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19.01 Folgen


CC-BY-NC-SA 3.0

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eineFolge soll eine Auflistungsein an Objekten mathematischen Objektenwarentypischerweisespricht man von Folgen und meint eigentlichdie unendlichenFolgeneine unendliche Folge soll sein eine unendlich langeAuflistungvon mathematischen Objektendas auf die interessante Artenauflistungendliche Folgemit achtundneunzigElementen oder mittausend hundert in zwanzig Elementen oder was auch immer nennt die Vorgeschichte gespanntKomma nicht mathematisch als viel Neues erwarten eine unendlicheFolgees wesentlich spannenderder Gedanke ist mit diesem Begriff unendliche Folgedie Annäherungan einen Wertdarzustellenmache den Grenzwert einzuführenwas heißtdas eine Folge von Zahlen zum Beispiel sich im unendlichenwie die WICHTIG dann einen Wert mehrals spannendund endlich viel zu haben ?? endlich wieder habenfolgende Elemente folgende Bilderdann können Sie sich ja nichts kann sie sich nichtbeliebig nah an irgendetwasannähernPunkt unendlich vieleunseren Effekt zu habender Annäherung im unendlichendeshalb bin ich jetzt was von Folgen erzähle mein ich eigentlich streng genommen immer unendliche Folgen des mit den langweiligen müssen endlich davor zu sagenim Prinzip betrachtet man beliebigemathematische Objekte die dann in der Folge stehen könnenwann es war vorsichtigmit Beispielen anfür Zahlenist es auch das allgemeineZahlen hat sind einander unendlich viele Zahlen aufgelistet?? eine unendlicheFolge von Zahlenangerne dannmit N bezeichneteman in hin schreibt in diesem Spiel als das typischerweiseman nimmt die Folge der natürlichen Zahlen einszwei drei vier und so weiterfand dann gleich sonur in schreibe mal typischerweise diese Folge einmiteinandereine andere Folge A Index ähmkönnen zum Beispiel sein fünf siebenneun?? elfund so weitermit dem ?? der Tennisgemeindeerste heißt A einsder zweite heißt A zweider dritterA drei eigentlicheinen für das allgemeine Folgenelementoder irgend einen EN genannt habe nehmen Sie einfachdie Kehrwerteein Einzelein halbein Drittelentfälltweiter das wäre eine unendlich lange Folgeendliche Folgeoder noch eineähmInfo sie nehmen immer mehr dezimalstellen von der Ziffervon Dezimalsstellender Zahldie Krankheit mit Nullen an drei und Nummer drei Komma eins und dann drei Komma eins vierdrei Kommaeins vier eins und so weiter jedes Mal kommt eine Zigarettezurauchen folgendas sie zu den typischenFolgen mit der man sich beschäftigt nachhernunaber es können auch finstere Geschichten seien insbesondere Folgen von Funktionensind beim zweiten Semester kommen vorwo sie als mathematische Objekte nicht zahlen aufgelistetsind sondernFunktionenaufgelistetsindBeispielletztes Mal beimSinuseine Folge an Funktionenschon mal wieder ändert soden Index einszweidrei und so weiterund eine Folge an Funktionenin die vielleicht einfach DINeine Vorgang Funktion ich fange an mit der Funktion die X abbildet auf Xdann mache ich weiter mit der Funktion die X abbildet aufX minus X hoch dreisechstedann mach ich mit der Funktion weiter die X abbildet auf X minus X hoch dreisechste kleines X zwo ?? fünfCommonsense rechnen??hundert zwanzigsteund so weiterdas wäre eine Folge von Funktionenhier Folgen von Zahlen sieht es jeder Eintragin diese unendlich lange Listeisteine Zahlund hier ist jeder Eintragendlich ?? ist eine Funktion die Funktion dieser ?? X abbildet X X mindestens sechs und so weiterund so weiteranhaben Sie eine Ideewas hieram Ende bei raus kommt im unendlichenwenn ich diese Folgebis ins unendliche weitertreibenwas steht da eigentlichdas wir die männlichen der Sinus werdensowie sichdiese Folge jederzeitPia nähert immer mehr der Therapie ernährt oder diese Folge immer mehr der Zahl null annähertwird sich diese Folge eine Folgefunktionenimmer mehrdem Sinusnäher anExit Abbild auf den Sinus von extended hatte ich ihn schon erzähltwie manden Sinus umschreiben kann mithilfe der Eulersche Identitätman weiß man die Funktion schreibenKomma genau diese TermeX minus sechsunddreißigsteBesitzer fünf hundert ?? minus Ixus sieben durch sieben Fakultätplus X hoch neun durch neuen Fakultät und so weiter sofort bis ins unendliche und das man genau danneine Folge ?? Funktion Punkt man sich anund fragt sich ob was passiert im unendlichenso sind dann aber eher nächstes Semesterdas unschöne an dieserSchreibweisehier ist das sich die ersten vier Elemente aufschreiben kann oder die ersten zwanzig oder die ersten tausend und sieben die ersten drei weiteren Senkenanaber wie schreibe ich das zweite mit den drei Pünktchen besitzen bisschen unprofessionellaus obwohl ich das gerne schreiben Kommasieht es allgemein ausallgemeine Folgen siehtman Glück hat Komma der sich diese Formel angeben mit der man direktso ein Folgengliedausrechnen kann wenn jemand fragt wo was ist Adritter Sie mit einundneunzigdes Reiters in einer Liste folgen sie an die obige Formen des drei tausend in die drei tausend Mann an uns einsetzen könnenund tatsächlich ein ausrechnen könnendann haben sie Glückdas wäre ein explizitesBildungsgesetzfür eine Formelder für eine Folgenahmbei den ersten beiden haut das hinbei diesen AN und den BNwie können Sie direktaus diesemIndex ähmhier dreidiese Zahl ausrechnen darf es neunist ein mit jedem Schritt zwei größerdeshalb sollte drin stehen zweimalinzweimal in wäre die Folge zwei viersechs achtjedem Schritt zwei mirzweimal Insolvenz entstehen aber den fehlt mir noch was zweimal en wäre zwei?? müssen drei dazu zweimal in ist vier drei dazu zweimal in sechs drei dazu zweimal in und so weiter das scheint gut zu sein drei plus zweimal inTreibstoffszweimal in oder zwei drei oder wie auch immer das wäre ein explizitesBildungsgesetzfür diese Folgedamit können Sie jetzt ein beliebiges Element ausrechneneigentlich streng genommen reicht es auch nicht wenn ich die ersten vier hin schreibe ich die ersten vier in schreibewer sagt mir das bei Nummer fünfnicht mitÖlkeine Ahnung minus sieben Busse zwei oder was weitergehtmeines angegebenenAdresse dann eigentlich nicht nur die ersten vier in schreibe das diesen Intelligenztestwie die diese Folge sinnvollerweiseweiternur die ersten zehn zu schreiben ist eigentlich nicht korrekt ich müsstestdu ein Bildungsgesetzin schreibe das offensichtlich das Benutzen des Streites zweimal Ent und das folgende Lied Nummer ein zu kriegen rechne das ausPlatzmangelein explizitesausdrückliches BildungsgesetzanBNwie geht das hier wie kriegen Sie den BN raus aus der Einzel ein Einzel werdenaus der zwei soll ein halb werden aus der dreisoll ein Drittel werdendazu einfacheins durch menschlichedas explizit die Bildungsgesetzeam ?? hat man leider nicht immerlassen die Schulbuchfälleder man die hat dann ist dasrecht einfachin Sonderformenumzugehen und sich zu überlegen was dieseFormen im endlichen machen wirdpraktischerseitshat man gerne aber etwas was ich Rekursionnenntdas eine Folgen Glied wird mithilfe des vorhergehendendefiniertsagen was A drei ist mithilfe von A zwei seinem Wasser zwei ist mithilfe von A einsmuss man eines gerade mal angucken Gänsefüßchen obenwäre explizitund nun rekursivso hat man es ja malich sage was das nächsteAN ist ein plus einsganz klarmachen das bloß ein steter unten im Index A N plus einsnoch klarer soA N plus eins gemeint das nächsteFolgengliedaber eben schon gesehen bei dieser Folge ANdie Zellen einfach zwei zum Vorgängerbenannte das nächste wie kriegen Sie die sieben zwei auf die fünf wie kriegen Sie die neunzwei auf die siebenalso ist das einfach ein plus zwei das ein ganz billiges rekursivesGesetzsteht er nicht ausdrücklich was AN ist als Formel sondern steht da implizitunter Bezugnahme des auf das das vorherige Element oder stationärevorherige Elementewie ich es das nächste bekommen das heißt rekursivmit Rekursion?? läuft zurückandas reicht noch nicht ganz um diese Folge festzulegenwas fehlte eigentlich noch wenn ich nur diese gleich hinschreiben was fehlt mir dann eigentlich nochwenn ich A drei habe kann ich A vier bestimmen wenn ich A zwei habe kann ich A drei bestimmen wenn ich A eins habe kann ichin der eins habe kann ich A zwei bestimmen?? ziemlich A eins sie steht nicht wie ich eins kriege das brauche noch ein Startwert A eins istzwarStartwertwar fünfden sollte man auch noch an das es ganz typischfür Rekursiondas ist das was man in der Praxis er hat rekursiv definierte folgenund dann frage ich mich ob was passiert in den unendlichenwenn ich eine explizit definierte VorgabeGeistes typischerweise fort ablesen was männlichen passiertwas ist wirklich spannendwarumdie rekursiv definierten Folgen warum sind die spannend wir hatten schon eine Gelegenheitdas Verfahrenda kam eine rekursiv definierte Folgezum Beispielbeim Newton Verfahrenwarda Gegenstromeinen Nullstellezu finden ob Salat eine Nullstelle einer Funktion zu finden?? das ganze viele Nullstellen schon nicht ganz ?? Nullstelle möchte einen Nullstelle einer Funktion findender Trick ist nichtich rate ein X null das dicht dabei istdann wirklich dieTangente an meine Funktiongucke wo die die x-Achse schneidet nenne das X einsstimme da meine Funktion eine Tangente an die Funktionden Schnitt von der Tangente mit der exakten MX zwei und so weiter und sofortda stecken Rekursion drinvon einem zum nächsten Zimmer dieselbe Formel von X null sechs eins stimmte Formel von X eins zu X zweimal dieselbe Formel ?? hat mir schonX ein plus eins ist gleichX Nminus das Verhältnis von FunktionswertzuAbleitungdas hatten wir schon für diefür das Newtonverfahrennoch wasan da das immer noch den Startwertirgendjemandmuss mir zu flüstern was denn ein sinnvoller Startwert wäre Beistrich guck ich mir die Kurve grob anundmache dann einen rassistischen Etikettegeswas den sinnvoller Startwertauch das ist rekursivsie sehendas ?? Komma mit null anaber statt das mit null angefangen hätte könnte auch genau sein ?? X eins ist gegeben und aus dem X eins berechnet sich das X zwei aus dem extra das insoweitals ob ich eine Folgen mit Null anfangen oder mit eins Anfang ist relativ kurz hier würde man typischer Weise X null sagen ?? des X null besondere Bedeutung hatam es ist nämlich von außen vorgegebenhier habe ich immer mit eins angefangen aber genauso können Sie sagen aucheinenvom soll ich sagendas ist null eins zwei drei dann ist der erste A null und bin und so weiter das machtkeinen Unterschiedwieder das übliche Phänomenganz echten Mathematiker sagen unsere Zahlen fangen bei eins an und die Leute die so informativ angehauchtensagen unserer Zahlen fangen bei null anwovon ich hier zu sehen Vereins oder bei Null Mittelweg sowieso egal Punkt mich interessiert bei den männlichen Folgen was die im unendlichen machenund ich bin seit Anfang