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25C.2 Rotationskörper aus Hyperbel; Volumen, Mantelfläche


CC-BY-NC-SA 3.0

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waszu den Rotationskörpernmal mit etwas ungewöhnlichenAchsen und die gedreht wirdwie das ging um die x-Achse zu drehen ich will dass sie das Prinzip versteht mich die Formel auswendig lernenselbiges war die y-Achsegedreht und zwar nimmt sie die übliche ?? habendie Y gleich eins durch Xund die drehen sie um die y-Achseals sohier das man so ein Bild hatzu einem Eiszapfen falsch herumdas Gebilde hätte ich gerne und ich wüsste jetzt gerneob das Volumen hier drunterbis zu irgend einem endlichen Wert von X auf dieses Volumen endlich istOettinger auf den Wert rausund ist die Oberfläche hierist endlichwie viele Briefmarkenbrauche ichdiese umgekehrten Eiszapfenkleben nicht bis es ähnliche raus ob es jetzt endlich ?? hochgeht das ordentlich viele Briefmarken um den zu beklebenist die Oberfläche endlichund wenn sie Ähnliches bei Kindern und Wert rauserstmals Volumenund zweitens die Oberfläche??das müssen Sie mit dem was sie inzwischen dazu Komma wissen solltenin Kriegennicht ganz leicht sein wenn es hinkriegen also wie kriegen sie jetzt erst das Volumenwie kriegen Sie das Volumen aus zum Beispiel in dem sich hierZylinderscheibenauf summierenquasi Geldstück hier nicht über so Geldstücke hereinlegensummieren das Volumen auf ?? ist es eigentlich hinkriegendafür gibt zwei verschiedene Artenprogrammean welche Daten wäreklar wenn sie roamingsreingehen ganz in die Spitze erkannte die Spitze die komme niemals eine der Spitze dann passt immer noch bisschen meint immer noch bisschendie Summeunendlich vieler Zahlen kann durchaus endlich werdenWand erst mal an das sie jetzt irgendwiezu zerlegenim GeisteinBierdeckeldie auch summiert werdenerst nachfolgende sich für Januar diesenumgekehrten Eiszapfen ?? habenich möchte nicht bis ins unendliche rausgehenwas eine andere Frage ob das Volumen jetzt in dieser Ebenefast ebeneob das endliche sonnig ist eine andere GeschichteKomma verfolgt das ?? sein zweites Siegel des Vereins gehenwir hier auf der Höhe einsdas ?? nur die teilnehmendenab ist gleich eins Y gleich eins ?? da nehmenuns quasi erst Bettdecke reinlegen und dann Münster einnehmendass dieEuro Münzen und danach ?? die ein Cent Münzen hereinlegen dann auf summierenPunkt mit dem auf summieren das ist anscheinend doch noch nicht so hundertprozentigwas zu gierig auf mich summieren dieVolumenvoluminaeigentlichdie Volumina dieserTeilehier aufdas wird auch summiertdas Fach das Problemchen hierdieses Volumen hierweiter alle dazwischender unten angefangen ist da Obenvolumenvon diesem Dinges wird nachhereine Summe werdenich schreibe immer erst mal Summe in das ?? noch was andereses wird eine Summe werden Punktich starte beim Vergleich eins G bis ins unendlicheersetzen nicht die offizielle Schreibweisedas was ich mir denkeich summieren ?? hier entlang der y-Achseoffensichtlich nicht erlangte x-Achse Sonnenland y-Achse summieren sich hiervor dem Song gleich eins wenn ich sage das Schleich ab eins eins einseins Jan erstellendrauf bis ins unendliche?? damit ich summierendie Sonne Beistrich von schreiben sondern überschreibensomit überdas es über meine hübschen Werte summiert und von was ich jetzt auf summierenwas du mir nicht auf mich summieren diesesTeilvolumenauf was ist das Teilvolumendas ist der jeweiligeX Wertins Quadrat mal Pidiese Grundflächemal die HöhePi mal X Quadratmal die Höhe dass es das war der Grundgedankedas möchte ich auf summierenvon Y gleich eins bis ins unendliche Scheibe um Scheibe das Volumen nehmen was ist das Volumen einer ScheibeGrundfläche Pi mal ?? was ist der Radius X Quadratsklimareisenzwar die Matrix vertrat Grundfläche mal Höhewas auch immer dann die Höhe istStückchen jawie dick diese Münze ist willigte Bierdeckel ist das sollte die Höhe seines ist die Höhe eines kleinen Zylinderndie möchte ich alle auf summieren unendlich viele ?? die möchte ich auch noch unendlich dünn machen obendrein soll nicht nur in den ?? Spiele werdensie unendlich dünn machenund das Schreiben sie als integralalso das ist jetztschon eine geistige Anführungszeichendas was ich mir denkeAnführungszeichen untenuntätig Anführungszeichen obendas denke ich mir aber was ich dann wirklich hin schreibeist ein Integralschreibenan das integral inMilliardedieses X muss irgendwie aus dem Y kommen mich summieren über die Ywenn Y gleich eins istdann ist mein Xauch gleich einssein gleich eins X gleich eins schönwenn Y gleichzwei ist dann ist mein Xist gleich ein halb ist gleich ein halb Beistrich ein halbist gleich zweiY gleich drei es ist X gleich ein Drittel dieses X wird dann von der Höhe abhängig auf der ich nach guckedas wird man einbauen müssen dieses X müssen sie aus Y ausrechnenund diese Summeüber unendlich viele unendlich dünne Teiledann irgendwie als integral formuliereneine Summe ist ein Ingenieurmäßigsummedieser Art eine kontinuierlicheSumme sagt man manchmalist ein ingenieurmäßigeinfachen integraldas ist die Vorstellungdavon haben sodieSumme die Summe wird ein integraljetzt schreiben Sie soinstinktivautomatischein integral GX hinein das bietet sicher gar nicht an ein integralüber Yist doch viel raffinierter hier?? ich integrieren Y Richtung besonders meine Variablemeine Laufvariablesie bauen ein integralüber Yund was sie auf integrierenin diesem integralsind diese kleinen VoluminaTiemann X Quadrat mal Haarsummierendie VoluminaaufPi mal X Quadrat und das Haar darum so normal redenTiemann X QuadratX Verwahrlosung geschickt welche mit Y gearbeitetdas Y laufenmuss jetzt aus Y des X ausrechnenY ist gegeben X muss ich wissen ??Atoll Wiki andersherum X ist auch einzig YX ist einzig Y dann haben wir jetzt nur noch Y da drin stehenund das große Mirakel ist eben diese Höhe die Höhe dieser Münze oder der Tablette da drin dieser hier schon dadass es die Höhe mal gewesenda konnte diese Notation des integral ursprünglich her Funktionmalte X Tilde Xsich erinnerndieses die Xin dem integral war eigentlich mal anschaulich die Streifenbreitedas davon Integralsymbolübrig gebliebendie Streifenbreitefliegt raus dies eingebaut in das integraldass die Y ist nicht anders als unser Haar?? alles komplett das ist das Pi das ist das X Quadrat und das ist das Haar so zu sein das die Ydas fester Teildes Integralsymbolsistist nicht anders als dieStreifenbreitemal gewesen historischund integriert wird jetzt von eins bis unendlichdas ist das integraldas ist ?? Nummer einemder Witz ist Sie brauchen für diese Geschichten echt keine FormelsammlungKlammer zu wenn sie einmal diese ingenieurmäßigeVorstellung integral entwickelt haben oder es dauert bis dahin das kann ich verstehenbei mir auch gedauert ist nur bei Jahrzehnte heraber sobald sie einmal diese routinemäßige Vorstellung vom integral haben das alles viel sicherer und natürlicher?? wird sich nie die beste Formel besagt und wo sie herkommtPunkt ich sortiere das Volumen auch auf das hier ist das Volumenauf der Höhe YPi malgratis ins Quadratist die GrundflächeKlimarat des Beraters im Beruf und dass die Yist die hoch dieseMünze oder dieser Bierdeckel auf denan der jeweiligen Stellewird unendlich dünne Liste Yan deine Infinitisi maldas die Bedeutung von diesem integralund daskönnte ?? übervorsichtigversuchen auszubrechen was passiert wenn sie versuchen das auszurechnenheute wissen ist das eigentlich endlichdas Volumen von den Zapfendiese Konstanteein konstantes Vielfaches einer Funktion zu integrieren dann kann ich auch einfachdiese Konstante aus dem integral rausnehmenes ist also Pi mal das integral eins bis unendlicheins durch Y?? bisschen vereinfachen vielleicht eins durch Y ins Quadrat ist Y hoch minus zweite YBeistrich alsohierfür braucht es StammfunktionPi maleckige Klammer zusich davon zu ?? ich habe ausdrücklich Y gleich eins bis Y gleichen endlichenWassers weiß er nicht X habenhierfür der Stammfunktion was leite ich ab und ich kriege Y minus zwei tausend dann doch die meisten Länder angekommen minusY minus eins leiten Sie ab nach Y natürlichableitenund denzweinämlich den Exponenten um eins verringern minus eins wird mit zwei und den alten Exponenten davor modifiziertesMinus wegVorsicht mit irgendwelchen selbsterfundenenKettenregel rückwärts die Kettenregelgeht vorwärts beim ableitenin Ramallah äußere Ableitung geht vor Spam ableiten aber jetzt hier bitte nicht innerer äußerer Funktionund dann rückwärts irgendwie Stammfunktion bilden weshalb ich den Kettenregel rückwärts geht nur in Form der Substitutionsregelder Branche noch nie in der Ableitung?? mein Xdas ich hinschreiben mit dem unendlich ?? Islamisten relativieren der Pflichtmannenals SchuhmathematikerKomma habe man das siehthier funktioniert der Verweis mal ganz dreist weiterdas Wetter eingestehenPi mal gesetzlichen endlich ein minus eins durch unendliches Nulldarf man also ganz dreist als Physiker und als Ingenieurminusminus eins einsetzen das machtplus einsund ihr kommt zum Schlusspapiereausalsodieser Zapfender unendlich hoch isthat ein Volumen von Pi wenn sie sichdiesen Einheitswürfelhier vorstellensodoch eins in die Tiefe nach hinten gegangen das istdas Einheitsvolumenhier steckt das Volumen einst drinnen in dem grünen Würfelund in diesem Zapfen der Wissens in endliche geht steckt das drei Komma eins vier fache von diesem Volumen drin es ist nicht allzu viel erstaunlicherweiseein Körper dessen endlich erreichthat ein relativüberschaubares Volumenin diesem Fallauf jeden Fall ein endliches Volumener nicht Musik einer was zu dem endlich sagen offiziellwürde man das nicht so hinschreiben offiziell würde man hier was hinschreibenan welcher Stelle an dieser Stelle würde man anfangenan sowas von wegen grenzwertig zu schreiben?? eine große Zahl ähm hinzuschreibenund dann noch ?? GrenzwertLimesähm gegen unendlich hinzu schreibenich auch schon vorgeführtund eigentlich integral integralendie besseren endliche Reichen sind nicht ganz gefahrloseinen würdigen Grenzwert bilden ?? hier auch ?? Grenzwertund so weiter aber dieser Stelle ist der Grenzwert in der Tat kein Problemgeht durchdas wird es Volumen und es ist endlichnächster Schritt die Oberflächefür die Oberflächevon diesem Zapfenfür die Oberflächekann ich nicht mit Zylindernarbeitendas ist der Ärger das wäre so schön einfach mit Zylinder?? ich muss berücksichtigendass die Oberfläche ja ein bisschen schräger ist wird größerGrenzwert größer sogarweil sie schräg verläuft??mit Kegel stumpfen Arbeiten?? er sich auf summieren sie die Oberflächen von Kegelstrümpfenversichert mankeine Münzen mehrund keine Bierdeckel mehrsondern sochronisch zulaufende Stückeund deren Oberflächen werden auf summiertein ?? dasselbe wie eben schreiben integral hin summieren auf von Y gleich eins bis ins unendlichebasiert auf summieren sind keine Volumina mehr vonBierdeckel und Mützen sondern was sie auf summieren sindOberflächen dieseOberflächen hier vondiesen Kegel stumpfprobierenwar dasdoch mal die Oberfläche von Kegelstumpfals wenn ich mir so einen Bauteil herausnehmebishergesunden Sonnenhütchenaus aus dem Straßenverkehrsind Farbe malen soll so die südlichen aus dem Straßenverkehrdas schneiden sie hier unterscheiden sie da?? ich Ärger mit der Polizei wie man das macht der schneidend einfachen Schicht drauf dass es dieseFigurein Kegelstumpfaus diesen Figurener sich näherungsweise meine Oberfläche zusammenPunkt dann addiere ich deren Oberflächender Witz ist folgender wie man drauf kommen kann sieschneiden das kaputteine Schere hier und schneiden das Ding auf und rollendesBlatt in die Ebeneso sieht das dann ausmit es auseinandernehmenin einen Kreissonntäglichen Kreis seines nicht ganz gelungensie haben außen einen Kreisund hierStücke dieradial nach innen zeigen das passiert wenn sie Sonnensonnefigurzerschneiden und platt drücken besser durch dieselbe Flächeob sie die Fläche hierummit Briefmarken bekleben oder ob sie diese Fläche mit Briefmarken bekleben dasselbePunkt das heißtwas ich rechnen kannist folgendes sich mahnenddie Länge in der Mitte was eine Herausforderung ist so man nimmt diese Längedrinnen sitzt man ähm aber nichts anderes einfällt ?? die Länge in der Mitte nehme ich und ich nehme diese Länge dienen jetzt mal ganz dreist Lund dann ist die Fläche von dem Dinglustigerweisedas Produkt von den beidendass das näherungsweiseso sein muss es glaub ich offensichtlichwenn sie jetzt dieses Ding noch nehmen und geradebiegenwürdenwenn sie denen nehmen und geradebiegen würdendie Längeähmund die Länge L dann wäre klar okay dieses Rechteck hat insgesamt die Flächeeinmal ähmden noch auseinanderbiegensie nehmen das ja weiter hoch demjenigen Sie weiter hocherweisen ?? natürlich nicht ganz klar dass sich dieFläche überhaupt nicht ändertwenn L nicht zu großes im Verhältnis zu ähmwenn das relativdünner Ring ist eines klar das wird funktionierenmit der Fläche in sehr guter Näherung bestimmt sogar exaktfür uns reicht es sogar zu wissen dass das in guter Näherung stimmtmit ihm habe ich jetzt diesemittleren Umfang hier bezeichnetso einmal rummit dem Zentimetermaßdas ist ähm und elf soll die Längedes Schnittes sein?? Zentimeter habe ich ?? mit der Schere durchgeschnittenwas es deruns das jetzt anzuwendenkommt schon wieder getan was ins Spiel hier ist diese Länge Lwie bestimme ich die Idee bestimme ich mit Pythagoras die Länge Ldie weidlich nächste weiblichenY Systemebei dem Tauch die Wurzel aufdie OberflächeKomma ganz dreist Oberfläche gleichich summierendas integralempfindet man ja ingenieurmäßigund musikmäßigals Summe als Summe unendlich feinerAnteileich summieren ?? zu mir Sachen über Y abhängenY läuft von eins bis unendlich vergeben nichts Neuesihre istdiese Flächeähm der Umfang wie groß ist der Umfang auf der Höhe Yzweigt die mal X X ist der Radius einmal rum S zwei die MAGIX zwei die Malik schreibe ich aber nicht hin ?? schreibt zwei Pi mal eins durch Y hindamit ich alles mit Y ausgedrückt habe sodas war der Emmentaljetzt brauche ich diesesquergelegteel dass es schwieriger das mit Pythagorasgehen mal die Wurzeldiese Höhe hierdas ist ja ingenieurmäßigeinfach meinen die Y beschreibt das jetzt mal ganz dreist zu hindie Y ins Quadratsiehtschon mathematisch haarsträubend ausgerüstetfunktionierenund die theoretischen Physiker haben keine Bedenken Komma sind zu schreibenIngenieur eigentlich auch nicht ??ich sage das Stückchen hier ist die Yein Schritt inY Richtungdie groß sind die Streifendie Scheiben Y Richtung ?? ja dann ist das hier die Yins Quadrattollgroße Frage istwas ist das dann da untendas Muster dazu kommen das ist die andere Kathete ins Quadratkriegen sie das Stückchen der unten?? kenne die Verhältnissehierdas Verhältnis von diesem Stückchen zudem ja doch was mit der Ableitung zu tunmeine könnt jetzt ganz dreistund das ingenieurmäßig angefangen habe könnte ich es ganz dreist sein das durch die X oder Dax ins Quadrat ist der Bundes ist das dezente Xdas noch reicher zu machen erweitere ich doch einfach maldas kann man doch kürzen das ist er nicht anders als Tics Quadrat ist tatsächlich mathematisch richtigwarum erweitert Wahlen jetzt alles damit die Ydasteht sehen sie was sie jetzt mit dem Slum tun könnendie Y Zweiradjahrkönnen Sie jetzt aus der Wurzel ziehen da steht Y zwei Kda steht Y ins Quadrat jetzt habe ich ein ordentliches Integraldass sie Mathematik verantworten kann?? dadas Tipps am Quadrat weg und da habe ich das Y Quadrat weg und hier steht einsPlusdie X nach Yins Quadrat und jetzt ist das ein ordentlich integral unter siehe obender decken wir den Schleier drüber lässt sich mathematisch nicht so schön ausaber das ist jetzt mathematisch wieder korrekt das hat auch die Form dieser Scan eins durch die Ableitung ins Quadratunter der Wurzelso kriegt man dasphysikalischmal auf die Schnelle hinsie schreiben einfach mal diese beidenunendlich kleinen Kettestückchenmit Differenzialin rein formaldann haben sie ?? Punkt da das korrekte Ergebnis stehendieX nach Y Quadrat was muss ich da einsetzengenau diese sich also tatsächlich ist aber ein was ist X X ist eins durch Y und das euch ableiten Beistrich sondern soll den ganzen Kram patrouillierendas stetigeX ist einzig Yableiten nach Y und dann Quadriereneins durch Y Y minus eins ableiten ist minusYhoch minus zwei tausend zusätzlichen Einzelschrittendas Quadrat außen mal stehenY hoch minus eins soll ich ableiten das macht minus Y hoch minus zweiauf euer Y minus einsableitenexterne Domains verringern minus zwei Y minus eins sechs hundert nach vorne machte ein Minusund jetzt sind wir beim integral die zwei Pi darf ich schon nachvollziehen?? Konstante zwei Pi von eins bis unendlich eins durch YWurzeleins plusminus ins Quadrat ist mir egalY minus zwei hoch zweiwas können Sie hier kurz draus macheneins durch Y vier in der Tatdas Minus geht weg mit dem QuadratY hoch minus zweidie beiden Potenzen ?? modifizierteExponenten modifizierenY hoch minus vier einzig Yvierso das aus bisherundsind am Ende der Zeit deshalb Sache ich schon maldas ist unendlichaber wie könnte man das sehen dass das unendlichPunkt ich würde einfach den jetzt mal versuchenguten Grund zufinden warum das hierunendlich werden mussundes gibt eine ganz einfache Art zu vereinbaren als das was da rauskommt ist garantiert größer als zwei Pimal integral von eins bis unendlich einzig Yschreibe ich hier eins plusnullYwenn sie hier einzig Y hoch vier ersetzen durch nullwird es garantiert kleiner das hier kann nur kleiner werdenist steht hierWurzel eins Plus null aber Wurzel Einfluss nur kann ich aber weglassen Wurzel eins bis null einsentsteht die das integralvon eins durch Y Punkt das sollten wir schon wissen dass es unendlichwas es gibt eine einfache Funktiondie schon das integral unendlich hatuns unter der Funktion nicht lieber integrieren wollenlange Rede kurzer Sinn die Oberflächeist unendlich großartig aber ein Körper erstreckt sich ins unendliche sein Volumen ist endlichund seine Oberfläche ist unendlichwas ich jetzt nicht vorgeführt habe ?? schöne Übungwie kriege ich das jetzt hier anders zerlegt indem ich entlang von X gehe denselben Körper selber Richtung aber entlang von X integrieren?? vergewissert ?? ist einfach ??X integrieredie kriegt dieselben Ergebnisse