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06B.2 vier Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme; Cramer, Gauß, Jacobi, inverse Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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undwenn sie mindestens vier Verfahren zwischen ungleichen Systeme systematischzu lösen?? Personenhandbuchfür Num Erik auf schlechter LinsenDutzendeVerfahren um das hinzukriegen abermit diesen vielen Hammer schon so die wesentlichen Gruppengesehendas in Idee haben was man denn so überhaupt beachten kann beimsystematischenLösen von linearen Gleichungssystemschreib jetzt mal ein lineares GleichungssystemhinFragezeichen warum bekannteund bitte Sie das mal mit allen von diesen vier Verfahrendurch zu Nudeln gleich die Gleichungen nicht komplett auszurechnendas Nerven Schlussbild müssen die Bruchrechnungaber dessen Idee kriegen dies denn bis zu Ende durch Dinge mit jedem Verfahrenlinear Gleichungssystemdrei Gleichungen drei unbekannteunsund probieren Sie mal folgendeserstens wie geht das mit der Kramer Regelzweitenswie geht das mit dem Gauß Eliminationsverfahrendrittenswie geht das mit Jacobiund viertenswie geht das mit der inversen Matrix?? nicht zu Ende ausreichend unbedingteswerden nicht so tolle Zahlenaber dass man sehen kannwies bis Ende durch Dingebloß nicht bis zu Ende durch rechnenwas kann der Computer besseralsodas Amt des großen ?? doch gemacht keine schlechte Idee ist das tatsächliche sind Matrixund Vektoren hinzu schreibenProduzenten Matrix zehn eins einseins zwanzigachtenseins minus eins dreißigund hier kommt raus eins zwei dreiKlammer zukam erdass sie sich nicht nur ??ist im Rezept hinziehenhauen das bringt's irgendwie nicht derTrick von Kramer ist folgender die Firma wurde für nicht so geniale Trick von Kramerähmich schreibe eine Determinantehinund zwar folgende DeterminanteX mal in Vektor zehneins einsX Martin Vektor zehn eins eins und um das wird lang die erste Spalte der Determinante alles was hier steht ?? Y groß Zall das schreibe ich in die erste Spalte der DeterminanteY mal eins zwanzigminuseins und Z mal eins eins dreißigdreißig all das steht in der ersten Spalte der Determinante das ausrechnenes kommt eins zwanzigminus eins eins zwanzigminus eins und ?? Bindestrich eins eins dreißigwenn ich diese Determinanteausrechnenwas ich nicht tue sondern ich tue sozusagen solcher Wiese ausgerechnetim Geiste rechtlich diese Determinanteaus was passiert wenn ich diese Determinante im Geiste ausrechnen wie kann ich das vereinfachenja also nicht hypothetischdiese dezimierte ausrechnen wollen würdewürde ich das selbst einfacher der zweiten Spalte von der ersten abziehenden man Y von der ersten Abszisse ist das Weggenauso hier die dritte Spalte Mahlzeitvon der ersten Spalte abziehendann istdas Wegund dannden sie in der ersten Spalte steht dann noch X malzehn eins einsdann kann ich das X der Vorziehen das Vielfache eines Weckers in einer Spalteund ich finde was hier steht ist X maldie Determinantezehn eins eins eins zwanzig minus eins eins eins dreißigalso wenn ich auf den Gedanken käme diese Determinante ausrechnen mathematisch Experimentwürde ich feststellen oh schön das sie vorne kann ich alles zusammen streichen das X kann ich Aussehenbesteht ?? X malein Determinantediese Determinante hier kann ich aber auch noch auf eine andere Weise ausrechnengenau gucken sich das GleichungssystemanziehenX plus ein Y plus ein Z isteinsein Express von siebzehntes ein Z istzwei und so weiter ?? vorne steht eins zwei drei eins zwei dreieins zwanzig minus einsund eins eins dreißigMann muss aber das was man über die Determinante weiß und stellt fest wenn ich diese Determinante ausrechnen krieg ich X mal diese Determinantesuper ich habe X bestimmt X kriege ich in dem ich diese beiden Determinanten durcheinander teilediese Debatte hierist die Determinante der Koeffizientenmatrixzehn als Einsatzleiterdas Element der Koeffizientenmatrixund diese Thematik hier entstehtaus der Koeffizientenmatrixin dem ich die erste Spalteersetzedurch die Homogenitätdass es Kramerin fünf Minuten hergeleitetdas ist der Gedanke wenn sie verstehen was Determinante macht ist die Kammer schrieben ein Witzschulbuchmäßiggibt's dann natürlich nur das Rezept wie kriege ich X X kriege ich in dem ichin den MännerVorsicht in den Männer die KoeffizientenDeterminante schreibe und in den Zählerdie Koeffizienten Determinante aber die erste Spalte ausgetauschtgegen das was rechts steht Y kriegen sie in dem sie das in der Mitte austauschen Z Kings in dem sie das am Ende austauschenvier mal vier fünf mal fünfwird genauso sogar zweimal Zweige dannentsprechendähmalsodas hier istnatürlich keine neben Rechnung die man ernsthaft machtso kommt die Kramer Regelin die Welt aber das rechnet dann keiner mehr ernsthaft durchschreib einfach das Rezepthinweiswird also auskommenX istdas Verhältnis zwei Determinantenunten die KoeffizientenDeterminantezehn eins eins ein zwanzig und so weiterzehn einseinseins dreißigoben nehmen Sie die Koeffizienten Determinante aber setzen die erste Spalte durch eins zwei dreieins zwanzigminus eins eins einsdreißigund das ?? man jetzt war damals ?? schmerzhaft unseriös aus wenn man das wirklich zu Fußrechnen willeigentlich kein Mensch zu Fußdas wir hier so wurde mit diversen Wassercomputer tut und ?? Computer dann auf die Nase fallen kannwo könnte der Computer auf die Nase fallen hierauchgenau dann fällt auf die Nase bin und nur steht habe ein kleines Problemwenn ich hier rauskriegeX mal nullist diese Determinantedann wird es heikeldurch null teilen ist nicht so schönweiter arbeiten sich an Gruppen ist diese Determinante ja auch nulldann wäre es für jedes X erfüllttypischerweise geht man nicht so weit sondern man guckt einfach an ist die Determinante der Gruppe sind Matrix die Determinante unten nulldann Hammerproblemmuss man das dran ist sie nicht nur normalerweise wird sie nicht null seinist alles in Ordnungdas ist ja genau der Fall in dem diese Matrix hier eine Inverse hatgenau dann wenn die Determinantenicht null ist ist diese Matrix in Bettinaist sieregulärschön sacht nicht singulär das Gegenteil von singulär sondern regulären?? das muss man einmal checken wie können Sie auf die Schnelle sehen dass diese Determinante hier unten ungleich null ist die Kasse dasauf Anhieb sehenbemerkbar die Hauptdiagonaleso großes wenn sich hiermit seriös durchgehen zehn mal zwanzig mal dreißigmonstermäßig viel und dann ziehen sie relativ wenig ab oder addieren auch ?? noch relativ wenig drauf ?? Hauptdiagonaleso groß isthat die Determinationkeine andere Chance als ungleich Null zu seindas es ausrechnenBeistrich wurde bisher kein Kunstähm sieht das aber noch Y gehtund wie Z gehtalsosie schreibenin den Männer immer wieder selberdie Determinanteder Koeffizientenmatrixund den Zählersteht die Determinante der kompetenten Matrix aberbei Y die zweite Spalte ausgetauschtgegen das was rechts gestanden hat uns bei Z die dritte Spalte ausgetauschtso siehtdie Kramer Regel ausund wenn sie die Determinante verstanden habenist klarwo das herkommtan den ?? Komma zusammen sammeln was Probleme der Kramer Regel sind in irgend einen Jahres Gleichungssystemhabewas muss allespassen damit die Kramer Regeldamit funktioniertmit dem Lineal Gleichungssystemdas ?? Plus und Minus sind die Kramer Regelalso Plus ist auf jeden Fallein leichtes Rezeptman kannselbst ?? morgens völlig hirnlos hinschreibenwie das gehtaber es gibt so einigeSachen die schlecht sind an der Kramer Regelaus erster Punkte man nennen sollte ist geht nur mit quadratischen Matrizennurfürschreibe das jetzt hier malEnglisch nur für Zahl der Gleichungenist gleich Zahl der Unbekanntennur in dem Fall geht die Kramer Regel auch eine quadratische Matrix sonst geht die Determinante nicht in den die Determinante nicht geht geht die Kramer Regel nichtCandida mit List und Tücke irgendwie raus finden abernach Buch die Kramer Regel geht erst mal nurwenn ich genauso viele Gleichungen wie unbekannte habeund dannsowie meine Grammatik üblicherweise anwendet und eben unnormal gesagtmuss die Determinantedie Ion steht die Determinante der Koeffizientenmatrixungleich null sein Satz ein ProblemDeterminanteKoeffizientenmatrixMatrixungleichnull??ich hab schon angedeutet wie man sich rauswinden könnteder Mann die gleichen sich an die davor entsteht abertypischerweisegibt man das als Bedingung Kramer Regel nur wenn ich da nicht durch null teilenund ?? im offen gesagt genaunumerisch lernt manDeterminanten zu berechnen ist ein absolutes Dramawenndie Matrizen groß werden schreibt man hier nur zwei mal zweidrei mal drei vielleicht gerade noch vier mal vierSongs ist der Rechenaufwandviel zu großund irgendwann ist nicht der Rechenaufwand viel zu großen ?? das Link wird auch für ziemlichschlimm was die Rundungsfehler angeblich nicht mit den Rundungsfehlerum die Ohrenbeschreibt man nur zum beseitigen Rechenaufwand und Rundungsfehler anich schmiere mal ?? sagenRechenaufwand und Rundungsfehlerals über irgendwelche Simulationenirgendwas mit eine Million mal eine Million gelöst werden mussextremsten Fall eine ?? Gleichung eine Million bekannte darin ?? sich mit diesem Verfahren fand keine Chanceweil die Determinanten viel zu auffällig zu rechnen wären und nicht nur auf ?? nicht zu berechnen werden was ich rauskriege wäreziemlicher Blödsinn wegen Rundungsfehlerso das radikaleFormvon Dingen eindeutigdie Eindeutigkeitist geschenkt wenn die Determinante ungleich null ist für die Determinanten der Koeffizientenmatrixungleich null istgibt es von dieser Matrix eine inverse Matrix und damit ist das Thema eindeutiggeschenkt??soNummer zwei ausKauf des Eliminationsverfahrenals Menscheine schon angefangen mit Gauß als Mensch sehe ich hierdie zweite Gleichung und die dritte Gleichungdie schreien danach das ich das X rausschmeißenwenn es aber der Computer anfängtmittausend Gleichungen und tausend Unbekanntenbei der jetzt nicht an zu durchsuchenob irgendwelche Gleichungen zufällig dasselbedieselbe Zahl vor dem X stehen haben es wird blöd durchgerechnetalsodas es Eliminationsverfahrennach Schema Fist wirklich blöd durchgerechnet stellt sich vor ein Computer sitzt vor tausend mal tausendeine Matrix tausend mal tausend ?? einer Matrixeine Million mal eine Million mit ganz vielen Nullen drinPunkt nicht auf das elegant irgendwie geht sondern der rechnetstur durch sinnvollerweisewar man sonsteher sich Assen Wolf sucht nach irgendwelchen elegantenEigenschaften von dieser Matrixalso fängt das ehrliche mit den zehn X anund versucht damit dieses X und das Sixpack zu kriegen ?? bisschen Bruchrechnenmal sehen welche sich bis zu Ende durchCosima dies anfängt alsoaus EliminationsverfahrenWeise Book wie sehr das aus nicht effizient sondernnach Schema Fjaaußer Gauß haben sie zweigroße Abschnitte des Ganzen der erste große Abschnitt des ganzen istdiese Koeffizientenmatrixhier zu einer oberen Dreiecksmatrixzu machendas ist mein Zielwardas soll danach erstehendas ist der GrundgedankebeiGaucksich eliminiertediese Einträge hier alles unterhalb der Diagonaleneliminiert ?? das geht netterweiseauch mit Matrizen die nicht quadratisch sindwenn sie so eine Matrix habenwo müssen sie daNullen erzeugen bei Gauß wenn die Sonne Matrix habengenau die Diagonale ist dieses hier die nicht sehr weit oben die Diagonale das heißt da müssen jetzt überall Nulleninauch David Daus funktionierenich muss also Grammatik sehr viele Nullen erzeugen das ist der erste Schritt diese Nullen zu erzeugendass es eine die Eliminationich eliminiertediese Unbekannten hier aus der letzten Gleichungen aus die sich aus der vorletzten Leitungund der zweite Schritt ist jetzt rückwärts zu arbeiten wir stets soundsovielmal Zist gleichsoundsoviel?? sofort lösen dann weiß ich Z dreißig Z dann kann ich Epson bestimmenzwanzig Z und Y kann X bestimmen so ist der Gedankezwei große Schritte beimGaußder eklige Schritt ist hierdiese Eliminationdie null zwei Zeugen eine obere Dreiecksmatrixauszumachendie Physis wirklich mal streng nach Schema F vorgedachtals Mensch würde man hier viel eleganter angehen können Komma wenn sie das vormachenwas der Computer tut??Programm gesteuertwird das nicht so elegant seinhier will ich eine null haben darin einen null habendas heißt die erste Gleichung durch zehn von der zweiten abziehenerste Gleichung durch zehn von der zweiten abziehen so schreibt es meinenersten Beitrag stehen zehn X großes Ypsilongroß Z ist gleicheinswar die zweitezehn X mal minus ein zehntel ist minus Xauf X addieren ist das X WegY minus ein zehntel Yauf diese zwanzig Y implantierenPunkt das ist gerade mich Leerschritte setzenals Rechnung ?? zwanzig minus ein zehntelY steht dann dasie sechsmal minus ein Zehntelauf das Z addieren das Gitter gerade noch den habe ich nur noch neun zehntelZzweiminus ein zehntel sind ein neunzehnte?? einen Kopfdavon ?? die nullhier will ich ?? null habenselber Rechnungdamit das X davon weg geht also mal minus ein Zehntelerste Gleichung mal minus ein Zehntel auf die dritte drauf ist davon das X wegein ZehntelY abziehen von minus Y bin ich hier bei minus elfzehntelYund hier ein zehntelZ abziehen von dreißigZ also dreißigminus ein zehntelneunundzwanzigneunzehntendreißig minus ein zehntel Z ist gleich und von der drei wenigein Zehntel abziehenden Berichtsdreineun zehntel derdiese beiden Nullen habe ich jetzt erzeugt ?? sich bis Ende durch Beistrich der die Kriseeinenwas ist jetzt der nächste Schrittgenau also hier will ich jetzt ?? null erzeugen dann ist auch der erste Schritt zumindest für dieses gleichen System ist der erste Schritt von dem aus Eliminationsverfahrendurchhier will ich null erzeugen und in den jetzt nicht die erste GleichungVorsicht Vorsicht wenn jetzt ein Vielfaches der ersten Gleichung nehmen um den Weg zu machenanhand der X wieder kaputt gemachtdas ist nicht gut ich nehme ein Vielfaches der zweiten Gleichung nach vorne steht ja schon nullnehmen Vielfaches der zweiten Gleichungich will gar nicht hinschreiben was fürchterlichessodass jetzt das Y wegfälltdann habe ich nur Dreiecksmatrixund dann ?? sich rückwärts auf??werden hervorragendeklige Brüchegeht ums Prinzip gerade solche Geschichten das ich jetzt nicht die erste Gleichung benutze nicht die erste Gleichung?? wurde die erste Gleichung malelf zehnteldann sind sie das Y Los Papierformsteht zehnmal elf zehntel wieder bei dem X das X ist kaputt nicht gut ich nehme die zweite Gleichungund so geht das dann analog wenn man größereMatrizen hatim ersten Schritt erzeuge ichin der ersten SpalteNullenund dann nehme ich nur nochdie Gleichungenmit den Nullen vornedie oberste Gleichung mit der kann ich da nicht mehr viel anfangen die wird mir davon nur kaputt machenich nehme diese Gleichungen erzeuge ich hier nullnehmen diese Klang erzeugen eine nullund so weiter arbeitet man dannunter diese Gleichungnehme ich und erzeuge deine null ich fang nicht wieder ganz von vorne sie dazu das die Nullen lebendig bleibendadas ist das GaußscheEliminationsverfahrenOberwidders Rückseite nicht vorführen kann sich vorstellen ?? jetzt von untennach Z auflösen et cetera einsetzen Y auflösenY Z hier oben einsetzenauflösenähmund gerade auch dann noch malvor und NachteileimVergleichzuKramer insbesonderewas ist ein auffälliger Vorteil aus Eliminationsverfahrenher und es gehtimmerähmauch ich hab mal dazu auch okaywenndie Zahl der Gleichungennicht die Zahl der Unbekanntenistnetterweiseund es kommt sogar damit zurecht dass sie zum Schluss keine Lösung haben oderkeineeindeutigeLösung habenzitiert oder nicht eindeutigistexistierteindeutigmit ?? zusammendann stutzig zum Schluss bei Nichtexistenzstutzig Zufluss auf irgend ein Widerspruchbei nicht Eindeutigkeitirgendeine Variable über das wir aus Eliminationsverfahrendurchgehender Rechenaufwandist überschaubarwarRundungsfehlersind vielleicht noch nicht so hundertprozentigwenn ich schreibe Rechenaufwand okay ich für den Menschen klar für den Computer ist der Rechenaufwand überschaubardass er ziemlich blödes Programm das es werden einfache Übung für Informatikweismachen wollen würden nächstes Semester das tatsächlich auch so formulieren dass so ein Ding unter ein hundert Matrizen durch Nudeleinfache Geschichtesehr einfach zu machen Rechenaufwand bleibt übersichtlichinRundungsfehlersind noch nicht so hundertprozentigfürchtet sich vor ?? zu schreiben man benutzt dann typischerweise nicht das Verfahren sondernmindestensaber noch etwas Intelligenzein das meinendass man das mansich hier immergernedie Zeile nimmt in der jeweils der größtesolltest oben an Komma lassen sich jeweils den größten suchtdas sich durch möglichst große Zahlenteilesind beteiligt durch zehnes wäre vielleicht raffiniert gewesen ?? durch dreißig zuteil durch möglichst große Zahl zuteil Misses das wird man typischerweise noch einbauenaber es geht auch alles noch vieleleganter das istgar ausCoursera noch Jacobi anist ?? mit Plus und Minus Vorteile Nachteile hinschreibenähmvergessen bis knapp??es muss quadratischsein und die Hauptdiagonalemuss dominant sein diagonaldominiert muss diese Koeffizientenmatrixhat auf der Hauptdiagonalenstehen richtig große Zahl das kann man auch neuen Formen angeben was richtig groß heißtähmdieser Gruppe Verfahren Portnummern als ein Beispiel gebracht haben für Verfahren die so ganz anders funktionieren als man das wahrscheinlich in der Schule gesehen hat das sind dann aber die Verfahren dienen für richtig große Matrizen funktionierenim iterative Verfahren nicht rechne nicht in einem Zug aus was rauskommt sondern ich nähere mich dem Ergebnis an und ?? das nicht genug ist nämlich noch weiter dem Ergebnis andas ich schon anders als eine fertige Lösung Formelzu Business Newtonverfahrenfür nichtlineare Gleichungen aussetzen Semesteralso die Hauptdiagonaleso richtig große Zahlen habe die Kurve große Koeffizientenhabendann stell ich umnach der HauptdiagonalenX ist alsoangebracht eins minus Y minus Z durchzehndanndas ?? Kaliber sogar andersist gleich ein Zehntelminus Y zehntel minus vierzehnetwas klarerhier nur sich nach Y auf Y ist gleichzwei ZwanzigstelX rüber bringen minusX zwanzigsteminus Zzwanzigste?? sich nach Z auf Z ist gleich drei dreißigsteminusX dreißigste ähplus Y dreißigstevon ihm schon gesagt es ist klar wo man startetein Zehntelein Zehntelein Zehnteldas rate ich erst mal sozusagenals Staat werde ich starte mit X Y Z ein zehntel ein Zehntel ein Zehnteljetzt kommen nur noch KorrekturenY setzen sollte alles ungefähr ein Zehntel können Sie also noch in Hundertstel abgezogen da noch in Hundertstel abgezogenhierein zwei Hundertstel abgezogen und so weiter diese Korrekturen hiersind nichtso gravierend das in Korrekturenund dies hier ist mein Startwert?? starteerste Nehrung existiert ein Zehntel Beistrich ein zehntel Z ist dann ein Zehntelwas mach ich dannNorden setzt sich hier ein Y zehntel Z dreizehn als ein Zehntel Rechner aus was rauskommt?? ich kriege wieder X Y Z raus sie sind alle schon wieder ungefähr ein Zehntel ?? mit leichten Korrekturen nicht gegen etwas korrigierte Werte raus ?? Konzeptbietet sich wieder einKriege wieder korrigiert werden auch sie wird sich wieder ein und so weiter und so weiter bis die Genauigkeit stimmt Komma als vom Essener angeben wann reicht die Genauigkeit und so weiterich wollte das einmal als Idee gezeigt habenmag eine fertige Formelsteht er nicht X ist leicht und fertigsondern hier steht eine Iterationsvorschriftnachherich starte mit Einzelansicht ein Zehntelgesetzesimmer wieder einsolange bis es mir reichtdas es Jacobiunddas ist die Grundlage für so diverse andere Verfahren mit denen man wirklich großeInger Systemdas ganze noch zu Ende bringenin der Thematik sandte ihm schon Sinn der Aufgabe der vorwie das funktioniert ich investieredie Koeffizientenmatrixist ein bisschen aufwendig ausrechnen mit drei mal drei ??kann man direkt die Lösung hinschreibenso sehr das dann mit der inversen Matrix aus X Y Zist gleich die inverse Matrix die Mails ausrechnen müsste angewendet auf eins zweidrei Zehneinseins eins zwanzig einseins minus eins dreißig davon inverse Matrix ausrechnen auf den Weg zu ein zwei drei Anwendungsgebietsindeben schon gesehenandie inverse Matrix auszurechnenist ein heikles Unterfangen vor einigen bei tausend mal tausendschon eine richtig gute Idee mehrbei eine Million mal eine Million schon gar keine gute Idee mehrWand werde ich das auf mich nehmen die inverse Matrix auszurechnen wann lohnt es sich die inverse Matrix ausrechnendas gleiche System so zu lösendas zum Beispiel mit Gaußdenken Sie an Wirtschaft wann kaufen Sie die inverse Matrixmaschineist eine sehr teure Maschine sie arbeitet sehr effizient aber sie sehr teuer wann kaufen Sie diese Maschine um was zu tun was das Problem müssen sie haben damit diese Maschine lohntsich ?? noch ?? bisschen verborgenwerdenInvestitionendiese Matrix ausrechnen und sich nur wenn sie ganz viele gleichen Systeme derselben Koeffizientenmatrixund verschiedenenInhomogenitätenlösen müssenwenn diese Gleichung nicht alleine steht sondern wenn Sie diese Gleichung hier tausendfach habenmit ganz vielen rechten Seiten mit gleichen tausendfach lösen müssen dann lohnt sich die Investitioninverse Matrix ausrechnen weil's so schön schnell geht mit der inversen Matrix dann wird man das machen soll ?? zwei hundert ?? Computergrafikvor ich muss wissen wo irgend welche Punkte auf dem Bildschirm landendie Figuren haben eben nicht nur Tausende sondern Zigtausendehundert tausend an Punktenbevor jetzt ist ?? System zu Fuß löse hundert tausend mal rechtlich einmal inverse Matrix ausund modifizieren hundert tausend mal mit hunderttausend verschiedenen Vektoren hierdann lohnt sich die Investitionen und klare Siebensacheninverse Matrix geht natürlich genau dannnur wenn Kramer Regel gehtich brauche für die inverse Matrix genauso viele Gleichungendie unbekanntesonst geht's nichtund obendrein darf die Determinante von der Matrix nicht nur das es genau die Situation der Kammerdiese inverse Matrix ausrechnenKomma dass du meiner geschlagenes gibt Beistrich die mit der feineren Wolfram Alphaähdas wird kein Mensch zu Fuß ausrechnen mag kann es mal so tunspaßeshalberum zu verstehen was da passiert aber das lohnt sich nicht ?? zu Fuß ausrechnen ?? das bin ich von Reimar