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11D.1 Van-der-Pol-Differentialgleichung und harmonischer Oszillator


CC-BY-NC-SA 3.0

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willeinerbesessenenSondervariantedes Ostsenators bringen die von der Polgleichung?? in??PunktBindestrichKlammer zu mal anguckenwie man Differentialgleichungnumerisch gelöstwie man das Erreichen höherer Ordnung auf DifferenzialgleichungenLeerzeichen Systeme erster Ordnung zurück für solche Geschichtenund dem weiß das auch bissig angespanntvon gestern mit dem gedämpften harmonischen Destillat oder konntensievorundan dem was ?? bisschengedämpfter Mannschaftsführerzur Massemalzweite Ableitung der Aussendung ?? sagen Masse malbeschleunigungsloszu einer Reibungskonstanteeher?? Dämpfungskonstantemal die Geschwindigkeitplusgesagt das ist der Ausgangspunktgedämpfter harmonisch ausziehbare gedämpfte harmonische SchwingungGleichungwirdgeradezu Wiederholungwas ist jetzt eigentlich hier die unabhängige Variablein dieser Differenzialgleichungendie unabhängige Variable ist die ZeitXist die abhängigsind von der Zeit abBeistrich noch malhinschreibenalso hier ist die Lösung bei dieser DifferenzialgleichungenLösungeinX von T sozusagenX abhängig von der Zeit die Zeit ist die unabhängige Variable X ist die abhängige Variablemathematisch würde man eher schreiben die Zeit wird abgebildet auf X oder X von TR war das ingenieurmäßigeLösung X von C seinwas wirhauptsächlichjetzt in der Mathematik gemacht haben waren die von Saar gleichen die so aussehen Y Beistrich plus drei Y Strich minusdreißig minus neun Y ist gleichXdabei X die unabhängige VariableY die Abhängigehier unten war die Lösungfür solche Differenzialgleichungenwerde die LösungetwasY von X X als unabhängigeY als abhängige Variablealso Vorsichtpassiert man ihr unten gerne in der reinen Mathematik mit Y und X in der Physik kann sie gerne Sachen von der Zeit abhängenX abhängig von der Zeit das natürlich total verwirrenddass es X einmal so vorkommt aber so vorkommt einmal als abhängige und einmal als unabhängigwar ja bisschen vorsichtig seinPunkt ?? heißen es wird nach der Zeit abgeleitetnach ?? in der Physik und auch in anderen Fächern bei mir dann wieder Güter sowas wie Q Punkteine Wärmemenge pro Zeitzum Beispieloder V Punkt ein Volumen pro Zeithier ist es sozusagennicht nur sozusageneineStrecke pro Zeit einen Geschwindigkeitihr dann zweimal pro Zeitstreckedurch Zeit ins Quadrat hier wird sie beschleunigt werdendie Position ?? nach der Zeit ableitenden Beschleunigungmit den Punkten ist Gemeinde der Zeit ableiten besaßen automatisch das die Zeitdie unabhängige Variable ist die Suche eine Funktion abhängig von der Zeit und hier heißt die Funktion Xbei dem was jetzt größtenteils gemacht hat die Semester als die Funktion größtenteilsYdie unabhängige sechs Vorsichtdas als Vorbemerkungwieder wegvon der Zeitabhängtdann Komma wie das Zustandekommenzwei diese gleich werden sie auch in der Physik dann häufiger sehender gedämpfte harmonische Ossilator ist für sehr viele SchwingungsvorgängederGesang das Idealbilddas Modell noch man ohne Brücke als Wolkenkratzeroder WindturbineZweifelsfall kann man dazu motivieren vielleicht mit hundert tausenden davon zusammengenommenaber diese Gleichung Differentialgleichungist die Urform für alles was stinkt in der Physikdie zu Stande kommtähm mal X zwei Punktähm maldie Beschleunigungwas ist das eigentlichder Physiker Masse mal BeschleunigungKraftja das ist die Kraft besiedeltes auflösen stellen sie fest aber es ist eins die Kraft die Kraft istminus paarmal X minus eher mal X Punktmanschafft so das es meine KraftgleichungMasse mal Beschleunigung ist minus kamen X BassermannPunktwir ?? die rechte Seite hier vorzustellenwas heißt das auf der rechten Seite steht eigentlich anschaulichhierauf der linken Seite steht die GesamtkraftMasse mal Beschleunigunghier habe ich einen Anteil der Kraft ist proportional zur Auslenkungdie Größe X wird je weiter ich auslebedesto stärkerwird dieser Anteil hiermit einer Konstante K wirdpositiv sein positives an dir die Federkonstantegroß und minus heißtErhard wieder eine Kraft entgegen der Auslenkungwennmeine Auslenkungnach oben gehtin X nach oben geht die Kraftin die Gegenrichtungwieder zurück wenn meine Auslenkungnach unten geht die Kraft in die Gegenrichtung daraufeine rücktreibendeKraft proportionalzur Auslenkung das ist die übliche Federkrafthierdas übliche Modell der Federkraft proportional zur Auslenkungentgegender Auslenkungdas sie wäre die Federkraftoder wenn sie Sohn Bendel haben ja die Kraft die dann durch die Schwerkraft erzeugt wirdverteilte hintenwie kann ich mit den physikalischvorstellen?? umso Leertaste was ist das physikalisch?? hinten also etwas was mit Reibung zu tun hat oder eben die Dämpfungsind emotional zur Geschwindigkeitje schnellersichdiese Auslenkung verändert je schneller sich diese Auslenkung verändertstärker wird diese Kraft stellt man sich das vores ist nicht ganz der Fahrtwind beim Auto werde mich emotional zum Quadrat der Geschwindigkeitmit richtigenStrömungswiderstandist gut eine Rockoper zu ?? Quadrat der Geschwindigkeit ?? wäre das nicht genial wenn Saar gleichen das macht kein Spaßamins einfach mal die Geschwindigkeitje schneller die Bewegung ist umso stärker wird die Kraft der Gedankealso etwas weiter verputzen als die Geschwindigkeit mit einer Konstante davor eher auf eine positive Zeitund in Gegenrichtungder GeschwindigkeitminusX Punktdasder Reibungsanteiloder Dämpfung schreibt meinSchatzdämpfungdas ist der Ausgangspunktwas schreiben Sieals auf die linke Seite und dann haben sie eingefasst ?? forderte ?? zeitgleich zu dieser Zeit ?? sich und ?? genausowas ?? sondern die von Saar gleichenPunkt derso einen linearen Differenzialgleichungenso zu viel malig zwei Punkt das zu viel hat keine extremen so zu viel Matrix Punkt und dass wir keine Extension überlegstdas unsere Wendigkeiteine Jahreszahl Gleichunghomogen nicht weil wir gleich Null stehe sondern weil es keinen TerminkalenderDifferenzialgleichungenohne X gibtwenn siehier zum Beispiel auf der linken Seite plusSinusformnicht X ?? Cosinus von T dazu addieren würden dann wäre es inhomogenwenn sie auf der rechten Seite was hätten die Wurzel von Tdann wäre es inhomogen oder ?? auf der rechten Seite was hätten sie zwei vierzignicht die null dann wäre es inhomogenes gäbe einen zum anderen hier der hätte kein externerals Faktor und keines Punkt und eine zwei Punkt dabei ?? das ist eine homogenelineareDifferenzialgleichungenhomogen ergibt ohne ja keinen Sinn auf die ersteEntscheidung ist ist ja und dann guck ich sie auch homogen ja selbst homogen nicht in ?? und interessante Koeffizientendiese Zahlenvor meiner gesuchten Funktion X und ihren Ableitungen sind Konstantewenn sie hier nochkeine Ahnung Sieges von TI hättendas in homogenen Werbespotsmit konstanten Koeffizientendie Koeffizientenmeiner gesuchten Funktionen ihre Ableitungendie Zahlen der Vorsitz konstantanHomogenitätzu verstehen was von der Zeitabhängtund zweite Ordnung natürlich die höchste Ableitung ist die zweite??ist bräuchten wir das auch alles noch Zutat zur von der Burg gleiches bräuchten wir hierfür noch mal die Standardlösungenerfahren wir damit gleich bei der von der Pole Gleichungpasst in dein Prinzip passiert wie gesagt ich will an dieser gleichen bisschen rumbastelnnicht den offiziellenPlato sondernmit ein paarTricks eingebautlösen sie die jetzt dazu Komma ganz offiziell gedämpften harmonischen Auslagerungimmer nicht in die Unterlagen rein wie würden Sie dieseim Jahre ein Differentialgleichunghomogen mit konstanten Koeffizienten wie würden Sie die lösenallgemeindas Komma nach anderen recycelnPunktoder sollte man auswendig wisseneine lineare Differenzialgleichungenhomogen?? Koeffizientender Ansatz ist Exponentialfunktiongrundsätzlich probiert man dann erstmals in dieser Funktionman ohne großartigeSchnörkelnach ?? wurden mit sechs SpezialfunktionenLösung zusammenmalganzbilligist und dies leicht die Buchstaben Malchewurde merklich langsamer Xeine unabhängige Variable Teeund die Variablen die man gerne mal vorsiehtlohnt sich hier nicht immer gleich andas er sich einwas kriege ich das Bild dann also ähm mal zweimal ableitendenmiteinander Quadrat Somali Hochland Athenschloss er mal einmal ableiten also langsamer Neo flammender mal dieKamaldie Funktion dieser SEO landete gleich nullPunkter wandert sie wird nie nur Licht Beistrich jedoch wandert sie auf beiden Seiten recht weit Null stehen und ?? quadratische Gleichung für Lambdazu ?? keine große Überraschung die sie sich mal die quadratische Gleichungzu Landerquadratmusser durch ?? LanderCar durch ähmnulldurch das Ende teiltdas das lange quadratseffizientenEinsatzjetzt kommt die PQ Formellanderist also dieminus die Hälfte von dem Kern vor dem Landtag minus eher durch zwei ähmplus minus die WurzellinieQuadrierensehr Quadratspazieren Quadratergattert durch vier im Quadratminusstehender hinten minus K durch ähmdas ?? letzte Woche schonbekriegennormalerweise zwei verschiedene Landesleider nicht immerzu drei Fälleerster Fallwas unter der Wurzel steht ist positiv also ?? Quadratim Quadrat minus K durchals nullkönnte noch ein ein im noch nicht aus dem Nennerzur Geburtsstätte positive Zahl glich tatsächlich zwei verschiedene Landes heraus minus soundsoviel PlusWurzelzu viel minus vor zwischen zwei verschiedenen andersals man sie mit den zwei verschiedenen Landesmuss es eine Lösung eine allgemeine Lösung zusammen basteln mit zwei stelligen sozusagen Versager ?? zweiter Ordnungmuss zwei Sachen Ringsverbände einstellen können für die allgemeine Lösungich kriegeeinen Faktor vor die hochwas sie steht schon jetzt dann der Einstandspreisim Hochland nach eins mal Zeitund einen anderen Faktorvor Ehebruch wandert zweimal die Zeitkann Lösungen addieren weil so homogenelineare Differenzialgleichungenlässtsich damit neue Lösung vielfach von Lösungen sind wieder Lösungenbeim vielfachen wir sind ein Stellrädchen sozusagendamit kann ich eine Lösung jetzt erreichendiese Zahlen hierimExponentendieses Lander Einslander zweiwas wissen Sie über das Vorzeichen von dem Lande Einzelhandel zweizweiundvierzigins Quadrat minus dreiundzwanzigdie über die Wurzel im Verhältnis zu zweiundvierzigdie Wurzel hier muss unter zwoundvierzig liegen unter der Wurzel steht ein vierzig ins Quadrat wenn dann nur zwoundvierzig Quadrat unter der Wurzel stündedann wäre die Wurzel gleich zwoundvierzig Geburtstagswandwird sich Quadratmit steter Arbeit ein vierzig Quadrat minus dreiundzwanzig unter der Wurzelsteht weniger unter der Wurzel und ich zieh die Wurzel des als die Wurzel wird unter zweiundvierziges ist minus zweiundvierzigplus minus etwas unter zweiundvierzigdas heißt was hinten rauskommtwirklich reichen um die minus zweiundvierzig wieder positiv zu machenbeide LanderAngel kurze sind beide Lander sind negativdie beidensind negativ kleiner Nullwegen dieses Effektsunter der Wurzel steht als ForderungQuadrat ?? noch was abgezogen das heißt die Wurzel hier wird immer kleiner sein als daser Betrag davon was davor stehtdie Wurzel kann das Ganze nicht positiv machen das Land damit negativ bleibensie kriegen eine Überlagerungvon zweiexponentiellabklingenden Funktiondas ist dieser Fallso ist das physikalisch nicht so unplausibel wenn sich angucken was hier stehtdas Ding zieht sich langsamzum Gleichgewichtohne zu schwingen warum ist das physikalisch plausibelhier dass die Reibungdie Dämpfung die gewinnt er Quadratdieser Term hier vorne gewinnt über die internenDifferenz positiv ist heißt das der erste Term ist größer als der zweite der der mit der Reibunggewinnt über den Termin der Federund dann schwingt es nichtzu viel Dämpfung trennen wenn sie zu viel Dämpfung haben plötzlich an zu schwingendas ist dieser FallbeideLander sind reelle Zahlen und sind negativPunktdie Dämpfung hat gewonnenFall einsFall zwei istunter dem russischen exakt null?? Dämpfungund die WienerLinien so zusammen das genau null aus der Differenz raus kommtes natürlichen super Spezialfalldas genau null aus einem Kern raus Punkt hat jemand die Aufgabe genau zusammen konstruiertoder mal ganz viel Pech gehabtoder irgendwas in von einem äußeren Parameter ab und der wandelt sichirgendwann so dasaus weise mal null rauskommtkein allgemeiner Fallsondern ein super Spezialfallaber was passiert in die super Spezialfallunter der Wurzel steht null was ist dann die allgemeine Lösung X von TSpezialfall von letzter Wochederperiodische Grenzfallalso eine Lösung kriegen ?? einmal die HochlandAthen sehen Lander Punkt zu den Kniensehen Landerwenn unter der Wurzel null steht er Lander ist ein minus eher durch zwei im grundsätzlichen Schreibenin bei Cdas ist die eine Lösung die andere Lösung Plusminuswurzelnull sieht aber genauso aus aber bedürfen dann an der Stelle uns noch einen dazu dichten dann gehtsie ähm mal wie hochdasselbe Minus eher durch zweiweiteals in diesem super Spezialfallkriege ich so eine komische Mischungeine Kommentarfunktionund Themaein Express ?? zu offensichtlich klingen beideEx Nizza Funktionen abGrenzfallundderdritte Fall der Kannen wirklich häufiger wieder auftretende Größe nullkleiner nur das ist das was typischerweise auftreten wird und dass sie auf der Kanteist sehr unwahrscheinlichKa durch ähm kleiner alsnullalsovon der Struktur der allgemeinen Lösung her muss es ja derselbe SaintArmaniHochlander eins Tplus die ehemaligeLander zweiTwird es aber spannend mit diesen Land aus der Wurzel steht eine negative Zahlim Prinzip auch Wiederholung von letzter Wocheder Wurzel steht eine negative Zahl was passiert mit meinen Sammlers?? Kontext die Wurzel der negativen Zahl das wird ihm maleine reelle Zahl hier steht ?? Sander minus eher durch zwei am Schluss muss die mal eine reelle Zahlsolche Landes habe ichdas ist minus eher durch zwei ähmlosihm malirgendwaseine Welle zahlen und dieses hier ist minus eher durch zwei ähm minusdie malirgendwasund was bedeutet jetzt anschaulichin dem unteren Falldie hochminuseher durch zwei ähm plusetwaswas in Klammern mal Teedenen sowas ähnliches was passiert daselbst in was wird aus dem ersten hiergenannten göttlichenFuß zusammen dich da wieder so wie hoches in Klammernminus eher durch zwei ähm Plus ?? malwas Besonderes rauskommt als reelle Zahl Verluste Sätze zu schreibenversteht hiervorne wie hochman dann damals Tder erste Schritt ist im ?? eine Summe minus eher durch zwei mal Tplus I mal soundsoviel Mark T Exponenten eine Summe neben den auseinanderzu einem Produkthier hochminuseher durch zwei MITmaldie hochminimalenBlockThier die Summe sind nicht in ein Produktdes erstes jetzt nach harmloser Funktioneine KommentarfunktiondieNatur?? hinten bräuchten wirEulerwie hoch die mal ein Winkel wird Kosinusvon diesem Winkelohne dass sie drinplus die mal Sinusvon diesem Winkelund das?? mal den Wechsel der Winkel ist soundsoviel Mark Thier steht der ?? Kursus von den Winkel I malSinus von den Winkel wie hoch wie man ein Winkel eine komplexe Zahl der Länge eins mit diesem Winkel so merk ich mir das dass es Eulerder zehn Sicherheit ?? vorne habe ich eine ablehnendeEx Nizza Funktionender Reibung zusammen je größer die Reibung ist umso schneller gibt es aucheine Abhängigkeitder Funktion mal ein Gemisch aus großen Sinusunter hinten steht dasselbenurda steht ein Minusvor dem zweiten Termbusmacht das nichts ist ?? ein minus ?? Sinus dahintendas heißtwas in diesem Fall ?? wenn unter der Wurzel was negatives stehtsie kriegen einen Expressabfallmal ein Gemisch aus großen Sinus das ist dann die allgemeine Lösung es fängt wirklich an zu schwingenund klingt dabeiab unddie Dämpfungskonstantehiereher ?? sind da die Dämpfungskonstanteim Verhältnis zur Masse sagten wie schnell dieser Abfall passiertdas sind die drei Fälleschwingen das war der letzteeinfache Weise abklingen und in der Mittekomische Geschichteperiodische Grenzfalloder hier noch einmal als Täter vorkommt als Faktorlassen die drei Fälledas erste Mal die Wiederholung zum gedämpften harmonischen Senatorohne Anregungman sich dann in der Physik noch anguckt istich wende von außen eine Kraft auf um das Ding anzuregendass sie hinten vielleicht noch Sinus soundsoviel steht oder irgendwas anderes steht der wird die Differenzialgleichungeninhomogenetwas anders angehenPunkt der genervte schoss Senator ohne Anregungstellen den einfach auf ein Anfangswertmit einer Anfangsgeschwindigkeitund danngeht das losschwingendoder einfach Münze abklingenoder diese komischin dem mittleren Fall hiermit Thema exponentiellabdas also eigentlich ist AusgangspunktKlammer aufVorwärtskommenKlammer zu von der wohlwas sich bei ?? Punkt ?? istdas drastisch vereinfachen schreibt sie gleichen immerhinder jetztwieder ?? die haben was sie tutmal meine ursprüngliche Gleichung Komma lehnt für den gedämpften harmonischen Postulate und streiche jetzt was beschreiben wirklich mir die Streiche Gänsefüßchen obenund eszu verändernMathematikerfaul und möchte möglichst wenig Konstanten drin habenman streicht das ähmdie Masse ist einsnicht ein Kilogramm schlichtweg einzelne streiche die Federkonstanteweg damit Punktdas hatte schon viel übersichtlicherausPunkt das spannendste passiert jetzt hier bei den Dämpfungsterman Bord was raffiniertes bei der Dämpfung einbisschen Platz schaffen sozwar bau ich folgendes bei der Dämpfung ein schreibe ich minusYmaleins minus X QuadratPunktsieht verdächtig aus wie der gedämpfte harmonische Ostsenatornur sehen Sie?? Punkt DEdiese Dämpfungdies schon mal irgendwie eigenwilligwas passierthier die Dämpfung hängt von meiner Auslenkungab?? können Sie dann jetzt alles so erkennendas jetzt vor dem X Punkt die hat doch die Rolle meiner Dämpfungskonstantenvon eben dass ereher Matrix Punktes fühlt sich so an als ob diese Dämpfung jetzt von dem Wert der Auslenkungabhängig dass sie vorneminus Y malen Klammer zu bis X Quadratdas hat quasi die Rolle derDämpfungskonstanteneherkönnen Komma wo sie sich angucken was heißt denn das jetzt überhauptklappen würdewie siehtdiesesbesticht also mehr von X und nicht in was er von Xwie sieht das in Abhängigkeitvon X ausversucht zu Platten im groben Verlauf wie hängen die beiden zusammen Xunddie Zahl die hier vor dem X Punkt steht ?? in die Band zusammen der Verlaufeine umwerfende Parabel minus minus X Quadratso positiv seinGesangund der nur Stämme plus und minus einswann wird eins mit sechs hundert nullin Extrablatteins ist der eins minus EinsextraBeistrich eins ist also wenn X gleich plus eins oder minus eins istda der nullstellenmuss eins plus eins da ist dieser Ausdruck null eine nach oben geöffnete Parabeldann kann er nicht mehr allzu viel passieren ein?? BesuchausSusi dieser Termhausmein Herr von X??was heißt das jetzt reibungstechnischenicht das hier als Dämpfung wirklich auffassen was heißt das für die Dämpfungin den Möglichkeit das ins physikalische zu übersetzenhier wächst es außen an nach double x ist auch an als wenn X über einsdrüber geht wie die Dämpfung zunehmendstärker immer schlimmer werden ja mit zunehmendenDämpfungund auf deranderen Seite genausowenn meine Auslenkung ins Negativeunter minus eins geht's für die Dämpfung zu nehmenBeistrichdazwischen eigentlichzwischen minus eins plus einsBeschleunigungoder Frequenz ?? Antrieb nennt Leerschritt man ihr Antrieb darunterwas in dem Bereichist das Gegenteil von Dämpfungrichtigen Antriebdas es so als ob sie hier oben mit einem negativen Ergebnis nicht er wird negativ das ist so als ob sie hier obenbeim gedämpften harmonischen Postulate ein negatives erhelltenPunktdas wäre zum Beispielja dann wäre das Lander nicht mehr kleiner null ?? größer als nullsie kriegenexponentiell anwachsende Lösungund hier genauso wie hochwas Positives mal Tmal großen Sinus sie würdenein Experte anwachsende Lösung kriegen ein Antrieb sozusagenalso wenn meine Auslenkungzwischen minus eins ?? plus eins ist er habe ich hier quasi ein Antrieb eingebaut das spannende Geschichteich treibe es an?? in diesem Bereichund wenn ich dann über eins gehees wieder gebremst wird aber offensichtlich umkehrenund damit hier in dem inneren Bereich wieder angetriebenbis es hier wiederin die Dämpfung reinknalltund wieder umgekehrtdas sollte anfangen zu schwingendasSchisma vorsichtig anguckenman versucht sein diese Differenzialgleichungenwieder genauso zu lösen wie eben was ist das Problem wenn Sie diese Differenzialgleichungenanalytischlösen wollenFunktionenausprobieren Ansatz bildenund dann das vom Schreiben was ist das Problem besser Differenzialgleichungennichtweniger wegen des X Quadrat hier das Ding macht es nicht längerXQuadrat mal X Punktund das heißtnunalsomit den üblichen Methoden stimmen Sie mir Schlauchtrennungder Variablenist auch keine gute Ideelaufende Variablen keine gute Ideegenau Trennung der Variablen sowie ?? gezeigt habe geht nur bei erster Ordnung der vierte Differenzialgleichungenzweiter Ordnung das heißthochdas sieht nicht gut aus also das wird manbei dem derzeitigen Stand nicht gelöst kriegenanalytisch gelöst kriegen Farbe mäßig gelöst kriegendas kriegt man übrigens auch professionell formelmäßig nicht gelöst?? muss numerisch lösen ich versuche jetzt diese Differenzialgleichungennumerisch zu lösenzum Beispielmit dem Euler Verfahrenwas ich denn jetzt bräuchte als erstesist das sich aus Differenzialgleichungenzweiter OrdnungDifferenzialgleichungenerster Ordnung nach ein gewisser Gleichungssystemgenauer gesagterste Ordnung machealsojetztdie numerischeLösungvorund der erste Schritt davon wird seindiese Differenzialgleichungenin eine Fenster Gleichungssystemerster Ordnung Punkt zudie erste Frage ist die Versager im System erster Ordnung die erste Frage ist okay wie viele Gleichungen stehenden Bürgerinnenzweierich habe Differentialgleichungzweiter Ordnung die wir zu einem DifferenzialgleichungenSystem mit zwei GleichungenLeerzeichen dritter Ordnung zum DifferentialgleichungSystem mit drei Gleichungenwas Dimension des Farbraums könnte man sich fragenund der Trick ist einfach sie Staatenmit X Punktauch zwei GleichungenXweiterX Punktzwei Gleichungen hiereine um eine untendas istmeine gesuchte Lösungsfunktiondie leite ich ab die Zeitableitungdavon was ist das X PunktX zwei PunktX Punkt okay ist eine der Funktionendie ich suche zwei Punkt muss ich aber ausdrückenX zwei Punkt dafür habe ich meine GleichungX zwei Punkt istes heikelscrollen hier X zwei Punkt sissApps sondern eins Besitz vertratmal X Punkteins minus X Quadrat mal X Punktplus XTon ein Musical muss darüber bringenminusdass es meine von zahlreichen System erster Ordnungfastund jetzt müssen hübscher Machtwürde man noch umbenennennicht X X Punkt sondern ich benenne um vielleichtX YX eins X weiß was ?? mich das im Skript benannthatte ich benenne jetzt mal X Ysowas schreibe ich da jetzt reinwas schreibe ich jetzt hier in den Vektor auf der rechten SeiteX das ich bei X X Punkt habe jetzt Y genannt ?? steht also Yund hier steht dann Y mal eins minus X QuadratYminus Xwird sie das völlig harmlos ausDifferenzial Gleichungssystemzwei GleichungenX ist die obere Lösungsfunktionsozusagendie untere LösungsfunktionX Y X Yein ganz normales Hamelmannsah Gleichung System erster Ordnung aber sie wissen jetzt wenn sie das gelesen habeist die Versager Gleichungssystem erzwingtdas die Ableitung von X gleich Y ist die Obergleichunghier zwingt des X Punkt Y ist?? da steht als X Punktbis zum Schluss unterschiedlich zwei PunktY abgeleitetdie Ableitung von X ableiten ?? ich durch meine ursprüngliche gleich wieder Visionist aber was man vielleicht numerisch behandeln kann die üblichen Programme wollen auch sowas dann wir habenalso Mitte und ob der von ?? weiter die freundliche rechte Seite haben wir schon vorgeführtergeben sie die rechte Seite als Funktion ein und uns auch Punktähmdaswas gerade mal inOpenOffice reinhackenmit dem Eulerverfahrenso das simpelste Verfahrenmankeine Zeit hat oder kein Bock hat dann macht man dasnicht gerade effizientabernaja Punkt sie wird typischerweiseich werde also Staaten mit einem bestimmten X Yund nach jedem Zeitschrittgehe ich um was sie rechts stehtmal Delta T weiterPunkt was wäre dieStrategie beim Euler Verfahrenvor nicht das was man sovonvom StartwertX null Y null ?? dir was ist der nächste Punkt den ich kriegehier zulosund jetzt kommt die Ableitungmal die ?? das Zeitintervallalso Y nullY eins minus X null Quadrat Y nullsechs nun mal das Zeitintervall jetzt mal Delta T heißt auch gerne schon immer debattiertdas wäre der erste Punkt den ich so generiereSchätzung für die ab dass diese Schätzung für die Ableitungfür die gesamte Strecke ist die exakte Ableitung genau an diesem Punktaber schätze damit die Ableitung für die gesamte Strecke dann bin ich also nach der Zeit Delta T bei diesem Punkt wenn sie zu weit von diesem Punkt gehe ich zudem Punkt los und dann ist da die neuen Koordinaten einsetzen immer wieder dasselbe noch mal machendas Schreiben sofort in OpenOfficeaus zu buchstabierenPunkt ich brauche alsoZeiten hierTeestatt Wein null vorsätzlich was Gutes Gala ist muss ich gestehen ich fange an mit null Komma einsnull Komma eins was siedas sinnvolle Skala ist immer gleichPunktich starte mitbestimmten Xund einem bestimmten Y dass meine Anfangswerte?? zwei Eingangswertebeimwerbe X gleichmit?? Kommazweiund Y die Geschwindigkeit ist das dann X PunktClubs und als etwas Geschwindigkeit Nummer null Kommadrei Ahnungwollte ich auch noch irgendwoSommer Ygleichmachtsowasspannendder nächste Schritt für Xzurückdas kriege ich als neues X das neue X ist das alte X plusder alte Y Wert maldas ZeitintervallPunkt seit ich vergessen?? hinschreibenDeltaTist das Zeitintervall einfach die DifferenzKommadie nullPunktder neue X wirdneue X wert ist der alte X Wertlosder alte Y Wert mal das Zeitintervallzugleich diebeiden nie runterziehenkann sage ich mal dass das Zeitintervallso festgenageltwird den DollarzeichenY wird es die IG MetallSaison wird der neue Börsenwert ist der alte Y Wert plus Genuss fürchterlichesmal das Zeitintervallsomal hindreneue Y Wertistderalte Y Wert plusetwas fürchterlichesmaldas ZeitintervallDollarzeichen festgenagelten fürchterlichen KleinhirndastehtY mal eins minus der alte X wird ins QuadratKlammer aufbei den alten Y Wertminus den alten X wirdKomma dass solange merken oder weichen mal eine einfachauchin den Klammern stehtYim ?? festnagelnDollarzeichenmaleins minusder alte X fährtins Quadrathoch zweiKlammer zusind diese Klammer zumal den alten Y Wertminusden alten ExpertBaukönnte es gewesen seinKomma die Däumchenkann ich einfach diese beiden hinnehmen und das Aufziehenwird es automatisch fortgesetztKlammer auf denn darüber verweistsie Nummerzeichendie Kuchen der verweist in der automatischen auf die darüber alle die keine Doppel Dollarzeichen habenentsprechend dannmit verwandeltbeim Aufziehendas soll jetzt das alle Verfahren seinPunkt wenn ich mal C und X Plattendie Positionin Abhängigkeit von der ZeiteinfügenDiagrammenlassenX Ydefinieren?? Beschriftung des gut aus so sieht das ausPunktdas sieht immer spannend aus ich werde dir mal das Delta Tgrößer machendes ?? schneller durchgehtalsdie Hoffnungbei?? aufprodass es ?? das Eulerverfahren Aktionexplodiert es ist keine gute Idee das aber null Komma eins stehendiese Diskussion ist typisches Eulerverfahrensind gemein zu großen Zeitschritten gehtkleines Ärgernis hiermüßig ??ich möchte endlich mehrmöchte ich mehr Schwingungen sehennormalweiterbastelnKommabeiden auswählengehenPunktX Y normalerweisemehr sehen FreizeitverhaltenCousine durch mein Diagramm auch noch erweiternbis wohinesist es bishundert zwoundneunzig geht es dann hierDatenbereichewaraber so sieht das ausdas passiert??das kommt aus dieser Gleichung rausBusiness ist jetzt keine Sinus Schwingung mehrist es ja auch nicht mehr Differenzialgleichungenbei den ?? sah Gleichungtaucht ebenso auf wie die hoch irgendwas und das wird über Euler zu Siemens Firmen-und Schwingungenund hier sind sie nicht in ?? sah Gleichungdas sieht schon ziemlich hässlich aus?? gucken nominieren bisschen heftiger startetoder bitte keine Residenzstadtbei null Komma zwei ihr stand bei null Komma zwei nachHelligkeit von ?? Komma dreißig nach obenzeigt auch malmit etwas Geschwindigkeit von null das wäre optimal spannende Stadt mit Anfangsgeschwindigkeitvon null ??sind okay das ich jetzt nicht die Fehler sozusagenzu Null gebogen oder weniger von selbst beschleunigtin dem Bereich zwischen minus eins und eins für das Ding beschleunigt?? komischen Term als Basics Quadratund ?? dann aus dem Bereich Ausgabe von eins bis minus eins dann wieder drastisch abgebremst ?? der Sicherheit auf die Bremse sozusagen und wird dabei wieder wieder zurückgezogenund dir dasselbe Spieleinzuweisente darauf die Bremsung wieder von der wieder wieder zurückgezogensolche Schwingung gibt es daneben auch nicht die bisherige Schwingungendie kommenden Aussichten ja DifferenzialgleichungenausPunktdafür erste Formen zu schreiben ich glaube das es offensichtlich dass das nicht so ganz leicht sein wird auf eine Formel zu schreiben hier müssen ganz kurzen Anfangund dann geht es in die Vollen das von uns in heftiger andas mit null Komma eins anfangendeutlich sehenKommaeinssind zwoKomma null null null einssieht schon komisch aus hier passiert erst gar nichtsund dann geht es ihr gefallen mit der Schwingung dafür diese Funktion hinzuschreibenbedingter Thermalfunktionscheint schwierig zu sein und nicht nur schwierig es ist wohl unmöglich eine Fusion der für ihn zu schreiben mit den üblichen Funktionen kann eine Ausrede numerischPunkt so geht das ??