen das sind vier B E hoch zwei X klein Fplus vier B X mal die hoch zwei Xdas war doppelt Ableitung minus fünf mal die erste Ableitungminus fünf mal die erste Ableitungzwei Azwei X plus B mal die hoch zwei Xplus zwei B X E hoch zwei Xplus was war sechsmaldie ursprüngliche Funktiondie gesuchte Funktion soll sagen sechsmalarmer Leo zwei X plus ThemaX mal CO zwei Xall das soll jetzt zusammen seinwieder vergessen ihren Zweigsfür alle X??was war sie nungenau das diehoch zwei X kann daraus befand ?? eigentlich habe totalüberflüssig Beistrich wir wissen doch schon das das hier zu null wirddas Sinus ja gar nicht ?? werden das sofort Weg streichen können sofort mit X Mario Zweigs arbeiten können eigentlich hätte man den ersten Teil sofort vergessen können wir dendemdas Wasser schon das es weg fällthier gar?? guckenvier ?? minus zehn Aplus sechs A das wussten schon dass das wegfälltder Rest hat in hoch zwei X und X mal die hoch zwei X das könnte man es wieder auseinandernehmenwie viel an die hoch zwei X mal irgendwas gibt esX mal die hoch zwei X gibt esdie hoch zwei X hier habe ich hier wemdas steht mit X also vier B hier untenminus sehenAusrufezeichenminus fünf mal wem man jedoch zwei Xfünfmal Bwirklich das X minus zehn mal binund hier krieg noch sechsmaläh mit dem Gangster unten plus sechsmal Bjetzt habe ich allesund da so rauskommenwie Hochzweigswas habe ich damit gelerntso also dass er die aller streichen können vier minus zehn E-Plus sechs B ist null Beistrich einer streichenund jetzt sehen sie Ahavier minus fünf B muss eins seinund dann?? das ??nur so kann es hinhauen vier Baby ?? fünf ?? muss eins ?? Video zwei X plus nullist gleich CO zwei Xals ?? gelerntRemus gleich minus eins sein minus vier plus fünf ?? haute sie damit habe ich jetzteine spezielle Lösung Punktich nehmeminusX mal in hoch zwei Xalsospezielle Lösungfür inhomogene Formmineralieneileich nehme Y für X ist gleichYist gleich minusX mal die hochzwei X Bild gleich minus einsnur dieser Teil scheint es wichtig zu seinsuche ich in diesem Spezialfalleine spezielle Lösung für die inhomogene Formgeht das weiterdie allgemeine Lösung für die homogene Form wie ebendas ja nicht sein geändertallgemeine Lösungfürhomogenewie eben ich schreib jetzt gerade wieder Chefarzt wurde Punktsiehe obenwenn Sie diese Gleichung hier diese Differenzialgleichungenhomogen machenwieder dieselbeGleichung über sie eben hatten und dann will ich daraus die Summedie allgemeineLösungdergewöhnlichenDifferenzialgleichungenbesagen inhomogene Formist dieSumme aus Designselbst schreibtbekanntes ?? Spezialfallan also es kann passierendas die Exponentialfunktionnicht funktioniertRose fusionieren solltedasselbe kann Ihnen bei Sinus und Kosinus Punkt passierendas kunstnichtfunktionierenwurde fusionieren solltengibt noch ein zweiter Spezialfallmuss jetzt ein ich ändere die linke Seite mal etwasdas rechts in Sinus fünf X stehenin deinem Sinus fünf Xund links schreibe ich mal ?? andere Zahlen hin nämlichdie zweite Ableitungebenals aber minus sechs mal dieerste Ableitungplus neun mal die Funktiondas sollfünf X sein davon suche ich die allgemeineLösungsich dieVase wieder dieselben Schritte machen wie ebenich suche erst malund als zweitesKomma immer setzt als erstes sucheeinespezielleLösungder inhomogenenFormder Gleichung wie sie da stehtdann wäre mein Ansatzebenalso Y von X ist gleicheine Überlagerungaus Sinusvon fünf XPunktKlammer zu viel und Kosinus von fünf Xtechnische Zwecke durch dieser Teil ist der wenig spannende das ist noch nicht der Spezialfall??leichte übungshalberaus was immer gerade in den Sinus endlich wieder mal es und den Kurses wieder mal C aus Faulheitsgründenbietet sich ein die doppelte Ableitung von Y das heißt ich kriege minus fünfundzwanzigminus fünfundzwanzigAminus fünfundzwanzigAhmadi in Sinus und hier zweimal ableiten lässt minus fünfundzwanzigBE mal in Kosinusminus sechs mal jetzt die erste Ableitungden Sinus einmal ableiten ist der großes T fünf kommt nach vorne fünf ?? Kosinusgroßes A klein S minus Sinusdie fünf nach vorne ?? minus fünf B Sinusplus neun malwas ihr steht also neunmalAhmadi in Sinus plus B mal den Kosinussoll sein einmal den Sinusfür alle Xtierisch zusammennunalle Sinus müssen sich zu eins zusammenfügenalso minus fünfundzwanzigAPunkt oder nochplus dreißig Bwieder mit dem Sinus plus neun Aalles das steht links mit dem Sinusmuss eins werden weil ich Frau rechts genau einen Sinusunterstreichen soll und alles was mit den Kosinus stetszusammen und ergeben minus fünfundzwanzigmal denKosinus hiermal B bei den Kosinushier plus dreißigmal armer den Kosinuswohnt hier neunmalB mal den Kosinushier muss minus stehenminus sechs mal fünf minus dreißig Adas fassen wir zusammenoben habe ich jetzt minussechzehnAmindestens zwanzig plus neun minus sechzehn A plus dreißig Bist gleich eins unten habe ich minus vierundzwanzig B plus neun B sieben hundert sechzehnBminus dreißig Arch hätte die dreißig ?? nach links schreiben soll das war sehr klug von mir minus dreißig A so nach linksin Lösung zwanzig B plus neun B sind minussechzehnB gleich nulljetzt etliche schöne Koeffizientenmatrixweiter und sortiert habe A Bdas geht wieder mit Kramerweil die Determinante ungleich null ist wenn die Determinante gleich null ist müssen sich was überlegen mit X oder sowiesoam Spezialfallhaben wir aber nichtX hat sehr gut A ist alsooffiziell Determinanteminus sechzehn ?? sechzehn sind sechzehn ins Quadratminusminus dreißig mal dreißig also plus dreißig ?? Quadrat und oben stehteins null dreißig sechzehn schreibe ich gar nicht mehr hin eins null dreißig sechzehneinmalminus sechzehnminus nur mal irgendwas als ?? sechzehnund B ist gleich selbe NennerKB habe ich minus sechzehnminus dreißig ?? in zwei Spalte einsnull aus der Determinante wird also minus sechzehn mal null ?? beträgtminusminus dreißig mal eins steht dreißigdamit ?? spezielle Lösungalsohabe ich einespezielleLösungfür die ursprünglichenämlich die inhomogene Form?? Y von X ist gleichA also minus sechzehn durch sechzehn QuadratfußUppsaladreißigQuadrat mal den Sinus von fünf Xplus dreißigdurch und so weiter mal den Kosinussatzwird eine spezielle Lösungdas er der erste Teil dem Saldo nichts schlimmes passiertjetzt kommt teilweise was Schlimmes passiertich suche die allgemeine Lösung der homogenen Formgesetzeden Sinus hier die Homogenität durch null versucht die allgemeine Lösung davonsuchedie allgemeineeine spezielle aber die allgemeineLösungderhomogenenFormbauen wiralsoY zwei Strichminus sechs Y Strichpunktneun Y ist gleichnullhaben siealle schongesehen wie man das machen würde man sieht naja das schreit nach Exponentialfunktionim Jahrhomogen konstante Koeffizientenschreiten Exponentialfunktiondas wäre mein AnsatzY von X ist gleichist gleichIvolangsam mal Xentsteht hier was der Schweizer Funktion ihres mit der Ex Mensa von Sony was mit der Kommentarfunktiondas müsste wohlirgendwie hinzukriegen sein ich sollte jede quadratische Gleichung kriegen und die lösen könnenKomma dass ausihr vorne steht Lander Quadratsmanierandermal X hier steht minus sechs mal langsamer Lehramt einmalig sind hier Stiftung neun mal die andermal X und das soll gefälligst null seinJugendamt ?? Liquid minor Licht teile beide Seiten durch ihr andermal X auch die null ?? durch ihre andermal X bleibt nullund finde das dann da Quadratnicht gleich ist Komma Quadrat minus Sechslanderplus neun ist gleich nullQ Formellanderist gleich von minus sechs die Hälfte alsodreiplus minus Wurzel den von QuartierenneunQ abziehen minus neunund das ist jetzt der Spezialfallliege zwar ein Landernormalerweisein die Welt gerecht wäreer bis zwei verschiedene Lamm dasTicket jetzt nur ein Lamm darf immer nur zwei verschiedene aber wenn unter Wurzeln ?? null stehtzueinandermein Job es jetzt darausdie allgemeine Lösung der homogenenFormhinzu schreibenalsodie allgemeineLösungder homogenenFormteilweise schon erinnertbemerkt sich einfach in diesem Spiel immer nurmal dieunabhängige Variable wenn was schief geht und wenn es immer noch schief geht dann noch mal mal die unabhängige VariableY von Xich kriege einen Anteil gehabt E hoch drei Xein Garten jetzigen schrieben okay zweite Konstante ihrer Streiks aber sind das führt ja nicht weiterdamit haben sie keine neuen Lösungen erzeugtwenn sie schreibenzweiundvierzigMali hoch drei Xplusacht Mal I hoch drei X?? fünfzig malige ?? Dreieckspressenicht Neueswenn Sie noch weitere Streiks habender Witz istX Mali hoch drei X das wird funktionierendies einmal nach können sich die Zeitübung für die Produktregel ist aber nach dass es tatsächlich auch eine Lösung in diesem Fallwenn unsere Wurzel die Null steht wenn es nur ein Lager gibt ist das tatsächlich dann eine weitere Lösungund damit habe ich jetzt tatsächlich zwei verschiedeneLösungen die hier mischeI hoch drei X und X Mali hoch drei Xletztlich tatsächlichzwei Stellhebel ihr zwei Stellrädchen C eins und C zweidie auch verschiedene Sachen einstellen das wird eine allgemeine Lösung seialsofür beide Arten an Spezialfällenist die Lösungman multipliziertmit der unabhängigen Variableninsofern einfach zu merkenund wie gesagtes einmal nach?? funktioniert?? Herbizide und Fällen brauchen X Quadrat X hoch drei und so weiteralles könne ihm passieren dass sie drei gleiche Land was raus kriegen und dann hier X Quadrat einer brauchen mal wie hochsoundsovielaber damit das ?? stattfinden könnte bräuchten sie Differentialgleichungdritter OrdnungYdritte Ableitungminusdrei Mal Y zweiteAbleitungplus dreimal Y erste Ableitungminus Y gleich null?? wird dieses Phänomen habengleichzeitigähnliche drauf gekommen bin überhaupt ?? habe ich die Differenzialgleichungenkonstruiert habe sie so konstruiertsie auf derlinken Seite stehtistdie Ableitungschafft es mal so die Ableitung die nach der Xminus einsin der dritten Potenz angewendet auf meine Fusion Y residiert Beistrich bisschen schräg aus in der Mathematik Komma solche Sachen machen der Ableitungsoperatorhier stets Ableitungsoperatorminus eins in der dritten Potenzangewendet auf Ywenn sie das hier ausmultiplizierenwie sie binomisch ausmultiplizierensteht da die Ableitung dreimal gemachtvorneals nächster kommt die Ableitung zweimal gemachtmal minus eins mal drei das ist ?? und so weiterdaran sieht man dann als Profiin dem Fall Hammer den Spezialfalles wird alles bisschen beides will ich mich antun aberpersönlichen Aufgabe prägten das einmal zu Hausestellt sie fest auf wird die funktionierenauchda braucht man den Trick mit dem X und dann sogar mit dem X Quadratferndiese Geschichte hier mit einsund dem X fällt mir gerade ein die ist eben auch schon mal aufgetauchteinen anderenhier an dieserStellewo finden Sie das da wiedermit dem mit der eins und dem Xhier unteneigentlich müssten doch Exponentialfunktionstehen aber da scheinen keine Kommentarfunktionzu stehen was steht da eigentlich der untenso also werde das nach Schema F lösen werden Sie feststellen ?? stehtC eins Matrix mal wie hoch null mal X und hier steht sie zweimaldie hoch null mal X dass dieser eigentlichder ist nicht von der Zahlfunktion versteckt aber des Landes ist null diese Fenster gar nicht aufdas wir alle schon aus Aufgabeeinen Feiertagnutzen Sie Zeit stellt sie Festlanderwird null sein Versicherter wird sich die Forman konstantem aleo Nullmatrixals einfachKonstante mal einsund dannmuss ich noch ein dazu basteln X mal noch Nullmatrixwas Dante man Xso kommt das ein nicht zu Stande ihr diesessie Differentialgleichungist so ein Spezialfallam?? sollte noch mal eben die Frage aufkam was mit komplexen Zahlen sind das nicht auch Spezialfalleigentlich nicht für Mathematiker und Physiker ist ein Licht das mit komplexen Zahlenkein Spezialfallbekomme zwar komplexe Zahl vielleicht ins Spielalso für mich sind die konvexen Zahlen was ist es eben mit den ?? Decken zahlen die dann herauskommenwenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht gar nicht ein Spezialfall weildas passiert sozusagen der Hälfte der Fällein der Wurzelunter der Wurzel steht irgend eine Zahl wenn die Zahl positivistokay dann kriegen sie die hoch soundsoviel X raus wenn die Zahl Negatives unter der Wurzel danken wir was komplexes und hernach ?? Sinus und Kosinuses ist sozusagen der Hälfte der Fälle positiv in der Hälfte der Fälle negativ dass es nicht beglichen Spezialfalldie kriegen sehr oft komplette Zahlen auseinfach Millionen negative Zahl steht aber das hier unter der Wurzel ?? null steht das ist die Stecknadel im Heuhaufengenau ?? null unsere Wurzel zu haben nur dann haben Sie diese Spezialfallwurden wir nochmals X stehenes mir genau auf der Kante istund hier genau null unter der Wurzel hat das müssteihn aus der Physik noch bekannt sein ?? Pendeldie Physiker haben dafür dann einen speziellen Namen?? Komma gerade auf was in der Physik beim Pendel passieren kann Scan pendelnPunkt aber die schneller werden es kein Pendelnes ist schwierig nicht schneller zu werden versuchen ?? Kästchen zu bleiben sowendet sich allmählich aus das Pendelwurde es kann einfachso nieder sinkenwas es in der Physikdieser Fall wurde der Wurzel genau die null stehtkommt noch super ähmder Fall der Zwischenhalt bei den Physikern Anna periodischer Grenzfall das ist ?? Variante von diesem Spezialfall?? ich hab bei dir zum Beispielder periodischeGrenzfallbeim Pendelwasserkommt dann da tatsächlich vorsich schon einmal den Fall habendass die Sonne speziellen Abfall habenihr sequenziellesWachstumwenn er nicht drei Schritte sondern minus drei stündees nicht spezieller Abfallgenau auf der Kante sind kriegen sie nochZeit malexponentiellAbfall dazudas genau der Kante zwischen diesen beiden Formen der Schwingung oder ?? und nannte mich wirklich Schwingungenund wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht kriegt sie was mit Sinus und Kosinusdas ist das oberedass sie sie dann in der Physik noch da kommt es typischerweise vor also welche Zahl unter der Wurzel steht entscheidetwesentlichwie sich das Pendel verhält ?? nicht das Pendel die sich jeder Schwingungsvorgangverhältist der so stark gedämpft dass es gar nicht anfängt zu schwingendann haben sie eine positive Zahl unter der Wurzelist es sowenig gedämpftdass die Zahl unter der Wurzel negativ istwie hoch jemand irgendwas entgegensieht müssen Kosinus ?? liegen sie genau auf der Kante das ist der periodische Grenzfallsoll das sofort beenden als was haben jetzt?? wir haben eine spezielle Lösung für die inhomogene Formdie allgemeine Lösung der homogenen Formund jetzt kommt nochdie Summe von den beiden Füssen Swiss geht um dieallgemeine Lösung der inhomogenen Form zu finden